5万有引力

万 有 引 力

一．开普勒三定律

1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运行的轨道都是_______,太阳处在所有椭圆的_______上.

2.开普勒第二定律:对于每一个行星,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的_______相等.

如图1所示:设行星在A 处的速度为V A ,距太阳的距离为r A ,在B 处的速度为V B ,

距太阳的距离为r B ,则由____________________得_________。 3.开普勒第三定律:所有行星的半长轴的_____次方跟公转周期的______的比值都相等。

即_____________.

注意:对同一星系中的所有行星,k 值____等;对不同星系间的两颗行星,k 值____等.

比如: 对太阳系中的所有行星,有:R 地3 / T 地2 = R 金3 / T 金2 = R 木3 / T 木2 = R 水3 / T 水2 =……= k 1;

对地球系中的所有行星,有:R 月3 / T 月2 = R 人造卫星3 / T 人造卫星2 = ……= k 2；注意这里k 1_____k 2.

例1:已知某地球卫星的运行轨道为椭圆,近地点与远地点的距离之比为1:9,则对应的速度之比为______.

例2:把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳的周期之比可求得( )

A ．火星和地球的质量之比 B.火星和太阳的质量之比

C. 火星和地球到太阳的距离之比

D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比

二.万有引力定律及应用

1.万有引力定律: 表达式:F 引=_________,其中引力常量G =_____________.由英国物理学家________测出,适用条件:两物体的大小与两者之间的距离相比可以忽略不计.

常见规律:当两物间的距离增大为原来的2倍时,其作用力将变为原来的_____倍;当两物间的作用力变为原来的2倍时,其距离应变为原来的______倍.

2.万有引力定律在地(星)球表面的应用:对地球表面上静止的物体m: 由mg = ________,有:

(1)地(星)球表面物体的重力加速度:g = __ _;

(2)地(星)球的质量:M =___________;据此人们称卡文迪许为“ 能称出地球质量的人”.

(3)一个重要的关系式:GM = gR 2.

3.重力的产生:考虑到地球的自转影响,地球表面物体的重力实际上并不等于万有引力,而只

是万有引力的一个分力(另一个分力为物体绕地球转动所需的向心力),如图2-1所示,由此

可见:同一物体在赤道处所受的重力____(大、小)于在两极处所受的重力.

例1:地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，若高空中某处的重力加速度为g/2，则该 处 距地球表面的高度为________.

例2:A 、B 两颗行星,质量之比为M A :M B =p,半径之比R A :R B =q,则两行星表面的重力加速度之比为______.

例3: (08年东城三模)2007年10月29日18时01分，嫦娥一号卫星成功实施入轨后的第 三 次变轨。30日17时40分，嫦娥一号卫星到达48小时周期轨道远地点，距地面高度12万

公里，创下中国航天器飞行测控新纪录。已知地球半径6400公里，则在距地面12万公里高

处，嫦娥一号卫星所受地球的万有引力与绕地表面飞行时的万有引力大小之比最接近（ ）

A ．1∶20

B ．1∶200

C ．1∶400

D ．1∶600

例4: (09年西城一模)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落 回 原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。

已知该星球的半径与地球半径之比为R 星:R 地 = 1 : 4，地球表面重力加速度为g ，设该星球

表面附近的重力加速度为g ′，空气阻力不计。则( )

A ．g ′: g = 5 : 1

B ．g ′: g = 5 : 2

C ．M 星 : M 地 = 1 : 20

D ．M 星 : M 地 = 1 : 80

例5:设地球的质量为M ，赤道半径为R ，自转周期为T.则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为(式中G 为万有引力常量)( )

A ．GMm/R 2

B ．22222)/4()/(T mR R GMm π+

C ．GmM/R 2-4π2mR/T 2

D ．GmM/R 2+4π2mR/T 2

例6:（08年宣武二模）某一颗星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h 处平抛一物体，水平射程为60m ，如果在该星球上，从相同高度以相同的初速度平抛同一物体，那么其水平射程应为（ ）

A ．10m

B ．15m

C ．90m

D ．360m

例7:( 08年崇文二模)一火箭从地面由静止开始以5m/s 2的加速度匀加速上升，火箭中有一质量为1.6kg 的科考仪器。

在火箭上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9N ，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R 的（地球表面处

重力加速度g =10m/s 2）( )

图 1-1 图

2-1 图 2-2

A. 2倍

B. 3倍

C. 4倍

D. 2

1倍 三.人造卫星

1.近地卫星:即贴近地面飞行的卫星. ( h=0;r=R)

由: mg = F 引

=________ = F 向 =________ = _________ = ___________,有: (1)第一宇宙速度:V =_________或:V=_________=__________m/s.

①此速度值为人造地球卫星能上天飞行的最______速度；

②此速度值又为所有正在天上作圆轨道飞行的卫星的最______速度；

③第二宇宙速度：又叫脱离速度.卫星要挣脱地球引力、飞离地球而具有的最____速度.其大小为第一宇宙速度的 2 倍.地球的第二宇宙速度大小为____________m/s.

④第三宇宙速度：地球上的物体飞离太阳系而必须具有的最小速度.地球的第三宇宙速度大小为____________m/s.

(2)地(星)球的质量:M =____________.

(3)地(星)球的密度:ρ=____________;

2.远地卫星 ( 即h ≠0,r=R+h)

由mg’ = F 引

=________ = F 向 =_______= ________ = ________,有: (1)卫星加速度: g’=__________=_________ g 由此可见:当h=R 时,有g’=__ g;当g ’ = 12

g ,有h =_____R. (2)卫星速度:V =________;可见:当h 增大, V ______ .

(3)地(星)球的质量:M =__________. (4)地(星)球的密度:ρ=_______.

总结：在距地心距离分别为r 1和r 2的两个物体（卫星），向心加速度（重力加速度）之比

12a a =______; 卫星线速度之比12V V =_______;周期之比12T T =_______;角速度之比1

2ωω=_______. 例1:人造地球卫星在环形轨道上绕地球运转，它的轨道半径、周期和环绕速度的变化关系是（ ）

A ．半径越小，速度越小，周期越小

B ．半径越小，速度越大，周期越小

C ．半径越大，速度越大，周期越小

D ．半径越大，速度越小，周期越小

例2:两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为T A /T B =1/8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )

A ．R A ：R

B =4：1，v A ：v B =1：2 B ．R A ：R B =4：1，v A ：v B =2：1

C ．R A ：R B =1：4，v A ：v B =2：1

D ．R A ：R B =1：4，v A ：v B =1：2

例3:（08年崇文一模）如图3-1所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造

卫星，下列说法中正确的是（ ）

A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度

B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且小于a 的向心加速度

C ．b 、c 运行的周期相同，且小于a 的运行周期

D ．由于某种原因，a 的轨道半径缓慢减小，则a 的线速度将变小 例4:（09年昌平区二模）美国东部时间2009年2月10日上午11时55分(北京时间2月 11 日晚0时55分)，美国和俄罗斯的两颗通信卫星在太空相撞并产生大量太空垃圾，这极有

可能会对国际空间站构成威胁. 在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球转动，可视为绕地

球做匀速圆周运动.每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度增加，从而使

得一些太空垃圾进入到稀薄大气层，运动半径开始逐渐变小，但每运动一周仍可视为匀速

圆周运动.若在这个过程中某块太空垃圾能保持质量不变，则这块太空垃圾的 ( )

A. 线速度将逐渐变小

B. 加速度将逐渐变小

C ． 运动周期将逐渐变小

D ．机械能将逐渐变大

例5:（09年东城一模）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆， 正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。

如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，则火星的平均密

度ρ的表达式为（k 为某个常数） （ ）

A ．T k =ρ

B ．kT =ρ

C ．2kT =ρ

D ．2

T k =ρ 例6: (09年东城二模)2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务， 他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来。“神舟七号”绕地球做近似匀速

圆周运动，其轨道半径为r ，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r ，则可以 确 定（ ）

A ．翟志刚出舱后不再受地球引力

图 3-1

图 3-2