第七章 二阶电路

第七章 二阶电路

当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同于一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步骤为：

（1）根据KVL ，KCL 及元件的VCR 写出以C u 或L i 为变量的二阶微分方程； （2）由(0)(0)C C u u -+=，(0)(0)L L i i -+=确定电路的初始状态，即得出

(0),

C C o du u dt

+

+或

(0),

L L o di i dt

+

+的值；

（3）求出二阶微分方程的两个特征根1,2p p ，根据的不同取值1,2p p ，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况：

()112p p ≠为两个不相等的实根（称过阻尼状态）

通解=1212p t p t

Ae A e +

()1,22p j δω=-±为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态）

通解=

sin()t Ae t δωβ-+ ()123p p p ==为相等实根（称临界状态）

通解=12()pt A A t e +

()4由激励源的函数形式确定方程的特解形式；

()5由初始条件，确定12,A A 或,A β等待定常数，得出确定的解。

二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。

7-1 电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S 打。求

000(0),(0),

,

,

C L R C L du di di u i dt

dt

dt

+

+

+

++。

解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。先求)0(-C u 和)0(-L i 。t<0时，电路处于稳态，把电容断开，电感短路，电路如题解图（a ）所示。由图（a ）得

V

663

1236//6312)0(=⨯=+⨯=

-c u

A 236

3)0()0(===

--C L u i

根据电容电压和电感电流的连续性，得

V 6)0()0(==-+C C u u

A 2)0()0(==-+L L i i

画出+0等效电路如题解图（b ）所示。由图（b ）可求得

A 166

126)0(12)0(=-=-=++C R u i

1

21)0()0()0(0-=-=-==++++

L R C C

i i i dt

du C

242411

)0(0-=-==

++

C

i dt

du C C

V/s

而 0

236)0(3)0()0(0=⨯-=⨯-==++++

L C L L

i u u dt

di L

所以 （a ） （b ） 题解7-1图

0)

0(0==

++

L u dt

di L L

s

A dt du u dt d dt

di C

C R

/4)24(61

61)612(000=-⨯-=-=-=+

++

7-2

图

示

电

路

中

，

电

容

原

先

已

充

电

，

,6)0(0V U u C ==-R=2.5Ω,L=0.25H,C=0.25F 。试求 （1） 开关闭合后的);(),(t i t u C

（2） 使电路在临界阻尼下放电，当L 和C 不变时，电阻R 应为何值。

解：（1）开关闭合后，电路的微分方程为

02

2=++C C

C u dt du RC dt u d LC

初始条件为 V u u C C 6)0()0(==-+

)0()0(0=-==+

-+dt

du C

i i C

L L

以上二阶齐次方程的特征方程为

012

=++RCp LCp 方程的特征根为

LC L R L R p 1

)2(22-±-=

3

525.025.01

)25.025.2(25.025.22±-=⨯-⨯±⨯-

=

即 835,23521-=--=-=+-=p p

为两个不相等的实根，电路处于过阻尼状态。

微分方程的通解为

t

t t p t p C e A e A e A e A t u 82212121)(--+=+=

带入初始值，得 0826

2121=--=+A A A A 解得 81=A 22-=A

所以

V e e t u t

t C 8228)(---= A e e dt du C

t i t t C

L )(4)(82---⨯=-=

（2） 使电路在临界阻尼下放电，应满足

01)2(

2=-LC L R

即

Ω===225.025

.022

C L R

7-3 已知图示电路中H L F C k R 5.2,2,1==Ω=μ。设电容原先已充电，且

V u C 10)0(=-。在t=0时开关闭合。试求)(),(),(t u t i t u L C 以及S 闭合后的max i 。 解：t>0后，电路的微分方程为

02

2=++C C

C u dt du RC dt u d LC

方程的特征根为

LC L R L R p 1

)2(22-±-=

4002001025.21)5.2210(5.22106

233j ±-=⨯⨯-⨯±⨯-=-

即 4002001j p +-= 400

2002j p --=

1p 和2p 为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡。微分方程的通解为

t C

Ae t u δ-=)()()sin(t t εθω+

式中400=ω，200=δ，A 和θ为待定常数，由初始条件 V u u C C 10)0()0(==-+

)0(0=-=++

L C i dt

du C

解得 10)0(sin ==+C u A θ

cos sin 0==

+-+

dt

du A A C θωθδ