华罗庚学校数学教材(五年级上)第04讲 带余数的除法
《有余数的除法》教案公开课
《有余数的除法》教案公开课教学内容：本节课主要讲解有余数的除法，让学生掌握除法的基本概念，了解有余数除法的运算规律，能够进行简单的有余数除法运算。
教学目标：1. 知识与技能：理解有余数的除法的概念，掌握有余数除法的运算方法，能够正确进行计算。
2. 过程与方法：通过实例演示和练习，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
教学重点：1. 有余数除法的概念和运算方法。
2. 能够正确进行有余数除法的计算。
教学难点：1. 理解有余数除法的原理。
2. 掌握正确的运算方法。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用PPT展示除法的意义，引导学生回顾除法的基本概念。
2. 提问：同学们，之前我们学习了除法，除法是什么呢？二、新课讲解（15分钟）1. 利用PPT介绍有余数的除法的概念，解释有余数除法的运算规律。
2. 通过实例演示，让学生了解有余数除法的计算方法。
3. 讲解有余数除法的步骤：先算出商，再算出余数，将商和余数写在一起。
三、课堂练习（10分钟）1. 利用PPT出示练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评，指出其中的错误和不足。
四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结有余数除法的概念和运算方法。
2. 提问：同学们，你们学会了如何进行有余数的除法计算了吗？五、课后作业（布置作业）1. 根据课堂所学，布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了有余数的除法的概念和运算方法。
在教学过程中，要注意引导学生理解有余数除法的原理，让学生能够正确进行计算。
通过课堂练习和课后作业，巩固学生所学知识，提高学生的运算能力。
六、案例分析（10分钟）1. 利用PPT展示一些实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。
2. 分析案例中的问题，引导学生运用有余数除法的概念和方法解决问题。
五年级(上)奥数知识讲座：第四讲 带余数的除法2
五年级奥数知识讲座（上）第四讲带余数的除法2例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。
想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，又148＜210=[5，6，7]所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？2+3×2=8。
再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？8+[3，5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+[5，7]×1=37（个）∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，∴布袋中至少有小球37个。
例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。
但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。
反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答：∵三个整数被N除余数相同，∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，∴N是21和35的公约数。
小学数学五年级《带余数的除法》奥数教材教案
小学五年级奥数教材：带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴（除数×40+16）+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)
本系列共15 讲第一讲数的整除问题.一．基本概念和知识1．整除——约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数 a 除以整数b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a）。
记作b︱ a。
否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b 就叫做a的约数（或因数）。
2．数的整除性质性质1：如果a、b 都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c 都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b 能整除a，那么c能整除a。
3．数的整除特征y y y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。
② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整除。
⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。
⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。
二． 例题例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。
x解：∵ 45=5×9，∴ 根据整除“性质 2”可知5︱ 1993 x ，9︱ 1993 ， xy y ∴ y 可取 0 或 5。
当 y =0 时，根据 9︱当 y =5 时，根据 9︱ 1993 x1993 x 及数的整除特征③可知 x =5； 及数的整除特征③可知 x =9。
《有余数的除法》教案公开课
《有余数的除法》教案公开课第一章：教学目标1.1 知识与技能：学生能够理解有余数的除法的概念。
学生能够运用有余数的除法进行实际问题的计算。
学生能够解释有余数的除法的结果。
1.2 过程与方法：学生能够通过实际操作，探索有余数的除法的过程。
学生能够运用画图、计算器等工具，辅助解决有余数的除法问题。
1.3 情感态度价值观：学生能够积极参与课堂活动，对有余数的除法产生兴趣。
学生能够理解数学在实际生活中的应用，培养解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材内容：学生将学习有余数的除法的定义和规则。
学生将通过实际例题，学习如何进行有余数的除法计算。
学生将探索有余数的除法在实际问题中的应用。
2.2 教学资源：教师准备相关的教材、课件、练习题等教学资源。
学生准备纸笔、计算器等学习工具。
第三章：教学过程3.1 导入：教师通过引入一个实际问题，引发学生对有余数的除法的思考。
学生尝试解决该问题，引发对有余数的除法的兴趣。
3.2 探究：教师引导学生通过实际操作，探索有余数的除法的过程。
学生通过画图、计算器等工具，尝试理解有余数的除法的概念。
3.3 讲解：教师通过讲解有余数的除法的规则和原理，帮助学生理解和掌握知识。
学生通过听讲和提问，加深对有余数的除法的理解。
3.4 练习：教师提供相关的练习题，学生通过独立完成练习，巩固所学知识。
教师引导学生进行错题分析，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
第四章：教学评价4.1 评价标准：学生能够正确进行有余数的除法计算。
学生能够理解有余数的除法的概念和结果。
学生能够运用有余数的除法解决实际问题。
4.2 评价方法：教师通过观察学生的课堂表现和作业完成情况，进行评价。
教师通过提问和讨论，了解学生对有余数的除法的理解程度。
第五章：教学延伸5.1 拓展活动：学生进行有余数的除法的应用题练习，提高解决问题的能力。
学生通过小组合作，探讨有余数的除法在实际生活中的应用。
5.2 课后作业：教师布置相关的课后作业，学生独立完成，巩固所学知识。
数 的整除
华罗庚学校数学教材（五年级上）目录上册第01讲数的整除问题第02讲质数、合数和分解质因数第03讲最大公约数和最小公倍数第04讲带余数的除法第05讲奇数与偶数及奇偶性的应用第06讲能被30以下质数整除的数的特征第07讲行程问题第08讲流水行船问题第09讲“牛吃草”问题第10讲列方程解应用题第11讲简单的抽屉原理第12讲抽屉原理的一般表述第13讲染色中的抽屉原理第14讲面积计算第15讲综合题选讲下册第01讲不规则图形面积的计算（一）第02讲不规则图形面积的计算（二）01 第03讲巧求表面积第04讲最大公约数和最小公倍数第05讲同余的概念和性质第06讲不定方程解应用题第07讲从不定方程的整数解谈起第08讲时钟问题第09讲数学游戏第10讲逻辑推理（一）第11讲逻辑推理（二）第12讲容斥原理第13讲简单的统筹规划问题第14讲递推方法第15讲综合题选讲1.有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。
每段最长是多少米？一共可以截多少段？2.一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它裁成正方形纸片，正方形的边长最大可以是几厘米？一共可以裁多少块？3.一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。
这个班共有多少人？4.三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？5.有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，连两端共有5处是杨树与柳树相对。
这条道路长多少米？6.从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？7.大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圈的周长。
《有余数的除法》教案公开课
《有余数的除法》教案公开课一、教学目标1. 知识与技能：（1）让学生掌握有余数的除法运算方法。
（2）培养学生解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，让学生观察、分析有余数的除法过程。
（2）引导学生运用有余数的除法解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心。
（2）培养学生勇于探索、积极思考的精神。
二、教学内容1. 教学重点：掌握有余数的除法运算方法及应用。
2. 教学难点：理解有余数的除法本质，并能灵活运用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习整数除法的概念和运算方法。
（2）提出问题：当我们进行除法运算时，会出现剩余的情况吗？2. 自主探究：（1）让学生尝试用纸笔进行有余数的除法运算。
（2）引导学生总结有余数的除法运算方法。
3. 实例演示：（1）展示实例，让学生观察有余数的除法过程。
（2）引导学生分析实例，理解有余数的除法本质。
4. 练习巩固：（1）设计练习题，让学生独立完成。
（2）集体讲评，纠正错误，巩固知识点。
5. 应用拓展：（1）让学生运用有余数的除法解决实际问题。
（2）分享解答过程，互相学习。
四、课后反思1. 总结课堂教学，梳理知识点。
2. 分析学生的学习情况，针对性地进行教学调整。
3. 布置课后作业，巩固所学知识。
五、教学评价1. 学生对有余数的除法运算方法的掌握程度。
2. 学生解决实际问题的能力。
3. 学生对数学的兴趣和积极性。
六、教学策略1. 实例教学：通过具体的实例，让学生直观地理解有余数的除法。
2. 问题驱动：设计问题引导学生思考，激发学生的探究欲望。
3. 合作学习：鼓励学生之间相互讨论，共同解决问题。
4. 互动式教学：教师与学生互动，及时解答学生的疑问。
七、教学资源1. 教学PPT：展示有余数的除法运算过程和实例。
2. 练习题库：提供丰富的练习题，巩固学生知识点。
3. 实物模型：如有余数的除法运算模型，增强学生的直观感受。
4. 教学视频：播放有余数的除法运算教程，帮助学生理解。
五年级(上)奥数知识讲座：第四讲 带余数的除法1
五年级奥数知识讲座（上）第四讲带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴（除数×40+16）+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
华罗庚学校数学课本(五年级上)
华罗庚学校数学课本（五年级·修订版）上册第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
小学五年级奥数(上)第四讲带余除法共42页文档
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
Hale Waihona Puke xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
五年级数学 --- 带余除法
_______________________________________________ ______________________________________. 【家长评价】
_______________________________________________ _______________________________________________ __________________________________.
本讲主线 1. 被除数的表达式 2. 带余除法变整除 3. 带余式的综合应用
Hale Waihona Puke 带余除法版块一：带余除法中的被除数
1.
带余除法 被除数÷除数＝商…余数 一般地，A÷B＝c…d d 0 整除
d 0 余数
被除数＝除数×商＋余数
2. 关于余数，被除数÷除数＝商…余数 ⑴ 余数小于除数 ⑵ 被除数＝除数×商＋余数
【例3】(★★★) 1013除以一个两位数，余数是12. 求所有符合条件的两位数.
版块二：带余除法变整除
2. 关于余数，被除数÷除数＝商…余数
⑴ 余数小于除数
3. 约数个数，
⑵ 被除数－余数＝除数×商
⑴ 分解质因数到指数形式
⑶ (被除数－余数)÷除数＝商
⑵ 个数=指数+1连乘
1
【例4】(★★★★)(第15届“迎春杯”数学竞赛初赛试题) 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10. 那么这些自然数共有 ______个.
【例6】(★★★★)(福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题) 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的 商是余数的3倍，这个自然数是______.
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本系列共15讲
第四讲带余数的除法
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文档贡献者：与你的缘
前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。
除此之外，例如：16÷3=5……1，即16=5×3＋1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r≤b，使得a=b×q＋r.
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r≤b.
一．例题
例1：一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。
分析这是一道带余数的除法题，且要求的数是大于41的两位数，解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商…余数，
即被除数=除数×商＋余数，
∴251=除数×商＋41，
251－41=除数×商，
∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，
∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于41。
所以除数是42或70，即要求的两位数是42或70。
例2：用一个自然去除另一个整数，商40，余数是16。
被除数、除数、商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少。
解：∵被除数=除数×商＋余数，
即被除数=除数×40＋16。
由题意可知：被除数＋除数=933－40－16=877，
∴（除数×40＋16）＋除数=877，
∴除数×41=877－16=861，
除数=861÷41=21。
∴被除数=21×40＋16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3：某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
解：十月份共有31天，每周共有7天。
∵31=7×4＋3，
∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例4：3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日第二天，3月15日第三天…）的第1993天是星期几？
解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）
从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二。
例5：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
这是一道古算题，它早在《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”
关于这道题的解法，在明朝就流传一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅共廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加。
如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止。
这样就可以得到满足条件的解。
其解法如下：
方法一：2×70＋3×21＋2×15=233
233－105×2=23
符合条件的最小自然数是23。
例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：
方法二：[3，7]＋2=23
23除以5恰好余3。
所以，符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例6：一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5，6]－2=28，即28适合前两个条件。
想：28＋[5，6]×？之后能满足“被7除余1”的条件？
28＋[5，6]×4=148，148=21×7＋1，
又148＜210=[5，6，7]
所以，适合条件的最小自然数是148。
例7：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
解：想2＋3×？之后能满足“被5除余3”的条件？
2＋3×2=8。
再想：8＋[3，5]×？之后能满足“被7除余4”的条件？
8＋[3，5]×3=53。
所以，符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法。
当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
例8：一个布袋中装有小球若干个。
如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。
布袋中至少有小球多少个？
解：2＋[5，7]×1=37（个）
∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，
∴布袋中至少有小球37个。
例9：69、90和125被某个自然数N除时，余数相同，试求N 的最大值。
分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：
15除以2余1，19除以2余1，
即15和19被2除余数相同（余数都是1）。
但是，19－15能被2整除。
由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，被自然数m除的余数相同，那么这两个数之差（大－小）一定能被m整除。
反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答：
∵三个整数被N除余数相同，
∴N︱（90－69），即N︱21；N︱（（125－90），即N︱35；
∴N是21和35的公约数。
∵要求N的最大值，∴N是21和35的最大公约数。
∵21和35的最大公约数是7，
∴N最大是7。
习题四
1．用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16。
被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
2．某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？
3．某数除以8余3，除以9余4，除以12余7。
在1000以内这
样的数有哪几个？
4．用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋。
这批货至少有多少袋？
5．57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为0。
求284被这个自然数除的余数。