华罗庚学校数学教材(五年级上)第04讲 带余数的除法

本系列共15讲

第四讲带余数的除法

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前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，例如：16÷3=5……1，即16=5×3＋1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r≤b，使得a=b×q＋r.

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r≤b.

一．例题

例1：一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。

分析这是一道带余数的除法题，且要求的数是大于41的两位数，解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，

即被除数=除数×商＋余数，

∴251=除数×商＋41，

251－41=除数×商，

∴210=除数×商。

∵210=2×3×5×7，

∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于41。所以除数是42或70，即要求的两位数是42或70。

例2：用一个自然去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少。

解：∵被除数=除数×商＋余数，

即被除数=除数×40＋16。

由题意可知：被除数＋除数=933－40－16=877，

∴（除数×40＋16）＋除数=877，

∴除数×41=877－16=861，

除数=861÷41=21。

∴被除数=21×40＋16=856。

答：被除数是856，除数是21。

例3：某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

解：十月份共有31天，每周共有7天。

∵31=7×4＋3，

∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

∴这年的10月1日是星期四。

例4：3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日第二天，3月15日第三天…）的第1993天是星期几？

解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）

从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二。

例5：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

这是一道古算题，它早在《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”

关于这道题的解法，在明朝就流传一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅共廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止。这样就可以得到满足条件的解。其解法如下：

方法一：2×70＋3×21＋2×15=233

233－105×2=23

符合条件的最小自然数是23。

例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：

方法二：[3，7]＋2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。

例6：一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。

分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。

解：[5，6]－2=28，即28适合前两个条件。

想：28＋[5，6]×？之后能满足“被7除余1”的条件？

28＋[5，6]×4=148，148=21×7＋1，

又148＜210=[5，6，7]

所以，适合条件的最小自然数是148。

例7：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

解：想2＋3×？之后能满足“被5除余3”的条件？

2＋3×2=8。

再想：8＋[3，5]×？之后能满足“被7除余4”的条件？

8＋[3，5]×3=53。

所以，符合条件的最小的自然数是53。

归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法。当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。

解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8：一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？

解：2＋[5，7]×1=37（个）

∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，

∴布袋中至少有小球37个。

例9：69、90和125被某个自然数N除时，余数相同，试求N 的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

15除以2余1，19除以2余1，

即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

但是，19－15能被2整除。

由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，被自然数m除的余数相同，那么这两个数之差（大－小）一定能被m整除。

反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

例9可做如下解答：

∵三个整数被N除余数相同，

∴N︱（90－69），即N︱21；N︱（（125－90），即N︱35；

∴N是21和35的公约数。

∵要求N的最大值，∴N是21和35的最大公约数。

∵21和35的最大公约数是7，

∴N最大是7。

习题四

1．用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16。

被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。2．某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？

3．某数除以8余3，除以9余4，除以12余7。在1000以内这