《三角形》计算中和角度相关的模型(共18张PPT)

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三角形内角和定理-PPT课件

请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
P AQ 132
B
C
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
同学们，你们知道其中的道理吗？
2
1 .知识目标
（1）三角形的内角和定理的证明. （2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题. (3)理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
2 .教学重点
（1）三角形内角和定理的证明. （2）三角形内角和定理的推论.
3.教学难点
（1）三角形内角和定理的证明方法. (2)三角形的外角、三角形内角和定理的推论.
2
∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
·B
C
这里是运用了公理
“同位角相等，两直
线平如图,在△ABC中, ∠1是它的一个
C
外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1 >∠2.
E5
3
4 A
1
B
F
证明：∵ ∠1是△ABC 的一个外角 (已知) ∴ ∠1 >∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE 的一个外角 (外角定义) ∴∠3 >∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴ ∠1 >∠2 (不等式的性质)
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?

三角形内角和ppt课件完整版

度或边长。
余弦函数
cosA = b/c，表示邻边与斜边的比值，同样用于直角三角形中。
正切函数
tanA = a/b，表示对边与邻边的比值，常用于求解直角三角形的角度。
三角函数在解三角形中应用
已知两边及夹角求第三边
01
利用正弦定理或余弦定理求解。
已知三边求角度
02
利用余弦定理求解角度，再结合三角形内角和为180度求解其他
算错误。
公式选择
根据已知条件选择合适的公式进行计算，避免使用错误的公
式导致结果不准确。
精度问题
在计算过程中要注意精度问题，避免因舍入误差导致结果不准
确。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义三角形三个内角的度数之和等于180度。
三角形内角和定理的证明可以通过多种方法证明，如平行线性质、外角性质等。
角度。
已知两角及一边求其他边和角
03
利用正弦定理和三角形内角和求解。
边长比例与角度关系探讨
边长比例对角度的影响
在三角形中，边长比例的变化会影响角度的大小，如等腰三角形底角相等。
VS
角度对边长比例的影响
角度的变化也会影响三角形的边长比例，如直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半。
典型问题解决方法分享
建筑设计
建筑设计中经常涉及到三角形的面积计算，如屋顶、窗户等部分的设计。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积计算也经常出现，如求解力的大小和方向等。
误区提示和易错点剖析
01
02
03
04
底和高的对应
在计算三角形面积时，一定要注意底和高的对应关系，避免

三角形内角和定理ppt

证明方法三：三角函数证明法
• 三角函数证明法是一种利用三角函数的性质证明三角形内角和为180度的方法。 • 具体步骤如下 • 根据三角函数的和差化积公式，可以得出：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。 • 由于0<A+B<180度，因此sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB>0。 • 同理，可以得出：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB<0。 • 由于sin(A+B)和cos(A+B)异号，因此它们的和为90度或270度，即A+B=90度或A+B=270度。 • 由于三角形内角和为180度，因此A+B+C=180度，因此C=90度或C=90度。
学思维和解决问题的能力具有重要意义。
三角形内角和定理的历史背景
起源
三角形内角和定理的历史可以追溯到古希腊数学家欧几里得的时代。
发展
在随后的几个世纪中，许多数学家对这一定理进行了研究和证明，推动了数学的发展。
现代应用
在现代数学中，三角形内角和定理被广泛应用于各种领域，包括计算机图形学、机器学习、物理学等。
2023
三角形内角和定理ppt
目录
• 三角形内角和定理的介绍 • 三角形内角和定理的证明方法 • 三角形内角和定理的应用 • 三角形内角和定理的扩展知识 • 总结与展望
01
三角形内角和定理的介绍
什么是三角形内角和定理
1
三角形内角和定理定义：三角形的三个内角之和等于180度。
2
定理的表述简洁明了，易于理解，且具有广泛的实用性。
建筑设计
在建筑设计中，三角形结构通常被广泛使用，因为它的稳定性较高。利用三角形内角和定理可以优化建筑设计中的角度和结构。

三角形的内角和PPT课件

三角形的内角和PPT课与性质 • 三角形内角和定理及其证明 • 三角形外角性质与计算 • 三角形角度计算技巧与方法 • 三角形内角和在生活中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
04
CATALOGUE
三角形角度计算技巧与方法
利用平行线求角度
平行线性质
两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
示例
已知三角形ABC中，角A=60度，角B=45度，求角C的度数。可以过点C作AB的平行线，将角C分为两个与角A、角B分别相等或互补的角，从而求得角C的度数。
利用相似三角形求角度
三角形分类
按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三角形边与角关系
三角形边的关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角的关系
三个内角之和等于180°，外角等于与它不相邻的两个内角之和。
特殊三角形性质
01
02
03
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合一（即顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合）。
相似三角形性质
两个三角形如果三边对应成比例，则这两个三角形相似。相似三角形的对应角相等。
示例
已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且BD=DC。求角BAD的度数。可以通过构造与三角形ABD相似的三角形，利用相似三角形的性质求得角BAD的度数。
利用三角函数求角度
三角函数性质
正弦、余弦、正切等三角函数在特定角度下有确定的值。

2024版《三角形的内角和》优质ppt课件

《三角形的内角和》优质ppt课件CONTENTS•三角形基本概念与性质•三角形内角和定理推导•三角形内角和定理应用举例•拓展：多边形内角和计算方法探讨•练习题与课堂互动环节•课程小结与预习提示三角形基本概念与性质01三角形定义及分类三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

三角形分类按边可分为等边三角形、等腰三角形和不属于以上两种的其他三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

三角形边长与角度关系三角形边长关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形角度关系三角形内角和等于180°，外角和等于360°。

三边相等，三个内角均为60°。

等边三角形等腰三角形直角三角形锐角三角形和钝角三角形有两边相等，且两底角相等；顶角的平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“三线合一”）。

有一个角为90°，斜边中线等于斜边一半；两锐角互余，且满足勾股定理。

除上述特殊三角形外，其余均为普通锐角三角形或钝角三角形，它们不具有特殊的性质。

特殊三角形性质介绍三角形内角和定理推导02直观感受法01通过测量不同类型的三角形的三个内角，并求和，观察结果是否接近或等于180度。

02利用三角形纸片的撕拼，将三个内角拼在一起，观察是否能拼成一个平角。

拼图验证法将三角形三个内角剪下，并尝试拼合，观察是否能拼成一个平角。

通过动画演示，将三角形三个内角旋转、平移拼接，直观展示三角形内角和为180度的过程。

过三角形一个顶点做对边的平行线，利用平行线的性质及平角的定义进行证明。

延长三角形的一条边，并作出与之相邻的外角，通过外角性质及平角的定义进行证明。

利用向量的加法运算及共线向量定理进行证明。

平行线性质证明外角性质证明向量法证明几何证明法三角形内角和定理应用举例03求角度问题已知三角形两个内角，求第三个内角的大小。

已知三角形一个内角及相邻两边，求另一个内角的大小。

三角形中角度计算相关的模型---7.5

三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。

下面一一推导证明。

模型一：8字模型条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。

(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°模型二：飞镖模型条件：四边形ABDC如上左图所示。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。

(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。

本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。

三角形内角和说课ppt课件

感谢观看
THANKS
三角形内角和的基础知识
三角形的定义和分类
三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。根据边长特点，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等腰三角形有两边长度相等，对应的两角也相等，另一个角为顶角。
等边三角形三边长度相等，三个内角相等，均为 60°。
普通三角形三边长度和三个内角均不相等。
电子工程
在电子工程中，三角形内角和定理可以用于计算电路中的电阻、电容、电感等元件的参数，以及确定电路的性能和稳定性。
05
三角形内角和定理的拓展和
深化理解
对称三角形内角和定理的拓展
总结词
揭示规律，拓展思维
详细描述
通过对称三角形的案例分析，揭示三角形内角和定理背后的规律，引导学生拓展思维，探索不同证明方法的可能性。
三角形内角和说课 ppt课件
• 引言 • 三角形内角和的基础知识 • 三角形内角和的证明方法 • 三角形内角和的应用 • 三角形内角和定理的拓展和深化
理解 • 总结与回顾
目录
01
引言
主题和目的
主题
探究三角形的内角和
目的
通过多种方法证明三角形内角和为180度，并运用该结论解决实际问题
背景和重要性
03
这种证明方法较为抽象，但可以借助计算机软件进行计算和验证。
04
三角形内角和的应用
在几何学中的应用
证明定理
三角形内角和定理是几何学中最基本的定理之一，它可以应用于
证明其他定理和性质。
计算角度
通过三角形内角和定理，我们可以快速计算出三角形的内角大小，以及一个角度相对于其他角度的大小。

全等三角形单元复习(一线三等角模型)课件 (共18张PPT)2023-2024学年人教版八年级上学期

CF⊥AP于点F.
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听

S∆BMC:S∆ABO.

D

图2
C

课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题

《三角形的内角和》优质ppt课件精选全文

三角形的内角和
三角形的内角和
2
1
3
三角形三个内角的度数之和叫做三角形的内角和。
∠1+∠2+∠3
不对。我有一个大钝角，所以我的内
角和才最大！
我的三角形最大，所以我的内角和
最大！
我的三角形小，那我的内角和就小喽……
90° +60 ° +30 ° =180 °
90° +45 ° +45 ° =180 ° 30° 45°
3.选一种方法在小组内评一评,议一议,并做好记录。
活动一：
活动记录表
内角
度数
∠1 ∠2 ∠3
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
内角和
我的发现：
活动二：
撕一撕拼一拼
小组活动3：将三角形三个内角分别剪下来拼在一起，你发现了什么？（注：剪之前标注好要拼的角哦！）
方法三：
3
1
2
3
∠1＋∠2＋∠3 ＝平角＝180°
无论是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形，它们的内角和都是180°。
测量误差：
我们在测量时，由于在测量工具、测量方法等各方面的原因，使我们的测量结果存在一定的误差。实际上，三角形内角和就等于180度
在右图中, ∠1＝140°, ∠3＝25°。求∠2的度数。
方法一: 180°－140°－25°＝ 15° 方法二: 180 °－（140°＋25°）＝15°
三角形的内角和是180度。
三角形的内角和
3 平角：1800
平角：1800
平角：1800
活动三：
折一折拼一拼
1 1
1
1

《三角形》计算中与角度相关的模型(共18张PPT)

例1.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则 ∠1+∠2等于多少？
四.折叠模型
例1.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则 ∠1+∠2等于多少？
四.折叠模型练习反馈 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张三
角形纸片，点D、E分别是边AC、AB上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若 ∠A=75°，求∠1+∠2的度数.
《三角形》计算中与角度相关的模型
一.蝴蝶模型例1.如图所示,在和中,点O是AC与BБайду номын сангаас的交点,
求证：∠A+∠B=∠C +∠ D
一.蝴蝶模型例1.如图所示,在和中,点O是AC与BD的交点
求证：∠A+∠B=∠C +∠ D.
一.蝴蝶模型
练习反馈：
1.如图所示，∠α=
度.
一.蝴蝶模型
练习反馈：
1.如图所示，∠α=
度.
解析：由模型可知：
20°+30°=40°+∠α
∠α= 20°+30°-40°
=10°.
二.飞镖模型
二.飞镖模型
练习反馈：
1.如图所示，∠A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D=
度.
二.飞镖模型练习反馈： 1.如图所示， ∠A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D= 220° 度. 提示:连接BC.
二.飞镖模型练习反馈： 2.观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+ ∠ E=360° 。

三角形内角和课件 PPT课件

每个角的度数（单位/度)
角
∠1
形状
直角三角形
∠2

∠3
锐角三角形
内角和（单位/度) ∠1+∠2+∠3
钝角三角形
600
480 720
锐角三角形
600＋480＋720＝1800
380 260 1160
钝角三角形
380＋260＋900＝1800
640 260
直角三角形
640＋260＋900＝1800
拼一拼
先把三角形的三个3 角剪下来，在拼一拼，看一看，可以拼成什么角？
平角：1800
三角形的内角和
3 平角：1800
平角：1800
平角：1800
想一想
你们有什么办法，把三个角拼在一起呢？说一说，做一做。
1 1
1
折一折
1
2
2
3
3
钝角三角形
1
1
2
2
3
3
锐角三角形
2
2
3
3
直角三角形
验证猜想、得出结论
所有三角形的内角和是180度。
三角形的内角和与三角形的形状无关。
游乐场
我会填
把下面这个三角形沿虚线剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）度。
我会选
一个三角形，有两个角是锐角，则第三个角（D ）。
A.一定是锐角 B.一定是钝角 C.一定是直角 D.可能是锐角或钝角或直角。
我会做
看图，求三角形中未知角的度数。
640
180o－125o－25o=30o 180o－（125o＋25o）=30o
？
900-640＝260
1800 -640-900＝260

2024版年度三角形内角和PPT课件

•三角形基本概念与分类•三角形内角和定理介绍•图形变换与内角和关系探讨目录•解题技巧与策略分享•课堂练习与巩固提高环节•知识点回顾与总结归纳01三角形基本概念与分类三角形定义及性质定义性质按角分锐角三角形直角三角形030201钝角三角形01按边分02等腰三角形03等边三角形不等边三角形等腰、等边三角形特点等腰三角形特点等边三角形特点三边相等，三个角都相等且每个角都是60度，具有等腰三角形的所有性质。

直角三角形及其性质直角三角形的定义直角三角形的性质直角三角形的判定02三角形内角和定理介绍内角和定理内容三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。

定理表示方法在三角形ABC中，角A、角B、角C的和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。

定理证明方法概述拼图法证明将三角形的三个内角剪下来，拼在一起，可以组成一个平角，从而证明三角形内角和为180度。

平行线证明法通过三角形一边作平行线，利用平行线性质证明三角形内角和为180度。

余角定理证明法利用余角定理，通过计算三角形外角来证明三角形内角和为180度。

实际应用举例计算三角形内角度数判断三角形形状解决几何问题误区与易错点提示忽略三角形内角和定理的前提条件误解三角形内角和定理的意义计算错误忽略特殊情况03图形变换与内角和关系探讨平移、旋转对内角和影响分析平移对三角形内角和的影响01旋转对三角形内角和的影响02通过平移和旋转组合变换分析03相似、全等三角形内角和比较相似三角形内角和比较全等三角形内角和比较通过相似和全等关系求解复杂问题复杂图形中找规律求解内角和复杂图形中三角形内角和的求解方法多边形内角和的求解方法通过找规律简化计算实际问题中运用图形变换求解实际问题中三角形内角和的应用通过图形变换求解实际问题04解题技巧与策略分享直接计算法已知三角形三个内角，直接相加求和若已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，则三角形内角和为α + β + γ。

三角形内角和PPT课件

180°－ 40°= 140° 140°÷2= 70°
另外两个角都是70°
2021
已知等腰三角形的一个角是40°，求另外两个角的度数。
100°
40°
40°
当40°是底角时，
40°×2= 80° 180°－80° = 100°
另外两个角分别是40° 和 100°
2021
结束
根据三角形内角和是180°，求出下面图形的内角和。
他四岁时母亲病故在父亲的精心地教育下帕斯卡很小时就精通数学他自己独立地发现出欧几里得定理的前32条定理而且顺序也完全正确
津南区高庄子小学董庆虎
2021
70°
20？°
2021
？70° 70°
20°
2021
小组合作:
利用“直角三角形的内角和是180°” 这个结论,或者你喜欢的其他方法探究不同三角形的内角和。
180 °×2 = 360°
2021
根据三角形内角和是180°，求出下面图形的内角和。
180 °×3 = 540°
2021
根据三角形内角和是180°，求出下面图形的内角和。
180 °×4 = 720°
2021
谢谢，再见！
2021
60° 90°
45° 30°
54°
46°
52° 80°
2021
∠1=120°，∠3=35°，求∠2的度数。
2
3
1
180°－120°－35° = 25° 180°－（120°+35°） = 25°
2021
已知等腰三角形的一个角是40°，求另外两个角的度数。
40° 70° 70°
当40°是顶角时，
自己独立地发现出欧几里得定