实变函数面试题

实变函数面试题

要求：时间5分钟，自选一题，抽问一题

1.

叙述集合序列上下限集的定义，简单说一下两者的关系。 2.

简述Bernstein 定理。 3.

给出聚点的定义。 4.

叙述波尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。 5. cantor 集是如何构成的？它的势是多少？

6. 1R 中任何非空的有界开集是如何构成的？

7. ),(+∞-∞的势比[0,)+∞的势大，对吗？不对的话，它们的势有何关系？

8. 无穷集合最小的势是多少？

9. 什么是完备集？完备集和自密集之间有什么关系？

10. 可数集就是元素能数得清楚的集合，对吗？

11. [0,1]的有理数可排列为12,,......,n r r r 因而可按大小重新排列，对吗？为什么？

12. 任意闭集的并一定是闭集吗？举例说明.

13. 任意开集的交一定是开集吗？举例说明.

14. 用简单例子，描述测度的定义。

15. 简单说说为什么可数点集的测度为0. 测度为0的集合一定可数吗？

16.可测函数的定义是什么？

17.请简要叙述简单函数的定义。

18.请列举出可测函数的运算性质。

19.什么是可测函数列{}()m f x 在E 上几乎处处收敛到f ？

20. 可测函数列可测函数列{}()m f x 在E 上几乎处处收敛到f ，与{}()m f x 在E 上一致几乎收敛于f 有什么关系？

21.请说出()f x 在0x 点相对于E 连续的定义。

22.请说出()f x 在E 上处处连续的定义。

23.区间连续函数一定是可测函数吗？反之成立吗？

24.什么是()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ？

25.几乎处处收敛的可测函数序列必定依测度收敛吗？反之成立吗？

26.依测度收敛与几乎处处收敛的关系是什么？依测试收敛中能找到几乎处处收敛的子序列吗？

27.依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限，这种说法正确吗？

28.闭区间[,]a b 上任一有界可测函数都是L-可积的，此结论正确吗？

29.Lebesgue 积分的性质有哪些？

30. 闭区间[,]a b 上R-可积与L-可积的关系是什么？

31.在什么条件下，L-积分与求极限可以交换顺序？

32.在什么条件下，L-积分与求和可以交换顺序？

33.请叙述Lebesgue 有界控制收敛定理。

34.],[b a 上的有限单调函数)(x f 都是有界变差函数，这种说法正确吗？其依据是什么？

35.有界变差函数有哪些基本性质？

36.请简述Jordan 分解定理。

37.请简要叙述绝对连续函数的定义。

38.对于R-积分，如果)(x f 是],[b a 上的连续函数，则Newton-Leibniz 公式成立；对于L-积分，在什么条件下，Newton-Leibniz 公式成立？