第9章第6讲 双曲线

第6讲双曲线

基础知识整合

1．双曲线的概念

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距.

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)当04a

(2)当05a＝c时，M点的轨迹是两条06射线；

(3)当07a>c时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2

－y2

b2

＝1(a>0，b>0) y2

a2

－x2

b2

＝1(a>0，b>0) 图形

性

质

范围x≥08a或x≤09－a，y∈R x∈R，y≤10－a或y≥11a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)

渐近线12y＝±b

a x

13y＝±

a

b x

离心率e＝c

a

，e∈14(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A

1

A2叫做双曲线的15实轴，它的长|A1A2|＝162a；线段

B 1B 2叫做双曲线的

17虚轴，它的长|B 1B 2|＝182b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长

a ，

b ，

c 的关系 19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .

2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2

a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .

4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2

tan θ2

，其中θ为∠F 1PF 2.

5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .

6．等轴双曲线

(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22 B ．1 C ． 2 D ．2

答案 C

解析 由题意可得b

a ＝1，∴e ＝

1＋b 2

a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．

2．(2019·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( ) A ． 6 B ．4 C ．2 D ．12

答案 D

解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2

＝1，得b 2＝1，

∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2

＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.

结合a >0，解得a ＝1

2.故选D ．

3．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线x 216－y 2

20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )

A ．1

B ．17

C ．1或17

D ．以上均不对

答案 B

解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B ．

4．(2019·湖北荆州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )

A ．73

B ．5

4 C ．43

D ．53

答案 D

解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±

b

a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴

b a ＝43，又a 2＋b 2＝

c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2

，∴e ＝c a ＝53.故选D ．

5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2

－y 2

b 2＝1(b >0)经过

点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.

答案 y ＝±2x

解析 因为双曲线x 2

－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16

b 2＝1(b >0)，解得b

＝2，即双曲线方程为x 2

－y 2

2＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .

6．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2

λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是

________．

答案 λ<－2或λ>－1

解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2

λ＋1＝1表示双曲线，

∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.

核心考向突破

考向一 双曲线的定义

例1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

4＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

答案 C

解析 由题意得2a ＝2

3，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C ．

(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．16 答案 C