第7章稳恒磁场(比奥萨法尔定律)解读
大学物理讲义(第7章 稳恒磁场)第三节
§7.3 运动电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的磁场公式.根据毕奥—萨伐尔定律,电流元Id l 在空间的一点P 产生的磁感应强度为 304r r l Id dB π⨯μ=ϖϖ 如图7.6所示,设S 是电流元Id l的横截面的面积,并设在导体单位体积内有n 个载流子,每个载流子带电量为q,以速度υϖ沿Id l 的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截面S 的电量为S qn υ,亦即电流强度为S qn I υ=,则Sdl qn Idl υ=,如果将q 视为代数量,Id l 的方向就是υϖq 的方向,因此可以把d l 中的矢量符号加在速度υϖ上,即υ=ϖϖqnSdl l Id .将Id l 这一表达式代入毕奥——萨伐尔定律中就可得dN r r q r r qnSdl B d 303044ϖϖϖϖϖ⨯υπμ=π⨯υμ= 其中dN = nSdl 代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN = nSdl个载流子产生的,那么每一个电量为q ,以速度为υϖ运动的点电荷所产生的磁感应强度B 为304rr q B ϖϖϖ⨯υπμ= (7.13) B 的方向垂直于υϖ和r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则.值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要考虑相对论效应,其结果见§14.5节.§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理1 磁通量在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积S 的磁通量的定义是 ⎰⎰⋅=ΦSe S d B ϖϖ (7.14)即等于通过该面积的磁感应线的总条数.在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1T ·m 2 .据此,磁感应强度的单位T 也常写作Wb/m 2 .2 磁场的高斯定理对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任一闭合曲面S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从S 某处穿入的磁感应线,必定从S 的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面S 的净条数必定等于零.所以通过任意闭合曲面S 的磁通量为零,即 0=⋅⎰⎰SS d B ϖϖ (7.15)这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理.二、安培环路定理由毕奥——萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条基本规律——安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度 B 沿任何闭合路径 L 的线积分(即B 对闭合路径 L 的环量)等于路径L 所包围的电流强度的代数和的0μ倍,它的数学表达式为I I l d B L00μ=μ=⋅∑⎰int ϖϖ (7.16)下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强度为I 的无限长电流的距离为r 处的磁感应强度为rI B πμ=20B 线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆,其绕向与电流方向成右手螺旋关系.1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路径L(如图7.7所示),沿L 计算B 的环量.在路径L 上任一点P 处,d l 与B 的夹角为θ,它对电流通过点所张之角为αd .由于B 垂直于矢径r ,因而dl cos θ就是d l 在垂直于r 方向上的投影,它就等于αd 所对的以 r 为半径的圆弧长,由于此弧长等于r αd ,所以I rd r I Brd l d B Brd l d B LL L L 002μ=απμ=α=⋅−−−→−α=⋅⎰⎰⎰ϖϖϖϖ上的环量 (7.17) 此式说明,当闭合路径L 包围电流I 时,这个电流对该环路上B 的环路积分为I 0μ.2）如果电流的方向相反,仍按图7.7所示的路径L 的方向进行积分时,由于B 的方向与图示方向相反,所以应该得 I l d B L0μ-=⋅⎰ϖϖ可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则B 的环路积分的值可以统一用式(7.17)表示.3）如果闭合路径不包围电流,如图7.8所示,L 为在垂直于载流导线平面内的任一不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作L 的两条切线,将L 分为21L L 和两部分,沿图示方向计算B 的环量为 ⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅21L L L l d B l d B l d B ϖϖϖϖϖϖ)(⎰⎰α+απμ=2120L L d d I 020=α-+απμ=)]([I 可见,闭合路径L 不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的B 的环路积分无贡献.上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流,上述B 的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径L,合磁场的环路积分为 ∑⎰μ=⋅int I l d B L0ϖϖ式中∑int I 是环路L 所包围的电流的代数和.上式就是我们要证明的安培环路定理式.值得指出,闭合路径L 包围的电流的含义是指与L 所链环的电流,对闭合稳恒电流的一部分（即一段稳恒电流）安培环路定理不成立；另外,在安培环路定理表达式中的电流∑int I 是闭合路径L 所包围的电流的代数和,但定理式左边的磁感应强度B ,却代表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和.三、安培环路定理的应用1 载流长直螺线管内的磁场设有一长直螺线管,长为L ,共有N 匝线圈,通有电流I ,由于螺线管很长,则管内中央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行.管的外侧,磁场很弱,可以忽略不计.为了计算螺线管中央部分某点P 的磁感应强度.可通过P 点作一矩形闭合线 abcda 如图7.9所示.在如图的绕行方向下,B 矢量的线积分为⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅=⋅a dd c c b b a L l d B l d B l d B l d B l d B ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故bc ,da 段上B 与d l 处处垂直,所以0=⋅=⋅⎰⎰a dcb l d B l d B ϖϖϖϖ,又 cd 在螺线管外侧附近,其上磁感应强度为零,所以ab B l d B l d B b adc =⋅=⋅⎰⎰ϖϖϖϖ而0,于是有 nI B I ab n ab B ab B ld B L00μ=→μ=−−−→−=⋅⎰环路定理ϖϖ (7.18) 由于P 点是长直螺线管内的中央部分任一点,所以上式就是螺线管中央部分的磁场分布,它是一匀强磁场.2 环形螺线管内的磁场如图7.10是环形空心螺线管的示意图.设线圈匝数为N ,电流为I ,方向如图所示.如果导线绕的很密,则全部磁场都集中在管内,磁感应线是一系列圆环,圆心都在螺线管的对称轴上.由对称性可知,在同一磁感应线上的各点,磁感应强度B 的大小相等,B 的方向为沿磁感应线的切线方向,为计算管内某一点P 的磁感应强度B ,选通过该点的一条磁感应线为闭合路径（如图是半径为 r 的圆周）,应用安培环路定理得 r NI B NI r B l d B Lπμ=→μ=π=⋅⎰2200ϖϖ (7.19a) 可见,环形螺线管内的磁感应强度B 的大小与r 成正比.若环形螺线管的内外半径之差比r 小得多,则可认为环内各点的B 值近似相等,其大小为nI RNI B 002μ=πμ= (7.19b) 其中,R 是环形螺线管的平均半径, n=N/2πR 为平均周长上单位长度的匝数. 作业(P173)：7.20，7.22。
第七八章稳恒磁场解读
0
b
2y
分析：
Bp
0Iarctabn
b
2y
(1) yb
arctanb b 2y 2y
BP
0Ib0I
2yb 2y
无限长载流直导线
(2) yb
arctanb 2y 2
无限大板
BP
0I0I
2b 2b
1 2
0
i
i
i
B1B30 B20i
磁屏蔽
(1)
(2)
(3)
2. 载流圆线圈的磁场
求轴线上一点 P 的磁感应强度
L
• 推广到一般情况
I1 ~ Ik —— 在环路 L 中
In
Ik1 ~In —— 在环路 L 外
P
则磁场环流为
环路上各点的
磁场为所有电
B d l
L
L
B id l
流的贡献
I2 Ii
Ik
I1
L
I k 1
k
k
LBidl 0 Ii 0 0 Ii(L内）
i1
i1
L B d l μ0 Ii内—— 安培环路定律
BB 1B 2B 3
(3) x R
B2(R20IRx22)3/2
B
0IR2
2x3
0 IS
2x3
pm n
定义
p mIn S 磁矩
B20 pxm 3
S I
例 求绕轴旋转的带电圆盘轴线上的磁场和圆盘的磁矩
解 q/R2
dq2 rdr
I
dq dt
22rdrrdr
rq
x
O
P dB
R
dB2(r 20 r2 xd 2 I)3/22(r0 2 x r 3 2d )3 r/2
第7章稳恒磁场
物理学
带电粒子在电场和磁场中运动举例
质谱仪
速度选择器
照相底片
................. ................ ............. .........
质谱仪的示意图
- ... + . . . s3
... p p1 . .. 2
s1 s2
v2 qvB m R qBR m v
32
U H vd Bb
物理学
霍耳效应的应用 （1）判断半导体的类型 B Fm + + + + I v I + UH - - d
+ + +
- - - v
d
B Fm
UH
P 型半导体
N 型半导体
+
（2）测量磁场
霍耳电压
IB U H RH d
33
物理学
电流元：Idl 安培力：电流元在磁场中受到的磁力
3
物理学
二、磁场
运动电荷 运动电荷 磁场 (电流) (电流) 磁场是一种特殊形态的物质；
磁场对外表现：
对外表现： （ 1 ）磁场对引入磁场中的运动电荷或载流导体 有磁力的作用； （ 2 ）载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力 对载流导体做功，可见，磁场具有能量。 4 这表明了磁场的物质性。
dN B dS n
ˆ n
B dSn
15
物理学
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
S B
ΔN B ΔS
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
16
物理学
7-4 毕奥-萨伐尔定律p25
第七章 恒定磁场 (2) (3)
0 nSdlqv r dB 4π r3
dN nS dl
得运动电荷q 的磁场：
d B 0 qv r Bq d N 4 π r3
适用条件：
(4)
v c
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
第七章 恒定磁场 例4: 半径 为 R 的带电薄圆盘，其电荷面密度为 , 并以角速度 绕过盘心且垂直于盘面的轴转动 ， 求：圆盘中心的磁感强度： 解法一：圆电流的磁场
0 Idl sin
4π r
2
方向：右手法则；
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
2.有限载流导线在空间产生的磁场
第七章 恒定磁场
任意形状电流在空间产生的磁场，等于各电流 元在空间产生磁场的矢量和，磁感强度用积分表示：
0 I dl r B dB 4π r 3
(2)
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
一.毕奥—萨伐尔定律 1.电流元在空间产生的磁场 对应的磁感强度：
第七章 恒定磁场 Idl dB
0 Idl r dB 4π r 3
7
dB
P *
r
Idl
I
(1)
2
真空磁导率 ：0 4π 10 N A
r
(1)式为毕奥—萨伐尔定律； 大小： dB
第七章 恒定磁场
例2：圆形载流导线的磁场. 真空中半径为R 的载流导线 , 通有电流 I . 求其轴线 上一点 p 的磁感强度：
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
0 Id l
第7章稳恒磁场
电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内
部移至正极时非静电力所做的功。
电源内部电势升高的方向,(即从负极经电源内部到正 极的方向)规定为电动势的方向
7.2 磁场 磁感应强度
实验指出,运动点电荷在磁场中任一指定点处所受的磁场力 具有如下性质:
(1)电荷速度 的方向与某一特定方向平
行（或反平行）时，磁场力 Fm 0
稳第 恒七 磁章 场
主要内容
7.1 恒定电流 7.2 磁场 磁感应强度 7.3 毕奥－萨伐尔定律 7.4 磁场基本定理 7.5 带电粒子在电场和磁场中的运动 7.6 磁场对电流的作用 7.7 磁场中的介质
7.1 恒定电流
7.1.1 电流 电流密度
电流是由大量电荷作有规则的定向运动形成的，电 荷的携带者叫载流子。
(2)定义载流线圈的磁矩 m ISen m 的大小等于IS
方向与线圈平面的法线方向相同
B
0m
3
2π(x2 R2 )2
B 0I
2π 2R
问题7-7 如图,一根无限长直导线,
通有电流 I ,中部一段弯成圆弧形,
求圆心点O 的磁感应强度 B。
解如图，将导线分成1、2、3三部分，设各部分在点P处产生
(2)当电荷q 以不同于上述特定方向的速度
通过 磁场中某点时,所受的磁场力 总是F垂m 直
于 与该特定方向组成的平面,大小与q 和 的
乘积成正比;改变q的符号,磁场力 的方向F反m向
(3)当速度 与该上述特定方向垂直时，
磁场力最大。力的大小正比于电荷的电量和速率的乘积 q
定义磁感应强度 B 的方向和大小如下
例7-2 圆形电流轴线上的磁场
解 取图示电流元 Idl
磁感应强度
第7章 稳恒磁场(比奥萨法尔定律).
−
µ0I 4π R1
例3 载流直螺线管的磁场
如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度 .
dB = µ0R2dI
R
O
p*
dx x
x
++++++ +++++++ +
2（x2 + R2）3/2 dI = NI dx
�
q
�
在
�� v⊥ B
方向上受力
F = qv×B
7.4 电流和运动电荷的磁场
一、毕奥 — 萨伐尔定律及其应用
� 静电场：源(电荷) → E
�
� dE
=
1 4 πε0
⋅
dq r2
� er
磁场：源(电流) �
电流元：Idl :
→
� dB
=
B µ0
⋅
� Idl
× rˆ
4π r2
大小:
dB
=
µ0 4π
⋅
Idl sinθ r2
方向: 满足右手螺旋法则
∫ ∫ 真空中的磁导率: �
叠加原理 B =
µ0d=B�4π=×14µ0π0-7亨I利dlr�·米2× -rˆ1(H·m-1)
二、运动电荷的磁场
电流的磁场本质是运动电荷磁场
电产从流 生毕元的萨磁定Id律场l�导：出dB�运=动µ电04I荷dπl�r的×3 磁r� 场
S：电流元横截面积
∫ B = µ 0 I θ 2 sin θdθ
4π r0 θ1
= 4µπ0rI0（cosθ1 − cosθ2）
2022-2023学年高二物理竞赛课件：稳恒磁场+毕奥-萨伐尔定律
Idl R2 x2
R (R2 x2 )1 2
μ0 I 2π
(R2
R x2 )3
2
dl
BP
dBP
πR μ0 I 0 2π
R (R2 x2 )3 2 dl
无限长直载流导线，其间一段弯成半径为
R 的半圆，求圆心处的 B 。
B 0I 1 0I
2R 2 4R
方向垂直向里
dB
μ0 Idl 4πr 2
dB
μ0 4π
Idl r0 r2
大小
dB
μ0 Idl 4πr 2
合磁场 dBP = dB + dB′
方向沿轴线方向
大小
dBP
2
μ0 4π
Idl r2
π
Idl r2
cosα r 2 = R2 + x2
cosα
(R2
R x2 )1
2
dBP
μ0 2π
r acsc
0I
4a
(cos1
cos
2
)
l a cot a cot
dl a csc2d
稳恒磁场 毕奥-萨伐尔定律
讨论
B
0I
4a
(cos1
cos 2
)
(1)无限长直导线 1 0 2
B 0I 方向：右螺旋法则
2a
(2)半无限长直导线
I 2
B 1 P
B 0I (cos cos ) 0I
稳恒磁场 毕奥-萨伐尔定律
稳恒磁场 毕奥-萨伐尔定律
磁感应强度 （m agnetic Induction） 磁感应强度 B ：从力的角度描述磁场的物理量
实验现象：
★电荷沿某一特定方向运动时，受力为零。
7第七章 稳恒磁场资料PPT课件
*八、了解介质中的安培环路定理.
4
7-1 磁感应强度 磁场的高斯定理
要点 1. 磁感应强度是怎样定义的? 2. 对磁感应线有哪些规定? 领会磁通量的计算公式. 3. 什么是磁场的高斯定理? 注意它的数学表达式及所
反映的磁场的性质. 4. 认识洛伦兹关系式, 了解其应用.
5
基本磁现象 天然磁石
S
同极相斥
- F-e
-
-
+ I
UH
v I nqbd
UH
(1) nq
IB d
22
霍尔系数
RH
1 nq
正粒子RH>0，测得UH>0； 负粒子RH<0，测得UH<0；
可用于判定材料中载流子的电性符号及确定载流 子的浓度. 若已知材料的霍尔系数，则可利用霍尔效 应测量磁场的磁感应强度等.
23
7-2 安培定律
要点 1. 安培定律的内容是什么? 它的矢量表达式是怎样的? 2. 注意计算载流导体所受安培力的方法. 3. 什么是载流线圈磁矩的定义? 注意均匀磁场对载流
小, 这些粒子沿半径不同的螺旋线运动, 因螺距近似相等, 都 相交于屏上同一点, 此现象称之为磁聚焦 。
19
五、霍尔效应
载流导体放入磁场 B中，在导体上下两表面产生霍 尔电压的现象.
霍耳
20
载流导体中的运动正电荷在洛伦兹力Fm的作用下， 向A侧偏转，在导体的A侧表面积累了正电荷.运动负电
荷反向偏转，将积累于A’侧表面.
堂 中，过YOZ平面内
练 习
面积为S的磁通量。
Y n
S
B
O
X
Z
mB•S
(3 i2j)•S i
7-4毕奥-萨伐尔定律
dB
0
R 2 Indx
2 3/ 2
x Rcot
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律 讨 论
第七章 稳恒磁场
0 nI cos 2 cos 1 B 2
（1）P点位于管内轴线中点
1 π 2
l/2
cos 1 cos 2
B 0 nI cos 2
（ 2 x R ）2
2 2 3
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
I
o
R
x
*
B
x
B
B
0 IR
2
2 2 3
讨 论
1）若线圈有 N 匝
（ 2 x R ）2 2 N 0 IR
（ 2 x R ）2
2 2 3
2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I B 3）x 0 2R
x
C
B
1 0 2 π
0 I
2π r0
1
P y
+
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
无限长载流长直导线的磁场 I B
第七章 稳恒磁场
B
0 I
2π r
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系
半无限长载流长直导线的磁场
π 1 2 2 π
BP
0 I
4π r
I
o
r
* P
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
m
en
S
I
说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距 圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
7 – 4 毕奥—萨伐尔定律
高二物理竞赛稳恒电流的磁场毕奥萨伐尔定律课件
o
x
Φ 0 Il ln d2
2 π d1
例4
稳恒电流的磁场 毕奥-萨伐尔定律
稳恒电流的磁场 毕奥-萨伐尔定律
◆半无限长载流长直导线:
◆无限长载流长直导线:
四 毕奥---萨伐尔定律应用举例
此时长直导线不能看成是
了,
◆直导线延长线上的点:
真空中,半径为R的载流导线,通有电流I,称圆电流.
通电导线之间有力的作用;
(2)运动电荷在磁场中受磁力的作用定义.
则:圆电流磁感强度也可写成 ◆无限长载流长直导线: ◆无限长载流长直导线:
1 0
π 天然磁石能吸引铁、钴、镍等物质；
通电导线之间有力的作用; 二 磁通量 磁场的高斯定理
2
B 0I
2 π r0
(2)运动电荷在磁场中受磁力的作用定义.
四 毕奥---萨伐尔定律应用举例
磁场中某点处垂直 矢量的单位面积上通过的磁感线数目等于该点 的数值.
dB
0 4
Idl sin
r2
B0
dB 0 Idl
4π r2
B
Idl
r
dB
o
pB
R
*
x
I
B Bx dB sin
Idl
R
r
dB
B
dBx
0 I
4π
cosdl
l r2
B 0IR
2πR
dl
4πr3 0
o
x
*p x
dB 0 Idl
B
0 IR 2
（2 x 2 R2）32
4π r2
0 Il 0 IR 4R2 4R2
（3） I
R
o
B0
7-34磁场与毕奥-萨伐尔定律
一、毕奥-萨伐尔定律的表述 毕奥 萨伐尔定律的表述
r v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r
4π
P* v
r
θ
v Id l
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度 叠加原理 v v B = ∫ dB dB
v dB
v r
v Id l
v v µ 0 I dl × r =∫ 4 π r3
当考察点P位于载流直导线 的延 当考察点 位于载流直导线CD的延 位于载流直导线 长线上B=？ 长线上 ？
无限长载流长直导线的磁场
B=
µ0I
2πr
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系 电流与磁感强度成右手螺旋关系
圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 例2 圆形载流导线轴线上的磁场 设在真空中有一半径为R的圆形载流导线 的圆形载流导线， 设在真空中有一半径为 的圆形载流导线，通 过的电流为I， 过的电流为 ，求通过圆心垂直于圆形导线平面的 轴线上任意点P处的磁感强度 处的磁感强度。 轴线上任意点 处的磁感强度。
x
令m=IS，(定义为线圈的 ， 定义为线圈的 磁矩)， 磁矩 ，矢量式为
o
I
v v B *p x en 的方向由电流方向按 右手螺旋法则确定。 右手螺旋法则确定。 v µ0 m µ0 m v 则，B = = e 3 3 n 2π x 2π x
v v m = ISen
(1) I
R v o B x 0
v v 在真空中某点P处的磁感强度 v 的大小， 电流元 Idl 在真空中某点 处的磁感强度dB 的大小，与 电流元成正比，与电流元到场点P的矢径 电流元成正比，与电流元到场点 的矢径r 之间的夹角 v 正弦成正比，并与电流元到P点的距离 的平方成反比； 点的距离r的平方成反比 正弦成正比，并与电流元到 点的距离 的平方成反比； dB v 的方向按照右手螺旋定则确定。 的方向按照右手螺旋定则确定。 dB v µ0 Idl sin θ v Id l 数学表达式： 数学表达式：dB = r 4π r2 v v I 矢量表达式： 矢量表达式： v µ0 Idl × er v dB = dB 2
7-2 毕奥-萨伐尔定律
dB =
µ0 Idl sin θ
2
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
v r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
毕奥—萨伐尔定律 7 – 2 毕奥 萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
v v v µ0 Idl × r dB = 4π r 3
第七章 稳恒磁场 （4） ）
v R B x 0 µ0 I o B0 = 2R
I
BA =
d （5） ） I *A
R1
µ0 I
4π d
B0 =
µ0 I
4R
R2
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4 R2
−
µ0 I
4 R1
−
µ0 I
4π R1
B=
B=
cosα = R
µ 0 Id l
2
µ0 IR
4π r µ 0 I cos αdl dB x = 2 4π r
4π r 2 µ0 IR
2 2
3 0
∫
2π R
dl
3
（x + R ）2 2
毕奥—萨伐尔定律 7 – 2 毕奥 萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
I
R o x *
v B
x
B=
B=
µ0 IR
2
2 2 3
π θ1 → 2 θ 2 →π
BP =
µ0I
4π r
I
o
r
* P
毕奥—萨伐尔定律 7 – 2 毕奥 萨伐尔定律
w第7章 磁场 毕奥-萨伐尔定律
F qE F qE F qE
说明静电场对电荷 q 的作用力与电荷的运动速度无关. 3.运动电荷对静止电荷的作用力 运动电荷的电场发生了变化
以上情况我们都用了场的概念，并用电场来说明电荷之间的 是用静止电荷受力来判定的 相互作用，且
（2）q沿其它方向运动时，它所受的磁力 Fm 的方向总与 B 垂直，也与q的运动方向 v 垂直， 满足矢量积关系 Fm qv B
q沿垂直B方向运动时，它所受的磁力最大 Fmax
I
B
v
（3）以 表示q的 v 与 B 之间的夹角,则：
磁力大小 Fm 与 qv sin 成正比，
例9.2 圆形电流对称轴线处磁场： 0 Idl er dB 4 r2 Id l er dB r R 0 Idl sin 2 dB x x 4 r2 0 P 0 Idl sin B dB sin 0 I 2
基本磁现象（Basic Magnetic phenomena） ：
1.磁体与磁体 2. 电流对磁体 （1820年奥斯特实验） 3. 磁体对电流 4. 磁体对运动电荷 5.电流对电流 I
磁现象本质： 运动电荷对运动电荷的作用
磁力是运动电荷相互作用的表现
电荷之间的相互作用
1.静止电荷对静止电荷的作用力
B0 ?
• 磁场
电
流
磁
电
流
运动电荷 磁 铁
运动电荷
场
• 毕奥－萨伐尔定律
I B 0 ①无限长载流导线： 2 a
铁 0 Idl r 0 Idl er dB 3 4 r 4 r 2 ①圆环圆心： B
第7章-稳定磁场-1xue
Ｒ1
θ1
两段直导线 在o 产生的Ｂ3和Ｂ4为：
式B中3B4d 4μπ 0R Id1 c (cα θ o1o s2 α cR oθ 1 s 2 s )l 1 2 β R 2 l 2α2Rl11
l2
2R2
d
R1
cos(l1 2R1
)
l2
l1
θ1
π 2
α
π θ2 2 β
pm0Rr3d r1 4 标Ｏy轴放置，电流 沿y轴正方向，在原点o处取一电流元Idl,则该电流元在 （a,0,0)点处的磁感应强度的大小为
z
答案： μ 0 Idl 4π a2
o Idl
y
(a,0,0)
x
2、有一条载有电流Ｉ的导线弯成如图abcda形状，
§7.3 毕奥-萨伐尔定律
7-3-1 毕奥-萨伐尔定律
毕奥和萨伐尔用实验的方 法证明：长直载流导线周围的 磁感应强度与距离成反比与电 流强度成正比。
B I r
I
r
B
毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律： 大电小流与元电在流空元 间Id任l成一正点比P，产与生距的离磁r感的应平强方度成d反B的比， 与成电正流比元 。其Id方l 到向场与点IdPl 的r位一矢致之。间的夹角 的正弦
3μ0I ( 3 1) 4π l
如图求Ｏ点的磁感应强度 a
I1
I
1
I2
o
be
c
I
BB14μπ0o I a (c0 o sco9s00)
2
μ0I
4 π oa
5、 一个塑料圆盘，半径为 R，电荷q 均匀分布在表 面 ，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为
ω 。求：圆盘中心处的磁感应强度。
高中物理奥林匹克竞赛专题--7-4-毕奥-萨伐尔定律
B 的方向沿 垂直版面向里 4π0aI（cos1cos2）
7-4 毕奥-萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
讨论
B4 π0a I（ cos1cos2）
1）无限长载流长直导线的磁场.
10,2 π
B 0I
2πa
I
B
I
B
• 电流与磁感应强度成右螺旋关系
7-4 毕奥-萨伐尔定律
dB0 Idlsin0 Idl
4π r2 4πr2
BLdB//=LsindB
7-4 毕奥-萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
sin R r
B sindB0 IRdl
L
4πL r3
r x2R2
B
sindB 0
L
4π
IRdl L(x2 R2)3/2
dB
P
相同，均垂直版面向里
dB
0
4π
Idlsin
r2
7-4 毕奥-萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
D 2
B dB4π0 CDIdlrs2in
dl r
l
I
oa
x
C
1
dB P
laco ,rta/s in
dl
s
a
in2
d
B0I 2sind 4πa 1
=0I
2
(x2
R2 R2)3/2
7-4 毕奥-萨伐尔定律
第七章 稳恒磁场
例 7-1在真空中有一“无限长”载流直导线，电流 强度为I，其旁有一矩形回路与直导线共面，如图所示， 设线圈的长为l，宽为b-a，线圈到导线的距离为a，求 通过该回路所围面积的磁通量.
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稳恒电场与静电场相似： 都服从高斯定理和环路定理 也有
L
E dr 0
也可以引入“电势”
在恒定电流电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和为0
回路电压方程
恒定电场与静电场的区别： 导体内部和表面的场强 + -
E内 0
+ + +
E内 0
静电场（静电平衡）
+
-
稳恒电场
四、欧姆定律和焦耳定律的微分形式
Idl
B
r
o
R
dB
p *
B
I
4π r 2 x R sin r
dB
0 Id l
解 根据对称性分析
0 IR B Bx dB sin 4 π r 3 0
2π R
dl
0 IR 2
2 （x R ）2
2 2 3
B
0 IR2
（ 2 x 2 R 2）2
0 Idl
4π R
2
sin 45
例1 载流长直导线的磁场. 0 Idz sin d B 解 dB 方向均沿 z I 4π r2 0 Idz sin D 2 x 轴的负方向 B dB B 2 CD 4π r Id z z r cot , r r / sin
2018/9/29
nSdl
+ -
v r v B B
r
dB
ˆ 0 Idl r 4π r2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1 8
dB 0 1、 5 点 ：
+
2
7
Idl
R
6 5
3、7点 ：dB +3
0 Idl
4π R 2
0
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
dB
2
x2
x
dB
0
2
B dB
B 2
0 nI
2
R
R 2 nIdx
2
x
x2 x1
2 3/ 2
x Rcot
dx R csc2 d
R
2
R 2dx
2
0 nI
1
x 0 nI R3csc2 d 3 3 2 R csc
2 3/ 2
R x R csc
2
0
dr
0 R
2
（ 1） I （2 ）
RB x 0 0 I o B0 2R
I
（ 4）
0 I BA 4π d
d *A
R1
R
o
B0
0 I
4R
（ 5） I
R2
（ 3） I
R
B0
o
0 I
8R
* o
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
对大块导体不仅需用物理 量电流强度来描述，还需 建立电流密度的概念来进 一步描述电流强度的分布
二、电流密度
qndV qn( vdt cos dS ) dI dt dt
dS
dV
v
qnv cos dS
q
vdt
en
dI qnv dS
定义电流密度矢量：
j qnv
dI j dS
二、磁感应强度
方向: 大小:
定义磁感应强度 B
特斯拉 T ( 1 T = 10 4 G ) q 不受力的方向定义为 B 的方向. 方向上受力 Fmax Fmax 为 q 在 v B B qv 单位:
F qv B
7.4 电流和运动电荷的磁场
一、毕奥 — 萨伐尔定律及其应用 1 dq 静电场：源(电荷) E d E 2 er 4 π 0 r 磁场：源(电流) B ˆ 电流元：Idl : dB 0 Idl r 4π r 2
R
O * p
x
dx
0 R 2dI dB 3/ 2 2 （x 2 R 2）
x
0 IR
2 2
+ + + + + + + + + + + ++ +
dI NI dx l nIdx
解 由圆形电流磁场公式
B
（ 2 x R）
2 3/ 2
1
x1
op
++ + + + + + + + + + + + + +
B N 0 IR
2 2 3
3
I
讨论
1）若线圈有N匝
o
R
x
*
B
x
x0 2）
B
0 I
2R 0 IR 2
2x
3
2 （x R ）2
2
S
3）x R B
引入磁矩
B
0 m
2π x
2π x m 描述载流线圈性质 m ISen
或B
0 IS
3
I
en
m
3
第 7章
一、电流
恒定电流的稳恒磁场
7.1 电流 电流密度 电动势
电流是导体中带电粒子（自由电子或 正负离子， 统称“载流子”）的定向流动。 规定:正电荷流动的方向为电流的方向。
电流强度: 单位时间内通过某一截面的电量。
q dq 某瞬时 I lim （SI 制单位:安培 A） t 0 t dt
I
z
1
r
x
o
r0
dB * P y
C
dz r0d / sin 0 I B sin d 4π r0 0 I （cos1 cos 2）
2
2 1
0
0
4π r0
B
（cos1 cos 2） 4π r0 电流与磁感强度成右螺旋关系
0 I
无限长载流长直导线的磁场.
大小: dB 0 Idl sin 4π r2
方向: 满足右手螺旋法则
真空中的磁导率: 0= 410-7亨利· 米-1(H· m-1)
ˆ Idl r 叠加原理 B dB 4π r 2
0
二、运动电荷的磁场
电流的磁场本质是运动电荷磁场
0 Idl r 电流元 Idl dB 产生的磁场： 4 π r3
PI R
2
焦耳定律的微分表达式： p
j2
l p Sl ( jS ) S
2
ห้องสมุดไป่ตู้E 2
-- 热功率密度
四、电源电动势 电动势： 把单位正电荷从负极板通过电源内部移到正极板，
非静电场所作的功, 即
Ane q
+
F dr q
(2)
E (2)
定义非静电场强：E
dI j dS
电流密度
j
dI 大小: j dS 方向: 该点的电流流向
大块导体 dI I P dS
v
dI
dS
j
d S
对任意曲面S： I
(S )
j dS j cos dS
(S )
I是
j 的通量
为形象描写电流分布，可以引入“电流线”的概念
三、电流连续方程
dI 2 π rdr rdr 2π 0 dI 0
2r
0, B 0, B
2
dr
向外 向内
解法二
运动电荷的磁场
R o r
dB
0 dq v
2
4π r
dq 2 π rdr
dr
dB B
v r
0
2
R
dr
0
稳恒电场
I j dS
(S )
对闭合曲面，根据电荷守恒定律：
电流的连续性方程
S
dqin j dS dt
单位时间内流出 S 面内的电量 应等于该闭合曲面内电量的减少
dqin 0 时，电流不随时间变化，即 dt 电流稳恒条件 j dS 0
S
不随时间改变的电荷分布所产生的电场稳恒电场 不随时间改变的电流称为恒定电流
0 m
2π x
3
en
m 为磁偶极子的磁矩
圆电流叫磁偶极子
例 半径 为R的带电薄圆盘的电荷面密度为 , 并 以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动 ，求圆 盘中心的磁感强度. 解法一 圆电流的磁场 dI
R o r
0 R 0 R B dr 2 0 2
dr
dB
F q
方向：电源内部负极
E
正极
E (2) dr
(电源内)
普遍表达式
L
E dr
(2)
7.2 电磁现象及其本源
磁性：磁体吸引铁磁性物质的性质。 磁极：磁体上磁性最强处。 电流对磁体； 电流对电流； 磁相互作用：磁体对磁体；