人教版初一数学下册生活中的不等关系

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《不等关系与不等式》知识清单

《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在我们的日常生活中，不等关系无处不在。

比如，一个人的身高不可能低于0 米；购买商品时，所花费的金额不能超过自己携带的钱数；汽车的速度不能超过限速等等。

不等关系可以用文字语言来描述，也可以用数学符号来表示。

常见的表示不等关系的词语有：大于（＞）、小于（＜）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）。

例如：“小明的体重超过 50 千克”可以表示为“小明的体重＞ 50 千克”；“班级人数不超过 60 人”可以表示为“班级人数≤ 60 人”。

二、不等式不等式是用不等号将两个代数式连接起来所形成的式子。

1、不等式的基本性质（1）对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a；如果 b ＜ a，那么 a ＞ b。

例如，5 ＞ 3，那么 3 ＜ 5。

（2）传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c。

比如，5 ＞ 3，3 ＞ 1，所以 5 ＞ 1。

（3）加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c。

例如，7 ＞ 5，两边同时加 2，得到 9 ＞ 7。

（4）乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc。

比如，3 ＞ 1，两边同时乘以 2（2 ＞ 0），得到 6 ＞ 2；但如果两边同时乘以－2（－2 ＜ 0），则得到－6 ＜－2。

2、一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。

其一般形式为 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）。

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（如果有分母）；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为 1。

例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9：首先，移项得到 2x ＞ 9 5，即 2x ＞ 4；然后，系数化为 1，得到 x ＞ 2。

3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。

七年级数学精品课件1 不等关系

方形的面积，即
l2 ＞ l 2 4 16
2019/5/8
10
讲授新课观察由上述问题得到的如下关系式，它们有什么共同特点？ 2 2 l l （ 2 ） ≥100 （ 1） ≤ 25 2 4

2

l l （ 3） 4 ＞ 16
2
（ 4） 5＋3x＞240
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）
2
l2 即： 4 ≥100 .
2019/5/8
7
讲授新课
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示 2 2 l 为 l ，圆的面积可以表示为 2 4

当ℓ = 8 时，正方形的面积为
82 4
8 2 = 4（cm² ） 16
圆的面积为
∵4＜ 5.1
≈5.1（cm² ）
∴此时的圆的面积大．
a＞０
a＜０
a≥０
a≤０
2019/5/8
16
通常用符号“≥”表示．（读作：“大于或等于”）．
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14
课后小结
表明数量的不等关系
关键词语不等号 ①大于 ①小于 ①不大于 ①不小于
②比…大 ②比…小 ②不超过 ②不低于 ③至多＞＜ ≤ ③至少 ≥
2019/5/8
15
讲授新课
文字语言
符号语言
表明数量的范围特征
a是正数 a是负数 a是非负数 a是非正数
1 不等关系
2019/5/8
1引入Biblioteka 课你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．
2019/5/8
2

生活中的不等关系

⽣活中的不等关系【学习⽬标】1.会⽤不等号“＜，＞，≤，≥，≠”等不等号连结两个数.2.理解描述不等关系的词语，例如：⼤于，⼩于，不⼤于，不⼩于，⼤于或等于，⼩于或等于，不等于…理解正数，⾮负数，负数等等⽤不等式表⽰的⽅法.3.感受⽣活中的不等关系，理解⽣活中有⼀些描述不等关系的词语，例如：最⼤（⼩），最⾼（低），超过，低于，不超过，不低于，以上，以下，少于，不少于，打破某项记录，限速，限⾼…会由题意列出最简单的不等式.【学习重点】⽤不等式表⽰数量之间的不等关系【学习难点】准确运⽤符号“＜”与“≤”，“＞”与“≥”【学习过程】⼀、情境创设（体会⽣活中的不等关系）：1、⼩磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg. 春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，⼩磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若⼩磊和妈妈坐⼀头，爸爸坐在另⼀头时，谁会向上跷？这说明：因为30kg 55kg（填写不等号），所以会向上跷；⼜因为30kg＋55kg 75kg. （填写不等号），所以会向上跷.2、⼀只纸箱质量为1kg.当放⼊⼀些苹果（每个苹果的质量为0.25kg）后，箱⼦和苹果的总质量不超过10kg.（1）填表：(2)估计这只纸箱内最多能装多少个苹果？⼆、学习新知：（⼀）认识不等号： > ⼤于； < ⼩于；≠ 不等于；≤ ⼩于或等于（不⼤于）；≥ ⼤于或等于（不⼩于）（⼆）认识不等式：⽤不等号．．．表⽰不等关系的式⼦叫做不等式.1. 下列式⼦中，哪些是不等式？哪些不是?(1) –2 < 0 ； (2) 2a > 3-a；(3)3x+5； (4)≥0；(5) s = vt； (6)； (7) 3 > 5； (8) 5x≤4x-1.2. ⽤“<，>，≤，≥”填空：(1) －0.3___0； (2) x 2 0(3) - x 2 0 （4）x 2-1 （5）- x 2 23. ⽤不等式表⽰：（1）x⼩于-6 （2）x+1⼤于0 （3）x⼤于或等于5 （4）x⼩于或等于-8 （5）x不⼤于6 （6）x不⼩于-2（7）x是正数（8）x是负数（9）x是⾮负数(10) x与5的和⼤于2 （11）x与a 的差⼩于2 （12）x与y的差是负数（13）x与y的和是⾮负数（14）x的2倍与5的和是正数（15）x与3的差是负数（16）x的3倍与y的2倍的和是⾮负数（三）⽤不等式表⽰下列数量之间的关系（将⽂字语⾔转化为不等式）：1. 某种客车坐有x⼈，它的最⼤．．载客量为40⼈．2. ⼩明每天跑步x分钟，学校规定每位学⽣每天跑步时间不少于．．．30分钟．3. 某校男⼦跳⾼记录是1.75 ⽶，⼩强在今年的运动会上打破．．了校纪录．4. 我班⼀位学⽣的⾝⾼为x⽶，我班学⽣最⾼．．是1.70⽶．5. 快车⽕车时速不超过．．．150 km/h，某快车的速度为x km/h．6. 某品牌奶粉规定每千克奶粉中蛋⽩质的含量x不⼩于．．．2.9 克.7. 冲藕粉时规定⽔温x不低于．．．95℃.8. 选⾝⾼⾼于1.75⽶的学⽣组成学⽣跑步⽅阵，⼩明被选上了，他的⾝⾼为x⽶．9. 矩形周长20cm，宽x cm，写出宽x的取值范围．三、当堂检测1. ⽤不等式表⽰：（1）a与b的和⼤于3：；（2）x的平⽅是⾮负数：；（3）a不⼤于b：；（4）x的3倍与－2的差是负数：；（5）m是⼤于－1且不⼤于2的数：____________________.2. ⽤不等式表⽰下列数量之间的关系: (1)⼩明某天骑车上学花了x分钟,他每天骑车上学的时间不少于25分钟：(2)亮亮每天做作业的时间在2 h以上，昨天他做作业花了t h ：(3)设有500个座位的礼堂坐了y⼈：（4）长⽅形的长为x cm，宽为10cm，其⾯积不⼩于200cm2： .（5）某商品原来的价格为6元/件，涨价x%后价格不⾼于9元/件： .（第3题）四、拓展提⾼1．⽤不等式表⽰：（1）x⼤于2且⼩于5（2）x不⼩于3且不⼤于6(3) a是⼤于2且不⼤于9的数2.等腰三⾓形的周长为40 cm，底长为x cm，则x的范围：等腰三⾓形的周长为40 cm，腰长为x cm，则x的范围：3.某⽔果批发市场规定：批发苹果不少于1000千克时，可享受每千克2.2元的最优批发价，个体⽔果经营户⼩王携款x元到该批发市场除保留200元作⽣活费外，全部以最优惠批发价买进苹果．⽤不等式表⽰问题中x与已知数量间的不等关系．。

人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件

第九章不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q

人教版七年级数学下册教学课件《不等式及其解集》

已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如
何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的
关系？
解: 3x+10(x+y)<50.
课堂小结
9.1 不等式
解、解集
↓
不等式 → 实际问题中不等式的表示 ↓
概念
课后作业
例如：100是x>50的解.
代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.
探究新知
9.1 不等式
判断下列数中哪些是不等式 2 x 50 的解：60，73，
3
74.9，75.1，76，79，80，90.你还能找出这个不等式的其
他解吗？这个不等式有多少个解？无数个
x 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90
探究新知
考点 2
用不等式表示数量关系用不等式表示:
（1） a与1的和是正数;
（2）y的2倍与1的和小于3;
（3） y的3倍与x的2倍的和是非负数
（4） x乘以3的积加上2最多为5.
解：（1） a+1>0; （2）2y+1<3;
（3）3y+2x≥0; （4）3x+2≤5.
9.1 不等式
巩固练习
9.1 不等式
解：（1）（2）（5）（6）是不等式；（3）（4）不是不等式.
课堂检测
5.直接写出下列不等式的解集.
x+3>6的解集是 x>3
；
2x<18的解集是 x<9 ；
x-2>0的解集是 x>2
.

一元一次不等式——实际问题与一元一次不等式课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册

是每台10万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
(1)请问该企业有几种购买方案?
解：设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10－x）台.
根据题意，得12x+10(10 – x)≤105.
解这个不等式，得x≤2.5.
又因为x取非负整数，所以x取0，1，2.
所以有3种购买方案：A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；
购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同
样的商品，因此到两商场购物花费一样.
新课讲解
典型例题
购物款
甲商场收费
乙商场收费
0＜x≤50
x
x
50＜x≤100
x
50+0.95(x–50)
乙商场少
x＞100
100+0.9(x–100)
50+0.95(x–50)
继续分类讨论
收费相等
若在甲商场花费少，则100+0.9(x–100)<50+0.95(x–90)
社说：“所有人按全票价的 6 折优惠.”已知全票价 240 元.设学
生有 x 名，就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
解：①若 240+120x=144x+144，解得 x=4，
此时两家旅行社收费一样；
②若 240+120x>144x+144，解得 x<4，
此时乙旅行社更优惠；
③若 240+120x<144x+144，解得 x>4，
2.一般步骤：
(1)审题；
(2)找等量关系；
(3)设未知数；
(4)列方程；
(5)解方程；
(6)检验；
(7)答。

31不等关系与不等式精品PPT课件

3x y
x
N
*
y N *
必修5 第74页
a+b ≥0 h4
新课讲授
2.文字语言与数学符号间的转换.
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于 ≥
不少于
≥
小于等于 ≤
不多于
≤
三、不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
4．作差比较法步骤：作差，变形，定号
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
20
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
例３．如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y,x 的范围？ y
例４：已知a>b>0,c>d>0，求证：a d
a b 0 n a n b (n N *, n 2)
(可乘方性、可开方性)
课堂练习
1. 若a、b、c R，a b，则下列不等式成

专题10 利用不等式与不等式组解决实际问题

检验所求出的不等式组的解集
是否符合题意.
写出答案.
学习了这节课，你有哪些收获？
见精准作业单
谢谢观看
11
.
又∵x 为正整数.
∴x≥182.
答：这时至少已售出 182 辆自行车.
针对练习
针对训练
长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100 m 时他以 4
m/s 的速度向终点冲刺，在他身后 10 m 的李明需以多
快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？
解：设李明以 x m/s 的速度冲刺.
100
解：设每个小组原先每天生产x件产品，由
题意，得
3×10x<500，
3×10(x&#x 16 2
3
3
根据题意，x的值应是整数，所以x=16.
答：每个小组原先每天生产16件产品.
针对练习
.蓝球比赛记分规则为：胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某篮球队
识不等式的应用价值。
旧知回顾
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：
01
审：认真审题，分清已知量、未知量；
02
设：设出适当的未知数；
03
找：找出题目中的不等关系，抓住关键词，如“超
过”“不大于” “最多”等；
旧知回顾
01
列：根据题中不等关系，列出一元一次不等式或一元
一次不等式组；
01
解：求出一元一次不等式的解集；

3a 8 a＜ 23
解得：6 < < 7.5
因为a取整数，所以a=7,则8-a=1
答：胜7场，平1场
总结提升
解用
决一
实元
际一
问次
题不

人教版七年级下册数学不等式与不等式组知识点

不等式与不等式组知识点归纳上大附中何小龙一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是。

2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是。

3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为。

4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为。

5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是。

6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x ->10-a 的解集为错误!未找到引用源。

<３，则a10.若a >b >c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x b x ax 的解集是 11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x <１，则错误!未找到引用源。

人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件

【点评】本例较好地体现了利用基本不等式求最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式可得．
变式题已知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ，则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
zxxk
【答案】
26 9
【解析】
sin2αsin2βsin2γ
≤
sin2α＋sin2β＋sin2γ3
3
＝
3－cos2α－c3os2β－cos2γ3＝3－3 13＝287.
所以|sinαsinβsinγ|≤296，故 sinαsinβsinγ 的最大值为
26 9.
► 探究点3 绝对值不等式的性质
例 3 (1)若|a|<1，|b|<1，比较|a＋b|＋|a－b|与 2 的大小，并说明理由；
【点评】 |a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．本题是绝对值不等式性质的简单应用．绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．
变式题 [2009·靖江模拟] 设 f(x)＝x2－x＋1，实数 a 满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．

人教版初一数学下册：不等式及其性质(基础)知识讲解

附录资料：不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m+≤5．【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x -y ＞0；若x 小于y ，则有x -y ＜0等．举一反三：【变式】（2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B．类型二、不等式的解及解集2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是()A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】D【解析】解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．故知x＝2不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是()【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】C【解析】解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为:故选C．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．【高清课堂：一元一次不等式370042练习2】举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4【答案】B类型三、不等式的性质4.（2015•浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【答案】C ．【解析】解：A 、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B 正确； C 、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C 错误； D 、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D 正确；故选：C ．【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．举一反三：【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？【答案】解：如图，设c ,b ,a 为任意一个三角形的三条边，则：b ac ,a c b ,c b a >+>+>+移项可得：a b c ,c a b ,b c a ->->-> 即：三角形两边的差小于第三边．附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：437611 4376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。

人教版数学七年级下册9.1不等式的性质教案

-不等式的应用：将实际问题转化为不等式时，如何正确地建立不等式模型，以及如何解这些不等式。
-不等式的证明：对于一些不等式性质，学生可能需要通过证明来加深理解，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
举例：
-难点解释：解释为什么当a > b时，对于任何正数c，都有ac > bc，以及当c为负数时，不等号方向改变。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-不等式的定义：理解不等式的概念，掌握不等式的表示方法，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
-不等式的性质：掌握同向不等式相加、相减的性质，反向不等式相乘、相除的性质，以及不等式的可乘性和可除性。
-不等式的简单应用：学会将实际问题抽象为不等式模型，并运用不等式解决实际问题。
举例：
-重点讲解a > b和a < b的含义，以及它们在数学表达中的应用。
-强调当乘以或除以同一个正数时，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变的性质。
-通过实际例题，演示如何将情境问题转化为不等式问题，并求解。
2.解不等式性质背后的逻辑，为什么乘以或除以不同性质的数会改变不等号的方向。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调不等式的性质和不等式的简单应用这两个重点。对于难点部分，比如不等式的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用不等式表示不同物体的重量关系。
同学们，今天我们将要学习的是《不等式的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过比较两个数大小的情况？”（例如：比较两个人的身高）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索不等式的奥秘。

_第九章 9-1-2 不等式的性质第2课时含“≤”“≥”的不等式课件(共1七年级下册数学人教版

例2 某长方体形状的容器长 5 cm，宽 3 cm，高 10 cm，容器
内原有水的高度为 3 cm，现准备向它继续注水.用V(单位：
cm3)表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围. 容器的总体积为： 3×5×10 被占用的容器的体积为： 3×5×3
根据题意有： V+3×5×3≤3×5×10
解：新注入水的体积 V 与原有水的体积的和
9.1.2 不等式的性质第2课时含“≤≥”的不等式
1.进一步了解不等式的概念，认识几种不等号的含义;
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的思。
目标导学：含“≤”“≥”的不等式
在表示两个数量大小关系时，我们会经常用到像 a≥b 或 a≤b 这样的式子，如一天内的温度变化 t≥19℃ 且 t≤28℃.
课堂练习
1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x+5＞–1； (2)4x＜3x–5；
(3) 17x＜67；
(4)– 8x＞10.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，
x+5–5＞–1–5 x＞–6
–6
0
2. 小鸣就读的学校上午第一节课的上课时间是 8 点. 小鸣家距学校有 2 千米，而他的步行速度为每小时 10 千米. 那么，小鸣上午几点从家里出发才能保证不迟到？
不等式的基本性质1
→
如果a>b，那
么a+c>b+c，
应用性
a-c>b-c
质
不等式
不等式如果 a b, c 0,
对
的基本性质
基本性质2
→
那么ac

数学人教版七年级下册生活中的不等关系

自我小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
小
1.关键知识：
结
列一元一次不等式组解决实际问题
2.学法指导：建模思想，会把实际问题转化为数学问题进行解决.
学习从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”。
问题4、有若干学生参加夏令营活动，晚上在一宾馆住宿时，如果每间住4人，那么还有20人住不下，相同的房间，如果每间住8人，那么还有一间住不满也不空。请问：这群学生有多少人？有多少房间供他们住？
方法1：抓最后一个房间分析
解：设房间有x间 4x+20-8（x-1）＜8 4x+20-8(x-1)＞0
解: 设A型车厢为x节，则B型车厢为(50-x)节 3 5 x 2 5 ( 5 0 x ) 1 5 3 0① 由题意得不等式组 1 5 x 3 5 ( 5 0 x ) 1 1 5 0 ②

拓展延伸
问题1.某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件。学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。（1）设租用甲种汽车X辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲乙两种汽车每辆租车费用分别为2000元，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。
生活中的不等关系 ——不等式组的实际问题
确定目标、合作探究
1、灵活应用不等式组解决实际问题，体会数学建模思想？ 2、明确列不等式组解应用题的步骤.
问题1、一本英语书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完。李永平均每天比张力多读3页，张力平均每天读多少页？
不等关系: 张力7天读书的页数 < 98

生活中的不等关系

生活中的不等关系教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。

能够根据具体的事例列出不等关系式。

教学重点：会列出不等关系式教学难点：会列出不等关系式教学方法：讲练结合教学内容及过程：一、如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。

教师根据具体的图形，根据图形的面积和周长的大小关系，引出两个量之间的不等关系。

学生观察思考计算（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。

教师通过绳长的变化得出一般结论学生思考，计算在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。

（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是（L/4）²≤25，即L²/16≤25。

（2）要使原的面积大于100㎝²，就是π（L/2π）²＞100即L²/4π＞100。

（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1此时圆的面积大。

当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5，此时还是圆的面积大。

教师得出结论（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即L²/4π＞L²/16。

二、做一做学生思考讨论交流（1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出她的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。

某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少生长多少年起树围才能超过2.4m？（只列关系式）（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全的区域。

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