最优化牛顿法最速下降法共轭梯度法matlab代码
最优化方法及其matlab实现
一、引言1.1 阐述最优化方法的重要性 1.2 介绍文章内容二、最优化方法的基本概念与分类2.1 最优化问题的定义2.2 最优化方法的分类2.2.1 无约束最优化2.2.2 约束最优化三、常用最优化方法的原理与特点3.1 梯度下降法3.1.1 原理介绍3.1.2 算法流程3.1.3 特点分析3.2 牛顿法3.2.1 原理介绍3.2.2 算法流程3.2.3 特点分析3.3 共轭梯度法3.3.1 原理介绍3.3.2 算法流程3.3.3 特点分析四、最优化方法在实际问题中的应用4.1 工程优化问题4.1.1 结构优化设计4.1.2 控制优化问题4.2 数据拟合与机器学习4.2.1 深度学习中的优化问题4.2.2 模型参数的优化五、 Matlab实现最优化方法的实例5.1 Matlab在最优化方法中的应用 5.2 梯度下降法的Matlab实现5.2.1 代码示例5.2.2 实例分析5.3 牛顿法的Matlab实现5.3.1 代码示例5.3.2 实例分析5.4 共轭梯度法的Matlab实现5.4.1 代码示例5.4.2 实例分析六、结论及展望6.1 对最优化方法的总结与归纳6.2 未来最优化方法的发展方向七、参考文献以上是一篇关于“最优化方法及其Matlab实现”的文章大纲，您可以根据这个大纲和相关资料进行深入撰写。
文章内容需要涉及最优化方法的基本概念与分类、常用最优化方法的原理与特点、最优化方法在实际问题中的应用、Matlab实现最优化方法的实例等方面，保证文章内容的权威性和实用性。
另外，在撰写文章过程中，建议加入一些案例分析或者数据实验，通过具体的应用场景来展示最优化方法的有效性和优越性，增强文章的说服力和可读性。
对于Matlab实现部分也要注重代码的清晰性和易懂性，方便读者理解和实践。
希望您能够通过深入的研究和精心的撰写，呈现一篇高质量、流畅易读、结构合理的中文文章，为读者提供有益的知识和参考价值。
机器学习中常见的几种优化方法
机器学习中常见的几种优化方法阅读目录1. 梯度下降法（Gradient Descent）2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）4. 启发式优化方法5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。
最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。
随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。
常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。
回到顶部1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。
梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。
一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。
梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。
最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示：牛顿法的缺点：（1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示；（2）直线搜索时可能会产生一些问题；（3）可能会“之字形”地下降。
从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。
在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
用牛顿法求一元一次方程的最优值 matlab
牛顿法是一种迭代算法，用于求解一元函数的最小值或最大值。
对于一元函数f(x)，其导数为f'(x)，牛顿法的迭代公式为：
x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
在求解一元一次方程的最优值时，我们可以将一元一次方程转化为f(x) = 0 的形式，然后使用牛顿法求解。
下面是一个使用MATLAB 实现牛顿法的示例代码：
0, tol, max_iter)
# f: 一元函数的值
# df: 一元函数的导数
# x0: 初始值
# tol: 精度要求
# max_iter: 最大迭代次数
x = x0;
for i = 1:max_iter
fx = f(x);
dfx = df(x);
if abs(fx) < tol
root = x;
return;
end
x = x - fx / dfx;
end
error('达到最大迭代次数，未找到解。
');
end
按照以下步骤进行：
1.定义一元一次方程的函数和导数；
2.设定初始值、精度要求和最大迭代次数；
3.调用newton 函数进行迭代求解。
最优化各种方法MATLAB代码
最优化程序MATLAB 代码程序1.目标任务分别用最速下降法、FR 共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法求解无约束最值问题：22112212min f (x)x 2x x 4x x 3x =-++-取初始点(1)T x (1,1)=和 (2)T x (2,2)=，分别通过Matlab 编程实现求解过程。
2.程序实现（程序文件见附件）2.1公用函数1)function f= fun( X ) %所求问题目标函数f=X(1)^2-2*X(1)*X(2)+4*X(2)^2+X(1)-3*X(2); end2) function g= gfun( X )%所求问题目标函数梯度g=[2*X(1)-2*X(2)+1,-2*X(1)+8*X(2)-3]; end3) function He = Hess( X )%所求问题目标函数Hesse 矩阵 n=length(X); He=zeros(n,n); He=[2,-2; -2,4];End2.2其他函数图2.2 函数程序文件图1) 最速下降法的文件名为 ：grad.m 。
2) FR 共轭梯度法的文件名为 ：frcg.m 。
3) DFP 法的文件名为 ：dfp.m 。
4)BFGS 法的文件名为 ：bfgs.m 。
3.程序运行结果3.1最速下降法3.1.1 初值为(1)T x (1,1)图3.1.1.1 最速下降法求解最小值输出结果图图3.1.1.2最速下降法求解最小值过程图3.1.2初值为(2)T x (2,2)图3.1.2.1最速下降法求解最小值输出结果图图3.1.2.2最速下降法求解最小值过程图3.2 FR 共轭梯度法3.2.1 初值为(1)T x (1,1)图3.2.1.1 FR 共轭梯度法求解最小值输出结果图图3.2.1.2 FR 共轭梯度法求解最小值过程图3.2.2初值为(2)T x (2,2)图3.2.2.1 FR 共轭梯度法求解最小值输出结果图图3.2.2.2 FR 共轭梯度法求解最小值过程图3.3 DFP 法3.3.1 初值为(1)T x (1,1)图3.3.1.1 DFP 法求解最小值输出结果图图3.3.1.2 DFP法求解最小值过程图图3.3.1.2 DFP法求解最小值过程图（3.3.2初值为(2)T x (2,2)图3.3.2.1 DFP 法求解最小值输出结果图图3.3.2.2 DFP 法求解最小值过程图3.4 BFGS 法3.4.1 初值为(1)T x (1,1)图3.4.1.1 BFGS 法求解最小值输出结果图图3.4.1.2 BFGS 法求解最小值过程图3.4.2初值为(2)T x (2,2)图3.4.2.1 BFGS 法求解最小值输出结果图图3.4.2.2 BFGS 法求解最小值输出过程图。
用MATLAB实现最速下降法_牛顿法和共轭梯度法求解实例——张小强
机电产品优化设计课程设计报告姓名：张小强学号：201222080633学院：机械电子工程学院实验的题目和要求一．课程名称：最优化设计方法二．实验日期：2013年6月27日三．实验目的：掌握最速下降法，牛顿法和共轭梯度法的算法思想，并能上机编程实现相应的算法。
四．实验要求：用MATLAB 实现最速下降法，牛顿法和共轭梯度法求解实例。
五．实验原理：最速下降法是以负梯度方向最为下降方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是互相直交的。
牛顿法是利用目标函数)(x f 在迭代点k x 处的Taylor 展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。
共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向k d 仅仅是负梯度方向k g -与上一次搜索方向1-k d 的组合。
五．运行结果如下: 题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2①．最速下降法：M 文件：function [R,n]=steel(x0,y0,eps)syms x ;syms y ;f=(x-2)^2+(y-4)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=0;syms kk ;while (temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0];调用黄金分割法：M文件：function Mini=Gold(f,a0,b0,eps)syms x;format long;syms kk;u=a0+0.382*(b0-a0);v=a0+0.618*(b0-a0);k=0;a=a0;b=b0;array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b;while((b-a)/(b0-a0)>=eps)Fu=subs(f,kk,u);Fv=subs(f,kk,v);if(Fu<=Fv)b=v;v=u;u=a+0.382*(b-a);k=k+1;elseif(Fu>Fv)a=u;u=v;v=a+0.618*(b-a);k=k+1;endarray(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b;endMini=(a+b)/2;输入：[R,n]=steel(0,1,0.0001)输出：R = 1.99999413667642 3.99999120501463n = 1②．牛顿法：M文件：syms x1x2;f=(x1-2)^2+(x2-4)^2;v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);epson=1e-12;x0=[0,0]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2 },{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;mul_count=0;sum_count=0;mul_count=mul_count+12;sum_count=sum_count+6; while(norm(g1)>epson)p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;mul_count=mul_count+16;sum_count=sum_count+11; end;kx0mul_countsum_count结果：k = 1x0 =24mul_count = 28sum_count = 17③．共轭梯度法：M文件：function f=conjugate_grad_2d(x0,t)x=x0;syms xi yi af=(xi-2)^2+(yi-4)^2;fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi},x0);fy=subs(fy,{xi,yi},x0);fi=[fx,fy];count=0;while double(sqrt(fx^2+fy^2))>ts=-fi;if count<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f1);if f1~=0ai=double(f1);elsebreakx,f=subs(f,{xi,yi},x),countendx=subs(x,a,ai);f=xi-xi^2+2*xi*yi+yi^2;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);s1=-fii+d*s;count=count+1;fx=fxi;fy=fyi;endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count输入：conjugate_grad_2d([0,0],0.0001)结果：x = 0.24998825499785 -0.24999998741273f = 0.12499999986176count = 10ans = 0.12499999986176六．结论如下:最速下降法越接近极小值，步长越小，前进越慢。
MATLAB实现最速下降法_和牛顿法和共轭梯度法
MATLAB实现最速下降法_和牛顿法和共轭梯度法最速下降法:题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件:function [R,n]=steel(x0,y0,eps) syms x;syms y;f=(x-2)^2+(y-4)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0;n=0;syms kk;while (temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]调用黄金分割法:M文件:function Mini=Gold(f,a0,b0,eps) syms x;format long; syms kk;u=a0+0.382*(b0-a0);v=a0+0.618*(b0-a0);k=0;a=a0;b=b0;array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u);Fv=subs(f,kk,v);if(Fu<=Fv)b=v;v=u;u=a+0.382*(b-a);k=k+1;elseif(Fu>Fv)a=u;u=v;v=a+0.618*(b-a);k=k+1;endarray(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; endMini=(a+b)/2;输入:[R,n]=steel(0,1,0.0001)R = 1.99999413667642 3.99999120501463 R = 1.999994136676423.99999120501463 n = 1牛顿法:题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件:syms x1 x2;f=(x1-2)^2+(x2-4)^2;v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);epson=1e-12;x0=[0,0]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs (G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;mul_count=0;sum_count=0;mul_count=mul_count+12;sum_count=sum_count+6; while(norm(g1)>epson) p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;mul_count=mul_count+16;sum_count=sum_count+11;end;kx0mul_countsum_count结果::k = 1x0 =24mul_count = 28sum_count = 17 共轭梯度法:题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件:function f=conjugate_grad_2d(x0,t)x=x0;syms xi yi af=(xi-2)^2+(yi-4)^2; fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi},x0); fy=subs(fy,{xi,yi},x0); fi=[fx,fy]; count=0;while double(sqrt(fx^2+fy^2))>ts=-fi;if count<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f1);if f1~=0ai=double(f1);elsebreakx,f=subs(f,{xi,yi},x),count endx=subs(x,a,ai);f=xi-xi^2+2*xi*yi+yi^2;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2); s1=-fii+d*s;count=count+1;fx=fxi;fy=fyi;endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count 输入:conjugate_grad_2d([0,0],0.0001) 结果:x = 0.24998825499785 -0.24999998741273f = 0.12499999986176count = 10ans = 0.12499999986176。
用MATLAB实现最速下降法-牛顿法和共轭梯度法求解实例
题目和要求最速下降法是以负梯度方向最为下降方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是互相直交的。
牛顿法是利用目标函数)(x f 在迭代点k x 处的Taylor 展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。
共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向k d 仅仅是负梯度方向k g -与上一次接待的搜索方向1-k d 的组合。
运行及结果如下:最速下降法：题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2M 文件：function [R,n]=steel(x0,y0,eps)syms x ;syms y ;f=(x-2)^2+(y-4)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=0;syms kk ;while (temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]调用黄金分割法：M文件：function Mini=Gold(f,a0,b0,eps)syms x;format long;syms kk;u=a0+0.382*(b0-a0);v=a0+0.618*(b0-a0);k=0;a=a0;b=b0;array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b;while((b-a)/(b0-a0)>=eps)Fu=subs(f,kk,u);Fv=subs(f,kk,v);if(Fu<=Fv)b=v;v=u;u=a+0.382*(b-a);k=k+1;elseif(Fu>Fv)a=u;u=v;v=a+0.618*(b-a);k=k+1;endarray(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b;endMini=(a+b)/2;输入：[R,n]=steel(0,1,0.0001)R = 1.99999413667642 3.99999120501463 R = 1.99999413667642 3.99999120501463 n = 1牛顿法：题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件：f=(x1-2)^2+(x2-4)^2；v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);epson=1e-12;x0=[0,0]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;mul_count= 0;sum_count=0;mul_count=mul_count+12;sum_count=sum_count+6;while(norm(g1)>epson)p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;mul_count=mul_count+16;sum_count=sum_count+11;end;kx0mul_countsum_count结果：：k = 1x0 =24mul_count = 28sum_count = 17共轭梯度法：题目：f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件：function f=conjugate_grad_2d(x0,t)x=x0;syms xi yi af=(xi-2)^2+(yi-4)^2;fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi},x0);fy=subs(fy,{xi,yi},x0);count=0;while double(sqrt(fx^2+fy^2))>ts=-fi;if count<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f1);if f1~=0ai=double(f1);elsebreakx,f=subs(f,{xi,yi},x),countendx=subs(x,a,ai);f=xi-xi^2+2*xi*yi+yi^2;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);s1=-fii+d*s;count=count+1;fx=fxi;fy=fyi;endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count输入：conjugate_grad_2d([0,0],0.0001)结果：x = 0.24998825499785 -0.24999998741273 f = 0.12499999986176count = 10ans = 0.12499999986176结论如下:最速下降法越接近极小值，步长越小，前进越慢。
最优化牛顿法最速下降法共轭梯度法matlab代码
牛顿法迭代公式：(1)2()1()[()]()k k k k x x f x f x +-=-∇∇Matlab 代码：function [x1,k] =newton(x1,eps)hs=inline('(x-1)^4+y^2'); 写入函数ezcontour(hs,[-10 10 -10 10]); 建立坐标系hold on; 显示图像syms x y 定义变量f=(x-1)^4+y^2; 定义函数grad1=jacobian(f,[x,y]); 求f 的一阶梯度grad2=jacobian(grad1,[x,y]); 求f 的二阶梯度k=0; 迭代初始值while 1 循环grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 一阶梯度赋初值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 二阶梯度赋初值 x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z)'; 核心迭代公式if norm(x1-x2)<eps 判断收敛条件break;elseplot([x1(1),x2(1)],[x1(2),x2(2)],'-r*'); 画图k=k+1; 迭代继续x1=x2; 赋值endendend优点：在极小点附近收敛快缺点：但是要计算目标函数的hesse 矩阵最速下降法1. ：选取初始点xo ，给定误差2. 计算一阶梯度。
若一阶梯度小于误差，停止迭代，输出3. 取()()()k k p f x =∇4. 10t ()(), 1.min k k k k k k k k k k t f x t p f x tp x x t p k k +≥+=+=+=+进行一维搜索，求，使得令转第二步例题：求min (x-2)^4+(x-2*y)^2.初始值（0,3）误差为0.1(1)编写一个目标函数，存为f.mfunction z = f( x,y )z=(x-2.0)^4+(x-2.0*y)^2;end(2)分别关于x 和y 求出一阶梯度，分别存为fx.m 和fy.mfunction z = fx( x,y )z=2.0*x-4.0*y+4.0*(x-2.0)^3;end和function z = fy( x,y )z=8.0*y-4.0*x;end（3）下面是脚本文件，一维搜索用的是黄金分割法Tic 计算时间eps=10^(-4);误差err=10;dt=0.01;x0=1.0;初始值y0=1.0;mm=0;while err>eps 黄金分割法dfx=-fx(x0,y0);dfy=-fy(x0,y0);tl=0;tr=1;确定一维搜索的区间h=3;nn=0;gerr=10;geps=10^(-4);while gerr>gepstll=tl+0.382*abs(tr-tl);trr=tl+0.618*abs(tr-tl);iff(x0+tll*h*dfx,y0+tll*h*dfy)>f(x0+trr*h*dfx,y0+trr*h*dfy) tl=tll;elsetr=trr;endgerr=abs(tl-tr); 区间的长度之差tt=0.5*(tl+tr);nn=nn+1;步数增加if nn>200 迭代终止条件breakendendx0=x0+tt*h*dfx; 重新迭代y0=y0+tt*h*dfy;err=sqrt(fx(x0,y0)^2+fy(x0,y0)^2);mm=mm+1;步数增加if mm>700 迭代步数超过700，终止breakendendres=[x0,y0];输出最后的x，y。
matlab编程实现二分法牛顿法黄金分割法最速下降matlab程序代码
用二分法求解4224min ()f t t t t =--115[,.]t ∈内的极小值点，要求准 1.function [t d]=erfenfa(a,b)k=1; %记录循环次数while abs(a-b)>0.0005c=(a+b)/2;C(k)=c; %存储每次循环中点c 的值if ff(c)<0a=c;endif ff(c)==0t1=c;break ;endif ff(c)>0b=c;endk=k+1;endt=(a+b)/2; %最终符合要求的值d=f(t); %最优解Ckfunction y=f(t)y=t^4-2*t^2-4*t;function y=ff(t)y=4*t^3-4*t-4;运行结果>> [t d]=erfenfa(1,1.5)C =Columns 1 through 91.2500 1.3750 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 1.32621.3252Column 101.3247k =11t =1.3250d =-5.72902.黄金分割法 f (x)=x3-2x+1 初始区间[0, 3]，收敛精度0.5function [t,f]=huangjinfenge(a,b)m=1-(sqrt(5)-1)/2;t2=a+m*(b-a)f2=g(t2);t1=a+b-t2f1=g(t1);while abs(t1-t2)>0.5if f1<f2a=t2;t2=t1f2=f1;t1=a+b-t2f1=g(t1);elseb=t1;t1=t2f1=f2;t2=a+m*(b-a)f2=g(t2);endendt=(t1+t2)/2;f=g(t);function y=g(t)y=t^3-2*t+1;运行结果> [t,f]=huangjinfenge(0,3)t2 =1.1459t1 =1.8541t1 =1.1459t2 =0.7082t =0.9271f =-0.0574>>3. 用牛顿法求解291min ()sin f x x x =--初始迭代点为x 0=0.4,要求准确到小数 点后第5位小数function [t1,d]=Newton(t0)t=t0-ff(t0)/fff(t0);k=1;%记录迭代次数T(1)=t;%存储迭代点while abs(t-t0)>0.000005t0=t;t=t0-ff(t)/fff(t);k=k+1;T(k)=t;endt1=t0;d=f(t1);kTfunction y=f(x)y=9*x^2-sin(x)-1;function y=ff(x)y=18*x-cos(x);function y=fff(x)y=18+sin(x);运行结果>> [t1,d]=Newton(0.4)k =3T =0.0586 0.0555 0.0555t1 =0.0555d =-1.0277>>4. 最速下降法验证课本上的例题求解291min ()sin f x x x =--初始迭代点为x 0=0.4, 要求准确到小数点后第5位小数function [G,g,X,F]=zuisu(X0)F(1)=f(X0);%存储x 点处的值G(:,1)=h(X0); %存储梯度向量g(1)=norm(G(:,1));%存储梯度模长X(:,1)=X0; %存储x 值A=[2,0;0,8];for j=1:2X(:,j+1)=X(:,j)-(G(:,j)'*G(:,j))/(G(:,j)'*A*G(:,j))*G(:,j); F(j+1)=f(X(:,j+1));G(:,j+1)=h(X(:,j+1));g(j+1)=norm(G(:,j+1));endif (G(:,2)'*G(:,1)<1E-10& G(:,3)'*G(:,2)<1E-10)disp(['相邻两搜索方向是正交的'])endfunction y=f(X)y=X(1)^2+4*X(2)^2;function n=h(X)n=[2*X(1),8*X(2)]';运行结果>> [G,g,X,F]=zuisu(X0)相邻两搜索方向是正交的G =2.0000 1.4769 0.2215 8.0000 -0.3692 0.8862g =8.2462 1.5224 0.9134X =1.0000 0.7385 0.1108 1.0000 -0.0462 0.1108F =5.0000 0.5538 0.0613 >>。
MATLAB实现最速下降法_和牛顿法和共轭梯度法
MATLAB实现最速下降法_和牛顿法和共轭梯度法最速下降法:题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件:function [R,n]=steel(x0,y0,eps) syms x;syms y;f=(x-2)^2+(y-4)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)]; temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2); x1=x0;y1=y0;n=0;syms kk;while (temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]调用黄金分割法:M文件:function Mini=Gold(f,a0,b0,eps) syms x;format long; syms kk;u=a0+0.382*(b0-a0);v=a0+0.618*(b0-a0);k=0;a=a0;b=b0;array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u);Fv=subs(f,kk,v);if(Fu<=Fv)b=v;v=u;u=a+0.382*(b-a);k=k+1;elseif(Fu>Fv)a=u;u=v;v=a+0.618*(b-a);k=k+1;endarray(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; endMini=(a+b)/2;输入:[R,n]=steel(0,1,0.0001)R = 1.99999413667642 3.99999120501463 R = 1.999994136676423.99999120501463 n = 1牛顿法:题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件:syms x1 x2;f=(x1-2)^2+(x2-4)^2;v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);epson=1e-12;x0=[0,0]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs (G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;mul_count=0;sum_count=0;mul_count=mul_count+12;sum_count=sum_count+6; while(norm(g1)>epson) p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;mul_count=mul_count+16;sum_count=sum_count+11;end;kx0mul_countsum_count结果::k = 1x0 =24mul_count = 28sum_count = 17 共轭梯度法:题目:f=(x-2)^2+(y-4)^2M文件:function f=conjugate_grad_2d(x0,t)x=x0;syms xi yi af=(xi-2)^2+(yi-4)^2; fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi},x0); fy=subs(fy,{xi,yi},x0); fi=[fx,fy]; count=0;while double(sqrt(fx^2+fy^2))>ts=-fi;if count<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f1);if f1~=0ai=double(f1);elsebreakx,f=subs(f,{xi,yi},x),count endx=subs(x,a,ai);f=xi-xi^2+2*xi*yi+yi^2;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2); s1=-fii+d*s;count=count+1;fx=fxi;fy=fyi;endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count 输入:conjugate_grad_2d([0,0],0.0001) 结果:x = 0.24998825499785 -0.24999998741273f = 0.12499999986176count = 10ans = 0.12499999986176。
MATLAB实现最速下降法(梯度)程序
matlab最速下降法2010-08-18 17:13function x=fsxsteep(f,e,a,b)% fsxsteep函数最速下降法% x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数 f为函数 e为允许误差 (a,b)为初始点;% fsx TJPU 2008.6.15x1=a;x2=b;Q=fsxhesse(f,x1,x2);x0=[x1 x2]';fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数g=[fx1 fx2]'; %梯度g1=subs(g); %把符号变量转为数值d=-g1;while (abs(norm(g1))>=e)t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d); %求搜索方向x0=x0-t*g1; %搜索到的点v=x0;a=[1 0]*x0;b=[0 1]*x0;x1=a;x2=b;g1=subs(g);d=-g1;end;x=v;function x=fsxhesse(f,a,b)% fsxhesse函数求函数的hesse矩阵；% 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！；% x=fsxhesse(f)为输入函数 f为二次函数 x1,x2为自变量；% fsx TJPU 2008.6.15x1=a;x2=b;fx=diff(f,'x1'); %求f对x1偏导数fy=diff(f,'x2'); %求f对x2偏导数fxx=diff(fx,'x1'); %求二阶偏导数对x1再对x1fxy=diff(fx,'x2'); %求二阶偏导数对x1再对x2fyx=diff(fy,'x1'); %求二阶偏导数对x2再对x1fyy=diff(fy,'x2'); %求二阶偏导数对x2再对x2fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值fxy=subs(fxy);fyx=subs(fyx);fyy=subs(fyy);x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩阵syms x1 x2;X=[x1,x2];fx=X(1)^2+2*X(2)^2;z=fsxsteep(fx,0.001,1,1)。
最优化 多目标优化 惩罚函数法 梯度法 牛顿法
2008-12-08 12:30利用梯度法和牛顿法编程求最优解(matlab)f(x)=x1^2+4*x2^2 x0=[2;2] e=0.002利用梯度法和牛顿法编程求最优解方法一.梯度法function y=fun(x1,x2)y=x1^2+4*x2^2; %定义fun.m函数clcsyms x1 x2 d;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nvpa(x1)vpa(x2)vpa(f0)break;elseD=fun(x1-d*f1,x2-d*f2);Dd=diff(D,'d');dd=solve(Dd);x1=x1-dd*f1;x2=x2-dd*f2;endend %结果n=10,x1=0.2223e-3,x2=-0.1390e-4,f0=0.5021e-7. 方法二.牛顿法clcsyms x1 x2 ;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2= diff(fx2,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nx1=vpa(x1,4)x2=vpa(x2,4)f0=vpa(f0,4)break;elseX=[x1 x2]'-inv([fx1x1 fx1x2;fx2x1 fx2x2]) *[f1 f2]';x1=X[1,1];x2=X[2,1];endend %结果 n=2,x1=0,x2=0,f0=0.惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值编程 matlab1 用外点法求下列问题的最优解方法一：外点牛顿法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。
最优化方法的Matlab实现(公式(完整版))
第九章最优化方法的Matlab实现在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。
最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。
由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。
用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容：1）建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题。
模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。
2）数学求解数学模型建好以后，选择合理的最优化方法进行求解。
最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。
9.1 概述利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。
具体而言，包括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的最小二乘问题。
另外，该工具箱还提供了线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。
9.1.1 优化工具箱中的函数优化工具箱中的函数包括下面几类：1．最小化函数表9-1 最小化函数表2．方程求解函数表9-2 方程求解函数表3．最小二乘（曲线拟合）函数表9-3 最小二乘函数表4．实用函数表9-4 实用函数表5．大型方法的演示函数表9-5 大型方法的演示函数表6．中型方法的演示函数表9-6 中型方法的演示函数表9.1.3 参数设置利用optimset函数，可以创建和编辑参数结构；利用optimget函数，可以获得o ptions优化参数。
● optimget函数功能：获得options优化参数。
语法：val = optimget(options,'param')val = optimget(options,'param',default)描述：val = optimget(options,'param') 返回优化参数options中指定的参数的值。
MATLAB梯度优化算法程序
查看文章matlab最速下降法2010-08-18 17:13function x=fsxsteep(f,e,a,b)% fsxsteep函数最速下降法% x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数 f为函数 e为允许误差 (a,b)为初始点; % fsx TJPU 2008.6.15x1=a;x2=b;Q=fsxhesse(f,x1,x2);x0=[x1 x2]';fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数g=[fx1 fx2]'; %梯度g1=subs(g); %把符号变量转为数值d=-g1;while (abs(norm(g1))>=e)t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d); %求搜索方向x0=x0-t*g1; %搜索到的点v=x0;a=[1 0]*x0;b=[0 1]*x0;x1=a;x2=b;g1=subs(g);d=-g1;end;x=v;function x=fsxhesse(f,a,b)% fsxhesse函数求函数的hesse矩阵；% 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！；% x=fsxhesse(f)为输入函数 f为二次函数 x1,x2为自变量；% fsx TJPU 2008.6.15x1=a;x2=b;fx=diff(f,'x1'); %求f对x1偏导数fy=diff(f,'x2'); %求f对x2偏导数fxx=diff(fx,'x1'); %求二阶偏导数对x1再对x1fxy=diff(fx,'x2'); %求二阶偏导数对x1再对x2fyx=diff(fy,'x1'); %求二阶偏导数对x2再对x1fyy=diff(fy,'x2'); %求二阶偏导数对x2再对x2fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值fxy=subs(fxy);fyx=subs(fyx);fyy=subs(fyy);x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩阵syms x1 x2;X=[x1,x2];fx=X(1)^2+2*X(2)^2;z=fsxsteep(fx,0.001,1,1)。
最优化计算方法及其matlab程序实现
最优化计算方法及其matlab程序实现以最优化计算方法及其MATLAB程序实现为标题的文章最优化计算是一种重要的数学方法，可以用于解决各种实际问题。
最优化计算的目标是找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在实际应用中，最优化计算广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域。
在最优化计算中，常用的方法有无约束优化方法和约束优化方法。
无约束优化方法用于求解没有约束条件的最优化问题，常见的方法有牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等。
约束优化方法用于求解带有约束条件的最优化问题，常见的方法有拉格朗日乘子法、KKT条件法等。
MATLAB是一种强大的数值计算软件，它提供了丰富的最优化计算函数和工具箱，可以方便地实现各种最优化计算方法。
下面将介绍几种常用的最优化计算方法及其在MATLAB中的实现。
1. 牛顿法牛顿法是一种基于一阶和二阶导数信息的优化方法，可以用于求解无约束最优化问题。
其基本思想是通过一阶导数和二阶导数信息来逼近目标函数的局部极小值点。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数实现牛顿法。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种基于一阶导数信息的优化方法，可以用于求解无约束最优化问题。
其基本思想是沿着目标函数梯度的反方向进行搜索，以找到目标函数的极小值点。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数实现梯度下降法。
3. 共轭梯度法共轭梯度法是一种基于一阶导数信息的优化方法，可以用于求解无约束最优化问题。
其基本思想是通过迭代的方式，利用前一次迭代的搜索方向和当前的梯度信息来更新搜索方向，以加速收敛速度。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数实现共轭梯度法。
4. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种用于求解带有等式约束和不等式约束的最优化问题的方法。
其基本思想是将带约束的优化问题转化为一个不带约束的优化问题，在目标函数中引入拉格朗日乘子，并通过求解原问题和对偶问题的极值点来得到最优解。
在MATLAB中，可以使用fmincon函数实现拉格朗日乘子法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
牛顿法
迭代公式：(1)2()1()[()]()k k k k x x f x f x +-=-∇∇
Matlab 代码：
function [x1,k] =newton(x1,eps)
hs=inline('(x-1)^4+y^2'); 写入函数
ezcontour(hs,[-10 10 -10 10]); 建立坐标系
hold on; 显示图像
syms x y 定义变量
f=(x-1)^4+y^2; 定义函数
grad1=jacobian(f,[x,y]); 求f 的一阶梯度
grad2=jacobian(grad1,[x,y]); 求f 的二阶梯度
k=0; 迭代初始值
while 1 循环
grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 一阶梯度赋初值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 二阶梯度赋初值 x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z)'; 核心迭代公式
if norm(x1-x2)<eps 判断收敛条件
break;
else
plot([x1(1),x2(1)],[x1(2),x2(2)],'-r*'); 画图
k=k+1; 迭代继续
x1=x2; 赋值
end
end
end
优点：在极小点附近收敛快
缺点：但是要计算目标函数的hesse 矩阵
最速下降法
1. ：选取初始点xo ，给定误差
2. 计算一阶梯度。
若一阶梯度小于误差，停止迭代，输出
3. 取()()()k k p f x =∇
4. 10
t ()(), 1.min k k k k k k k k k k t f x t p f x tp x x t p k k +≥+=+=+=+进行一维搜索，求，使得令转第二步
例题：
求min (x-2)^4+(x-2*y)^2.初始值（0,3）误差为0.1
(1)编写一个目标函数，存为f.m
function z = f( x,y )
z=(x-2.0)^4+(x-2.0*y)^2;
end
(2)分别关于x 和y 求出一阶梯度，分别存为fx.m 和fy.m function z = fx( x,y )
z=2.0*x-4.0*y+4.0*(x-2.0)^3;
end
和
function z = fy( x,y )
z=8.0*y-4.0*x;
end
（3）下面是脚本文件，一维搜索用的是黄金分割法Tic 计算时间
eps=10^(-4);误差
err=10;
dt=0.01;
x0=1.0;初始值
y0=1.0;
mm=0;
while err>eps 黄金分割法
dfx=-fx(x0,y0);
dfy=-fy(x0,y0);
tl=0;tr=1;确定一维搜索的区间
h=3;
nn=0;
gerr=10;
geps=10^(-4);
while gerr>geps
tll=tl+0.382*abs(tr-tl);
trr=tl+0.618*abs(tr-tl);
if
f(x0+tll*h*dfx,y0+tll*h*dfy)>f(x0+trr*h*dfx,y0+trr*h*dfy) tl=tll;
else
tr=trr;
end
gerr=abs(tl-tr); 区间的长度之差
tt=0.5*(tl+tr);
nn=nn+1;步数增加
if nn>200 迭代终止条件
break
end
end
x0=x0+tt*h*dfx; 重新迭代
y0=y0+tt*h*dfy;
err=sqrt(fx(x0,y0)^2+fy(x0,y0)^2);
mm=mm+1;步数增加
if mm>700 迭代步数超过700，终止
break
end
end
res=[x0,y0];输出最后的x，y。
toc 计算运行时间
拟牛顿法（DFP 算法）
220'412010min ()4,(1,1),,1001f x x x x H ε-⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭
取 这是一个脚本文件可以直接运行
syms x1 x2;定义变量
eps=0.00001;
x0=[1,1]';初始值
h0=[1,0;0,1];
f=x1^2+4*x2^2;待求函数
fx=diff(f,x1);对x求导
fy=diff(f,x2);对y求导
df=[fx,fy];f的一阶梯度
dfx0=[subs(fx,[x1,x2],x0),subs(fy,[x1,x2],x0)]';赋初值
d0=-dfx0;搜索方向
n=1;
while 1
syms t;
s0=x0+t*d0;引入变量t
ff=subs(f,[x1,x2],s0)给f赋值;
t=solve(diff(ff));求ff的极小点
xx1=x0+t*d0;更新初始值
dfx1=[subs(fx,[x1,x2],xx1'),subs(fy,[x1,x2],xx1')]';赋值
pp=sqrt(dfx1*dfx1');判断此时一阶梯度的值
if(pp<0.001)迭代终止条件
break
end
a1=xx1-x0;
r1=dfx1-dfx0;
h1=h0+(a1*a1')/(a1'*r1)-(h0*r1*r1'*h0)/(r1'*h0*r1);h0的更新d1=-h1*dfx1;搜索方向的更新
d0=d1;循环赋值
x0=xx1;循环赋值
h0=h1;二阶梯度的近似的更新
n=n+1;计算迭代步数
end
共轭梯度法
221212112(,)242f x x x x x x x =+--求二次函数的极小点。
(0)(1,1)T =取初始点x
这是一个脚本文件
clc;
clear all ;
syms x y t ; 定义变量
x0=[1,1];初始值
n=1;初始迭代
t=0;
f1=x^2+2*y^2-4*x-2*x*y;待求函数
dfx=diff(f1,x);求函数的对x 一阶梯度
dfy=diff(f1,y);函数对y 的一阶梯度
df=[dfx,dfy];函数一阶梯度以数组的形式
while 1
syms kk ;在循环里定义变量
g0=[subs(dfx,[x,y],x0),subs(dfy,[x,y],x0)];给一阶梯度赋值 s0=-g0;下降方向
m0=x0+kk*s0;引入变量kk
f11=f(m0(1),m0(2));带入原函数，得到关于kk的函数
kk=solve(diff(f11));求f11的极小点
m1=x0+kk*s0;更新迭代初始值
g1=[subs(dfx,[x,y],m1),subs(dfy,[x,y],m1)];给一阶梯度赋值 s1=-g1;
k=(s1*s1')/(g0*g0');
s2=s1+k*s0; 更新梯度
s0=s2;重新迭代
x0=m1;
tt=subs(df,[x,y],m1);
t=sqrt(tt*tt');一阶梯度值
n=n+1;
if (t<0.01)判断迭代终止条件
break
end
% if(n>20)
% break;
% end
end
最佳答案[4,2]。