层次分析法

•
i=1
i=1
i=1
• 如此一层层自上而下求下去，一直到最低层所有因素的权系数（
组合权系数）都求出来为止，根据最低层权系数的分布即可给出
一个关于各方案优先程度的排序。若记Bk为第k层次上所有因素相 对于上一层上有关因素的权向量按列组成的矩阵，则第k层次的
组合权系数向量WK满足： WK=Bk *Bk-1*.....*B2*B1 其中B1=（1
人气，议会重视球队的实力，市长重视母公司的经营力。
• 如本例决策者有复数人（本例是3人）时，层次3的各要因的最终 比重由依存决策者的力量关系，因之有需要如下计算。将层次3 的各要因的比重向量当做W时，即为
•
W=（w2，w3，w4）w1 本例的情形即为
•
市民 议会 市长
•
人气 0.669 0.088 0.096 0.515 0.390
• 例9 某单位拟从3名干部中选拔1人担任领导职务，选拔的标准 有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况 。把这6个标准进行成对比较后，得到判断矩阵A如下：
•
健康状况 1 1 1 4 1 1/2
•
业务知识 1 1 2 4 1 1/2
•
写作能力 1 1/2 1 5 3 1/2
•
A= 口才
• 神户市招揽棒球队对绿色体育馆，千叶县也招揽棒球队对千叶体 育馆，两市均获得成功。反映此种棒球界的情势，有一段时间， 某市的市长前来与我商讨招揽棒球队的问题。该市的企划室制定 A,B,C3个球队作为候选球队。但市长无法独断要招揽哪一个球队 ，需要取得议会与市民的同意。在此种条件下要招揽哪一个球队 好呢？
健康水 平
3.02
业务知 识
3.02
写作能 力
3.56
口才 3.05
政策水 平
3.00
工作作 风
3.21
A 0.14 0.10 0.32 0.28 0.47 0.77 B3= B 0.63 0.33 0.22 0.65 0.47 0.17
C 0.24 0.57 0.46 0.07 0.07 0.05 从而有 W3=B3B2=（0.40,0.34,0.26）T 即在3人中选拔A担任领导 职务。
人气 A B C A 1 1 1/3 B 1 1 1/3 C331
λmax=3.0 C.I.=0
实A B C 力 A 1 1 1/5 B 1 1 1/5 C551
λmax=3.0 C.I.=0
母公 A
B
C
司
A
1
3
9
B
1/3 1
6
C
1/9 1/6 1
λmax=3.054 C.I.=0.027
• 各层次的要素间之比重设定结束时，利用此结果进行整个阶层的 比重设定。针对综合目的（选择球队）制作各替代案的定量性选 择基准。替代案的选择基准的比重设为X时，即为
• 这是表示进行选择时决策者们的力量关系。此意见调查是让离三 者均为等距离之某市的企划室来回答，此矩阵的最大特征值是
• λmax=3.080.
市民 议会 市长
市民 1 1/7 1
议会 7 1 3
市长 1 1/3 1
λmax=3.08 C.I.=0.04
整合性的评估C.I.=0.04，可以说具有有效性。此外，对于此的最大特征值来说已标准化的特征向 量为W1T=（0.515,0.097.0.388）。 这是层次2的比重向量。在三位决策者中，可知市民具有最 大的发言力，其次是市长，最后是议会。接着，针对决策者（市民、议会、市长）分别进行层次 3的各要因比较。结果如下：
• 人气............W1T=（0.2,0.2,0.6）
• 实力............W2T=（0.143,0.143,0.714）
• 母公司.........W3T=（0.663,0.278,0.059）
• 从w1到w3是层次4（各替代案）对层次3的各要因之比重向量。 关于球队的人气与实力，c球队的魅力度（重要度）是最高的， 关于母公司的经营力来说，A球队的魅力度是最高的。
• 决策者是3个人（市民的心声、议会、市长）。一面将此事列 入考虑，一面决定出3个选择要因（球队的人气、球队的实力、 球队母公司的经营力）。接着，将此问题分解成如图
•
招揽球队的选择
•
市民
议会
市长
层次2
•
人气
实力
母公司
层次3
•
A球队
B球队
C球队
层次4
• 首先进行有关选择球队的层次2各要因的一对比较，结果如表
•
W= 实力 0.243 0.773 0.105 0.097 = 0.241
•
母公司 0.088 0.139 0.799 0.388 0.369
•
• 因此，有招揽球队的选择问题在层次3中的要因比重，知依序为 球队的人气（0.390）>母公司的经营力（0.3690）>球队的实力（ 0.241）。
• 最后，针对此3个选择要因进行各替代案（球队A,B,C）的一对比 较（基于各球队的客观资料进行一对比较）。这些结果如表所示 。此3个矩阵的各自最大特征值λmax与整合性的评估C.I.之值表示在 各矩阵的下方。另外，对此3个矩阵的最大特征值的标准化特征 向量分别为
市民
人气 实力 母公 司
人气
1 1/3 1/7
实力
3 1 1/3
母公 司
7 3 1
λmax=3.007 C.I.=0.004
议会
人气 实力 母公 司
人气 实力 母公 司
1
1/3 1/2
7
1
7
2
1/7
1
λmax=3.054 C.I.=0.027
'市长
人气 实力 母公 司
人气
1 1 9
实力 母公 司
•
X=（w1，w2，w3）w
本例的情形是
•
人气 实力 母公司
•
A 0.2 0.143 0.663 0.390
0.357
• X= B 0.2 0.143 0.278 0.241 = 0.215
•
C 0.6 0.714 0.056 0.369
0.428
• 因此，决策者（复数）从表中所回答的一对比较矩阵对各球队的 魅力度（重要度）即如上式，偏好的顺序为C>A>B。市长所希望 的母公司的经营力佳的A球队并未入选。可是，人气与实力兼备 的C球队中选，市民也非常的高兴，此后，只有期待此球队的母 公司的经营力。
• 第三步 求同一层次上的权系数（从高层到低层）。假设当前层 次上的因素为A1，....,An，相关的上一层因素为C（可以不止一个） ，则可针对因素C，对所有因素A1，....,An进行两两比较，得到数值 aij，其定义和解释见表。记A=（aij）n x n，则A为因素A1，....,An相应 于上一层因素C的判断矩阵。记A的最大特征值为λmax，属于λmax的 标准化的特征向量为W=（w1，....wn)T,则w1，....wn给出了因素A1，....An 相应于因素C的按重要（或偏好）程度的一个排序。
相对重要程度aij 1 3 5 7 9
2,4,6,8
定义 同等重要 略微重要 相当重要 明显重要 绝对重要 介于两相邻重要程度间
解释 目标i和目标j同样重要 目标i比目标j略微重要 目标i比目标j重要 目标i比目标j明显重要 目标i比目标j绝对重要
• 第四步 求同一层次上的组合权系数。设当前层次上的因素为
• 类似地可用特征向量法去求3个干部相对于上述6个标准中每一个
的权系数。用A,B,C表示3个干部，假设成对比较的结果为：
•
健康状况
业务知识
写作能力
•
ABC
•
A 1 1/4 1/2
•
B4 1 3
•
C 2 1/3 1
ABC A 1 1/4 1/5 B 4 1 1/2 C5 2 1
ABC A 1 3 1/3 B 1/3 1 1 C3 1 1
层次分析法
• 层次分析法的基本内容是：首先根据问题的性质和要求，提出一 个总的目标，然后将问题按层次分解，对同一层次内的诸因素通 过两两比较的方法确定出相对于上一层目标的各自的权系数。这 样层层分析下去，直到最后一层，即可给出所有因素（或方案)相 对于总目标而言的按重要性（或偏好）程度的一个排序。具体步 骤如下：
1
1/9
1
1/7
7
1
λmax=3.007 C.I.=0.004
• 3个矩阵的各自最大特征值λmax与整合性的评估C.I.之值分别表示在 各矩阵的下方。3个矩阵的C.I.之值均在0.1以下，所以可以说均具 有有效性。另外，对此3个矩阵的最大特征值而言，他们的标准 化的特征向量分别为：
• 市民............W2T=（0.669，0.243，0.088） • 议会............W3T=（0.088，0.773，0.139） • 市长............W4T=（0.096，0.105，0.799） • 这些是层次3对各决策者而言的比重向量。可知市民重视球队的
。对于1阶到9阶的判断矩阵，RI的值分别为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
• 判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比，称 为随机一致Fra Baidu bibliotek比率，记为
•
CR=CI/RI
• 通常要求CR<=0.1，此时可以认为判断矩阵具有满意的一致性，否 则需要对判断矩阵进行调整。对于判断矩阵的最大特征根和对应 的特征向量，可利用一般的线性代数的方法进行计算。
• 第一步 明确问题，提出总目标。
• 第二步 建立层次结构，把问题分解成若干层次。第一层为总目 标；中间层可根据问题的性质分成目标层（准则层）、部门层（ 子准则层）等；最低层一般为方案层或措施层。层次的正确划分 和各因素间关系的正确描述是层次分析法的关键，需慎重对待。
• 经过充分的讨论和分析，最后画出相应的分层结构图。
A1，....An，相关的上一层因素为C1.....Cm,则对每个Ci，根据第三步的讨
论可求得一个权向量Wi=（wi1，.....win）。如果已知上一层m个因素
的权重分别为a1，.....am，则当前层每个因素的组合权系数为：
•
m
m
m
•
Σ aiwi1 Σ=aiwi2, ......... Σ aiwin
•
•
口才
政策水平
工作作风
•
AB C
ABC
ABC
•
A 1 1/3 5
A1 1 7
A1 7 9
•
B3 1 7
B1 1 7
B 1/7 1 5
•
C 1/5 1/7 1
C 1/7 1/7 1
C 1/9 1/5 1
由此可求得各属性的最大特征值和对应的特征向量，按列组成矩阵
B3
•
各属性的最大特征值
特征值 λmax
1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
•
政策水平 1 1 1/3 3 1 1
•
工作作风 2 2 2 3 1 1
• 矩阵A表明，这个单位选拔干部时最重视工作作风，而最不重视 口才。A的最大特征值为6.35，相应的特征向量为：
•
B2=（0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30）T
• 第五步 一致性检验。在得到判断矩阵A时，有时免不了会出现 判断上的不一致性，因而需要利用一致性指标来进行检验。作为 度量判断矩阵偏离一致性的指标，可以用
•
CI= λmax-n/n-1
• 来检查决策者判断思维的一致性。为了度量不同判断矩阵是否具
有满意的一致性，还需要利用判断矩阵的平均随机一致性指标RI