高中-数学-人教A版-第三章 章末整合提升-必修1学案

章末整合提升

要点归纳

1．函数的零点与方程的根的关系：

(1)方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔y ＝f (x )有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：①借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x 轴的交点个数；②通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断． 2．二分法

(1)图象都在x 轴同侧的函数零点不能 (填“能”或“不能”)用二分法求． (2)用二分法求零点近似解时，零点区间(a ，b )始终要保持f (a )·f (b )<0； (3)若要求精确度为0.01，则当|a －b |≤0.01时，便可判断零点近似值为a 或b . 3．在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．

知识体系

专题突破

专题一 ⇨函数的零点与方程根的关系

一般结论：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．但要注意零点判定定理不能判断零点个数．

典例1 讨论函数f (x )＝x 2－2|x |－1－a (a ∈R )的零点的个数．

[解析] 令f (x )＝0，即x 2－2|x |－1＝a .

令g (x )＝x 2－2|x |－1，h (x )＝a 则问题转化为求函数g (x )的图象与直线y ＝a 交点的个数．

g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2x －1(x ≥0)

x 2＋2x －1(x <0).

作出函数g (x )的图象，如图所示．

当a 在R 上取值时，函数h (x )的图象是一系列垂直于y 轴的直线．

①当a <－2时，g (x )的图象与直线y ＝a 无交点，方程x 2－2|x |－1＝a 无实根，即函数f (x )无零点；

②当a ＝－2，或a >－1时，g (x )的图象与直线y ＝a 的图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点；

③当－2－1时，函数f (x )有两个零点； 当－2

(2)转化为求y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．

(3)将f (x )分解为h (x )－g (x )，则f (x )＝0化为h (x )－g (x )＝0，再化为h (x )＝g (x )，从而转化为两个函数y ＝h (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标．

专题二 ⇨一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图象性质问题和解不等式的综合考查．它在应用上的灵活性和广泛性，使其成为考试的热点问题．

典例2 设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0}，B ＝

{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤2}，A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．

[分析] 本题考查一元二次方程根的分布问题，应用等价转化思想及数形结合的思想，先将A ∩B ≠∅转化为方程组在x ∈[0,2]上有解，然后由一元二次方程构造二次函数，利用根的分布求解．

[解析] 由条件A ∩B ≠∅知，方程x 2＋mx －y ＋2＝0与方程x －y ＋1＝0(0≤x ≤2)有公共解．

由方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋mx －y ＋2＝0x －y ＋1＝0，消去y 得，

x 2＋(m －1)x ＋1＝0，(*)

故方程(*)在区间[0,2]上有实数根．

令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，即为函数f (x )的图象与x 轴在区间[0,2]内有交点，结合图象得

等价关系式为⎩⎪⎨⎪⎧

Δ≥0

0≤1－m 2≤2

f (2)≥0f (0)≥0

，或f (0)·f (2)≤0，

解得m ≤－1.

[点评] 一元二次方程根的分布问题的处理方法

对于一元二次方程实根分布问题，要抓住四点：开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．

专题三 ⇨几种函数模型的应用 几类不同增长的函数模型

(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

(3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，且b ≠1)； (4)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，且a ≠1，m ≠0)； (5)幂函数模型：y ＝ax n ＋b (a ≠0)；

(6)分段函数模型：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

f 1(x )，x ∈A 1

f 2(x )，x ∈A

2

…

f n

(x )，x ∈A

n

.

典例3 (对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的

常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1996年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算日本1923年地震强度是8.3级的几倍？是7.1级的几倍？(已知lg2＝0.3)

[分析] 依题意将各次地震的地震强度设出，然后寻找它们之间的关系．

[解析] 设日本1923年地震强度是x ，旧金山1996年地震强度为y,1989年地震强度为z ，则lg x ＝8.9，lg y ＝8.3，lg z ＝7.1，则lg x －lg y ＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，

从而lg x ＝lg4＋lg y ＝lg(4y )，∴x ＝4y . lg x －lg z ＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg64， 从而lg x ＝lg z ＋lg64＝lg(64z )，∴x ＝64z .

∴8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．

『规律方法』 对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．涉及对数式，因此要格外注意真数的取值范围，还要结合实际问题使所求问题