高中-数学-人教A版-第三章 章末整合提升-必修1学案

章末整合提升要点归纳1．函数的零点与方程的根的关系：(1)方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔y ＝f (x )有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：①借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x 轴的交点个数；②通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断． 2．二分法(1)图象都在x 轴同侧的函数零点不能 (填“能”或“不能”)用二分法求． (2)用二分法求零点近似解时，零点区间(a ，b )始终要保持f (a )·f (b )<0； (3)若要求精确度为0.01，则当|a －b |≤0.01时，便可判断零点近似值为a 或b . 3．在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．知识体系专题突破专题一 ⇨函数的零点与方程根的关系一般结论：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．但要注意零点判定定理不能判断零点个数．典例1 讨论函数f (x )＝x 2－2|x |－1－a (a ∈R )的零点的个数．[解析] 令f (x )＝0，即x 2－2|x |－1＝a .令g (x )＝x 2－2|x |－1，h (x )＝a 则问题转化为求函数g (x )的图象与直线y ＝a 交点的个数．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1(x ≥0)x 2＋2x －1(x <0).作出函数g (x )的图象，如图所示．当a 在R 上取值时，函数h (x )的图象是一系列垂直于y 轴的直线．①当a <－2时，g (x )的图象与直线y ＝a 无交点，方程x 2－2|x |－1＝a 无实根，即函数f (x )无零点；②当a ＝－2，或a >－1时，g (x )的图象与直线y ＝a 的图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点；③当－2<a <－1时，函数g (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点，即函数f (x )有四个零点； ④当a ＝－1时，函数g (x )的图象与直线y ＝a 有三个交点，即函数f (x )有三个零点． 综上所述，当a <－2时，函数f (x )无零点； 当a ＝－2，或a >－1时，函数f (x )有两个零点； 当－2<a <－1时，函数f (x )有四个零点； 当a ＝－1时，函数f (x )有三个零点． 『规律方法』 求函数y ＝f (x )零点的方法 (1)转化为求方程f (x )＝0的根．(2)转化为求y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．(3)将f (x )分解为h (x )－g (x )，则f (x )＝0化为h (x )－g (x )＝0，再化为h (x )＝g (x )，从而转化为两个函数y ＝h (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标．专题二 ⇨一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图象性质问题和解不等式的综合考查．它在应用上的灵活性和广泛性，使其成为考试的热点问题．典例2 设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤2}，A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．[分析] 本题考查一元二次方程根的分布问题，应用等价转化思想及数形结合的思想，先将A ∩B ≠∅转化为方程组在x ∈[0,2]上有解，然后由一元二次方程构造二次函数，利用根的分布求解．[解析] 由条件A ∩B ≠∅知，方程x 2＋mx －y ＋2＝0与方程x －y ＋1＝0(0≤x ≤2)有公共解．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx －y ＋2＝0x －y ＋1＝0，消去y 得，x 2＋(m －1)x ＋1＝0，(*)故方程(*)在区间[0,2]上有实数根．令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，即为函数f (x )的图象与x 轴在区间[0,2]内有交点，结合图象得等价关系式为⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00≤1－m 2≤2f (2)≥0f (0)≥0，或f (0)·f (2)≤0，解得m ≤－1.[点评] 一元二次方程根的分布问题的处理方法对于一元二次方程实根分布问题，要抓住四点：开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．专题三 ⇨几种函数模型的应用 几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，且b ≠1)； (4)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，且a ≠1，m ≠0)； (5)幂函数模型：y ＝ax n ＋b (a ≠0)；(6)分段函数模型：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈A 1f 2(x )，x ∈A2…f n(x )，x ∈An.典例3 (对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1996年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算日本1923年地震强度是8.3级的几倍？是7.1级的几倍？(已知lg2＝0.3)[分析] 依题意将各次地震的地震强度设出，然后寻找它们之间的关系．[解析] 设日本1923年地震强度是x ，旧金山1996年地震强度为y,1989年地震强度为z ，则lg x ＝8.9，lg y ＝8.3，lg z ＝7.1，则lg x －lg y ＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，从而lg x ＝lg4＋lg y ＝lg(4y )，∴x ＝4y . lg x －lg z ＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg64， 从而lg x ＝lg z ＋lg64＝lg(64z )，∴x ＝64z .∴8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．『规律方法』 对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．涉及对数式，因此要格外注意真数的取值范围，还要结合实际问题使所求问题有实际意义．专题四⇨数学思想方法函数与方程思想函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题．方程思想，就是分析数学问题中的变量间等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决．方程的思想和函数的思想密切相关，是相互转化的．函数与方程的思想方法，渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用．本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y ＝f(x)的零点，就是求函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题．典例4方程log2(x＋4)＝2x的实数解的个数是(C)A．0B．1C．2 D．3[解析]要判断方程的实数解的个数，只需判断函数y＝log2(x＋4)与y＝2x的图象的交点个数即可．令f(x)＝log2(x＋4)，g(x)＝2x，在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，据图象可知函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，所以方程log2(x＋4)＝2x有两个实数解．专题五⇨对称问题我们已知奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称；二次函数是轴对称图形．这涉及到中心对称和轴对称的知识．随着学习的深入我们对于对称知识及其应用将不断深化理解，下面我们先对简单常见的对称问题有所了解．(1)点P(a，b)关于y轴的对称点为(－a，b)；关于x轴的对称点为(a，－b).关于直线x ＝m的对称点(2m－a，b)；关于直线y＝n的对称点为(a,2n－b).关于原点的对称点为(－a，－b)；(2)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(2a－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．典例5 定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则f (－1)，f (0)，f (3)的大小关系是__f (－1)<f (0)<f (3)__.[解析] 函数y ＝f (x ＋2)的图象可由函数y ＝f (x )的图象向左平移两个单位得到，由题设条件知f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (3)＝f (1)，∵f (x )在(－∞，2)上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)， ∴f (－1)<f (0)<f (3)．课时作业五A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b 2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b 2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x ＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·贵州遵义市高一期末测试)函数f (x )＝2x ＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] f (0)＝20－4＝－3<0， f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0， ∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7(x <0)x (x ≥0)，f (a )<1，则实数a 的取值范围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1，∴0≤a <1. 综上可知－3<a <1.故实数a 的取值范围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900(1≤x ≤30)900－(x －30)·10(30＜x ≤70)， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900(1≤x ≤30)1 200－10x (30＜x ≤70).(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000(1≤x ≤30)(12 000－10x )x －15 000(30＜x ≤70)，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000(1≤x ≤30)－10x 2＋1 200x －15 000(30＜x ≤70).当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x ＝4－x 的根所在区间是( B ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x ＝4－x ，得4x ＋x －4＝0，令f (x )＝4x ＋x －4， ∴方程4x ＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x ＋x －4的零点， f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0，f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0， ∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值范围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析] ∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)， ∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．[解析]由题意知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f(0)＝2m＋1<0f(－1)＝2>0f(1)＝4m＋2<0f(2)＝6m＋5>0，解得－56<m<－12.所以m的取值范围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析](1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v＝0，∴5log2Q10＝0，∴log2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v＝5log28010＝5log28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．[解析](1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为xm，故空闲率为1－xm，由此可得y＝kx(1－xm)(0<x<m)．(2)y ＝kx (1－x m )＝－k m (x 2－mx )＝－k m (x －m 2)2＋km 4，∵0<x <m ， ∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km 4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。