强冲击荷载作用下混凝土材料动态本构模型

第29卷第3期2008年9月固体力学学报C H IN ESE J OU RNAL O F SOL ID M EC HAN ICSVol.29No.3September2008强冲击荷载作用下混凝土材料动态本构模型3刘海峰1,233　宁建国1(1北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室,北京,100081)(2宁夏大学土木与水利工程学院,银川,750021)摘　要　基于混凝土强冲击荷载作用下的实验研究,以修正Ottosen四参数破坏准则为流动法则,引入损伤,构造了一个塑性与损伤相耦合的动态本构模型用于描述混凝土材料的冲击特性.在该模型中,考虑了引起混凝土材料弱化的两种不同的损伤机制:拉伸损伤和压缩损伤.其中,拉伸损伤是由微裂纹的张开和扩展引起的,通过拉伸应变来控制;压缩损伤相关于微空洞体积分数比的演化,并通过微空洞塌陷引起的压缩应变来控制,由此压缩损伤和拉伸损伤就完全耦合了.通过模型计算模拟结果与实验结果比较发现,随着冲击速度的提高,混凝土的峰值应力显著增加,即混凝土材料的承载能力增大,同时混凝土内部产生显著的塑性变形.模拟曲线与实验曲线拟合良好,因而可以用该模型模拟混凝土材料在强冲击荷载下的动态特性.关键词　混凝土,轻气炮,冲击特性,动态本构模型0　引言混凝土是目前工业与民用建筑中最常用的结构工程材料,已经被广泛地应用于高层建筑物,长跨桥,大坝,水电站,隧道和码头等.这些混凝土结构在其工作过程中除了承受正常的设计载荷外,往往还要承受诸如爆炸,冲击和撞击等动载荷.为了更好地设计和分析这些混凝土结构,必须对混凝土材料在冲击载荷作用下的力学性能及其本构特性进行研究.目前,人们对混凝土材料的动态力学性能已经有了比较深刻的认识和研究,对其动态本构特性也做了许多研究工作.Wat stein[1]利用落锤装置进行了混凝土材料的动态力学性能实验,由于落锤本身的惯性,所测得的实验结果很难确保是材料动态性能的真实反应;Bischoff[2]和胡时胜等[3]利用SHPB 压杆对混凝土的动态力学性能进行了实验研究;商霖等[4,5]利用SH PB压杆和轻气炮动力实验装置分别对混凝土材料和钢筋混凝土材料在冲击荷载作用下的力学性能进行了系统深入的研究.混凝土材料动态本构模型是研究其在爆炸或冲击荷载作用下损伤破坏机理,应力波的传播规律和衰减规律,结构破坏效应等的理论基础.基于对混凝土材料变形机理的分析,混凝土材料动态本构模型分为粘塑性本构模型[6,7]和损伤型本构模型[8,9],但由于缺乏对混凝土材料在冲击荷载作用下破坏机理的全面认识,因此至今仍未有一种大家普遍接受的本构模型.为了更好地描述冲击荷载作用下混凝土材料的动态响应特性,商霖等[4,5]在理想各向同性的粘弹性本构关系的基础上,引入损伤,分别建立混凝土材料和钢筋混凝土材料的动态本构模型,但没有将定义的损伤与材料的微观损伤机制联系起来;宁建国等[10]提出了一个塑性与损伤相耦合的动态本构模型,在该模型中,认为拉伸损伤是由微裂纹的张开和扩展引起的;压缩损伤由微孔洞的塌陷引起,通过混凝土材料的塑性体应变控制,但并没有将这两种损伤有效的耦合起来.本文基于损伤与塑性耦合理论,以修正的Otto sen四参数破坏准则为屈服法则,引入损伤,构造了一个动态本构模型用于描述混凝土材料的冲击特性,利用该模型对混凝土材料在强冲击荷载作用下的冲击特性进行数值模拟,并将该模型的预测曲线与宁建国等[10]提出的本构模型的预测曲线及实验结果进行比较,结果表明:模型预示结果无论在变形趋势上,还是数值精度上都与实验结果符合得很好.3 33国家自然科学基金项目(10625208,10572024)资助.2007209225收到第1稿,2008204204收到修改稿.通信作者. Tel:010*********, E2mail:liuhaifeng1557@.1　本构模型建立1.1　本构关系在小应变的前提下,遵循应变分解假定,将应变的增量可以分解为弹性部分和塑性部分,即εij = εe ij + εpij (1)弹性变形与应力之间满足弹性关系εe ij =M ij kl σkl (2)式中,M ij kl 为柔度张量,假设弹性和塑性之间不存在耦合,则M ij kl 为常张量.M ij kl =12G I ij kl +19Kδijδkl σkl (3)其中,G 和K 为材料的剪切模量和体积模量,与材料的杨氏模量E ,泊松比ν满足下列关系G =E/2(1+ν),　K =E/3(1-2ν) I ij kl 为特殊等同张量I ij kl =I ij kl -δij δkl /3,　I ij kl =(δik δjl +δjkδil )/2将上述表达式代入式(3)得到以ν,E 表示的柔度张量　M ij kl =1E 12(1+ν)(δik δjl +δil δjk )-νδijδkl (4)将式(4)代入式(2),并两边对时间求导得 εeij =1E 12(1+ν)(δik δjl +δil δjk )-νδij δkl σkl(5)将式(5)代入式(1)得 εij =1E 12(1+ν)(δik δjl +δil δjk )-νδij δkl σkl + εpij (6)塑性应变率由下式控制εpij =γ〈<(F )〉5F σij(7)式中,γ为流变系数,F 为屈服函数,采用修正后Ottosen 屈服准则;函数<(F )=(e F -1)m 1,其中m 1为常数;函数〈x 〉定义如下〈x 〉=0,x ≤0x ,x >0将式(7)代入式(6)得 εij =1E 12(1+ν)(δik δjl +δil δjk )-νδij δkl σkl + γ〈<(F )〉5Fσij(8)1.2　Otto sen 屈服法则及其修正Ottosen [11]于1977年研究混凝土材料时提出了如下的四参数破坏准则F (σij )=AJ 2f 2c+λJ 2f c +B I 1f c -1=0(9)其中,f c 为在准静态情况下混凝土的单轴抗压强度;A 和B 为常数;λ=λcos (3θ)>0,其中θ为应力角θ=13arccos 33J 32J 3/22I 1,J 2和J 3分别为应力张量第一不变量,应力偏量第二不变量和第三不变量 I 1=σkk ,　J 2=12s ij s ij J 3=13s ij s jk s ki ,　s ij =σij -13σkkδij 函数δij 由下式定义δij =0,i ≠j 1,i =j根据等边三角形的薄膜比拟法则,可以得到偏平面λ的表达式为λ=1γ=k 1cos arccos k 2cos (3θ)/3, co s (3θ)≥0k 1cos π/3-arcco s -k 2co s (3θ), co s (3θ)<0其中,k 1为尺寸因子,k 2为形状因子,其数值由λt (θ=0)和λc (θ=π/3)来确定.Otto sen 模型中的四个参数k 1,k 2,A 和B 由混凝土的单轴抗拉强度,单轴抗压强度,双轴等压强度和三轴等压强度的数据确定.取双轴等压强度f b c =1.16f c (Kupfer 等)[12];三轴强度ξ/f c =-5和r/f c =4(Balmer 和Richart [13,14]).当f 0=f t /f c 取不同数值时,各参数的变化如表1所示.表1　Ottosen 模型参数表Table 1　Parameter table of Ottosen modelf 0=f t /f cABk 1k 2λt λc λc /λt 0.081.80764.096214.48630.991414.47257.78340.53780.101.27593.196211.73650.980111.71096.53150.55770.120.92182.59699.91100.96479.87205.69790.5772在Ottosen 法则中:当A =0,λ为常数时,Otto 2sen 准则退化为经典Drucker 2Prager 准则;当A =B =0,λ为常数时,Ottosen 准则退化为von Mises 准则;λ为常数时,和Hsieh 2Chen 混凝土弹塑性硬化模型非常相似.同时由于该模型与他人实验数据拟合很好,因此得到广泛应用.・232・固　体　力　学　学　报 2008年借鉴Lemaitre 等[15]提出的三轴等效应力概念,用等效屈服应力Y d 替代式(9)中的f c ,得到如下修正后的Otto sen 屈服法则F (σij )=AJ 2Y 2d+λJ 2Y d +B I 1Y d -1=0(10)等效屈服应力Y d 定义如下Y d =σeq R 1/2ν(11)其中,σeq 为等效应力,σeq =3/2s ij s ij ;R ν为三轴函数,用于揭示静水压力对塑性变形的影响,可以表示如下R ν=23(1+ν)+3(1-2ν)P σeq2(12)冲击荷载作用下,在一维应力条件下σeq 等于动态应力强度σd ,由大量实验研究可知[16218],混凝土材料在高应变率下单轴抗压强度σd 和准静态情况下的单轴抗压强度f c 具有如下关系σd =f c f ( ε)(13)其中,f (ε)为应变率相关函数,目前常见的有幂数型和对数型[16218],本文采用如下形式f ( ε)=H 1(log ε)2+H 2log ε+H 3其中,H 1,H 2和H 3为常数,由实验数据拟合得到.将式(13)代入式(11)得到Y d =23(1+ν)σ2d +3(1-2ν)P 2(14)其中,P 为相应于动态应力强度σd 时的静水压力.2　损伤的引入混凝土各组成部分之间力学性能相差很大,而且内部存在大量的微裂纹和微空洞缺陷.在外荷载的作用下,由于微裂纹和微空洞缺陷的存在,使混凝土的力学性能产生弱化效应,为了表征这种弱化效应,把材料某种程度的弱化定义为损伤D.Lemait re [19,20]应变等价性原理:损伤材料(D ≠0)在有效应力作用下产生的应变与同种材料无损(D =0)时发生的应变等价.根据这一原理,受损材料(D ≠0)应力2应变本构关系可以从无损材料(D =0)的本构方程来导出,只要用损伤后的有效应力来取代无损材料本构关系中的名义应力.即通常所谓的Cauchy 应力σij =σij1-D(15)其中, σij 为有效应力,σij 为名义应力,D 为损伤因子,0≤D ≤1,当D =0时,表示材料无损伤,D =1时,表示材料完全丧失承载能力.用式(15)中 σij 替代式(8)中σij ,得到包含损伤的混凝土本构关系εij1E 12(1+ν)(δik δjl +δil δjk )-νδij δkl ・ σkl (1-D )+σkl D(1-D )2+γ〈<(F 1)〉5F 15σij (16)其中F 1(σij )=AJ 2(1-D )2Y 2d +λJ 2(1-D )Y d +BI 1(1-D )Y d-1由于混凝土内部存在大量的微裂纹和微空洞缺陷,因此损伤D 由两部分引起.一部分是由于混凝土内部微裂纹的张开和扩展引起的,通过拉伸应变来控制,设由于微裂纹引起的损伤部分为D t ;另一部分是由于混凝土内部的微空洞引起的,通过压缩应变来控制,设由于微空洞引起的损伤部分为D c .因此损伤D 为这两部分耦合,为简单计算,设损伤D 为D t 和D c 的线性组合,即D =αD t +(1-α)D c ,α为权重系数,0≤α≤1,α=0表示损伤D 完全由微空洞缺陷引起,α=1,表示损伤D 全部是由微裂纹的张开和扩展引起的.2.1　微裂纹损伤变量的描述2.1.1　微裂纹损伤的定义混凝土内部存在大量随机分布的微裂纹,其大小和尺寸各不相同,在动态和冲击载荷作用下,这些微裂纹被激活,形成应力释放区,并产生累积损伤,导致材料强度和刚度的劣化,并最终开裂破坏.假设这些微裂纹符合理想微裂纹体系统条件,定义宏观损伤D t 为含裂纹材料中单位体积内微裂纹所占的比例,且损伤是不可逆,则D t =V d V=V -V sV, D t ≥0(17)其中,V 是含损伤材料的体积,V s 是体积V 内无损伤部分的体积,V d 是体积V 中微裂纹所占体积.设含微裂纹代表性体积单元内单位体积微裂纹密度分布函数为n,则n d v 表示t 时刻体积在v 2v +d v 范围内的微裂纹数.因此损伤D t 可以表示如下D t =∫∞nv d v (18)其中,v 为单个微裂纹的特征体积,n (a,t )是理想微裂纹体系统中的数密度分布函数,满足下列演化方程5n 5t +5(n a )5t=n N(19)・332・第3期 刘海峰等:　强冲击荷载作用下混凝土材料动态本构模型其中,n N为微裂纹的成核率密度, a为微裂纹的扩展速率,对于理想微裂纹系统n N=n N(a,σ(t)), a= a(a,σ(t))对式(18)求导得D t=( D t)g+( D t)n(D t)g=∫∞0n v d v (D t)n=∫∞0n N v d v (20)式(20)表明,损伤变量D t的变化是由裂纹线性尺度的长大和成核两个部分引起的.2.1.2　微裂纹的扩展微裂纹的成核过程是一个随机过程,并用成核率密度n N来描述,其大小与应力状态及微裂纹的尺寸有关,借鉴白以龙[21]给出的如下成核密度表达式　n N=K th σtσth-1aa thm-1exp-aa thm(21)其中,K th,m和a th为材料常数,与材料的性质有关, a为微裂纹的尺寸,σth是微裂纹成核的阈值应力,只有应力σt>σth微裂纹成核,并且扩展,否则保持不变,上述参数均可以通过实验来确定.σt是混凝土内部引起微裂纹损伤演化的拉伸应力,与混凝土外部作用荷载σ不相同,但具有某种函数关系.为简单计算,采用σt=k|σ|,其中k为应力转化因子,表征材料内部微损伤对其内部场的影响.对于压缩情况,k <1;对于拉伸情况k>1,具体取值参见Ortiz 等[22,23]的工作.根据文献[24]裂纹失稳脆性断裂临界条件,可以得到微裂纹损伤演化发展的阈值应力σth=K IC/Yπa th,Y是形状系数,与试件几何形状,载荷条件和裂纹大小,位置等有关系,本文取Y=1;K IC 是材料的断裂韧度,表示材料抵抗裂纹失稳扩展能力的物理量,可以由实验确定.假设混凝土材料内微裂纹是钱币状,则单个微裂纹的特征体积可以表示如下[25]v=βa3(22)其中,β是几何因子,依赖于微裂纹的形状和尺寸.将式(22),(21)代入式(20)第三式得到由于微裂纹成核引起损伤的增加为 (D t)n=3K th σtσth-1・∫∞0a a th m-1exp-a a th mβ2a5d a 当m=1时,上式简化为(D t)n=360K thβ2a6thσtσth-1由于a th为10-3m量级,因此可以忽略微裂纹成核引起的损伤增加,只考虑混凝土原有微裂纹长大引起的损伤增加.王道荣[26]在I型裂纹扩展研究的基础上,提出了如下微裂纹扩展速率的计算公式aa=1-ν22λ1Eπ(σ2t-σ2th)C R(23)其中,λ1为材料单位表面能;C R为瑞利波波速,由下式确定C R=0.862+1.14ν1+νE2(1+ν)ρ其中,ρ为材料密度.其它参数同前.将式(23)代入式(20)第二式得(D t)g=∫∞03nβa3 a a d v= 3(1-ν2)2λ1Eπ(σ2t-σ2th)C R D t(24)代入式(20)第一式得D t=3(1-ν2)2λ1Eπ(σ2t-σ2th)C R D t(25)积分得　D t=D t0exp3(1-ν2)2λ1Eπ(σ2t-σ2th)C R(t-t0)(26)其中,D t0是混凝土材料初始损伤值,t0是裂纹扩展的初始时间.2.2　微空洞损伤变量的描述2.2.1　微空洞损伤变量的定义混凝土内部随机分布了大量的微空洞.在爆炸或冲击荷载作用下,随着微空洞的塌陷,混凝土材料压缩密实,体积模量也相应增大,由此出现了损伤为负值的情况,把这种损伤为负值的损伤称为负损伤D c.假设这些微空洞的分布是均匀的,并以其体积百分比f3(表示为材料孔隙度δ与密度ρ的乘积)作为表征材料内部损伤的度量D c=f3=δρ2.2.2　微空洞损伤演化方程G r jeu等[27]根据质量守恒定律推出了微空洞的演化方程,认为微空洞的演化由材料的体积应变控制.微空洞的扩展方程表示为f3=(1-f3) εkk(27)利用以上演化方程,可得到微空洞体积百分比f3的・432・固　体　力　学　学　报 2008年表示形式f3=1-(1-f30)e-εkk(28)其中,f30(=δ0ρ0)是初始微空洞体积百分比,δ0是混凝土材料的初始孔隙度,ρ0是混凝土材料的初始密度.3　模型参数的确定选用一级轻气炮动力实验装置在200m/s2500 m/s速度范围内冲击混凝土圆柱形靶板,靶板试件应变率响应范围达到了104s-12105s-1,横向约束围压应力范围在1GPa21.5GPa之间.研究中,共做了7发弹体冲击靶板的实验,其中3发实验取到了比较满意的实验信号.飞片和靶板采用同质材料,其原料配比和物理参数见表2和表3.飞片直径为75 mm,厚度为5mm,靶板由5块相同的圆盘形试件组成,试件直径为70mm,厚度为5mm,在圆盘形试件之间安装双螺旋形锰铜压阻传感器(共3个,分别对应于测试点No1,No2,No3),用于记录冲击信号.为了分析方便,取其加载段应变率平均值为实验响应应变率,实验可近似看作是恒应变率的.图12图3为不同冲击速度下混凝土材料应力应变曲线,并与本文提出的本构模型进行了比较,模型参数见表4.表2　混凝土试件组份材料配合比Table2　Composition of concrete specimens组份水泥粉煤灰硅灰砂子水HSG A E 配比/g3005020540100 2.5 2.5表3　混凝土物理参数表Table3　Parameter table of concrete杨氏模量E/GPa 泊松比ν材料密度ρ/kg・m23孔隙度δ0/cm3・g-1410.223500.041表4中,参数k1,k2,A和B由混凝土的单轴拉伸、单轴压缩实验,结合表1确定;参数H1,H2和H3通过对实验数据拟合得到;断裂韧度K IC和λ1取自断裂力学手册;针对不同的加载情况,裂纹成核尺度a th的量级约取为1mm;由于没有相应的微观测试方法,参考文献[28]中岩石材料,混凝土材料初始损伤值D t0的具体取值见表4;参数k可以通过在裂纹・532・第3期 刘海峰等:　强冲击荷载作用下混凝土材料动态本构模型扩展阈值应力σth与混凝土材料弹性极限σs之间建立关系,将其粗略求得;屈服参数m1,γ和α通过利用试凑法不断拟合逼近已有实验结果得到.表4　模型参数表Table4　Table of model parameter for concrete屈服参数材料参数m1γλ1/MJ・m-210.010.08状态参数A B k1k21.27593.196211.73650.9801损伤参数K IC/MPa・m k D t0a th/m0.90.40.070.001拟合参数H1H2H3α0.1340.1351.2960.8图12图3为不同冲击速度下混凝土靶板内部在不同的测试点(测试点分别为No1,No2,No3)位置处的模型预测曲线与实验测试曲线的比较,从图中可以看出,模型预示结果无论在变形趋势上,还是数值精度上都与实验结果符合得很好.同时将本文提出的本构模型预测曲线与宁建国等[10]提出的本构模型预测曲线进行了比较,发现本文提出的本构模型预测曲线与实验结果拟合较好.通过对图12图3不同靶板内同一测点处(如测点No1或No2或No3)在不同冲击速度下应力应变曲线的比较发现,随着冲击速度的提高,混凝土的承载能力显著增加,即图中峰值应力增大,相应的峰值应变亦显著增加,即混凝土材料的塑性变形增大.这主要是两方面的原因,一方面由于混凝土材料是率相关材料,受到应变率效应的影响,另一方面由于静水压力相关性的影响,横向的约束压力限制了混凝土材料裂纹的发展.4　结论混凝土材料在冲击荷载作用下的响应是一个非常复杂的过程,不仅涉及了材料内部微结构损伤缺陷的演化发展,而且还涉及了材料应变率敏感效应影响.进行混凝土材料特性研究的时候,不可能将所有的因素都考虑进去,因此必须根据混凝土材料在冲击荷载作用下的宏观现象作了一些假设,以此简化计算.本文基于损伤与塑性耦合理论,以修正Otto sen 四参数破坏准则为屈服法则,引入损伤,发展了一个动态本构模型用于描述混凝土材料的冲击特性,在该模型中,考虑了引起混凝土材料弱化的两种不同的损伤机制:拉伸损伤和压缩损伤.其中,拉伸损伤是由微裂纹的张开和扩展引起的,通过拉伸应变来控制;压缩损伤相关于微空洞体积分数比的演化,并通过微空洞塌陷引起的压缩应变来控制,将总的损伤看成是这两种损伤的线性组合,由此压缩损伤和拉伸损伤就完全耦合了.宏观上,假设混凝土材料是一个均匀连续体;而从细观角度来看,混凝土材料内部则存在了大量随机分布的微裂纹和微空洞等损伤缺陷.假设微裂纹是均匀分布,且符合理想微裂纹体系统条件,定义含裂纹材料中单位体积内微裂纹所占的比例来表征微裂纹损伤所引起的混凝土材料宏观力学性能的劣化.基于裂纹扩展模型,微裂纹被激活、成核并扩展.当累积裂纹达到某一阈值时,混凝土材料发生粉碎性破坏.同时需要考虑微空洞的演化发展,且随着微空洞的塌陷,混凝土材料压缩密实.利用该模型对混凝土材料在强冲击荷载作用下的冲击特性进行数值模拟,并将该模型的预测曲线与宁建国等[10]提出的本构模型的预测曲线及实验结果进行比较,结果表明:该模型预示结果无论在变形趋势上,还是数值精度上都与实验结果符合得更好.因此,可以用该模型模拟混凝土材料在强冲击荷载下的动态特性.参考文献[1]　Watstein D.Effect of strain rate on the compressivestrength and elastic properties of concrete[J].Journalof American Concrete Institute,1953,49(8):7292744.[2]　Bischoff P pressive behavior of concrete athigh strain rates[J].Material and Structure,1991,144(24):4252450.[3]　胡时胜,王道荣,刘剑飞.混凝土材料动态力学性能实验研究[J].工程力学,2001,18(5):1152118.(Hu SS,Wang D R,Liu J F.Experimental study of dynamic・632・固　体　力　学　学　报 2008年mechanical behavior of 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