高中圆与方程
高中数学必修二第四章圆与方程_2023年学习资料
的阿题思考-[解析]1t=0时，方程x一a2+0y一b2=就表示点a,-b,此时不表示圆-②由方程+y+D ++F=0,配方得-2+-5-2_D2+E2-4F-由此可见只有在D+E2一4F>0时才能叫做圆-的一般方 ：而当D+E2-4=0时，表示点分-引当-D2+E2一4F<0时不表示任何图形.-。
问题思考-问题4已知点Ax1,y1,B2,y2,则以AB为直径的-圆的方程是x一x1x一x2十y一y10一 2=0.-[答案]对-[解析]设圆上异于A,B的任意一点M的坐标为x,y,-根据圆的性质A⊥B,根据平面向 知识A·MB=0,把坐-标代入即是方程x一x1x一x2十y一y1y一y2=0.由点A,B-的坐标要适合方程 一x1c一x2十心y一y10y一y2=0,故得以-AB为直径的圆的方程是x一x1c一x2十0y一y1y一y =0.
要点探究-方法2：设圆的方程为x一2十y一b2=r2,则--1-02+5-b2=r2,-[u=2,--22+-2-b2=r2,=-→3b=1,-5-2+5-b2=r2,-r=5.-∴.圆的方程为x-22+0y2=25,即x2+y2-4x一2y-20-=0.
弟学入-要点探究-方法3：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中-垂线方程为x十y一3=0，.圆心 是两中垂线的交点2,1，∴.-半径r=4P列=V2+12+1-52=5,∴.所求的圆的方程为x一-22+y 12=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.
要点探究-[解析]1方法1：设圆的方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0,-4+-32+2D+E-3十F=0 -则--22+-52+-2D+-5E+F=0,-9-2-到-3=0-D=2,-E=4,-F=-5.-.圆的 程为x2+y2+2x十4y一5=0，
高中数学圆及其方程
圆及其方程一、公式及相关内容（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心及半径）（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++= （无xy 项，22,x y 系数相等且不为零）（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。
（4）过圆 222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=圆 222xy r +=的斜率为k 的切线方程为y kx =± （掌握推导方法）（5）经过两圆：221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= 当1λ=-时，得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果 （7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：∆法（8）圆与圆位置关系：圆心距d 与两圆半径,R r 的比较：d R r d R r R r d R r d R r d R r>+⎧⎪=+⎪⎪-<<+⎨⎪=-⎪<-⎪⎩（9）公切线求法：通过比例求得公切线与连心线的交 点A 的坐标，用点斜式设公切线的 方程，然后求得斜率k ，得到公切 线方程。
外离 外切 相交 内切 内含二 求圆的方程1. 求经过两点(1,4),(3,2)A B -，且圆心在y 轴上的圆的方程。
（标准方程法，垂径弦性质）2.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程； （2）求过点(1,0),(3,0),(0,1)A B C -的圆的方程。
高中数学公式圆
圆1、圆的定义点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、圆的方程(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是222)()(r b y a x =-+-圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是222r y x =+(2)一般方程：当0422>-+F E D 时，一元二次方程022=++++F Ey Dx y x ，叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E )，半径是24F -E D 22+.配方，将方程022=++++F Ey Dx y x 化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+ 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点(-2D ,-2E ); 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.3、点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.4、直线和圆的位置关系(1)直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点直线与圆相切⇔有一个公共点直线与圆相离⇔没有公共点(2)直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22CBb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判定；距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。
5、若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x经过两个圆011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是： 经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ6、圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是 200r y y x x =+一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
高中数学圆与方程知识点
高中数学圆与方程知识点分析1. 圆的方程：（1）标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（-2D ，-2E ）半径F E D 42122-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一 求圆的方程例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。
圆与方程
2
所以
2
所以m=3.所以半径为 ，圆心为(-
5 2
4 1 2
.
，3).
在解决与圆有关的问题中 . 借助与圆 的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化 运算.
·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学 ·福建 · 人教版
立足教育 开创未来
方法2
2 将x 3 2 y, 代入x2 y 2 x 6 y m 0 5 y 20y 12 m 0
2
y 2 2 已知实数 x,y满足方程 x +y -4x&# =k，即y=kx，当直线y=kx与 x
x
圆相切时，斜率 k 取得最大值和最小值 . 因为 圆心（2,0）到直线y=kx的距离为 3，所以
2k 0 3， 得k=± 3 . 2 k 1 y y （ ） 3，（ ） 所以 max min 3. x x
AB 2 r 2 d 2 .
对称
1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆 的标准方程为（ D ） A.(x+8)2+(y-3)2=5
C.(x+8)2+(y-3)2=25
B.(x-8)2+(y+3)2=5
D.(x-8)2+(y+3)2=25
2
半径 r CA (8 5)2 ( 3 1) 5，
本小题主要考查直线与圆的位置关 系，圆的标准方程及点到直线的距离公式.
(Ⅱ)：根据图形的几何性质：半径，弦长 的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定 理，
4 2 2 可得弦心距 d r 2 （ ） 10 8 2 2 因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0 的距离， ab 所以 d 2， 又已知b=2a，
高中数学-圆的方程
课题：圆的方程知识点一：圆的方程1．圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。
2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y D x E y F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E--，半径为22142D E F +-的圆（二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ （0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；3．圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin xy r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。
4．()()1122A,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__（4）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____知识点二：点与圆的位置关系：已知点()00M,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>， （1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
高中数学-圆与方程
高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三 圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四 几种特殊位置的圆的方程知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】 类型一 圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二 圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围； （2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点五 圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二 切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ； （2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三 弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四 圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五 圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六 最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
二、内容标准 1.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定 两个圆的方程,判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标 法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研 究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学 生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.
直线 AB 的斜率 kAB= 2 5 =-7,……………………………………………………………………4 分 1 0
因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 3 = 1 (x- 1 ),…………………………………………6 分 27 2
即 x-7y+10=0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0.……………………………8 分
规范解答:法一 设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2.…………………………………………………………4 分 因为 A(0,5),B(1,-2,),C(-3,-4)都在圆上, 所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有
(0 a)2 (5 b)2 r2,
a 3,
(1
a)2
(2
3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1
高中数学：第四章 圆与方程
知识网络
要点归纳
题型研修
题型研修
第四章 圆与方程
例 2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋ 3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求 直线 l 的方程；
知识网络
要点归纳
题型研修
题型研修
第四章 圆与方程
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直 的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截 得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件 的点P的坐标．
解 (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交， 所以直线 l 的斜率存 在．设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d ＝ 22－ 32 ＝ 1. 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d ＝
知识网络 要点归纳 题型研修
要点归纳
第四章 圆与方程
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件 的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心 到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过 某些点，通常可用圆的一般方程． 2．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
题型研修
要点归纳
题型研修
第四章 圆与方程
跟踪演练 1 已知圆经过点 A(2，－1)，圆心在直线 2x＋y ＝0 上且与直线 x－y－1＝0 相切，求圆的方程．
解 法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
高中数学知识点总结第四章圆与方程
第四章 圆与方程 知识点与习题★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内;（2 （x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
高中数学必修二《第四章圆与方程》课件
PART 01
► 问题 1 圆的定义和确定圆的几何要素 (1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合；( )
(2)确定圆的几何第要素4是6圆讲的半│径．问( 题)思考
[答案] (1)错 (2)错
[解析] (1)圆是一个平面图形，必须是在平面上到定点的距离 等于定长的点的集合．
(2)确定圆的几何要问素题有两思个考，一个是圆心、一个是半径．
[答案](1)(x＋2)2＋y2＝2 (2)(x－3)2＋y2＝2
[解析] (1)根据题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝2(a<0)，∵ 直线 x＋y＝0 与圆相切，
∴ |a2| ＝第2，4得6a讲＝－│2，要∴圆点的方探程究为(x＋2)2＋y2＝2.
(2)∵直线 x－y－1＝0 与圆切于点(2,1)，∴圆心在过切点且 垂直于直线 x－y－1＝0 的直线上，该直线为 x＋y－3＝0，∵圆 过点(4,1)，(2,1)，∴圆心在这两点的垂直平分线 x＝3 上，圆心 为(3,0)，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
究 可以使用一般式方程、标准方程，以及通过圆心是三角形两边
的垂直平分线的交点的方法求解．
[答案](1)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 (2)x2＋y2－4x－2y－20＝0
[解析] (1)方法 1：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
4＋－32＋2D＋E－3＋F＝0，
则
第46讲 │ 要点探究 －22＋－52＋－2D＋－5E＋F＝0，
(2＋2cosθ－8)2＋(2＋2sinθ)2 ＝80－8cosθ， ∴当 cosθ＝1 时 Smin＝72；当 cosθ＝－1 时 Smax＝88.
[点评] 圆的方程非常适合进行三角换元，三角换元后的 x，y
新教材高中数学第2章圆的方程：圆的一般方程pptx课件新人教A版选择性必修第一册
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52．
所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5．
[母题探究]
若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围．
[解]
由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，
解得b<0或b>8，
所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞)．
− 4 2 + 5
＝ 1 − 5，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝ 1 − 5．
法二：化为圆的标准方程求解．
(1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m．
1
由题意知1－5m>0，即m< ．
5
所以实数m的取值范围是
1
−∞，
5
．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
知识点
圆的一般方程
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2 ＋E2 －4F>0时，二元二次方程_______________________叫做
将左边配方，得(x－1)2＋
所以是圆心坐标为 1， −
1
2
1 2
+
＝5，
2
4
，半径为 5的圆的方程．
(3)x2＋y2－6x＋10＝0．
[解]
因为原方程可以化为x2－6x＋9＋y2＝－1，
高中数学-圆与方程
圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
二、圆的方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b)，半径为r （1）点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
【例1】已知方程2222(1)2(23)51060x y m x m y m m +---++++=.（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2）若方程表示的图形是是一个圆，当m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 解：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y =2x +5上，半径为2. 练习：1．方程222460x y x y ++--=表示的图形是（ ）Ａ．以(12)-，为半径的圆 Ｂ．以(12)，为半径的圆Ｃ．以(12)--，为半径的圆 Ｄ．以(12)-，为半径的圆 2．过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝43．点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ） Ａ．11a -<<Ｂ．01a << Ｃ．1a <-或1a >Ｄ．1a =±4．若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是 5．若圆C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆C 经过点M (5，－7)，则圆C 的半径为 .6．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7．以点C (－2，3)为圆心且与y 轴相切的圆的方程是 ． 8．求过原点，在x 轴，y 轴上截距分别为a ，b 的圆的方程(ab ≠0)．9．求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．10．求经过点(8，3)，并且和直线x ＝6与x ＝10都相切的圆的方程．三、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线的距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】(3)222，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此【例2】已知圆22:(2)1M x y +-=,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于A ，B 两点(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程； (2)求四边形QAMB 的面积的最小值；(3)若AB =，求直线MQ 的方程. 解：（1）切线QA 、QB 的方程分别为0343=-+y x 和1=x ) （2）MAQB S MA QA QA ∴=⋅=（3）直线MQ 的方程为05252=-+y x 或05252=+-y x ）练习：1．以点(－3，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝19 2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( )． A ．0或2B ．2C ．2D ．无解３.直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( )A ），（2222-B ），（22- C），（4242- D ），（8181- ４．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程是 ．５．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝20在x 轴上截得的弦长是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要点总结
4.1圆的方程
4.1.1圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心位置、半径. 2.圆的标准方程： (x a2)(y b2)r2
3.圆心在原点的圆的标准方程：x2y2 r2
4.判断点与直线的位置关系：点到圆心的距离与半径 的大小关系.
.
4.1.2圆的一般方程
1.圆的一般方程: x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
3.建立直角坐标系，满足建系规则才能建立右手坐 标系.
.
.
z
P1(x1,y1,z1)
O
P2(x2,y2,z2) x
y
.
本章易错点
1.在使用圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时 ，必须确保 D2+E2-4F>否0 则，方程不表示圆. 2.判断圆与圆的位置关系时，不能只看交点个数， 两圆有一个公共点，可能是外切，也可能是内切； 两圆没有公共点，可能是外离，也可能是内含.
.
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
.
4.2.3直线与圆的方程的应用
坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论.
.
4.3空间直角坐标系
4.3.1空间直角坐标系
2.几何问题转化为代数问题求解的思想.
.
高考热点
1.用圆的标准方程和一般方程解决问题.
(x a2)(y b2)r2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
y
M r
A
O
x
.
2.直线与圆的位置关系，及圆与圆位置关系 的判定.
.
3.空间两点间距离公式的应用.
|P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2
第四章 圆与方程
4.1圆的方程 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系
.
学法指导
1.要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉圆心和半径,我们一般采用圆的
标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一
般方程用待定系数法求解.
.
2. 直线与圆的位置关系可以通过公共 点的个数来来判断，但圆与圆的位置关系 不能只通过公共点的个数来判断.
相 离
0
Δ< 0 无根
d>r
.
4.2.2圆与圆的位置关系
R
r
•
•
O1
d O2
R
r
•
•
O1 d O2
R • O1 d
两圆外离 r • O2
R O•d1 O• 2r
两圆外切
R
O1•d
•r O2
两圆相交 两圆. 内切
两圆内含
判断两圆的位置关系的两种方法： 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d＜｜R-r｜，则两圆内含； 若d=｜R-r｜，则两圆内切； 若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆相交； 若d＝R＋r，则两圆外切； 若d＞R＋r，则两圆外离.
2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配 方 展 开
标准方程(圆心,半径)
3.配方法求解：给出圆的一般方程,如何求圆心和 半径.
.
4.2直线、圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系
示意图形
交点个数
方程组消 元后
圆心到直线 d与r关系
相 切
1
Δ= 0 1根
d=r
相 交
2
Δ> 0 2根
d<r
z
z M（x，y，z）
右手坐标系
O
y
y
x
x 点在空间直角坐标系中的坐标
.
4.3.2空间两点间的距离公式
1.平面内两点 P 1 (1 x ,y 1 ,z 1 )P ,2 (2 x ,y 2 ,z 2 )的距离公式
|P 1 P 2 |(1 x x 2 ) 2 (1 y y 2 ) 2 (1 z z 2 ) 2