2012年高考真题——理科数学(山东卷)解析版
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)14：推理与证明
2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.d ≈ B．d C．d ≈ D．d ≈ 【答案】D 【解析】346b 69()d ,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021d a V A a B D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
高考真题理科数学解析分类汇编15程序框图
高考真题理科数学解析分类汇编15 程序框图1.【2012高考新课标理6】如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】C【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A 为最大值，B 为最小值，选C.2.【2012高考陕西理10】右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A. 1000NP =B. 41000NP =C. 1000MP =D. 41000MP =【答案】D.【解析】根据第一个条件框易知M 是在圆内的点数，N 是在圆外的点数，而空白处是要填写圆周率的计算公式，由几何概型的概念知10004M P =，所以10004M P =.故选D. 3.【2012高考山东理6】执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.4.【2012高考辽宁理9】执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是(A) -1 (B) 23(C)32(D) 4 【答案】D【解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3s i s i s i ===-=== 3,4;4,5,2s i s i ====由此可知S 的值呈周期出现，其周期为4，输出时9i = 因此输出的值与1i =时相同，故选D【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运算求解能力， 属于中档题。
2012高考真题全国卷理科数学含答案
全国卷大纲版(广西、贵州、甘肃、青海、西藏)2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβcos2α=(A) （B）(C)（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)15：程序框图
2012高考真题分类汇编：程序框图1.【2012高考真题新课标理6】如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】C【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A 为最大值，B 为最小值，选C.2.【2012高考真题陕西理10】右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ） A. 1000NP =B. 41000NP = C. 1000MP =D. 41000MP =【答案】D.【解析】根据第一个条件框易知M 是在圆内的点数，N 是在圆外的点数，而空白处是要填写圆周率的计算公式，由几何概型的概念知10004M P =，所以10004M P =.故选D. 3.【2012高考真题山东理6】执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.4.【2012高考真题辽宁理9】执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是(A) -1 (B) 23(C)32(D) 4 【答案】D【解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3s i s i s i ===-=== 3,4;4,5,2s i s i ====由此可知S 的值呈周期出现，其周期为4，输出时9i = 因此输出的值与1i =时相同，故选D【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运算求解能力， 属于中档题。
2012年高考新课标卷数学(文科数学、理科数学)试卷真题及参考答案word版
2012年高考新课标卷数学（文科数学、理科数学）试卷真题及参考答案(河南、河北、黑龙江、吉林、宁夏、山西、内蒙古、新疆、云南)绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若C B a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（A ） （B ） （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年高考真题汇编理科数学解析版集合与简易逻辑
一、集合与常用逻辑用语一、选择题1．（重庆理2）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】A2．（天津理2）设则“且”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A3．（浙江理7）若为实数，则“”是的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A4．（四川理5）函数，在点处有定义是在点处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。
5．（陕西理1）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是A ．若，则∣∣∣∣B ．若，则∣∣∣∣C ．若∣∣∣∣，则D ．若∣∣=∣∣，则= -【答案】D6．（陕西理7）设集合M={y|y=x —x|,x ∈R},N={x||x —,i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1]C ．[0,1）D ．[0,1]【答案】C7．（山东理1）设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．（ 2,3]D ．[2,3] 【答案】A8．（山东理5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B9．（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题x <-1x 2-1>0,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥,a b 01m ab ＜＜11a b b a ＜或＞()f x 0x x =()f x 0x x=,a b a b =-a b a b ≠-a ≠b a b =-a ≠b a ≠b a b ≠-a b a b 2cos 2sin 1i 260x x +-<(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x θ12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是 （A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A10．（辽宁理2）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若，则（A ）M （B ）N（C ）I（D ）【答案】A11．（江西理8）已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C12．（湖南理2）设集合则 “”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A13．（湖北理9）若实数a,b 满足且，则称a 与b 互补，记，那么是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件【答案】C14．（湖北理2）已知,则=A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（广东理2）已知集合∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C16．（福建理1）i 是虚数单位，若集合S=，则A ．B ． C．D ．【答案】B17．（福建理2）若a R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件14,p p 13,p p 23,p p 24,p p N ð=M I∅=N M ∅1a 2a 3a 1a 2a 1d 2a 3a 2d l 1a 2a 3a 1p 2p 3p 12PP 23P P 12d d ={}{}21,2,,M N a ==1a =N M ⊆0,0,a b ≥≥0ab=(,),a b a b ϕ=-(),0a b ϕ={}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭U C P 1[,)2+∞10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,+∞1(,0][,)2-∞+∞(){,A x y =,x y }221x y +=(){,B x y =,x y}y x =A B ⋂}{1.0.1-i S ∈2i S ∈3i S ∈2S i ∈∈【答案】A 18．（北京理1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P ,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C 19．（安徽理7）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数都不是偶数 【答案】D 20．（广东理8）设S 是整数集Z 的非空子集，如果有，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A ．中至少有一个关于乘法是封闭的B ．中至多有一个关于乘法是封闭的C ．中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 二、填空题 21．（陕西理12）设,一元二次方程有正数根的充要条件是=【答案】3或4 22．（安徽理8）设集合则满足且的集合为 （A ）57 （B ）56（C ）49（D ）8【答案】B23．（上海理2）若全集，集合，则 。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)7：立体几何
2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，S C 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6()B6()C3()D 2【答案】A【解析】A B C ∆的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC的距离3d ==,S C 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为23d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=另：1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径C D 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P两点间的球面距离为（ ）A 、arccos 4R B 、4RπC 、arccos 3R D 、3Rπ【答案】A【解析】根据题意，易知平面AOB ⊥平面CBD,BOP AOB AOP ∠⋅∠=∠∴cos cos cos422122=⋅=,42arccos =∠∴AOP ，由弧长公式易得，A 、P 两点间的球面距离为a r c c o s 4R .6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1A B 夹角的余弦值为（ ）A.5B.3C.5D.355.【答案】A.【解析】设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ， ),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55,cos 111111=>=<∴BC AB ，故选A.7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π【答案】B【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得πππ57533-53312222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为aa 的取值范围是（A ） （B ）(0, （C ） （D ） 【答案】A 【解析】因为22211)22(12=-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，选A ，12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
2012年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版)(含答案及解析)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1 11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】5J：集合．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD∴V A=×S△EBD×h=×2×h=﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选：A．【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】13：作图题；16：压轴题．【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义，属于基础试题14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin （x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P （A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M （1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1＜x k+2＜3∴2≤x k+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．。
2012年高考真题——数学理全国卷解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。
2012年高考真题理科数学-全国二卷详细解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. ，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) -3 （B ）-9 (C) 9 (D)3（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=e z ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．.3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________.（14）当函数取得最大值时，x=___________.（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y-)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。
2012年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(2i)117i z -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）A. 35i +B. 35i -C. 35i -+D. 35i --2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为 （ ）A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}3. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 15 5. 已知变量x ，y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）A. 3[,6]2- B. 3[,1]2-- C. [1,6]-D. 3[6,]2-6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若ππ[,]42θ∈，sin 2θ=sin θ= （ ）A.35B. 45C.D.348. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x --≤＜时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤＜时，()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（ ）A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012 9. 函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）ABD10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 （ ）A. 22182x y +=B. 221126x y +=C. 221164x y +=D.221205x y += 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）A. 232B. 252C. 472D. 48412. 设函数1()f x x=，2()(,,0)g x ax bx a b a =+∈≠R ，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是（ ）A. 当0a <时，120x x +<，120y y +>B. 当0a <时，120x x +>，120y y +<C. 当0a >时，120x x +<，120yy +<D. 当0a >时，120x x +>，120y y +>姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共39页）数学试卷 第5页（共39页）数学试卷 第6页（共39页）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =_________.14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为_________.15. 设0a >.若曲线y 与直线x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a =_________.16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)x =m，cos ,cos2)(0)3Ax x A =>n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5π[0,]24上的值域.18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值.19.（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .20.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M，直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当122k ≤≤时，22|AB||DE|+的最小值.22.（本小题满分13分） 已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.{0,2,4}A B=A B．又可知，0,a>并不单调递减，故而“函数3 / 13【解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，5 / 1312412C 264=数学试卷 第16页（共39页）不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，(2OP=-∠=PCD2, OP=-，即(27 / 133cos==m n A的图像向左平移60，CBCD CB DAB-∠3CDcos(180=60，3BD==，故AD AE A3BD=，建立如图所示的空间直角坐标系，数学试卷第22页（共39页）9 / 13，向量(0,0,1)n =为平面设向量(,,m x y=0,0m BD m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 1，则x =，则(3,1m =为平面BDF 的一个法向量．1,5m n m n m n〈〉===，而二面角F BD C --的余弦值为5（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，确定法向量(0,0,1)n =和(3,1m =12311127C 4343336⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 121113111121.(1),(2)C ,433643124339P X P X ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22123121121321C (4),(5),4333439433P X P X ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0 1 234数学试卷 第28页（共39页）210919m +=，可求公差11 / 1322818k k -=+数学试卷第34页（共39页）13 / 13。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版(附答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ） （B ） （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年高考真题——理科数学(新课标卷)解析版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)3)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年新课标 高考理科数学试题(真题+答案+解析)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）102、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z=21i-+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为（A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P44、设F1，F2是椭圆E:22x a+22yb =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线32a x =上的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ）12 （B ）23 （C ） 34 （D ）455、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=⋅a a ，则=+101a a（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和实数n a a a ⋯,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ⋯,,21和 （B ）2A B+为n a a a ⋯,,21的算式平均数（C ）A 和B 分别是n a a a ⋯,,21中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是n a a a ⋯,,21中最小的数和最大的数 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 8、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B 两点，34=AB ，则C 的实轴长为（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）89、已知w ＞0，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（A ）]45,21[ （B ）]43,21[ （C ）]21,0( （D ）(0,2]10、已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（A ）26 （B ）36 （C ）23 （D ）2212、设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则|PQ|的最小值为 （A ）2ln 1- （B ）)2ln 1(2- （C ）2ln 1+ （D ）)2ln 1(2+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ） （B ） （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•山东）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．解答：解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．（5分）（2012•山东）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意求出A的补集，然后求出（∁U A）∪B．解答：解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则∁U A={0，4}，（∁U A）∪B={0，2，4}．故选C．点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力．3．（5分）（2012•山东）设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．4．（5分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．5．（5分）（2012•山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义6．（5分）（2012•山东）执行程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：通过循环求出P，Q的值，当P＞Q时结束循环，输出结果即可．解答：解：第1次判断后循环，P=1，Q=3，n=1，第2次判断循环，P=5，Q=7，n=2，第3次判断循环，P=21，Q=15，n=3，第3次判断，不满足题意，退出循环，输出n=3．故选B．点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框与循环后，各个变量的数值的求法，考查计算能力．7．（5分）（2012•山东）若，，则sinθ=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．解答：解：因为，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，所以sinθ=．故选D．点评：本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，注意角的范围，考查计算能力．8．（5分）（2012•山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335 B．338 C．1678 D．2012考点：函数的周期性；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．解答：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．点评：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．9．（5分）（2012•山东）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．解答：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．10．（5分）（2012•山东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1D．+=1考点：圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1．利用，即可求得椭圆方程．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选D．点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．11．（5分）（2012•山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．484考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．（5分）（2012•山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0考点：根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．解答：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0故选B．点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）（2012•山东）若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=2．考点：绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：|kx﹣4|≤2⇔（kx﹣4）2≤4，由题意可知1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的两根，有韦达定理即可求得k的值．解答：解：∵|kx﹣4|≤2，∴（kx﹣4）2≤4，即k2x2﹣8kx+12≤0，∵不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，∴1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的两根，∴1+3=，∴k=2．故答案为2．点评：本题考查绝对值不等式，将|kx﹣4|≤2转化为（kx﹣4）2≤4是关键，考查等价转化的思想与利用韦达定理解决问题的能力，属于基础题．，14．（4分）（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：将三棱锥D1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D1﹣EDF=V F﹣D1ED后体积易求．解答：解：将三棱锥D1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：点评：本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．15．（4分）（2012•山东）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．考点：定积分在求面积中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．解答：解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．点评：本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键．16．（4分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用；坐标系和参数方程．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（12分）（2012•山东）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．考点：三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（Ⅱ）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，]求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=•==A（）=Asin（2x+）．因为A＞0，由题意可知A=6．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）．的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．因为x∈[0，]，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．故g（x）在[0，]上的值域为[﹣3，6]．点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．18．（12分）（2012•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，结合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF两两垂直，因此可以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，设CB=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．解答：（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设CB=1，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），F（0，0，1），因此=（，﹣，0），=（0，﹣1，1）设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），由于=（0，0，1）是平面BDC的一个法向量，则cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为解法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，FC，CG⊂平面FCG．所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF==CG，故cos∠FGC=，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为点评：本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法，解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法﹣向量法与几何法，本题是高中数学的典型题，也是高考中的热点题型，尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题，学习时要好好把握向量法的解题规律．19．（12分）（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由于A=B++，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P （）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（B D）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为X 0 1 2 3 4 5P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及分布列和事件的对立性和互斥性，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2012•山东）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由已知及等差数列的性质可求a4，由可求公差d，进而可求a1，进而可求通项（II）由可得9m+8＜9n＜92m+8，从而可得，由等比数列的求和公式可求解答：解：（I）∵数列{a n}是等差数列∴a3+a4+a5=3a4=84，∴a4=28设等差数列的公差为d∵a9=73∴==9由a4=a1+3d可得28=a1+27∴a1=1∴a n=a1+（n﹣1）d=1+9（n﹣1）=9n﹣8（II）若则9m+8＜9n＜92m+8因此9m﹣1+≤n≤92m﹣1+故得∴S m=b1+b2+…+b m=（9+93+95+…+92m﹣1）﹣（1+9+…+9m﹣1）==点评：本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用．21．（13分）（2012•山东）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）通过F（0，），圆心Q在线段OF平分线y=上，推出求出p=1，推出抛物线C的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，求出M（）．使得直线MQ与抛物线C相切与点M．（Ⅲ）当x0=时，求出⊙Q的方程为．利用直线与抛物线方程联立方程组．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知F（0，），圆心Q在线段OF平分线y=上，因为抛物线C的标准方程为y=﹣，所以，即p=1，因此抛物线C的方程x2=2y．（Ⅱ）假设存在点M（x0，），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为y′==x0．令y=得，，所以Q（），又|QM|=|OQ|，故，因此．又x0＞0．所以x0=，此时M（）．故存在点M（），使得直线MQ与抛物线C相切与点M．（Ⅲ）当x0=时，由（Ⅱ）的Q（），⊙Q的半径为：r==．所以⊙Q的方程为．由，整理得2x2﹣4kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=﹣，所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．由，整理得（1+k2）x2﹣，设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），由于△=＞0，x3+x4=，x3x4=．所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2﹣4x3x4]=，因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+，令1+k2=t，由于△=16k2+8＞0⇒，≤k≤2，∴t≥则，所以|AB|2+|DE|2=t（4t﹣2）+=4t2﹣2t+，设g（t）=4t2﹣2t+，t，因为g′（t）=8t﹣2﹣，所以当t，g′（t）≥g′（）=6，即函数g（t）在t是增函数，所以当t=时，g（t）取最小值，因此当k=时，|AB|2+|DE|2的最小值为．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．22．（13分）（2012•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g （x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=，x∈（0，+∞），且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（1）=0，∴k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，又e x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），∴g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2⇔1﹣x﹣xlnx＜（1+e﹣2），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（e﹣2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，设m（x）=e x﹣（x+1），∴m′（x）=e x﹣1=e x﹣e0，∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，∴m（x）＞m（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，即＞1，∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜（1+e﹣2），∴∀x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，是一道综合题．。
2012年高考数学真题解析之导数真题(理科)
1．设函数 f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。 （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 f（x）≤1+sinx，求 a 的取值范围。 2．已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x ) f (1)e x 1 f (0) x （1）求 f ( x ) 的解析式及单调区间； （2）若 f ( x )
（Ⅱ）求函数 f ( x ) 极值． 6．若函数 y f ( x ) 在 x x 0 处取得极大值或极小值，则称 x 0 为函数 y f ( x ) 的极值 点。已知 a，b 是实数，1 和 1 是函数 f ( x) x3 ax 2 bx 的两个极值点． （1）求 a 和 b 的值； （2）设函数 g ( x ) 的导函数 g ( x ) f ( x ) 2 ，求 g ( x ) 的极值点； （3）设 h( x) f ( f ( x)) c ，其中 c [2 ， 2] ，求函数 y h( x) 的零点个数． 7．已知 a＞0，b R，函数 f x 4ax3 2bx a b ． (Ⅰ)证明：当 0≤x≤1 时， (ⅰ)函数 f x 的最大值为|2a－b|﹢a；
2． （1） f ( x ) 的解析式为 f ( x ) e x x
1 2 x 且单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 2
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(, 0)
（2） a
e 1, b e 时， (a 1)b 的最大值为
得： f ( x ) e x x
1 2 x g ( x ) f ( x ) e x 1 x 2
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件,A B 独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i -- 【解析】i ii i i i ii z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=。
故选A 。
【答案】A（2）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C. 【答案】C（3）设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。
函数3)2()(x a x g -=为增函数，则有02>-a ，所以2<a ，所以“函数x a x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件，选A. 【答案】A（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15【解析】从960中用系统抽样抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组号码为9，则第二组为39，公差为30.所以通项为2130)1(309-=-+=n n a n ，由7502130451≤-≤n ，即302125302215≤≤n ，所以25,17,16 =n ，共有1011625=+-人，选C.【答案】C（5）已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2--（C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A. 【答案】A（6）执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.【答案】B（7）若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35（B ）45（C ）74（D ）34【解析】因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812sin12cos 2-=--=θθ，又81sin 212cos 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.【答案】D（8）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012【解析】由)()6(x f x f =+，可知函数的周期为6，所以1)3()3(-==-f f ，0)4()2(==-f f ，1)5()1(-==-f f ，0)6()0(==f f ，1)1(=f ，2)2(=f ，所以在一个周期内有1010121)6()2()1(=+-+-+=+++f f f ，所以333351335)2()1()2012()2()1(=+=⨯++=+++f f f f f ，选B. 【答案】B (9)函数cos 622xxx y -=-的图像大致为【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x x y ，06cos >x ，所以函数0226c os >-=-xxx y ，排除B ，选D.【答案】D （10）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182xy+= （B ）221126xy+= （C ）221164xy+= （D ）221205xy+=【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==ac e ，2243a c =，222243b a ac-==，所以2241ab=，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx ax ，即1454222222==+bx bx bx，所以b x b x52,5422±==，2254b y=，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯bb b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+yx，选D.【答案】D（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （A ）232 (B)252 (C)472 (D)484【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种，若2色相同，则有14414241223=C C C C ；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种，如同色则有72242314=C C C ，所以共有4727219214464=+++，故选C 。
【答案】C (12)设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A.当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0<a时，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a 时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B.另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b=.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <，则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--，比较系数得3141x -=，故31122x =-.3121202x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________. 【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ，所以321≤≤x k ，所以12=k ，故2=k 。
【答案】2=k（14）如图，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,A A B C 上的点，则三棱锥1D ED F -的体积为____________.【解析】因为E 点在线段1AA 上，所以2111211=⨯⨯=∆DED S ，又因为F 点在线段C B 1上，所以点F 到平面1DED 的距离为1,即1=h ，所以611213131111=⨯⨯=⨯⨯==∆--h S V V DED DED F EDFD .【答案】61（15）设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =______.【解析】由已知得2232332|32a a x x S a a====⎰，所以3221=a ，所以94=a 。