第8章超静定结构的计算方法

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(8-1)
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A
EI
B
l 11 3EI
ql Δ1F 8EI
4
3
X1=1
d)
B EI
1F
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Aห้องสมุดไป่ตู้
3ql X1 8
11
11 X1+1F=0
e)
a)
q A EI B
3ql X1 8
FQ图
5ql 8
＋
3ql 8
－
M图
ql 2 8
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三、力法应用举例
综前所述，力法的计算步骤归纳如下： 1）确定结构的超静定次数，选取基本结构。因为力法的大量计算都在基本结构上进行，选择合适的基
本结构可以减少解算的工作量。
2）建立力法典型方程。它是根据超静定次数和多
余约束处的变形谐调条件建立起来的。
3）计算力法典型方程中的系数和自由项。就是对基本结构进行位移计算，利用单位荷载法可简化计算。
CX
1
水平反力X1及竖向反力X2代替，
约束力Xi 处沿Xi 方向的位
X2 原结构基本结构
l
移。得到如图b所示的基本结构。
要使图b与图等效，变形协调条件为基本结构上C点的
水平位移CH等于零和竖向位移CV等于零，即
1=CH=0 2=CV=0
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b)
q B EI EI A d) B
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返回
1）撤除一根支承链杆二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结构内部
X2
X1
b）二次超静定排架
链杆相
当于解除一个一次超静定组合结构
X1
X2
多余约
束。
X1
d） f）
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2）将刚性连接改为单二次超静定梁
铰连接，
相当于解除一
X2
a）
X1
个多余
(8-2)
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二、力法典型方程 n次超静定结构的力法典型方程
11X 1+12 X 2+…+1n X n+1F=0
21 X 1+22 X 2+…+2n X n+2F=0
……………………………… (8-3)
n1 X 1+n2 X 2+…+nn Xn+nF=0
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上一页下一页
图示结构在任意荷载作用
下
图a为二次超静定梁
图b为一次超静定桁架
a）
b）
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图示结构在任意荷载作
用下，图c为三次超静
定刚架，图d为一次超
静定组合结构。
c）
d）
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图示结构在任意荷载作
用下
e）
图e为三次超静定拱
图f为二次超静定排架。
f）
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由于多余约束的存在，超静定结构相对静定结构可提高结构的强度、刚度及稳定性，因而在建筑工程中，超静定结构有着广泛的应用。超静定结构的内力计算基本的方法分为两种，一是力法，二是
l/2
F C l/2
B
l 11 3EI Fl 2 Δ1F 16 EI
（4）解方程
11F/16
+ FQ图
－
5F/16
3Fl/16 M图
X1
11
Δ1F
3Fl Fl 2 3EI 16 EI l 16
（5）画内力图 5Fl/32
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例8-1 试用力法计算图a所示单跨
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二、力法典型方程
根据位移的计算，可得 ij=ji。因此，副系数只需要求其中一半即可。iF表示基本结构在荷载作用下，
在多余约束力Xi的作用处沿Xi的方向所产生的位移，其
值可能为正、为负或为零，称为自由项。
力法典型方程中所有的系数和自由项均可利用上
一章讲述过的静定结构位移公式求得。
CX
c)
B
1
C
X1
X2 基本结构
A
11
C
e) B
q C
12
A
1F
A
2F
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X2
22
21
1=CH=0 2=CV=0
1=11+12+1F= 0
2=21+22+2F= 0 ij为基本结构在多余约束力Xj单独作用下在Xi 作
用处沿Xi方向的位移。
iF为基本结构在荷载作用下在多余约束力Xi作用
X3 X2 X2 X3 X3 X1 X2
三次超静定拱
X1
X1
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二、力法典型方程
11 X1+1F=0
一次超静定结构的力法典型方程
(8-1)
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图a所示为二次超静定刚
架，撤除固定铰支座C，并用
i 为基本结构在多余
h
a) b) B EI EI A
q
－
5F/16
3Fa/16 M图
X1
11
Δ1F
5Fl 3 3EI 5F 3 16 48EI l
（5）画内力图 5Fa/32
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例8-2 试绘出图a所示超静定刚架的
内力图。已知刚架各杆EI均为常数。解 (1)属于二次超静定刚架，得到基本结构如图b所示。 (2)建立力法典型方程
X1=1
1 1 Fl l 5l 5Fl 3 Δ1F EI 2 2 2 6 48EI
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11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项 A
l/2
F C l/2
B
l3 11 3EI 5Fl 3 Δ1F 48EI
（4）解方程
11F/16
+ FQ图
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三、力法应用举例
4）解方程，求出多余约束力。
5）对结构进行受力分析。可利用静力平衡条件
或叠加公式求内力，作内力图。
上述各步中，第三步是重点和难点，必须加强练习，才能熟练掌握。
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例8-1 试用力法计算图a所示单跨超
F
静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯刚
度EI为常数。解 (1) 属于一次超静定梁，得到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A 1 X1=1 M F图 Fl/4
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可以将链杆支承B视为多余约束，撤除后以多余约束力X1代替如图b所示静定梁为原超静定梁的基本结构因原结构中多余约束支座B的限制，则变形协调条件为
a) b) 基本结构
q
原结构 B
A
EI l
X1 B X1
11
c)
A EI
多余约束反力作用下的变形 q d)
1=BV=0
1 ql 2 1 ql 2 3 Δ 2F l l l l EI 2 3 2 4 5ql 4 8 EI
e)
ql2/2
M1图 l d) l l X2=1 M2图
ql2/2
M F图
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（3）求系数和自由项
l3 11 3EI
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
a) b) B EI
q
CX1 EI
X2
l
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
（3）求系数和自由项 c) X1=1
例8-2
ql2/2 e) X2=1 l M2图 ql2/2
基本结构 A 原结构
l
d) l
M1图 l
M F图
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（3）求系数和自由项
c)
X1=1
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI 3 1 l l 2 4l 22 l l l l EI 2 3 3EI
1 l l l3 12 21 l EI 2 2 EI 1 l 2 ql 2 ql 4 Δ1F EI 2 2 4 EI
将超静定结构的多余约束用对应的约束力来代替，称为多余约束力，这时的多余约束力是未知的。这样原来的
超静定结构转换成静定结构，这个静定结构称为基本结
构；由于原结构中的多余约束，原结构在多余约束处的
变形和位移受到限制，这个限制称为变形协调条件。根
据变形协调条件可建立求解多余约束力的方程，这个方程称为补充方程或力法典型方程。通过求解力法的典型方程，求出多余约束力。这样，超静定结构的计算便可以转化为静定结构的计算。
A
l/2
C l/2
B
F
X1 C M1图 B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 1 l 2 l 11 EI 2 3 3EI
1 1 Fl 1 Fl 2 Δ1F l EI 2 4 2 16 EI
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11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项 A
ql 2 8
3ql 8
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解除结构的多余约束的方法一般采用如下几种方式
1）撤除一根支承链杆或切断一根结构内部链杆相当于解除一个多余约束。 2）将刚性连接改为单铰连接，相当于解除一个多余约束。 3)撤除一个固定铰支座或撤除一个内部单铰,相当于解除两个多余约束。 4）撤除一个固定端支座或切断一个刚性连接，相当于解除三个多余约束。。
约束。
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一个固定铰支座或撤除一个内部单铰，相当于解除两个多余约束。
二次超静定刚架
X1 X2
X2
X1
X1
X2
二次超静定刚架
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4）撤除一个固定端支座或切断一个刚性连接，相当于解除三个多余约束。
三次超静定刚架
位移法。由于超静定结构的计算量很大，因此还有
其他实用计算方法，包括电算方法，但都是建立在
这两种基本方法的基础之上。
本章只介绍力法、位移法和力矩分配法。
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第1节
一、力法原理
力
法
二、力法典型方程
三、力法应用举例
例8-1 例8-2
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一、力法原理
力法是计算各种类型超静定结构的最基本方法，是
下在Xi作用处沿Xi方向的位移。
ij=ij Xj
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
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(8-2)
二、力法典型方程一次超静定结构的力法典型方程
11 X1+1F=0
二次超静定结构的力法典型方程
(8-1)
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
22
4l 3 3EI
l3 12 21 2 EI
ql 4 Δ1F 4 EI
5ql 4 Δ1F 8EI
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
（4）解方程
l3 l3 ql 4 X1 X2 0 3EI 2 EI 4 EI l3 4l 3 5ql 4 X1 X2 0 2 EI 3EI 8EI
第8章
超静定结构的计算方法
第1节力法
第2节对称性的利用第3节位移法
第4节力矩分配法
第5节超静定结构特性
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第8章
超静定结构的计算方法
前面讨论了静定结构的内力计算，本章将讨论超
静定结构的内力计算。超静定结构的几何特征是：体
系几何不变、且有多余约束。多余约束的个数即为结
构的超静定次数。
方向的位移
1F为基本结构在荷载作用下在X1作用处沿
X1方向的位移
11为基本结构在多余约束力X1作用下在X1
作用处沿X1方向的位移
11 为多余约束力X1=1时，基本结构在多余
约束力X1作用下在X1作用处沿X1方向的位移
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变形协调条件
1=BV=0
叠加原理
1=11+1F=0 11=11 X1 11 X1+1F=0
根据叠加原理图b可由图c和图d相加来等效
B EI
荷载作用下的变形
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1F
1=1F+11=0
A
c)
A
图c又等价于X1=1时变形，如图e所示的X1倍
EI
B
11=11 X1
A
EI
B
X1=1
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11
e)
X1倍
11
X1
1为基本结构在多余约束力X1作用处沿X1
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。解2 (1) 属于一次超静定梁，得到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
二、力法典型方程
一共有n个方程。其中，11、22…nn位于方程的一条对角线上，称为主系数。主系数δii 表示基本结构
在单位多余约束力Xi=1单独作用下，在Xi的作用处沿Xi
方向所产生的位移，恒为正值。在对角线两侧的系数
ij 称为副系数，副系数 ij 表示基本结构在单位多余约
束力Xj=1单独作用下，在多余约束力Xi的作用处沿Xi的方向所产生的位移，其值可能为正、为负或为零。