第8章超静定结构的计算方法
超静定次数的确定
将复铰结点A 拆开，在刚结点B 处插入一个单铰并切断 一个链杆，复铰A相当于两个单铰的作用，共去除六个约 束，即n = 6。
结构力学电子教案
第八章
力法
第11页
对于框架，可采用下式计算超静定次数
n= 3 c−h
式中 c 为框格数，h 为单铰数 先将结构中每个框格都看作是无铰的，每个单铰的存 在就减少1次超静定。
结构力学电子教案
第八章
力法
第1页
§8-1 超静定结构的概述和超静定次数的确定 一．超静定结构的一般概念
超静定结构的两个特征： 1. 几何特征： 超静定结构是具有多余约束 的几何不变体系。
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第八章
力法
第2页
P
必要约束： 多余约束：
X1
多余约束力
X1
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第八章
力法Biblioteka 第3页思考：结构力学电子教案
第八章
力法
第12页
例1：
(a) (b)
框格数c = 2
单铰数h = 2
框格数c = 4 单铰数h = 6
n = 3×2-2 = 4
n = 3×4-6 = 6
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力法
第13页
例2：
n=2
X1 X2
X1 X2
X3
X4
n=4
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力法
第14页
n=3
X1 X3 X2
X1 X2
X3 X4
n = 4+6-2=8
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第八章
力法
第8页
（2）撤去两杆间的一个单铰或撤去一个铰支座，等于去 除两个约束。
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
结构力学 超静定结构计算)
0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们 都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算 典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增 加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生 动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适 合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移 刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计 算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程 中进行力矩的分配与传递。
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
结构力学(龙驭球)第八章
第八章 位移法总结
(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程； (3) 解方程求出结点位移； (4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。
2.基本体系法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典 型方程。 步骤： (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的 结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附 加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,…,n)； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单 位位移Δj =1下的弯矩图 M 及荷载作用下的弯矩图MP j
BB3= ⊿B sin45°= ⊿2
第八章 位移法总结
A
(b ) F B C F
2 EI l
1P
l/ 2
(c)
2P
k
M
P
F 4i k F (2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ， EI 2 因此在图f中 l (d ) 6(e ) i
B
2 EI l l/ 2 M
1 1 F /5 6 A 3 F /5 6 B
(b ) F B l/ 2 C F B
(c ) F C D 3 F /2 8
(d )
解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部 分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故 可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所 示。
第八章 位移法总结
(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。
第八章 位移法总结
2、位移法基本未知量的选取原则 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数 加上独立结点线位移数。 (1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生 角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全 部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结 点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点， B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结 点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。
超静定问题——精选推荐
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室第八章简单的超静定问题§8-1 概述静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的全部未知的约束反力或内力FAB2A F1BααC平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程独立平衡方程数：超静定结构(静不定结构): 仅凭静力学平衡方程不能求解全部未知内力或反力的结构。
超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数。
BD C A 132FααF F CF B F A BC ABCADA FααF N1y xF N3F N2BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1y xF N3F N2•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。
•超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。
超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。
F F CF B F A BC A•补充方程的数目=多余未知力的数目=多余约束数。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的力的补充方程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧与关键。
此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。
BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1yxF N3F N2§8.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB ，在C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为EA ，求杆的支反力.解：一次超静定问题=−+F F F B A F BA F AB ablFC (1) 由节点A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程（2）变形：补充方程(变形协调条件)可选取固定端B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力F B ，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B 点的位移为零。
第八章 位移法
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
6i F ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l M AB 4i A 2i B
转角位移方程
第8章 位移法
三、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
EI FP B
FP
EI EI
EI
EI
3、图示结构，各杆长为l， 用位移法求解时， 典型方程的系数r11= ，自由项R1P= 。
FPl FP
4、已知刚架的弯矩图如图所示，各杆 EI为常数，杆长l=4m，则结点B的转角 ΦB= 。 30
30
l
l/2
l/2
第8章 位移法
例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
第8章 位移法
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
FS13 FS24 0
φA P q βAB φA FSAB FSBA l EI t1˚C t2˚C
MAB
A
B ΔAB
B'
EI EI F M 3 3 Δ M AB A AB l l2 M BA 0
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
一、杆端力的表示方法和正负号的规定
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
5-8 超静定结构温度问题
基本结构的位移＝原结构的位移 ⑶基本结构的位移为多余未知力X引起的 位移和温度引起的位移之和。
X t 0
§8温度计算
3.超静定结构受温度影响的力法方程
12
0 0
2111
X1 X1
12 22
X2 X2
1t =0 2t =0
§8温度计算
二、温度问题受力计算
例8.1 用力法计算, 并 作 图 示 结构由于变温引起的弯矩图。
已知线膨胀系数α,截面高度
h=0.6m, EI=常数 。
⑴一次超静定 ⑵取图示基本结构 ⑶基本方程为
11X1 1t 0
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§8温度计算
⑷求系数与自由项
§8温度计算
Structural Mechanics
§8温度计算
第六章 力 法
Force Method
§8温度计算
第六章 力 法
第1节 超静定结构概述 第2节 力法基本原理 第3节 力法典型方程 第4节 力法示例 第5节 力法计算的简化 第6节 超静定结构的位移计算 第7节 力法校核 第8节 温度变化时的计算 第9节 支座移动时的计算
§8温度计算
§8 超静定结构温度问题
一、超静定结构温度影响 二、温度问题受力计算 三、温度问题位移计算
§8温度计算
一、超静定结构温度影响
1.静定结构受温度变化影响，会发生变形，不 会产生内力。超静定结构受温度变化影响，不 仅会发生变形，而且会产生内力。
2.用力法分析超静定结构受温度变化影响， 其原理、方法与受荷载作用下完全相同。
§8温度计算
结构力学整理
第二章结构的几何组成分析1.几何不变体系是指________的体系。
形状和位置不变2.能用作结构的体系是________的体系。
几何不变3.一个点有_____个自由度，一根链杆有______个自由度。
2,34.连接5个刚片的复铰相当于______个单铰_____个约束。
45.三个刚片用_____个约束组成一个几何不变体系。
3刚片用3单铰，1单铰2约束，共6约束。
6.静定结构是_________的结构，几何特征是_______。
A.由平衡方程能求出所有内力和约束的结构B. 无多余约束的几何不变体系。
7.瞬变体系是__________的体系。
初始位置可变，微小运动后不变。
8.瞬变体系不能做结构的原因是_______。
小的外力会造成大的内力。
一、几何组成分析步骤1.去掉支座分析：a.体系与基础用一杆一铰相连（杆不通过铰）b.体系与基础用三杆相连（三杆不平行也不交于一点）2.连支座一起分析：将基础视作一刚片（除上述之外）3.找出并去掉二元体：（不变与可变体系去掉二元体都不影响原体系）二、判断规则1.三刚片规则（三角形规则）：2.两刚片规则（三链杆规则）：本质同两刚片，两链杆等同于单铰三链杆交于一点：瞬变体系三链杆平行，高度不等：瞬变体系三链杆平行且高度相等：常变体系4链杆就有多余约束。
3.二元体规则（附加二元体）：第三章静定梁与静定钢架1.求支座反力：1.取分离体，2.画受力图，3.作平衡方程∑F∑y F∑A Mx2.求截面内力：A.求截面轴力=∑F（截面一侧，所有外力沿轴线方向的代数和）拉力为正xB.求截面剪力=∑y F（截面一侧，所有外力沿截面方向的代数和）剪力使杆段顺时针转为正C.求截面弯矩=∑A M（截面一侧，所有外力对截面型心力矩的代数和）弯矩使杆段下侧受拉为正3.做内力图：一、基本方法：a.用截面法写内力方程 b.依内力方程画内力图二、简洁方法：（1）杆中间（2）杆自由端A.杆自由端无力偶，端截面弯矩=0B.杆自由端无集中力，端截面剪力=0均布荷载在全杆--集中力在杆中间在杆端(中间无荷载)力偶在杆中间无集中力在自由端端剪力=0无力偶在自由端端弯矩=0三、弯矩图--叠加法四、弯矩图--分段叠加法：杆段两端弯矩已知，即可取出作为简支梁，用叠加法作弯矩图。
超静定结构-力法位移计算
M
3. 支座位移：
MMC EI
ds
FRCR
综合:
MM EI
ds
t0 SFN
t h
S M
FRCR
其中M为超静定结构在各种因素作用下产生的弯矩
详见教学视频“6.16荷载作用下超静定结构位移计算”
例1：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数
q
ql2 12
第 六 章 力法
§6-8* 超静定结构位移计算
可取任意静定结构做为基本结构来计算超静定结构位移
施加单位荷载，计算单位荷载作用下的内力图 (M , FQ , FN )
1. 荷载作用：
MM EI
F
ds
2. 温度改变：
MMt EI
ds
t0SFN
t h
S
A
C
B
A
l/2
l/2
原结构
ql2 12
B
ql2 24
M图
CV
ql 4 384EI
()
例2：求图示刚架D结点水平位移ΔDH，各杆EI如图示。
C
D
/m
2EI
2EI 6m
31.5
A
B
6m
57.6
30.6
M图(kN m)
基本结构1
基本结构2
基本结构3
基本结构4
单位荷载施加在哪个基本结构更加简单？
EI l
线刚度
A
i
qA
B
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数（表7-1）
A
B
A
BA
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
第八章力矩分配法
1
§8-1 概述 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。
为了寻求较简捷的计算方法，自上世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度
A
i=2
B
i=3 C
6m
3m
3m
40kN/m D
i=4
6m
杆端
m
MF
B1次 C1次
AB C 1 2 BA BC C 1 2 CB CD C 0 DC
0.4 0.6
0.5 0.5
100
0
0 -300
300 -180
0
40
80 120
60
-45
-90 -90
集中力偶m
逆时针为正
讨论
A A
2、静定段处理
D
Δ1 =1 B
4m
i= 3
i= 6
基本系
C
D
r111FR1F 0
3)作M1、MF图
基本系为无侧移刚架
30kN /m
A
r 11
i= 4
M1、MF图运用 力矩分配法绘制
F R 1 F 4)求系数和自由项
i= 3
i= 6
△1作用
C
D
i= 3
i= 6
荷载作用
C
D
5)求未知量 6)叠加法作M图
MM11+MF
l
EI＝ C
位移法求解
（1）建立基本体系
如何分配？
B
l
l
FRK
结构力学位移法
第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。
（可选用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。
由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。
位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。
第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。
称为位移法的基本结构。
在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。
由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。
两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。
此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。
ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。
由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。
位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。
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三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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返回
1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
X2
X1
b） 二次超静定排架
链杆相
当于解 除一个 一次超静定组合结构
X1
X2
多余约
束。
X1
d） f）
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2）将刚 性连接 改为单 二次超静定梁
铰连接，
相当于 解除一
X2
a）
X1
个多余
(8-2)
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二、力法典型方程 n次超静定结构的力法典型方程
11X 1+12 X 2+…+1n X n+1F=0
21 X 1+22 X 2+…+2n X n+2F=0
……………………………… (8-3)
n1 X 1+n2 X 2+…+nn Xn+nF=0
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可以将链杆支承B视 为多余约束，撤除后以 多余约束力X1代替 如图b所示静定梁为原 超静定梁的基本结构 因原结构中多余约束支 座B的限制，则变形协 调条件为
a) b) 基本结构
q
原结构 B
A
EI l
X1 B X1
11
c)
A EI
多余约束反力作用 下的变形 q d)
1=BV=0
(8-1)
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A
EI
B
l 11 3EI
ql Δ1F 8EI
4
3
X1=1
d)
B EI
1F
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A
3ql X1 8
11
11 X1+1F=0
e)
a)
q A EI B
3ql X1 8
FQ图
5ql 8
＋
3ql 8
－
M图
ql 2 8
a) b) B EI
q
CX1 EI
X2
l
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
（3）求系数和自由项 c) X1=1
例8-2
ql2/2 e) X2=1 l M2图 ql2/2
基本结构 A 原结构
l
d) l
M1图 l
M F图
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（3）求系数和自由项
X3 X2 X2 X3 X3 X1 X2
三次超静定拱
X1
X1
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二、力法典型方程
11 X1+1F=0
一次超静定结构的力法典型方程
(8-1)
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图a所示为二次超静定刚
架，撤除固定铰支座C，并用
i 为 基 本 结 构 在 多 余
h
a) b) B EI EI A
q
22
4l 3 3EI
l3 12 21 2 EI
ql 4 Δ1F 4 EI
5ql 4 Δ1F 8EI
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
（4）解方程
l3 l3 ql 4 X1 X2 0 3EI 2 EI 4 EI l3 4l 3 5ql 4 X1 X2 0 2 EI 3EI 8EI
方向的位移
1F为基本结构在荷载作用下在X1作用处沿
X1方向的位移
11为基本结构在多余约束力X1作用下在X1
作用处沿X1方向的位移
11 为多余约束力X1=1时，基本结构在多余
约束力X1作用下在X1作用处沿X1方向的位移
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变形协调条件
1=BV=0
叠加原理
1=11+1F=0 11=11 X1 11 X1+1F=0
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二、力法典型方程
根据位移的计算，可得 ij=ji。因此，副系数只需 要求其中一半即可。iF表示基本结构在荷载作用下，
在多余约束力Xi的作用处沿Xi的方向所产生的位移，其
值可能为正、为负或为零，称为自由项。
力法典型方程中所有的系数和自由项均可利用上
一章讲述过的静定结构位移公式求得。
位移法。由于超静定结构的计算量很大，因此还有
其他实用计算方法，包括电算方法，但都是建立在
这两种基本方法的基础之上。
本章只介绍力法、位移法和力矩分配法。
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第1节
一、力法原理
力
法
二、力法典型方程
三、力法应用举例
例8-1 例8-2
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一、力法原理
力法是计算各种类型超静定结构的最基本方法，是
将超静定结构的多余约束用对应的约束力来代替，称为 多余约束力，这时的多余约束力是未知的。这样原来的
超静定结构转换成静定结构，这个静定结构称为基本结
构；由于原结构中的多余约束，原结构在多余约束处的
变形和位移受到限制，这个限制称为变形协调条件。根
据变形协调条件可建立求解多余约束力的方程，这个方 程称为补充方程或力法典型方程。通过求解力法的典型 方程，求出多余约束力。这样，超静定结构的计算便可 以转化为静定结构的计算。
X1=1
1 1 Fl l 5l 5Fl 3 Δ1F EI 2 2 2 6 48EI
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11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项 A
l/2
F C l/2
B
l3 11 3EI 5Fl 3 Δ1F 48EI
（4） 解方程
11F/16
+ FQ图
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图示结构在任意荷载作用
下
图a为二次超静定梁
图b为一次超静定桁架
a）
b）
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图示结构在任意荷载作
用下， 图c为三 次超静
定刚架，图d为一次超
静定组合结构。
c）
d）
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图示结构在任意荷载作
用下
e）
图e为三次超静定拱
图f为二次超静定排架。
f）
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由于多余约束的存在，超静定结构相对静定结 构可提高结构的强度、刚度及稳定性，因而在建筑 工程中，超静定结构有着广泛的应用。超静定结构 的内力计算基本的方法分为两种，一是力法，二是
下在Xi作用处沿Xi方向的位移。
ij=ij Xj
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
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(8-2)
二、力法典型方程 一次超静定结构的力法典型方程
11 X1+1F=0
二次超静定结构的力法典型方程
(8-1)
11 X1+12 X2+1F=0 21 X1+22 X2+2F=0
－
5F/16
3Fa/16 M图
X1
11
Δ1F
5Fl 3 3EI 5F 3 16 48EI l
（5） 画内力图 5Fa/32
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例8-2 试绘出图a所示超静定刚架的
内力图。已知刚架各杆EI均为常数。 解 (1)属于二次超静定刚架，得到 基本结构如图b所示。 (2)建立力法典型方程
第8章
超静定结构的计算方法
第1节 力法
第2节 对称性的利用 第3节 位移法
第4节 力矩分配法
第5节 超静定结构特性
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第8章
超静定结构的计算方法
前面讨论了静定结构的内力计算，本章将讨论超
静定结构的内力计算。超静定结构的几何特征是：体
系几何不变、且有多余约束。多余约束的个数即为结
构的超静定次数。
c)
X1=1
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI 3 1 l l 2 4l 22 l l l l EI 2 3 3EI