第3节正交补空间与正交投影(09-10第二学期)

β 2 = β − β 1 = β − x1α 1 − x2α 2 −
⊥
− x rα r
⊥
由于 V = W ⊕ W ， β 1 ∈ W ， 而 所以 β 2 ∈ W ， β 1 即 是 β 在 W 上的正交投影. 确定了 x1 , x2 ,
, xr ，也就 ⊥ 确 定 了 β1 . 由 于 β 2 ∈ W ， 这 等 价 于 β 2 ⊥ α i ， i = 1, 2, , r . 即
5 3 x1 = 2, x2 = , x3 = − 4 4
所以
fW ( β ) = β 1 = x1α 1 + x2α 2 + x3α 3
1⎞ ⎛1 = 2 α 1 + α 2 − α 3 = ⎜ , 2, 0, ⎟ . 2⎠ 4 4 ⎝2
5 3
高等代数与解析几何
例 1 在欧氏空间 R 里，设
4
解法二
高等代数与解析几何
β = (1, 2, −1, 0), α1 = ( −1, 2, −1,1) α 2 = (2, −1,1, 0), α 3 = (0,1, −1, 2)
解法一 按正交投影的定义. 设 β = β 1 + β 2 ， 其中
β 1 ∈ W , β 2 ∈ W . 因此，
β 1 = x1α 1 + x2α 2 + x3α 3
高等代数与解析几何
设 W 是欧氏空间 V 的一个子集,如果 V 中的向量
ξ 与 W 中的每个向量都正交,则称 ξ 与 W 正交,记作 ξ ⊥W.
定义 9.3.1 设 W 是欧氏空间 V 的一个非空子集,V 中与 W 正交的所有向量组成的集合称为 W 的正交补, 记作 W ,即
⊥
W ⊥ = {ξ ∈ V 〈ξ , β 〉 = 0 对任意的β ∈ W }
高等代数与解析几何
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ → ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝
⎛1 3 ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 −3 2 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ 7 −1 ⎟ → 0 −1 ⎜0 2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 0 1 − ⎟ 2⎠ ⎜0 ⎝ 0 2 −5
0 1
0 0
2
1 2 7 0 −1 2 0 1
0
1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟→⎜ −1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ − ⎟ ⎜0 2⎠ ⎝
对增广矩阵作初等行变换
⎛ −1 2 0 −1 1 ⎞ ⎛ −1 0 −2 5 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 1 −2 4 ⎟ → ⎜ 0 −1 −1 3 −2 ⎟ A→ ⎜ 0 −1 −1 3 −2 ⎟ ⎜ 0 0 −2 7 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 0 0 0 6 −3 ⎠ ⎝ 0 2 2 0
所以 α 2 ⊥ W ，即 α 2 ∈ W . 从而
⊥
α = α1 +α2 ∈W + W ⊥
即 V ⊆ W + W . 这就证明了
⊥
V = W +W .
⊥
再 证 W ∩ W ⊥ = {0} . 设 α ∈ W ∩ W ⊥ ， 那 么
〈α , α 〉 = 0 . 从而 α = 0 . 因此V = W ⊕ W .
α 4 作内积得到
( β , α 4 ) = k (α 4 , α 4）
所以
1 −3 k= = =− 2 (α 4 , α 4） 6
(β ,α4 )
高等代数与解析几何
这样，就得到向量 β 在由向量 α 1 , α 2 , α 3 生成的子空 间 W 上的正交投影
1 1⎞ ⎛1 fW ( β ) = α = β − kα 4 = β + α 4 = ⎜ , 2, 0, ⎟ 2 2⎠ ⎝2
⊥
高等代数与解析几何
从定理 9.3.2 可知，如果 W 是欧氏空间 V 的一个 子 空间， 那么 V 中每 个向 量 α 可 以唯一 地表 示为
α = α1 + α2 ，其中 α 1 ∈ W ,α 2 ∈ W ⊥ .
令
fW :
V →W ⊆V ,
α
α1 .
投影，而称 f W (α ) = α1 为 α 在 W 上的正交投影
解法3：先把w的基标准正交化，再 扩展为R^4的标准正交基。
高等代数与解析几何
下面我们从例 9.3.1 的解法一， 利用内积的度量矩 阵得到一个求正交投影的公式.
如果 W 是欧氏空间 V 的一个 r ( r > 0) 维子空间，
α 1 , α 2 , , α r 是 W 的一个基. 对任意的 β ∈ V ，令 β 1 = x1α 1 + x2α 2 + + xrα r ，而
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0 = 〈 β 2 , α i 〉 = 〈 β − ∑ x jα j , α i 〉 = 〈 β , α i 〉 − ∑ 〈α j , α i 〉 x j ; i = 1, 2,
j =1 j =1
r
r
r
由此得线性方程组
⎧ 〈α1 , α 1 〉 x1 + 〈α 1 , α 2 〉 x2 + ⎪ ⎪ 〈α 2 , α1 〉 x1 + 〈α 2 , α 2 〉 x2 + ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 〈α r , α 1 〉 x1 + 〈α r , α 2 〉 x2 +
定理 9.3.1 设 W 是欧氏空间 V 的一个非空子集,则
W 是 V 的一个线性子空间.
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⊥
定理 9.3.1
设 W 是欧氏空间 V 的一个非空子集,则 W 是 V 的一个线性子空间.
⊥
证明
显 然 0∈W ⊥ , 因 而 W ⊥ ≠ ∅ . 又 对
∀ ζ ,η ∈ W ⊥ 以及 ∀ β ∈ W ,有,
+ 〈α 1 , α r 〉 xr = 〈 β , α 1 〉 , + 〈α 2 , α r 〉 xr = 〈 β , α 2 〉 , + 〈α rα r 〉 xr = 〈 β , α r 〉 .
即
⎛ x1 ⎞ ⎛ 〈 β , α1 〉 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 〈 β , α 2 〉 ⎟ Ar ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x ⎟ ⎜ 〈 β ,α 〉 ⎟ ⎟ ⎝ r⎠ ⎝ r ⎠
α ∈ V ,令 α 1 = 〈 α , β 1 〉 β 1 + 〈α , β 2 〉 β 2 +
α 2 = α − α1 ,
, β r , 这 里 r = dim W . 对 于 任 意 的
+ 〈α , β r 〉 β r ,
易知 α 1 ∈ W ，而对 i = 1, 2,
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, r ，有
< β 2 , αi >= 0 (i = 1, 2, 3), 可得线性方程组
⎧ 7 x1 − 5 x2 + 5 x3 = 4, ⎪ ⎨ −5 x1 + 6 x2 − 2 x3 = −1, ⎪ 5 x − 2 x + 6 x = 3. 1 2 3 ⎩
高等代数与解析几何
解这个线性方程组, 得：
⎧ 7 x1 − 5 x2 + 5 x3 = 4, ⎪ ⎨ −5 x1 + 6 x2 − 2 x3 = −1, ⎪ 5 x − 2 x + 6 x = 3. 1 2 3 ⎩
, α r 的度量
矩阵. 因为 Ar 是可逆矩阵，所以方程组有唯一解，且
因此，当我们需要计算向量 β ∈ V 在其 r 维子空间 W 上的正交投影 fW ( β ) 时，有公式
fW ( β ) = β 1 = (α 1 , α 2 , ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = (α , α , ,α r ) 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ r⎠ ⎛ 〈 β , α1 〉 ⎞ ⎜ ⎟ 〈 β ,α 2 〉 ⎟ , α r ) Ar −1 ⎜ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 〈 β ,α 〉 ⎟ ⎟ ⎝ r ⎠
那么, fW 是 V 的一个线性变换，称为V 在 W 上的正交
高等代数与解析几何
我们注意到，定理9.3.2 的证明同时还给出了计算 正交投影的一个方法： 在 W 中取一个规范正交基 β 1 , β 2 ,
, βr , 则 α 在
W 上的正交投影为： fW (α ) = 〈α , β 1 〉 β 1 + 〈α , β 2 〉 β 2 +
取与
α1 = (−1, 2, −1,1), α2 = (2, −1,1, 0), α3 = (0,1, −1, 2), 试求向量 β = (1, 2, −1, 0) 在由向量α1 , α2 , α 3
生成的子空间W 上的正交投影.
α1 , α 2 , α3 正 交 的 向 量 α4 = (−1, 0, 2,1), 于 是 α1 , α 2 ,α3 ,α4 是 R4 的一组基。
9.3 正交补空间与正交投影
高等代数与解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何
在解析几何里,设 W1 是三维空间 V3 过原点的平面
π , W2 是过原点且垂直于平面 π 的直线 l . 我们知道, W1
和 W2 都是 V3 的子空间,并且 W1 ⊕ W2 = V3 , 其中 W2 的每 个向量与 W1 的每个向量都正交. 反之,与 W1 的向量正交 的向量也一定属于 W2 . 我们称 W2 是 W1 的正交补. 同 样, W1 也是 W2 的正交补,记作 W1 = W2 ⊥ , W1⊥ = W2 . 在一般欧氏空间里,也可以引入正交补的概念,并由 此得到将欧氏空间分解成它的两个子空间的直和的一种 方法.
所以，向量 β 在由向量 α 1 , α 2 , α 3 生成的子空间 W 上 的正交投影为
5 3 1⎞ ⎛1 2α 1 + α 2 − α 3 = ⎜ , 2, 0, ⎟ 4 4 2⎠ ⎝2
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