立体几何中的向量方法(全)
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一. 平行关系:
(1) l / /m a / /b a b ;
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ,
平面, 的法向量分别为 u, v ,则
(2) l / / ① a u a u 0 ;
② a∥AC
u
a
③ a x AB y AD
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ,
3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
一、方向向量与法向量 1、直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.
•l
A•
P
a
直线l的向量式方程 AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC
的中点, 求平面EDB的一个法向量.
解:如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1,0)
DE 2(0,21 , 1), DB =(1,1,0)
E
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1),
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
3.2.2 立体几何中的向量方法 ——平行关系
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ,
平面, 的法向量分别为 u, v ,则
则n DE, n DB
D
于是
Βιβλιοθήκη Baidu
1 2
y
1 2
0
n
1,
1,
1
A
x y 0
X
C Y
B
练习
设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,
0,
2)
,试求平面
ABC习的惯一上个取法n向 (量x,.ny,1)
2 3
,
1 2
,
1
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ,n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1) 22
Z DB =(1,1,0)
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
则n DE, n DB
P
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
1,
1
E
x y 0
PA n 0 PA n 而PA 平面EDB, 所以,PA// 平面EDB. A
X
D
C Y
B
解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1,0)
E(0, 1 , 1 ) G( 1,1,0)
P
PA
22
(1, 0,
22
1), EG
(
1
,
0,
1
)
E
22
所以PA 2EG,即PA // EG
而EG 平面EDB,
且PA 平面EDB
A
所以,PA// 平面EDB X
D
G
B
C Y
解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1,0) 22
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG
2
D
AE与FG不共线,AE//FG.
A
N
X
立体几何法呢?
EG M
C
F
Y
B
例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正
平面, 的法向量分别为 u, v ,则
(3) / / ① u / /v u v.
u
v
β
例1.用向量方法证明
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行.
已知 直线l与m相交,
a
um
l , m , l∥, m∥
αb
l
求证∥ .
证明: 取l,m的方向向量a, b
v
取,的法向量u, v.
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平
面
的法向
量为
方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的
中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
连结AC交BD于点G,
P
再连结GE.
E
D
C Y
A
G
B
X
解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG Z
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
n
(
x
,
y
,
习惯上取n
z );
(
x,
y,
1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是
β
l∥ , m∥ a v,b v
又a, b不共线, 所以v是的一个法向量
于是 v 同时是、的一个法向量
∥.
例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的
中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG.
证 :如图所示, 建立 Z
(1) l / /m a / /b a b ;
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ,
平面, 的法向量分别为 u, v ,则
(2) l / / ① a u a u 0 ;
② a∥AC
u
a
③ a x AB y AD
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ,
3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
一、方向向量与法向量 1、直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.
•l
A•
P
a
直线l的向量式方程 AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC
的中点, 求平面EDB的一个法向量.
解:如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1,0)
DE 2(0,21 , 1), DB =(1,1,0)
E
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1),
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
3.2.2 立体几何中的向量方法 ——平行关系
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ,
平面, 的法向量分别为 u, v ,则
则n DE, n DB
D
于是
Βιβλιοθήκη Baidu
1 2
y
1 2
0
n
1,
1,
1
A
x y 0
X
C Y
B
练习
设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,
0,
2)
,试求平面
ABC习的惯一上个取法n向 (量x,.ny,1)
2 3
,
1 2
,
1
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ,n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1) 22
Z DB =(1,1,0)
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
则n DE, n DB
P
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
1,
1
E
x y 0
PA n 0 PA n 而PA 平面EDB, 所以,PA// 平面EDB. A
X
D
C Y
B
解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1,0)
E(0, 1 , 1 ) G( 1,1,0)
P
PA
22
(1, 0,
22
1), EG
(
1
,
0,
1
)
E
22
所以PA 2EG,即PA // EG
而EG 平面EDB,
且PA 平面EDB
A
所以,PA// 平面EDB X
D
G
B
C Y
解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1,0) 22
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG
2
D
AE与FG不共线,AE//FG.
A
N
X
立体几何法呢?
EG M
C
F
Y
B
例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正
平面, 的法向量分别为 u, v ,则
(3) / / ① u / /v u v.
u
v
β
例1.用向量方法证明
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行.
已知 直线l与m相交,
a
um
l , m , l∥, m∥
αb
l
求证∥ .
证明: 取l,m的方向向量a, b
v
取,的法向量u, v.
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平
面
的法向
量为
方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的
中点, (1)求证:PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
连结AC交BD于点G,
P
再连结GE.
E
D
C Y
A
G
B
X
解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG Z
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
n
(
x
,
y
,
习惯上取n
z );
(
x,
y,
1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是
β
l∥ , m∥ a v,b v
又a, b不共线, 所以v是的一个法向量
于是 v 同时是、的一个法向量
∥.
例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的
中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG.
证 :如图所示, 建立 Z