人教版高中数学选修4-5课件:1.1不等式.1
合集下载
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1.利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值: (1)求函数 y=ax2+bx的最小值,其中 ax2>0,bx>0.
则
y
=
ax2
+
b x
=
ax2
+
b 2x
+
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
=
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2=2bx,即 x= 3 2ba时,等号成立.
(1)如果 a,b,c∈R,那么a+3b+c≥3 abc.(
)
(2)如果 a,b,c∈R+,那么a+3b+c≥3 abc,当且仅
当 a=b 或 b=c 时,等号成立.( )
(3)如果 a,b,c∈R+,那么 abc≤a+3b+c3,当且 仅当 a=b=c 时,等号成立.( )
(4)如果 a1,a2,a3,…,an 都是实数.那么 a1+a2
n
+…+an≥n· a1a2…an.( )
解析:(1)根据定理 3,只有在 a,b,c 都是正数才成
立.其他情况不一定成立,如 a=1,b=-1,c=-3,
a+b+c
3
3
3 =-1, abc= 3,故(1)不正确.
(2)由定理 3,知等号成立的条件是 a=b=c.故(2)不正
确.
(3)由定理 3 知(3)正确. (4)必须 a1,a2,…,an 都是正数,命题才成立. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1.1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1,a2,a3∈R+,则a1+a32+a3叫做这 3 个正 数的算术平均数,3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数.
2019-2020人教A版数学选修4-5第1讲 1 1.不等式的基本性质课件PPT
2.在变形中,一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断.变 形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.
栏目导航
1.若例 1 中改为“A= 较 A 与 B 的大小.
yx22++11,B=yx,其中 x>y>0”,试比
栏目导航
[解] 因为 A2-B2=yx22+ +11-yx22 =x2y2+x21x-2+y21x2+1=x2x2x-2+y21=xx-2yx2+x+1y, 且 x>y>0,所以 x-y>0,x+y>0,x2>0,x2+1>1, 所以xx-2yx2+x+1y>0. 所以 A2>B2,又 A>0,B>0,故有 A>B.
阅读教材 P3~P5 第一行,完成下列问题.
性质 1 对称性
a>b⇔b<a
性质 2 传递性
如果 a>b,b>c,那么__a_>_c___
性质 3
可加性 推论
如果 a>b,那么 a+c>b+c 如果 a>b,c>d,那么__a_+__c__>b+d
栏目导航
教材整理 2 不等式的基本性质
性质 4 性质 5
栏目导航
已知数轴上两点 A,B 对应的实数分别为 x,y,若 x<y<0,则
|x|与|y|对应的点 P,Q 的位置关系是( )
A.P 在 Q 的左边
B.P 在 Q 的右边
C.P,Q 两点重合
D.不能确定
B [∵x<y<0,∴|x|>|y|>0.故 P 在 Q 的右边.]
栏目导航
教材整理 2 不等式的基本性质
栏目导航
利用性质证明简单不等式 【例 3】 已知 c>a>b>0,求证:c-a a>c-b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
栏目导航
1.若例 1 中改为“A= 较 A 与 B 的大小.
yx22++11,B=yx,其中 x>y>0”,试比
栏目导航
[解] 因为 A2-B2=yx22+ +11-yx22 =x2y2+x21x-2+y21x2+1=x2x2x-2+y21=xx-2yx2+x+1y, 且 x>y>0,所以 x-y>0,x+y>0,x2>0,x2+1>1, 所以xx-2yx2+x+1y>0. 所以 A2>B2,又 A>0,B>0,故有 A>B.
阅读教材 P3~P5 第一行,完成下列问题.
性质 1 对称性
a>b⇔b<a
性质 2 传递性
如果 a>b,b>c,那么__a_>_c___
性质 3
可加性 推论
如果 a>b,那么 a+c>b+c 如果 a>b,c>d,那么__a_+__c__>b+d
栏目导航
教材整理 2 不等式的基本性质
性质 4 性质 5
栏目导航
已知数轴上两点 A,B 对应的实数分别为 x,y,若 x<y<0,则
|x|与|y|对应的点 P,Q 的位置关系是( )
A.P 在 Q 的左边
B.P 在 Q 的右边
C.P,Q 两点重合
D.不能确定
B [∵x<y<0,∴|x|>|y|>0.故 P 在 Q 的右边.]
栏目导航
教材整理 2 不等式的基本性质
栏目导航
利用性质证明简单不等式 【例 3】 已知 c>a>b>0,求证:c-a a>c-b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y= =-1,x= =-1, -3 -2 a b ∴y =x,因此⑤不正确. 由不等式的性质可推出②④恒成立. 即恒成立的不等式有②④.
c d 2.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,a-b>0(其中 a,b, c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个 不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题有几个?
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1, 得, <b, >b; c<0 幂函数 y=xc(c<0) a a
是减函数, 所以 ac<bc; 因为 a-c>b-c, 所以 logb(a-c)>loga(a -c)>loga(b-c),①②③均正确.
[答案] D
点击下图片 进入:
的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化 出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”, 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系,然后去求.
[通一类] 3.若已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(-2)的范围.
解:法一:∵f(x)过原点,∴可设 f(x)=ax2+bx.
m+n=4, ∴ m-n=-2. m=1, ∴ n=3.
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, ∴6≤f(-2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质,2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题,是高考命题
b(n∈N,n≥2).
[小问题· 大思维]
1.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y, a b ③ax>by,④x-b>y-a,⑤y>x这五个不等式中, 恒成立的不等式有哪些?
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4
堂 双
主
基
导 学
所以xx-2yx2+x+1y>0.
达 标
所以A2>B2,又A>0,B>0,故有A>B.
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学 选修4-5
判断下列命题是否正确,并说明理由.
课
当
前 自
(1)若a>b,则ac2>bc2;
堂 双
主
基
导 学
(2)若ca2>cb2,则a>b;
自 主
A.3a>2a
B.a2<2a
双 基
导
达
学
1
C.a<a
标
D.3-2a>1-2a
课
堂 互
【答案】 D
动
探
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
2.已知m,n∈R,则m1 >1n成立的一个充要条件是
课 前
A.m>0>n
自
主 导
C.m<n<0
学
B.n>m>0 D.mn(m-n)<0
()
当 堂 双 基 达 标
课
堂 方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答
互 动
探 此类问题的基础.
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自
已知-6<a<8,2<b<3,分别求a-b,ab的取值范围.
当 堂 双
主
基
导
达
学
【解】 ∵-6<a<8,2<b<3.
标
∴-3<-b<-2,∴-9<a-b<6,
2018-2019高二数学人教A版选修4-5课件:1.1.1不等式的基本性质
【解析】 ∵x<y<0,∴|x|>|y|>0.故 P 在 Q 的右边. 【答案】 B
前置学习
2.已知 a,b,c∈R ,且 ab>0,则下面推理中正确的是( A.a>b⇒am2>bm2 1 1 C.a3>b3⇒ < a b a b B. > ⇒a>b c c D.a2>b2⇒a>b
)
前置学习
【解析】 对于 A,若 m=0,则不成立;对于 B,若 c<0,则不成立;对 于 C,a3-b3>0⇒(a-b)(a2+ab+b2)>0, ∵a +ab+b
1 1 1 1 甲同学认为 a>b⇔a<b, 乙同学认为 a>b>0⇔a<b, 丙同学认为 a>b,
探究 1
1 1 ab>0⇔a<b,请你思考一下,他们谁说的正确?
【提示】 他们说的都不正确.
探究 2 不等式两边同乘以(或除以)同一个数时,要注意什么?
【提示】 要先判断这个数是否为零,决定是否可以乘以(或除以)这个 数,再判断是正还是负,决定不等号的方向是否改变,特别注意不等 式两边同乘以(或除以)同一个负数时,不等号方向改变.
提示:由已知可组成三个命题. c d ①若 ab>0,bc-ad>0,则a-b>0,此命题正确,只需在不等 式 bc-ad>0 两侧同除以 ab,根据不等式性质,整理即得结论;
c d ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0,此命题正确, a b c d 只需在不等式 - >0 两侧同乘以 ab,根据不等式性质, a b 整理即得结论; c d ③若 - >0,bc-ad>0,则 ab>0,此命题正确, a b bc-ad c d 因为 - >0⇔ >0, a b ab 又因为 bc-ad>0,故 ab>0. 即可组成的正确命题有 3 个.
人教B版数学选修4-5课件:1.1.1 不等式的基本性质
向可加性等;
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
高中数学新人教A版选修4-5课件:第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
人教版高中数学选修4-5-1.1不等式ppt课件
a b a - b 0; a b a - b 0; a b a-b 0.
用数学式子表示为:
a b a - b 0; a b a - b 0; a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序,而右边部分则是实 数的运算性质,合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的 关系. 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小,而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论:
O
x
1.实数在数轴系。数轴上的点与实数一一 对应,因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小:
A
a a <b
B
b x
B
b a >b
A
a x
设a 、b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ,那么,当 点A在点B的左边时, a < b;当点A在点B的右边时, a > b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实: 如果a > b,那么a-b是正数; 如果a=b,那么a-b等于零;如果a < b,那么a-b是负数;反过来也对.
[读教材· 填要点]
1.定理 1 如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥ 2ab,当且仅当 a=b 等号成立. 2.定理 2(基本不等式) a+b ≥ 如果 a,b>0,那么 2 ab,当且仅当 a=b 时,等 它 时,
号成立.即:两个正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 们的几何平均.
3.算术平均与几何平均
[小问题· 大思维]
a+b 1.在基本不等式 ≥ ab中,为什么要求 a,b∈(0, 2 +∞)?
用数学式子表示为:
a b a - b 0; a b a - b 0; a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序,而右边部分则是实 数的运算性质,合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的 关系. 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小,而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论:
O
x
1.实数在数轴系。数轴上的点与实数一一 对应,因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小:
A
a a <b
B
b x
B
b a >b
A
a x
设a 、b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ,那么,当 点A在点B的左边时, a < b;当点A在点B的右边时, a > b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实: 如果a > b,那么a-b是正数; 如果a=b,那么a-b等于零;如果a < b,那么a-b是负数;反过来也对.
[读教材· 填要点]
1.定理 1 如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥ 2ab,当且仅当 a=b 等号成立. 2.定理 2(基本不等式) a+b ≥ 如果 a,b>0,那么 2 ab,当且仅当 a=b 时,等 它 时,
号成立.即:两个正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 们的几何平均.
3.算术平均与几何平均
[小问题· 大思维]
a+b 1.在基本不等式 ≥ ab中,为什么要求 a,b∈(0, 2 +∞)?
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
例6 已知-3<a<b<1,-2<c<-1, 求证:-16<(a-b)c2<0. 【思路点拨】 要求(a-b)c2的范围,应先 确定a-b及c2的范围与符号.
【证明】 ∵-3<a<b<1, ∴-1<-b<3,-3<a<1, ∴-4<a-b<4. 又a<b,∴a-b<0, ∴-4<a-b<0,∴0<b-a<4. 又-2<c<-1,∴1<c2<4, ∴0<(b-a)c2<16, ∴-16<(a-b)c2<0.
e
e
a-c2>b-d2.
【思路点拨】 已知 e<0,故只需证a-1 c2 <b-1 d2,即只需证(a-c)2>(b-d)2.
【证明】 ∵c<d<0, ∴-c>-d>0. ∵a>b>0, ∴a-c>b-d>0, ∴(a-c)2>(b-d)2>0, ∴b-1 d2>a-1 c2, 又∵e<0,∴b-e d2<a-e c2,
即a-e c2>b-e d2.
变式训练 2 已知 a>b>0,c<d<0,求证: a-b c<b-a d. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又 a>b>0,∴a-c>b-d>0, ∴0<a-1 c<b-1 d,
而 0<b<a,∴a-b c<b-a d.
考点三 利用不等式性质求代 数式的范围
例 2已 a 知 b0 ,cd0 ,求a 证 b. dc
【证明】 ∵-3<a<b<1, ∴-1<-b<3,-3<a<1, ∴-4<a-b<4. 又a<b,∴a-b<0, ∴-4<a-b<0,∴0<b-a<4. 又-2<c<-1,∴1<c2<4, ∴0<(b-a)c2<16, ∴-16<(a-b)c2<0.
e
e
a-c2>b-d2.
【思路点拨】 已知 e<0,故只需证a-1 c2 <b-1 d2,即只需证(a-c)2>(b-d)2.
【证明】 ∵c<d<0, ∴-c>-d>0. ∵a>b>0, ∴a-c>b-d>0, ∴(a-c)2>(b-d)2>0, ∴b-1 d2>a-1 c2, 又∵e<0,∴b-e d2<a-e c2,
即a-e c2>b-e d2.
变式训练 2 已知 a>b>0,c<d<0,求证: a-b c<b-a d. 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又 a>b>0,∴a-c>b-d>0, ∴0<a-1 c<b-1 d,
而 0<b<a,∴a-b c<b-a d.
考点三 利用不等式性质求代 数式的范围
例 2已 a 知 b0 ,cd0 ,求a 证 b. dc
人教版高中数学选修4-5 第一讲 一 不等式 (共46张PPT)教育课件
解得:1 5 x1 5
2
2
由上可知,当 x 1 5 或x1 5时,M大于N;
2
2
当
1 2
5
x1 2
5 时,M小于N。
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 , 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 , 就 会 有 个 好 心 境, 若 把 很 多 事 看开 了 , 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ,
当且仅当a b时,等号成立。
探究
观察下图,如果AD=a,BD=b,OC是 斜边AB的中线,你能给出基本不等式的 几何意义吗?
C
A
O
DB
分析
在图中,CD⊥AB,AO=OB,于是OC= 1 AB= 1(a+b),
2
2
因为∠DCA+ ∠A=90o, ∠B+∠A=90o
所以∠DCA= ∠B.
于是Rt△DCA和Rt△DBC相似.
3
当且仅当a=b=c时,等号成立。
推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平 均数不小于它们的几何平均数,
即 当: 且a仅1 当+ aa12=n+a2.=..…+=aann时 ,n a等1a号2 .成..a立n 。
例4 已知x,y,z R+,求证(x+y+z)3≥27xyz
提示 本题涉及三个实数的和积, 可以考虑基本不等式的推广。
1 8
4
由上可知,y的最大值是
1
8
2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M 与N的大小关系。
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回
2.不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些 基本性质: (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即 a>
b⇔b<a . (2)如果a>b,b>c,那么 a>c .即a>b,b>c⇒ a>c .
(3)如果a>b,那么a+c> b+c . (4)如果a>b,c>0,那么ac > bc;如果a>b,c<0,那么 ac < bc.
返回
(2)a>b,c>d⇒a+c>b+d,即两个同向不等式可以相 加,但不可以 相减 ;而a>b>0,c>d>0⇒ac>bd,即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时,可以相乘,但不可以 相除 . (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 , 并且n∈N,n≥2,否则结论不成立.而当n取正奇数时可放宽 条件,a>b⇒a >b (n=2k+1,k∈N),a>b⇒ 1,k∈N+).
返回
返回
1.不等式的基本性质
返回
1.实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 .在数轴上,右边的数总 比左边的数 大 . (2)如果a-b>0,则 a>b ;如果a-b=0,则 a=b ;
如果a-b<0,则 a<b .
(3)比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的 差a -b的符号 ;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们 的值的大小,而这又归结为判断它们的 差的符号 .
返回
[例 2]
已知 a>b>0,c<d<0,e<0.
e e 求证: > . a-c b-d
2.不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些 基本性质: (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即 a>
b⇔b<a . (2)如果a>b,b>c,那么 a>c .即a>b,b>c⇒ a>c .
(3)如果a>b,那么a+c> b+c . (4)如果a>b,c>0,那么ac > bc;如果a>b,c<0,那么 ac < bc.
返回
(2)a>b,c>d⇒a+c>b+d,即两个同向不等式可以相 加,但不可以 相减 ;而a>b>0,c>d>0⇒ac>bd,即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时,可以相乘,但不可以 相除 . (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 , 并且n∈N,n≥2,否则结论不成立.而当n取正奇数时可放宽 条件,a>b⇒a >b (n=2k+1,k∈N),a>b⇒ 1,k∈N+).
返回
返回
1.不等式的基本性质
返回
1.实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 .在数轴上,右边的数总 比左边的数 大 . (2)如果a-b>0,则 a>b ;如果a-b=0,则 a=b ;
如果a-b<0,则 a<b .
(3)比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的 差a -b的符号 ;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们 的值的大小,而这又归结为判断它们的 差的符号 .
返回
[例 2]
已知 a>b>0,c<d<0,e<0.
e e 求证: > . a-c b-d
人教版高中数学选修4-5课件-不等式
2.下列不等式:
(1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正確的個數 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】選C.因為x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正確;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正負不確定, 所以(2)不正確;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正確.
故不正確.
(4)因為a- 1<b- 1,且a>0,b>0, 所以a2b-b<a ab2-ba⇒a2b-ab2-b+a<0,
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正確.
【方法技巧】 1.利用不等式的性質判斷命題真假的技巧 (1)要判斷一個命題為真命題,必須嚴格證明. (2)要判斷一個命題為假命題,或者舉反例,或者由題中 條件推出與結論相反的結果.其中,舉反例在解選擇題 時用處很大.
2.運用不等式的性質判斷命題真假的三點注意事項 (1)倒數法則要求兩數同號. (2)兩邊同乘以一個數,不等號方向是否改變要視此數 的正負而定. (3)同向不等式可以相加,異向不等式可以相減.
【變式訓練】1.下列命題中正確的是_________ . ①若a>b>0,c>d>0,那麼 a b ; ②若a,b∈R,則a2+b2+5≥2(d2a-bc).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
>b得1
> ,
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0>,所c 1以b
,正确.
a>b ca cb
(3)由 a >,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb>c0且,c所d以>0ac或dd>a0bd,c><0b,或c且accddd<<0b.c0<, 0,
超级记忆法-记忆 规律
TIP1:我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后! TIP2:可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识,由于不受后摄抑制的 影 响,更容易储存记忆信息,由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆 规律
TIP3:另外,还有研究表明,记忆在我们的睡眠过程中也并未停止,我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以,睡前的这段时间可是 非常 宝贵的,不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.
【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4) =(m-n)m3-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2)
m n2 [(m n )2 3 n2],
24
又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为 [(m n )2 3 n2 ] 0, 所以x-y>02 ,故x4>y.
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号. (2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数 的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________ . ①若a>b>0,c>d>0,那么 a b ; ②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(d2a-bc).
第一讲 不等式和绝对值不等式 一不等式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔_b_<_a_. (2)传递性:a>b,b>c⇒____.
a>c (3)可加性:____⇔a+c>b+c.
a>b
(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么_a_c_>_b_c_;
如果a>b,c<0,那么______. ac<bc
(5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2).
> (6)开方:如果a>b>0,那么 __
(n∈N,n≥2).
na > nb
【即时小测】
1.若a<b<0,则下列结论不正确的是 ( )
A.a2<b2
B.ab<a2
C【. ba解 析ba 】2 选A.因为a<b<D0.|,a所| 以| b0|<| a-bb<| -a, 故B,C,D都正确,A错误.
【知识探究】 探究点 不等式的基本性质 1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗? 提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可 减性. 如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义 “⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不 可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不 同性质的条件.
2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以 把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可 逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<
,再由0<b<a,
1<1
所以 a c b d
b<a . ac bd
【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,证明: 3 a 3 b .
dc
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
所以 0 1 又 1a,>b>0, 所以 c d
a b 0, 所以 d c
同乘以3 -1da得
3
b,即 c
3
a d
3
b. c
a
3
d
3 b. c
2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他【证条明件】不因变为,证c<明d:<0a,所ec以2 >-cb>e-dd2>. 0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1:听懂看到≈认知获取;
TIP2:什么叫认知获取:知道一些概念、过程、信息、现象、方法,知道它们 大 概可以用来解决什么问题,而这些东西过去你都不知道;
TIP3:认知获取是学习的开始,而不是结束。
为啥总是听懂了, 但不会做,做不好?
好像天天在玩, 上课没事儿还调皮气老师, 笔记有时让人看不懂, 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂,但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
(2)c>a>b>0,则1a
1 b
.
(3)若
,则caada>bcc.b b .
(4)设a,ab>为b正实数,若a- <b- ,则a<b. cd
11
ab
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2 =x2(x-y)-y2(x-y) =(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2(x+y)≥0, 所以x3+y3≥x2y+xy2.
类型二 不等式性质的简单应用
所以
又e<0,所以
a
1 c
2
<
b
1 d
2
,
a
e c
2
>
b
e d
2
.
【方法技巧】利用不等式性质证明简单不等式的实质 与技巧 (1)实质:就是根据性质把不等式进行变形,要注意不等 式性质成立的条件.
(2)技巧:若不能直接由不等式性质得到,可先分析需要 证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推,寻 找使其成立的充分条件.
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制:可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制:可以理解为因为接受了新的内容,而把前 面看过的忘记了
所以ac
bd 所以
a c >0,b d >0,
ac
bd
ac > bd . ac bd
2.已知a>0,b>0,c>0,d>0,且 a > c ,求证: a c > c .
【证明】因为a>0,b>0,c>0,bd>d0且a > c
bd d
,所以ad>bc,
所以ad+cd>bc+cd,即d(a+c)>cb(b+dd),
故
an bn an1 bn1
ab n
0,
即 bn1 an1 1 1
an
bn
. ab
综合(1)(2)可知,
答案:
bn1 an
a n1 bn
1 a
1. b
bn1 an
a n1 bn
1 a
1 b
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你