课时作业二十九 [第29讲 等比数列]
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即q2＋q－6＝0，q>0，解得：q＝2，又a2＝1，所以，a1＝ ，S4＝ ＝ .
8．2 [解析]由已知得(a4a5)4＝16，因为an>0，所以a4a5＝2，所以a4＋a5≥2 ＝2 .
9．充分必要[解析]因为{an}是首项大于零的等比数列，所以当a1<a2时，有q>1，所以数列{an}是递增数列，反之，若数列{an}是递增数列，则an<an＋1，所以a1<a2.
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn的表达式．
15．(12分)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ 且bn＝a2n－2，n∈N*.
(1)求a2，a3，a4；
(2)求证：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式；
(3)求和Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n.
16．(12分)[2011·南京模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{ }是公比为2的等比数列．
课时作业(二十九)[第29讲等比数列]
[时间：45分钟分值：100分]
1．已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162，则数列{an}的通项公式an＝________.
2．在等比数列{an}中，若首项a1＝1，公比q＝4，则该数列的前5项和S5＝________.
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝_____________________________________；
16．[解答](1)证明：因为数列{ }是公比为2的等比数列，
所以 ＝ ·2n－1，
即Sn＋1＝(a1＋1)·4n－1
因为an＝
所以an＝
显然，当n≥2时， ＝4.
①充分性：当a1＝3时， ＝4，所以对n∈N*，都有 ＝4，即数列{an}是等比数列．
②必要性：因为{an}是等比数列，所以 ＝4，
即 ＝4.解得a1＝3.
由b1<b2知，5＋a1<25－3(a1＋1)，得a1< .
由bn<bn＋1对n≥3的奇数恒成立知，5n＋3(a1＋1)×4n－2<5n＋1－3(a1＋1)×4n－1恒成立，即15(a1＋1)×4n－2<4×5n恒成立，
所以a1＋1< n－2恒成立．
因为对n≥3的奇数， n－2的最小值为 ，
所以a1< .
12．①③④[解析]由a1>1，a99a100>1，(a99－1)·(a100－1)<0，∴a99>1,0<a100<1,0<q<1.a99a101＝a <1，由Tn＝a1a2…an＝a ·q ，若Tn<1，即a ·q <1，即a1·q <1，由a99>1,0<a100<1，∴a1·q99<1，知要求Tn<1的最小自然数，即99≤ ，∴n≥199，∴Tn<1的最小自然数为199，∴T198<1不正确．
14．[解答](1)证明：n＝1时，3a1＝2S1＋1＝2a1＋1.
∴a1＝1.
当n≥2时，由3an＝2Sn＋n，①
得3an－1＝2Sn－1＋n－1，②
①－②得3an－3an－1＝2Sn＋n－2Sn－1－n＋1＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1，
即an＝3an－1＋1，
∴an＋ ＝3an－1＋1＋ ＝3 .
当q<0时， ＋1＋q≤－1，
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
【能力提升】
5．4[解析]a7·a9＝4⇒a ＝4，a8与a4同号，故a8＝2，
∴q4＝ ＝2⇒a12＝a8·q4＝4.
6. [解析]设公比为q，则 ＝ ＝1＋q3＝3⇒q3＝2，
于是 ＝ ＝ ＝ .
7. [解析]由an＋2＋an＋1＝6an得：qn＋1＋qn＝6qn－1，
a·c＝________.
4．已知等比数列 中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是____________________．
5．[2011·镇江统考]在等比数列{an}中，若a7·a9＝4，a4＝1，则a12的值是________．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝3，则 ＝________.
10．512[解析]由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝a ＝4⇒a1＝2，又a4＝a ＝16，a8＝a ＝256，a9＝a1a8＝512.
11．S4a5<S5a4[解析](1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a －5a ＝－a <0；当q≠1且q>0时，
S4a5－S5a4＝ (q4－q8－q3＋q8)＝ (q－1)＝－a q3<0.
∴数列{bn}为等比数列，
∴bn＝－ · n－1＝－ n.
(3)∵a2n＝bn＋2，
∴Tn＝a2＋a4＋…＋a2n
＝b1＋b2＋…＋bn＋2n
＝－ ＋2n
＝ n＋2n－1.
[点评](1)判断数列{an}为等比数列的常用方法有：①证明 ＝q(与n无关的常数)；②a ＝an－1an＋1；
(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的连续三项不成等比数列来证明，也可以用反证法．
13．[解答](1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2.
所以an＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有 解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝ ＝6n2－22n.
(2)当n＝1时，b1＝5＋a1；
当n≥2时，bn＝5n－(－1)n×3(a1＋1)×4n－2(a1>－1)．
①当n为偶数时，5n－3(a1＋1)×4n－2<5n＋1＋3(a1＋1)×4n－1恒成立．
即15(a1＋1)×4n－2>－4×5n恒成立，
故a1∈(－1，＋∞)．
②当n为奇数时，b1<b2且bn<bn＋1(n≥3)恒成立．
10．[2011·南京一模]已知正项数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则a9＝________.
11．已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是________．
12．设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0， <0，给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99·a101<1；④使Tn<1成立的最小自然数n等于199.其中正确结论的序号是________．
13．(8分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2来自百度文库若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
14．(8分)[2011·嘉兴模拟]已知数列{an}，Sn是其前n项和，且满足3an＝2Sn＋n(n∈N*)．
7．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．
9．[2011·上海徐汇区诊断]设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的________条件．
2．341[解析]在等比数列{an}中，∵a1＝1，q＝4，
∴S5＝ ＝ ＝341.
3．－39[解析]由等比数列的性质可得ac＝(－1)×(－9)＝9，b·b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.
4．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[解析]设等比数列的公比为q，则S3＝q＋ ＋1.当q>0时， ＋1＋q≥3；
又a1＋ ＝ ≠0，
∴ 是首项为 ，公比为3的等比数列．
(2)由(1)得an＋ ＝ ·3n－1，即an＝ ·3n－1－ ，代入①得Sn＝ ·3n－ (2n＋3)，
∴Tn＝S1＋S2＋…＋Sn
＝ (3＋32＋33＋…＋3n)－ (5＋7＋…＋2n＋3)
＝ · － ＝ (3n－1)－ .
15．[思路](1)利用分段函数的性质求解．(2)要证明{bn}是等比数列，可考虑在n≥2时寻找bn与bn－1的关系，结合所给的关系式把它们用数列 中的项表示出来即可．(3)利用(2)的结论，求出bn，再利用两个数列的关系求解．
又因为 < ，故－1<a1< .
综上所述，bn<bn＋1对n∈N*恒成立时，a1∈ .
(1)证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1＝3；
(2)设bn＝5n－(－1)nan(n∈N*)．若bn<bn＋1对n∈N*恒成立，求a1的取值范围．
课时作业(二十九)
【基础热身】
1．2·3n－1[解析]设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a5＝a1q4.依题意，得方程组 解此方程组，得a1＝2,q＝3.故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1(n∈N*)．
[解答](1)a2＝ ，a3＝－ ，a4＝ .
(2)由于bn＝a2n－2，n∈N*，
当n≥2时，bn＝a2n－2＝a(2n－1)＋1－2
＝ a2n－1＋(2n－1)－2
＝ [a2n－2－2(2n－2)]＋(2n－1)－2
＝ [a2(n－1)－2]
＝ bn－1.
又b1＝a2－2＝－ ，且易知bn≠0，
8．2 [解析]由已知得(a4a5)4＝16，因为an>0，所以a4a5＝2，所以a4＋a5≥2 ＝2 .
9．充分必要[解析]因为{an}是首项大于零的等比数列，所以当a1<a2时，有q>1，所以数列{an}是递增数列，反之，若数列{an}是递增数列，则an<an＋1，所以a1<a2.
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn的表达式．
15．(12分)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ 且bn＝a2n－2，n∈N*.
(1)求a2，a3，a4；
(2)求证：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式；
(3)求和Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n.
16．(12分)[2011·南京模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{ }是公比为2的等比数列．
课时作业(二十九)[第29讲等比数列]
[时间：45分钟分值：100分]
1．已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162，则数列{an}的通项公式an＝________.
2．在等比数列{an}中，若首项a1＝1，公比q＝4，则该数列的前5项和S5＝________.
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝_____________________________________；
16．[解答](1)证明：因为数列{ }是公比为2的等比数列，
所以 ＝ ·2n－1，
即Sn＋1＝(a1＋1)·4n－1
因为an＝
所以an＝
显然，当n≥2时， ＝4.
①充分性：当a1＝3时， ＝4，所以对n∈N*，都有 ＝4，即数列{an}是等比数列．
②必要性：因为{an}是等比数列，所以 ＝4，
即 ＝4.解得a1＝3.
由b1<b2知，5＋a1<25－3(a1＋1)，得a1< .
由bn<bn＋1对n≥3的奇数恒成立知，5n＋3(a1＋1)×4n－2<5n＋1－3(a1＋1)×4n－1恒成立，即15(a1＋1)×4n－2<4×5n恒成立，
所以a1＋1< n－2恒成立．
因为对n≥3的奇数， n－2的最小值为 ，
所以a1< .
12．①③④[解析]由a1>1，a99a100>1，(a99－1)·(a100－1)<0，∴a99>1,0<a100<1,0<q<1.a99a101＝a <1，由Tn＝a1a2…an＝a ·q ，若Tn<1，即a ·q <1，即a1·q <1，由a99>1,0<a100<1，∴a1·q99<1，知要求Tn<1的最小自然数，即99≤ ，∴n≥199，∴Tn<1的最小自然数为199，∴T198<1不正确．
14．[解答](1)证明：n＝1时，3a1＝2S1＋1＝2a1＋1.
∴a1＝1.
当n≥2时，由3an＝2Sn＋n，①
得3an－1＝2Sn－1＋n－1，②
①－②得3an－3an－1＝2Sn＋n－2Sn－1－n＋1＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1，
即an＝3an－1＋1，
∴an＋ ＝3an－1＋1＋ ＝3 .
当q<0时， ＋1＋q≤－1，
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
【能力提升】
5．4[解析]a7·a9＝4⇒a ＝4，a8与a4同号，故a8＝2，
∴q4＝ ＝2⇒a12＝a8·q4＝4.
6. [解析]设公比为q，则 ＝ ＝1＋q3＝3⇒q3＝2，
于是 ＝ ＝ ＝ .
7. [解析]由an＋2＋an＋1＝6an得：qn＋1＋qn＝6qn－1，
a·c＝________.
4．已知等比数列 中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是____________________．
5．[2011·镇江统考]在等比数列{an}中，若a7·a9＝4，a4＝1，则a12的值是________．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝3，则 ＝________.
10．512[解析]由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝a ＝4⇒a1＝2，又a4＝a ＝16，a8＝a ＝256，a9＝a1a8＝512.
11．S4a5<S5a4[解析](1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a －5a ＝－a <0；当q≠1且q>0时，
S4a5－S5a4＝ (q4－q8－q3＋q8)＝ (q－1)＝－a q3<0.
∴数列{bn}为等比数列，
∴bn＝－ · n－1＝－ n.
(3)∵a2n＝bn＋2，
∴Tn＝a2＋a4＋…＋a2n
＝b1＋b2＋…＋bn＋2n
＝－ ＋2n
＝ n＋2n－1.
[点评](1)判断数列{an}为等比数列的常用方法有：①证明 ＝q(与n无关的常数)；②a ＝an－1an＋1；
(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的连续三项不成等比数列来证明，也可以用反证法．
13．[解答](1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2.
所以an＝2·2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有 解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝ ＝6n2－22n.
(2)当n＝1时，b1＝5＋a1；
当n≥2时，bn＝5n－(－1)n×3(a1＋1)×4n－2(a1>－1)．
①当n为偶数时，5n－3(a1＋1)×4n－2<5n＋1＋3(a1＋1)×4n－1恒成立．
即15(a1＋1)×4n－2>－4×5n恒成立，
故a1∈(－1，＋∞)．
②当n为奇数时，b1<b2且bn<bn＋1(n≥3)恒成立．
10．[2011·南京一模]已知正项数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则a9＝________.
11．已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是________．
12．设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0， <0，给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99·a101<1；④使Tn<1成立的最小自然数n等于199.其中正确结论的序号是________．
13．(8分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2来自百度文库若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
14．(8分)[2011·嘉兴模拟]已知数列{an}，Sn是其前n项和，且满足3an＝2Sn＋n(n∈N*)．
7．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．
9．[2011·上海徐汇区诊断]设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的________条件．
2．341[解析]在等比数列{an}中，∵a1＝1，q＝4，
∴S5＝ ＝ ＝341.
3．－39[解析]由等比数列的性质可得ac＝(－1)×(－9)＝9，b·b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.
4．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[解析]设等比数列的公比为q，则S3＝q＋ ＋1.当q>0时， ＋1＋q≥3；
又a1＋ ＝ ≠0，
∴ 是首项为 ，公比为3的等比数列．
(2)由(1)得an＋ ＝ ·3n－1，即an＝ ·3n－1－ ，代入①得Sn＝ ·3n－ (2n＋3)，
∴Tn＝S1＋S2＋…＋Sn
＝ (3＋32＋33＋…＋3n)－ (5＋7＋…＋2n＋3)
＝ · － ＝ (3n－1)－ .
15．[思路](1)利用分段函数的性质求解．(2)要证明{bn}是等比数列，可考虑在n≥2时寻找bn与bn－1的关系，结合所给的关系式把它们用数列 中的项表示出来即可．(3)利用(2)的结论，求出bn，再利用两个数列的关系求解．
又因为 < ，故－1<a1< .
综上所述，bn<bn＋1对n∈N*恒成立时，a1∈ .
(1)证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1＝3；
(2)设bn＝5n－(－1)nan(n∈N*)．若bn<bn＋1对n∈N*恒成立，求a1的取值范围．
课时作业(二十九)
【基础热身】
1．2·3n－1[解析]设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a5＝a1q4.依题意，得方程组 解此方程组，得a1＝2,q＝3.故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1(n∈N*)．
[解答](1)a2＝ ，a3＝－ ，a4＝ .
(2)由于bn＝a2n－2，n∈N*，
当n≥2时，bn＝a2n－2＝a(2n－1)＋1－2
＝ a2n－1＋(2n－1)－2
＝ [a2n－2－2(2n－2)]＋(2n－1)－2
＝ [a2(n－1)－2]
＝ bn－1.
又b1＝a2－2＝－ ，且易知bn≠0，