相似三角形综合试相似与圆(难)

相似三角形综合试相似与圆(难)

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2

D

C B A

O M N E H

A B

C

P

E

D H

F O 相似三角形与圆

1．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE •DF

2．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA •MC ＝MB •MD

3．(2006年黄冈)如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ． (1)若PC =PF ，求证：AB ⊥ED ；

(2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？

4．如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC

的外接圆直径，则有结论：AB · AC =AE · AD 成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？

D C

B A

O

E

F

5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF．

(1)求证：△AEF∽△FED；

(2)若AD=8，DE=4，求EF的长．

6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．

(1)求证：P A是⊙O的切线．

(2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？

(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求P A的长．

7．已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．

8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长．

9． 已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，4AC =，43BC =，以AC 为直径的O e 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ． (1)求证：DE 是O e 的切线； (2)求EF ：FD 的值．

10．如图，A 是以BC 为直径的O e 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O e 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． (1)求证：BF EF =；

(2)求证：PA 是O e 的切线；

(3)若FG BF =，且O e 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．

A

B C D E F O

O

D G C

A

E F

B P

4．答：．连接BE ，证△ABE ∽△ADC 图(2)同理可证，结论仍成立； 5．答：．(1)连接EC ，可证∠DFE =∠DCE ，又 ∠DCE =∠BAE =∠CAE ，从而△AEF ∽△FED ；(2)EF =43；

6．答：．(1)作直径AC '，连接BC '，证∠P AC '=90o 即可；(2)△ABP ∽△CAP ，理由略；(3)P A =410

10．(1)证明：BC ∵是O e 的直径，BE 是O e 的切线，

EB BC ⊥∴．

又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．

易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△． BF CF EF CF

DG CG AG CG ==

∴，． BF EF

DG AG

=

∴． G ∵是AD 的中点， DG AG =∴． BF EF =∴．

(2)证明：连结AO AB ，．

BC ∵是O e 的直径，90BAC ∠=∴°．

在Rt BAE △中，由(1)，知F 是斜边BE 的中点， AF FB EF ==∴． FBA FAB ∠=∠∴．

又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴． BE ∵是O e 的切线，90EBO ∠=∴°．

90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°， PA ∴是O e 的切线．

(3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ． BD AD FH AD ⊥⊥∵，， FH BC ∴∥．

由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．

由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形． FH AD ⊥∵，AH GH =∴． DG AG =∵，

2DG HG =∴，即

1

2

HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°， ∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =． FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△． FH FG HG CD CG DG ==∴，即12

BD FG HG CD CG DG ===． O e ∵的半径长为32，62BC =∴．

1

2

62BD BD BD CD BC BD BD ===--∴

． O

D G C

A

E F B P

H