1999年全国高中数学联合竞赛试卷及解析

1999年全国高中数学联合竞赛试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题

1.给定公比为的等比数列{a n}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6,⋅⋅⋅,b n=a3n−2+a3n−1+a3n,⋅⋅⋅，则数列{b n}（）．

A. 是等差数列

B. 是公比为q的等比数列

C. 是公比为q3的等比数列

D. 既非等差数列又非等比数列

2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点．那么，满足不等式(|x|−

1)2+(|y|−1)2<2的整点(x,y)的个数是（）．

A. 16

B. 17

C. 18

D. 25

3.若(log23)x−(log53)x≥(log23)−y−(log53)−y，则（）．

A. x−y≥0

B. x+y≥0

C. x−y≤0

D. x+y≤0

4.给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a、b中的一条相交；命题Ⅱ :不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．

那么，（）．

A. 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确

B. 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确

C. 两个命题都正确

D. 两个命题都不正确

5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6.已知点A(1,2)，过点(5,−2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C．那么，

ΔABC是（）．

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 答案不确定

第II卷（非选择题）

二、填空题

7.已知正整数不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和．那么，这样的

n的个数是______．

8.已知θ=arctg512．那么，复数z=cos2θ+isin2θ

239+i

的辐角主值是______．

9.在ΔABC中，记BC=a，CA=b，AB=c．若9a2+9b2−19c2=0，则

cotC

cotA+cotB

=______．

10.已知点P在双曲线x216−y29=1上，并且P到这条这条双曲线的右准线的距离恰是P到这

条双曲线的两个焦点的距离的等差中项．那么，P的横坐标是______．

11.已知直线ax+by+c=0中的a、b、c是取自集合{−3,−2,−1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角．那么，这样的直线的条数是______．

12.已知三棱锥S−ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H−AB−C的平面角等于30°，SA=2√3．那么，三棱锥S−ABC的体积为

______．

三、解答题

13.已知当时，不等式x2cosθ−x(1−x)+(1−x)2sinθ>0恒成立．试求θ的取值范围．

14.给定A(−2,2)，已知B是椭圆x225+y216=1上的动点，F是左焦点．当|AB|+53|BF|取最小值时，求B的坐标．

15.给定正整数n和正数M．对于满足条件a12+a n+1

2≤M的所有等差数列a1,a2,a3,⋅⋅⋅．试求S=a n+1+a n+2+⋅⋅⋅+a2n+1的最大值．

16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交

于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC．

17.给定实数a、b、c．已知复数z1、z2、z3满足：{|z1|=|z2|=|z3|=1, z1

z2

+z2

z3

+z3

z1

=1.求

|az1+bz2+cz3|的值．

18.给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,⋅⋅⋅

,n克的所有物品．

（1）求k的最小值f(n)；

（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的？并证明你的结论．

参考答案

1.C

【解析】1. 由题设，a n

=

a 1q n−1，则b

n+1

b n

=

a 3n+1+a 3n+2+a 3n+3a 3n−2+a 3n−1+a 3n =a 1q 3n +a 1q 3n+1+a 1q 3n+2a 1q 3n−3+a 1q 3n−2+a 1q 3n−1

=a 1q 3n (1+q+q 2)

a 1q (1+q+q )

=q 3．因此，{b n }是公比为q 3的等比数列.故答案为：C

2.A

【解析】2.

由(|x |−1)2+(|y |−1)2

<2，可得(|x |−1,|y |−1)为(0,0)，(0,1)，(0,−1)，

(1,0)或(−1,0)．从而，不难得到(x,y )共有16个．故答案为：A 3.B

【解析】3. 记f (t )

=(log 23)t −(log 53)t ．则f (t )在R 上是严格增函数．原不等式即f (x )≥

f (−y )．

故x ≥−y ，即x +y ≥0．故答案为：B

4.D

【解析】4.

如图，c 与a 、b 都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．故答案为：D

5.B

【解析】5.

试题设一共有n 个选手，故总场次C n−32

+6−x =

(n−3)(n−4)

2

+6−x =50，其中x 为