第11讲.一元二次方程根系关系及应用题(答案版)

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初二春季·第11讲·尖子班·教师版

方程11级 解特殊复杂方程

方程12级 特殊根问题 方程6级

方程13级 根系关系及应用题

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根系关系及应用题

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初二春季·第11讲·尖子班·教师版

题型切片（两个）

对应题目

题

型目标

根与系数关系 例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3； 一元二次方程的应用题

例4；例5；例6；演练4；演练5．

本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一

板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。 编写思路

题型切片

知识互联网

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一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根

21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a

c

x x a b x x =⋅-=+2121,.

【引例】 先阅读，再填空解题：

⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；

⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝3

2

；

⑶方程x 2

－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：

如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．

⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211

x x + （十一学校期末） 【解析】 ⑶

352+，352-；3，1；⑷1212n p

x x x x m m

+=-=，； ⑸①()22

12211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()

2

221212122

222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+

【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．

⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+

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例题精讲

典题精练

题型一：根与系数关系

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初二春季·第11讲·尖子班·教师版

【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵121271

22

x x x x +=-=，

⑶12122

23

x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，

【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．

⑴求实数m 的取值范围；

⑵当22

12

0x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是1

4

m ≤．

⑵由22

12

0x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得1

2

m =．

∵12＞14，1

2m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x =

∴ 0∆=，由⑴知1

4m =．

故当22

12

0x x -=时，14

m =．

【例3】 已知一元二次方程2

(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又

不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；

⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.

（北京八中期中试题）

【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪

∆=-+->⎨⎪≠⎩

∴3

2

m >-且0m ≠且1m ≠-．

⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．

方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧

+=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪

⎪+-=⎪⎩

∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=

方法二：12222

133410x x x x ⎧

=-⎪⎨⎪+-=⎩，()2

2221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==