世界上精度最高的椭圆周长初等公式
椭圆周长
椭圆周长经典近似公式
以下是几个比较简单的近似公式：
公式一～五为一般精度，满足简单计算需要；
公式六为高精度，满足比较专业一些的计算需要。
这些公式均符合椭圆的基本规律,
当a＝b时，L＝2aπ，
M＝22/7π-1、N＝((a-b)/a)＾33.697 、)
这是根据椭圆标准公式提炼的，精度很高。
下面是椭圆周长参考对照值：
a---b-------椭圆值
100~000---400.00000000
100~001---400.10983297
100~010---406.39741801
100~025---84.42241100
100~075---552.58730400
100~090---597.31604325
100~099---625.18088479
100~100---628.31853070
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
这是根据椭圆a＝b时的特点推导的，精度一般。
L5＝√(4abπ＾2+15(a-b)＾2)(1+MN)
( M＝4/√15-1 、N＝((a-b)/a)＾9 )
椭圆形计算周长公式
椭圆形计算周长公式椭圆形是一种特殊的曲线，它外形像一个没有完全椭圆的圆，是球面的一种投影。
它具有椭圆形的长轴a和短轴b，而它的周长也就是椭圆形的周长。
椭圆形的计算周长公式能够帮助我们准确计算出这种椭圆形的周长。
计算椭圆形周长公式如下：L = * (a + b) * (1 + 3 * (a - b) / (10 * (a + b))) 其中，L为椭圆形的周长，a为椭圆形的长轴，b为椭圆形的短轴，π为常数3.14。
历史上，这个公式由德国数学家艾斯纳先生于1837年提出。
艾斯纳先生是19世纪欧洲数学界的著名人物，他的学术著作有《德国高等数学教程》，《积分学》，《几何学》等，他的研究方向主要是椭圆形，他在椭圆形的研究上也有着许多成就。
椭圆形的计算周长公式至今仍在使用，并被广泛应用到工程领域，比如机械设计，汽车行业，航天领域等。
椭圆形的周长是整个椭圆形的参数，正确计算椭圆形的周长对于精确设计椭圆形极为重要，计算椭圆形周长公式可以直接计算出椭圆形的周长，是设计师们比较常用的工具之一。
计算椭圆形周长公式可以满足各种椭圆形的周长计算需要，但是在计算过程当中存在一些困难。
椭圆形的长短轴是变量，我们不知道它们确切的值，所以我们只能给出近似的值，再通过计算得到准确的结果。
为了保证计算准确性，实际计算时，尽可能提供更多的数据，以及更加详细的精确位数，以便获得较准确的结果。
椭圆形的计算周长公式是一个抽象结构，它在计算数学上有着重要的意义。
椭圆形的计算周长公式可以处理多道题，不仅仅是椭圆形的周长计算，它还可以用来研究其他曲线的周长计算，比如抛物线，双曲线，螺线等。
它对于解决许多复杂的数学问题有着不可磨灭的贡献。
椭圆形的计算周长公式是古老的数学理论，经过几百年的发展，仍然是一个重要的数学工具。
它为我们准确计算出椭圆形的周长提供了有力的支持，得到了广泛的应用，也让我们受益匪浅。
椭圆形计算周长公式
椭圆形计算周长公式
椭圆形是一种非常特殊的几何图形，它的形状类似于一个拉长的圆形。
在数学中，椭圆形是一个非常重要的图形，因为它在许多领域中都有广泛的应用，例如天文学、物理学、工程学等等。
在本文中，我们将讨论椭圆形的周长公式以及如何计算它。
让我们来看一下椭圆形的定义。
椭圆形是一个平面图形，它由两个焦点和所有到这两个焦点距离之和等于常数的点组成。
这个常数被称为椭圆形的长轴，而椭圆形的短轴则是垂直于长轴的线段的长度。
现在，让我们来看一下椭圆形的周长公式。
椭圆形的周长公式可以表示为：
C = 2π√((a^2+b^2)/2)
其中，a和b分别是椭圆形的长轴和短轴。
这个公式可以用来计算椭圆形的周长，也就是椭圆形周围的长度。
现在，让我们来看一下如何计算椭圆形的周长。
首先，我们需要确定椭圆形的长轴和短轴的长度。
这可以通过测量椭圆形的两个直径来完成。
一旦我们知道了长轴和短轴的长度，我们就可以使用上面的公式来计算椭圆形的周长了。
例如，假设我们有一个椭圆形，它的长轴长度为10厘米，短轴长
度为6厘米。
那么，我们可以使用上面的公式来计算它的周长：
C = 2π√((10^2+6^2)/2) ≈ 28.8厘米
因此，这个椭圆形的周长约为28.8厘米。
椭圆形是一个非常特殊的几何图形，它在许多领域中都有广泛的应用。
椭圆形的周长公式可以帮助我们计算椭圆形的周长，这对于许多工程和科学应用都非常重要。
如果你需要计算椭圆形的周长，那么上面的公式可以帮助你完成这个任务。
椭圆周长和面积计算公式
根据椭圆第一定义，用 a 表示椭圆长半轴的长，b 表示椭圆短半轴的长，且 a>b>0。
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆
长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘
S=πa2T=πa2(K+f) （8） 在等式（8）中 K=0，f=b/a，代入等式中： S=πa2b/a=πab 椭圆面积计算公式：S=πab 关于《椭圆定理》中的 T=k1+f 问题 易亚苏
《椭圆定理》一文中有：“定义 1：K1=2/(π-2)，K1 为椭圆第一常数。定义 2：f=b/a，f 为 椭圆向心率（a>b>0）。定义 3：T=K1+f，T 为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义：T=k1+f 没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。
（三） 笔者认为任何科学研究的方法都基于：1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设 或猜想做出结论；4、对结论进行检验。《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。笔者认为
论文不在长短，而在其价值。当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公 式，缺少标准的椭圆周长计算公式），那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。任何科 学的原始依据从哪里来？从发现来。对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论； 理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。
积。
椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程：
（一）发现椭圆常数
常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。
椭圆的周长计算
椭圆的周长计算
椭圆是一种非常特殊的几何图形，它的形状非常优美，而且在很多领域中都有着广泛的应用。
椭圆的周长是一个非常重要的参数，它可以帮助我们计算出椭圆的大小和形状，从而更好地理解和应用椭圆。
我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是一个平面上的几何图形，它由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆的周长是指沿着椭圆的边界走一圈所需要的长度。
椭圆的周长可以用以下公式来计算：
C = 2πa + 4(a - b)
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度，π是圆周率，C是椭圆的周长。
这个公式的推导比较复杂，我们可以简单地理解为，椭圆的周长由两部分组成：一部分是沿着长轴走一圈的长度，另一部分是沿着短轴走一圈的长度，再减去两个半径之差的长度。
椭圆的周长有很多重要的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要计算椭圆形的门窗和天窗的周长，以便确定所需的材料和成本。
在机械制造中，椭圆的周长也是一个重要的参数，它可以帮助我们计算出机械零件的尺寸和形状。
此外，在天文学和物理学中，椭圆的周长也有着广泛的应用，例如计算行星和卫星的轨道等。
椭圆的周长是一个非常重要的参数，它可以帮助我们计算出椭圆的
大小和形状，从而更好地理解和应用椭圆。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求选择合适的公式和方法来计算椭圆的周长，以便更好地应用椭圆的优美和神奇。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆定理（又名：椭圆猜想）椭圆定理易亚苏（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。
）圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。
一、椭圆第一定义椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。
）M为动点，F1、F2为定点，a为常数。
在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。
二、椭圆定理（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。
该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；3、当椭圆b<c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b为半径的圆外。
定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。
根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。
定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。
关于椭圆周长的一个完美的计算公式
关于椭圆周长的一个完美的计算公式椭圆周长是一个在数学和物理学中经常遇到的问题。
在二维平面上，一个椭圆的周长可以通过以下公式进行计算：C = 4a * π * ((a^2) / (b^2)) * ((1 + ((b^2) / (a^2)))^(1/2))其中，a代表椭圆的长半轴，b代表椭圆的短半轴。
这个公式是如何推导的呢？首先，考虑一个椭圆的长轴在x轴上的情况。
在极坐标系中，椭圆的方程可以写为：r = a * (1 + e*cos(θ))其中，r是点到椭圆中心的距离，e是椭圆的离心率（e = c / a，其中c是椭圆半焦距），θ是极角。
这个方程描述了一个以长轴为a、短轴为b的椭圆（e是离心率，与短半轴b和长半轴a的比值有关）。
为了计算周长，我们可以对上式求θ从0到2π的定积分。
但是，直接的计算非常复杂。
幸运的是，我们有以下的积分公式：∫(r0 * r) * dθ = (r0 * r1) * (r1 - r0)其中，r0和r1是在积分区间内r的最小和最大值。
在这个情况下，我们可以将r0设为0，r1设为a*(1+e*cos(θ))，得到：∫(0 to a(1+e*cos(θ))) * dθ =a^2 * π * e化简后得到：∫(0 to 2π) * a*(1+e cos(θ)) * dθ = 2a^2πe这就是椭圆周长的公式。
值得注意的是，这个公式不仅适用于长轴在x轴上的椭圆，也适用于长轴在y轴上的椭圆，因为当长轴在y轴上时，相应的离心率和周长公式是一样的。
然而，这个公式并不完美，因为它涉及到对离心率e的求解，而这涉及到一定的数学技巧。
因此，在实际应用中，我们通常会直接使用椭圆周长的第二参数公式（周长公式），它直接给出了椭圆周长和第二参数的关系，更为方便实用：C = π * (a + b) * sqrt((a-b)/(a+b))其中，a和b的含义同上。
这个公式实际上是第一公式的一种简化和变形，将a和b的关系直接代入并化简得到。
椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用
椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）四川省美姑县中学 周钰承★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。
★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。
无论是标准公式还是近似公式，本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希望广大读者喜欢。
★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。
经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。
下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。
在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：12222=+by ax ，.0,0>>b a参数方程是： ()πθθθ20,sin ,cos ≤≤==b y a x 函数图像为：若某条光滑曲线，能用参数方程表示：()t X x =，()t Y y =βα≤≤t ，该曲线长度可表示为：()[]()[]dt t Y t X L ⎰+=βα22''故椭圆周长为：()θθθθθθθθπππd e a d bad b a C ⎰⎰⎰-=+-=+=2222222222222cos14coscos14cossin4其中ac ab ae =-=222是椭圆的离心率。
下面用泰勒公式展开θ22cos 1e - 先由()()+--+-++=+32!3)2)(1(!2111x k k k x k k kx x k……令K=1/2可得：()()∑∞=---++=+21!2!!321211n nnn n x n x x令θ22cos e x -=可得：()∑∞=---=-2222222!2cos !!322cos 1cos 1n nn n n e n e e θθθ所以：()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---=⎰∑⎰∑⎰∞=∞=22222222222022cos !2!!32cos 224!2cos !!322cos 14πππθθθθπθθθn nnnn nn n d n e n d e a d n e n e a C 这个式子可以化简。
简便,精确的椭圆周长计算法
简便,精确的椭圆周长计算法
椭圆周长计算公式：L=T（r+R）
T是椭圆系数，并且可以根据r/R的值来查找系数T的值。
r是椭圆短半径。
R是椭圆长度半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于椭圆的短半径、长半径和椭圆系数的乘积（包括正圆）。
证明椭圆的周长等于特定正弦曲线周期长度：
在半径r的圆柱上与斜平面交叉获得椭圆，该斜平面和水平面的夹角为α，截取超过椭圆短径的圆。
以圆和椭圆交点为开头旋转一圈θ拐角儿。
椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度为f（c）=rtanα sin （c/r）。
r：圆柱半径α：有椭圆的面和平面的角度，c:对应的弧长（从某个交点向某个方向移动）。
初数数学公式发现椭圆的周长计算
初数数学公式发现椭圆的周长计算椭圆是数学中一种重要的几何图形，也是初等数学中较为复杂的内容之一。
在初数学习中，我们经常需要计算椭圆的周长，这里将介绍一种公式用于计算椭圆的周长。
椭圆的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点集合。
椭圆有两个关键的参数：长轴和短轴。
长轴是连接两个定点并穿过椭圆两个焦点的线段，而短轴是与长轴垂直，并和长轴的中点重合的线段。
椭圆的周长是沿着椭圆的边界线一周的长度。
为了计算椭圆的周长，我们使用了一个被称为“椭圆周长公式”的公式，即：周长= π × (长轴 + 短轴) × (1 + 3/4 × ((长轴 - 短轴) / (长轴 + 短轴))^2))其中，π是一个数学常数，约等于3.14159。
通过这个公式，我们可以方便地计算椭圆的周长。
下面，我们通过一个具体的例子来说明如何使用这个公式计算椭圆的周长。
假设一个椭圆的长轴长度为10cm，短轴长度为6cm，我们可以按照公式进行计算：周长= π × (10 + 6) × (1 + 3/4 × ((10 - 6) / (10 + 6))^2))≈ 3.14159 × 16 × (1 + 3/4 × (4/16)^2)≈ 50.26544 × (1 + 3/4 × (1/4)^2)≈ 50.26544 × (1 + 3/4 × 1/16)≈ 50.26544 × (1 + 3/64)≈ 50.26544 × (1 + 0.04688)≈ 50.26544 × 1.04688≈ 52.57884因此，这个椭圆的周长约等于52.57884cm。
需要注意的是，椭圆周长公式是一种近似计算方法，其结果会保留一定的误差。
在实际计算中，如果需要更高的精确度，可以将公式中的π值精确到更多位小数。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆周长和面积计算公式椭圆周长、面积公式椭圆定理（又名：椭圆猜想）椭圆定理（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。
）一、椭圆第一定义椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。
）M为动点，F1、F2为定点，a为常数。
在椭圆中，用a 表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。
二、椭圆定理（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。
该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b 为半径的圆内；2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b 为半径的圆上；3、当椭圆b<c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b 为半径的圆外。
定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。
根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。
定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。
椭圆形周长的计算公式
椭圆形周长的计算公式椭圆是一种常见的几何形状，它在生活和科学研究中都有广泛应用。
计算椭圆形的周长是一项重要的数学问题，本文将介绍椭圆形周长的计算公式。
一、椭圆形的定义和性质椭圆是平面上一条与两个定点F1、F2的距离之和恒定的点P的轨迹。
F1和F2被称为焦点，二者的连线称为焦距，焦距的长度为2c。
椭圆的中心C位于焦点连线的中点，焦距的一半长度称为半焦距，记为c。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆的形状由半长轴a和半短轴b确定，a > b。
2. 椭圆的离心率e定义为e = c/a，取值范围为0 < e < 1。
离心率越接近0，椭圆的形状越接近于圆。
3. 椭圆的焦点到任意点P的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
二、为了计算椭圆形的周长，我们首先需要引入辅助量。
对于椭圆中的任意一条线段PQ，可以定义其斜率为m = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
根据斜率的定义，我们可以得到两个关键公式：1. 斜率m的平方与椭圆上对应点的坐标之比：(m^2 = (y^2)/(x^2) = b^2/a^2)2. 线段PQ的长度与椭圆上对应点的坐标之比：(PQ^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = a^2(1 - (y^2)/(b^2)))根据以上两个公式，我们可以推导出椭圆形周长的计算公式。
设线段PQ与椭圆的交点分别为A和B，线段PQ的长度为s。
由于椭圆对称性，可以证明线段PA与线段PB的长度相等，记为x。
那么线段PQ 的长度s等于2x。
根据勾股定理，可以得到：(PA^2 = x^2 + (y1 - b)^2)(PB^2 = x^2 + (y2 - b)^2)将以上两个式子代入前述公式2中得到：s^2 = a^2(1 - ((y1 - b)^2)/(b^2)) + a^2(1 - ((y2 - b)^2)/(b^2))= a^2(2 - (y1^2 + y2^2 - 2by1 - 2by2)/(b^2))= a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 2b(y1 + y2))/(b^2))根据椭圆的性质3，我们有y1 + y2 = 2a，将其代入上述公式得到：s^2 = a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 4ab)/(b^2))= a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 4a^2e)/(b^2))将s = 2x代回原公式得到椭圆形周长的计算公式为：L = 2x = 2sqrt(a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 4a^2e)/(b^2)))三、应用示例现假设有一椭圆，半长轴a = 5，半短轴b = 3，计算其周长。
世界上精度最高的椭圆周长初等公式
世界上精度最高的椭圆周长初等公式成都七中高中远程教学 周钰承根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。
但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C （1）公式（2）中，ba b a +-=λ。
这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +⋅π，我们可以把（1）中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛=82624222!!8!!56423142121)(λλλλλf （2）通常，我们要计算椭圆周长，必须先给出一个精确度。
假如要求我们误差率低于d ，我们设需要计算到椭圆率多项式第n 项，不妨设2≥n ，则椭圆率多项式（2）中，第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：d n n n n n n n n n <⋯⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++622422222!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλ 因为（注意2≥n ）：22262242222262242222262242222212561256125612561!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλλλλλλλλλ-⋅=⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⋯⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 所以只须：d n <-⋅+22212561λλ d n )1(256222λλ-<+[]1ln 2)1(256ln 2-->λλd n （3）n 取满足不等式（4）的最小整数。
椭圆周长公式
椭圆周长公式
多次见到讨论椭圆周长的帖子，现将公式抄录如下。
有时可以在图上量，有时算起来也很方便。
若是写程序则要用精确的公式：
按标准椭圆方程：长半轴a，短半轴b。
设λ=（a-b）/（a+b），
椭圆周长L：
L=π（a+b）（1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......）
简化：
L≈π[1.5（a+b）- sqrt(ab)]或
L≈π（a+b）（64 - 3λ^4)/（64 - 16λ^2)
说明：
λ^2表示λ的平方，类推。
取到级数的前两项足够了。
椭圆的面积
先对图3－7进行说明，O称为椭圆的中心，A，A′，B，B′称为“顶点”，AA′称为“长轴”，BB′称为“短轴”。
另外，将长的OA＝a称为“长半径”，将短的OB＝b称为“短半径”。
也有把椭圆叫“长圆”的。
当a＝b时，椭圆就是圆。
将椭圆的面积记为S时，可用S＝πab的公式求椭圆的面积。
a＝b时，当然S 就表示圆的面积了。
当长半径a＝3(厘米)，短半径b＝2(厘米)时，其面积S＝3×2×π＝6π(厘米2)。
在到目前为止的例子中，如圆周的长度、弧的长度、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积、椭圆的面积等，全都使用了圆周率。
这样，π就不仅是计算圆，也是计算椭圆形等所不可缺少的数。
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世界上精度最高的椭圆周长初等公式
成都七中高中远程教学 周钰承
根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。
但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C （1）
公式（2）中，b
a b a +-=
λ。
这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +⋅π，我们可以把（1）中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：
⋯+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛=8
2
624222!!8!!56423142121)(λλλλλf （2）
通常，我们要计算椭圆周长，必须先给出一个精确度。
假如要求我们误差率低于d ，我们设需要计算到椭圆率多项式第n 项，不妨设2≥n ，则椭圆率多项式（2）中，第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：
d n n n n n n n n n <⋯⋯+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++622
422222!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλ 因为（注意2≥n ）：
2
22622
422
222
622
422
222
6
22
42222212561256125612561!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλλλλλλλλλ-⋅
=⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⋯⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 所以只须：
d n <-⋅+2
2
212561λλ d n )1(256222λλ-<+
[]
1ln 2)1(256ln 2-->λ
λd n （3）
n 取满足不等式（4）的最小整数。
为此，我们需要一个带有函数的学生计算器，根
据精确度要求，首先计算出我们应该计算到第几项。
计算所得的椭圆周长值在给定误差率d
的情况下是精确的。
注意：计算到椭圆率多项式)(λf 第n 项，就是标准公式（2）括号中算到2n 次方项；若n 为负数或者小于2，就算到椭圆率多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。
例如：n>-1.86745.则标准公式（2）中，中括号里应该算到4次方项。
因为误差公式证明中n 大于或等于2是前提条件。
需要知道的是，多数情况下求椭圆周长，只须计算到)(λf 前两三项，因而往往可
以笔算。
但是，当0001.0,95.0==d λ时，算得:[]
42.571ln 2)1(256ln 2=-->
λ
δ
λn ,即用到椭圆率多项式第58项即116次方项，才能保证误差率小于万分之一。
为此，我们可以构建一个新的函数模型，用以解决
a
b
很小即λ很大时的计算问题。
我们把椭圆率多项式)(λf 中的系数简化得：
⋯++++++=
12
1010887644324
441449425414141)(λλλλλλλf （4） 观察（5），由于10<<λ，所以n
2λ随着n 增大而减小；各项系数逐渐变小，但与等比数列相比，“小得越来越慢”。
根据（5）式的这些特点，我们构造一个多项式函数)(λg ，使它与)(λf 前三项相同，同时为了方便运算，我们从第二项起各项系数为等比数列：
⋯++++++=
12
710685644324
14141414141)(λλλλλλλg （5） 变形为无穷等比数列求和（其系数从4
λ项开始为等比数列）：
24224422422
4328642432846342243216643161664)416(166441)
0()21(114
141])21
()21()21()21(1[4141)41
4141411(4141)(λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--=
-+-=
-+=→∞→-•+=⋯+++++•+=⋯++++++=
n ，n g 时当
用2
4
21664316)(λλλλ--=g 近似代替)(λf ，代入标准公式（1）得：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++≈24216643161)(λλλπb a C
从而得到一个椭圆周长的近似公式：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+≈2411664364)(λλπb a C （6）
公式（6）中，b
a b
a +-=
λ。
这是我们在下一课时计算椭圆周长要用到的近似公式。
为了突出这个公式，我们称（6）为椭圆周长一级等比公式。
近似公式如果没有误差估计是没有实际意义的。
这个初等公式的精度如何呢？为此，
我们介绍一下椭圆周长误差率定理：椭圆周长真值C 满足下列不等式：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++--+<<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++--+)103144(2)29144(91664364)()100144(2)32144(91664364)(4021440282
440214402824λλλλλλλπλλλλλλλπb a C b a ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+++--+=)100144(2)32144(91664364)(40214
4028241λλλλλλλπb a W 是椭圆周长的一个下界公式； ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+++--+=)103144(2)29144(91664364)(402144028242λλλλλλλπb a W 是椭圆周长的一个上界公式。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++--+=)100144(2)1332144(91664364)(4
2144028242λλλλλλ
λπb a C 是椭圆周长二级等比公式。
限于篇幅，此处不给出详细证明过程，只对证明思路作简要介绍。
证明思路：上界公式与下界公式的级数展开式与椭圆标准公式相比，10
λ和它以前的所有系数完全相同，称第一部分。
而从12
λ到38
λ的系数，称第二部分。
以10λ的系数为首项，公比为（100：144）的等比数列作为下界公式的第二部分，公比为（103：144）为等比数列
作为上界公式的第二部分，可用完全归纳法证明：下界公式每项系数小于标准公式中λ相同次数的系数（仅有一项例外，但可用前一项系数补足），上界公式每项系数大于标准公式中λ相同次数的系数。
从40
λ项开始称为第三部分。
上界公式与下界公式中的40
λ项主要作用是保持与二级等比公式形式上的统一性，所以它们并不是最佳选配的系数和次数。
可用数学归纳法证明上界公式和下界公式第三部分的正确性。
注意二级等比公式中，第二个分式的分母中为4
λ-，不是40次方，而是4次方，它的
出现是从2100λ-到2
103λ-渐变过程中产生的。
二级等比公式中系数和次数是最佳选配的，不可更易。
上界公式与下界公式均超过了目前所有的椭圆周长初等公式（包括中国椭圆周长公式）的精度；用上界公式与下界公式及两边夹定理，可以求出椭圆周长的精确值，这是上界公式与下界公式的主要优点，它能够让我们判断，我们用程序计算标准椭圆周长公式时，累加一百万项后精确度如何，特别是当λ接近于1时。
二级等比公式是比上界公式和下界公式精度还高得多的椭圆周长初等公式。
笔者预言，这将是地球上精度最高的初等公式，永远不会再出现比这个公式更简洁、更美丽、更实用、精度更高的椭圆周长初等公式。
我们可以怀疑用程序累加项名达公式五百万项的结果，但不可怀疑这个仅用学生计算器就可计算椭圆周长的二级等比公式。
备注：舍入值若为4.202009，表明椭圆周长真值范围是2020095.42020085.4<≤x ； 不足值若为4.12610，表明椭圆周长真值范围是12611.4126100.4<≤x ； 过剩值若为4.0640，表明椭圆周长真值范围是06400.406390.4<≤x . （表中上界值与下界值是笔者用更佳选配系数和次数计算的，因而比此文的上界公式与下界公式精度略高）
敬请各位专家、教授及同仁，提出宝贵意见和建议，在此提前谢过。
再现一次最美丽、精度最高的椭圆周长二级等比公式：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+++--+=)100144(2)1332144(91664364)(4
2144028242λλλλλλ
λπb a C。