世界上精度最高的椭圆周长初等公式

世界上精度最高的椭圆周长初等公式
成都七中高中远程教学 周钰承
根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。

但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C （1）
公式（2）中，b
a b a +-=
λ。

这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +⋅π，我们可以把（1）中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：
⋯+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•••+⎪⎭⎫ ⎝⎛•+⎪⎭⎫ ⎝⎛=8
2
624222!!8!!56423142121)(λλλλλf （2）
通常，我们要计算椭圆周长，必须先给出一个精确度。

假如要求我们误差率低于d ，我们设需要计算到椭圆率多项式第n 项，不妨设2≥n ，则椭圆率多项式（2）中，第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：
d n n n n n n n n n <⋯⋯+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++622
422222!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλ 因为（注意2≥n ）：
2
22622
422
222
622
422
222
6
22
42222212561256125612561!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!22(!)!12(!)!62(!)!32(!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(λλλλλλλλλλλ-⋅
=⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⋯⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 所以只须：
d n <-⋅+2
2
212561λλ d n )1(256222λλ-<+
[]
1ln 2)1(256ln 2-->λ
λd n （3）
n 取满足不等式（4）的最小整数。

为此，我们需要一个带有函数的学生计算器，根
据精确度要求，首先计算出我们应该计算到第几项。

计算所得的椭圆周长值在给定误差率d
的情况下是精确的。

注意：计算到椭圆率多项式)(λf 第n 项，就是标准公式（2）括号中算到2n 次方项；若n 为负数或者小于2，就算到椭圆率多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。

例如：n>-1.86745.则标准公式（2）中，中括号里应该算到4次方项。

因为误差公式证明中n 大于或等于2是前提条件。

需要知道的是，多数情况下求椭圆周长，只须计算到)(λf 前两三项，因而往往可
以笔算。

但是，当0001.0,95.0==d λ时，算得:[]
42.571ln 2)1(256ln 2=-->
λ
δ
λn ,即用到椭圆率多项式第58项即116次方项，才能保证误差率小于万分之一。

为此，我们可以构建一个新的函数模型，用以解决
a
b
很小即λ很大时的计算问题。

我们把椭圆率多项式)(λf 中的系数简化得：
⋯++++++=
12
1010887644324
441449425414141)(λλλλλλλf （4） 观察（5），由于10<<λ，所以n
2λ随着n 增大而减小；各项系数逐渐变小，但与等比数列相比，“小得越来越慢”。

根据（5）式的这些特点，我们构造一个多项式函数)(λg ，使它与)(λf 前三项相同，同时为了方便运算，我们从第二项起各项系数为等比数列：
⋯++++++=
12
710685644324
14141414141)(λλλλλλλg （5） 变形为无穷等比数列求和（其系数从4
λ项开始为等比数列）：
24224422422
4328642432846342243216643161664)416(166441)
0()21(114
141])21
()21()21()21(1[4141)41
4141411(4141)(λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--=
-+-=
-+=→∞→-•+=⋯+++++•+=⋯++++++=
n ，n g 时当
用2
4
21664316)(λλλλ--=g 近似代替)(λf ，代入标准公式（1）得：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++≈24216643161)(λλλπb a C
从而得到一个椭圆周长的近似公式：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+≈2411664364)(λλπb a C （6）
公式（6）中，b
a b
a +-=
λ。

这是我们在下一课时计算椭圆周长要用到的近似公式。

为了突出这个公式，我们称（6）为椭圆周长一级等比公式。

近似公式如果没有误差估计是没有实际意义的。

这个初等公式的精度如何呢？为此，
我们介绍一下椭圆周长误差率定理：椭圆周长真值C 满足下列不等式：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++--+<<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++--+)103144(2)29144(91664364)()100144(2)32144(91664364)(4021440282
440214402824λλλλλλλπλλλλλλλπb a C b a ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+++--+=)100144(2)32144(91664364)(40214
4028241λλλλλλλπb a W 是椭圆周长的一个下界公式； ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+++--+=)103144(2)29144(91664364)(402144028242λλλλλλλπb a W 是椭圆周长的一个上界公式。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++--+=)100144(2)1332144(91664364)(4
2144028242λλλλλλ
λπb a C 是椭圆周长二级等比公式。

限于篇幅，此处不给出详细证明过程，只对证明思路作简要介绍。

证明思路：上界公式与下界公式的级数展开式与椭圆标准公式相比，10
λ和它以前的所有系数完全相同，称第一部分。

而从12
λ到38
λ的系数，称第二部分。

以10λ的系数为首项，公比为（100：144）的等比数列作为下界公式的第二部分，公比为（103：144）为等比数列
作为上界公式的第二部分，可用完全归纳法证明：下界公式每项系数小于标准公式中λ相同次数的系数（仅有一项例外，但可用前一项系数补足），上界公式每项系数大于标准公式中λ相同次数的系数。

从40
λ项开始称为第三部分。

上界公式与下界公式中的40
λ项主要作用是保持与二级等比公式形式上的统一性，所以它们并不是最佳选配的系数和次数。

可用数学归纳法证明上界公式和下界公式第三部分的正确性。

注意二级等比公式中，第二个分式的分母中为4
λ-，不是40次方，而是4次方，它的
出现是从2100λ-到2
103λ-渐变过程中产生的。

二级等比公式中系数和次数是最佳选配的，不可更易。

上界公式与下界公式均超过了目前所有的椭圆周长初等公式（包括中国椭圆周长公式）的精度；用上界公式与下界公式及两边夹定理，可以求出椭圆周长的精确值，这是上界公式与下界公式的主要优点，它能够让我们判断，我们用程序计算标准椭圆周长公式时，累加一百万项后精确度如何，特别是当λ接近于1时。

二级等比公式是比上界公式和下界公式精度还高得多的椭圆周长初等公式。

笔者预言，这将是地球上精度最高的初等公式，永远不会再出现比这个公式更简洁、更美丽、更实用、精度更高的椭圆周长初等公式。

我们可以怀疑用程序累加项名达公式五百万项的结果，但不可怀疑这个仅用学生计算器就可计算椭圆周长的二级等比公式。

备注：舍入值若为4.202009，表明椭圆周长真值范围是2020095.42020085.4<≤x ； 不足值若为4.12610，表明椭圆周长真值范围是12611.4126100.4<≤x ； 过剩值若为4.0640，表明椭圆周长真值范围是06400.406390.4<≤x . （表中上界值与下界值是笔者用更佳选配系数和次数计算的，因而比此文的上界公式与下界公式精度略高）
敬请各位专家、教授及同仁，提出宝贵意见和建议，在此提前谢过。

再现一次最美丽、精度最高的椭圆周长二级等比公式：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+++--+=)100144(2)1332144(91664364)(4
2144028242λλλλλλ
λπb a C。