函数含参数单调区间讨论
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
含参型函数单调性求解技巧
含参型函数单调性求解技巧单调性是函数在某个定义域上的递增或递减性质。
当一个函数在某个区间上单调递增时，函数的值随着自变量的增大而增大；当一个函数在某个区间上单调递减时，函数的值随着自变量的增大而减小。
要判断一个含参型函数的单调性，可以运用微积分和函数性质的知识。
下面介绍一些常见的求解技巧。
一、求导法1. 单调递增区间如果一个函数在某个区间上的导数大于零，则函数在该区间上单调递增。
即 f'(x) > 0。
2. 单调递减区间如果一个函数在某个区间上的导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
即 f'(x) < 0。
判断函数的单调性时，可以求出函数的导数，并根据导数的正负来判断单调性的性质。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以求出它的导数 f'(x) = 2x + 3。
根据导数 f'(x) 的正负，可以判断函数 f(x) 的单调性。
二、函数性质法有些函数具有特殊的数学性质，可以利用这些性质来判断函数的单调性。
1. 二次函数二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是常数，并且 a ≠ 0。
当 a > 0 时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递增；当a < 0 时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递减。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，它是一个开口向上的抛物线，函数在整个定义域上单调递增。
2. 反函数如果一个函数在整个定义域上单调递增或单调递减，则它的反函数在整个值域上也单调递增或单调递减。
例如，对于函数f(x) = e^x，它是一个在整个定义域上单调递增的指数函数。
其反函数为f^{-1}(x) = \\ln x，它在整个值域上也单调递增。
三、初等函数的单调性规律对于一些常见的初等函数，也存在一些单调性的规律，可以用来判断函数的单调性。
专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>Y Y Y Y讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解[典例1] 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间． 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞Y )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)('; a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(11)('>+=+=x xax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义）此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III)当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a-为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a．小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性． 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aaa x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii)当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))+∞是单调减函数，即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a． 小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论．[典例3] 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(232--+=x ax x a x f 的定义域为R ，)1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x fI) 当0=a 时，⇒<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间． II) 当0≠a 时032>a ，)('x f 是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21≠-===a ax a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i)当0>a 时，21x x >ax a x f a x a x x f 3110)(';3110)('<<-⇔<>-<⇔>或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)31,1(a a -ii) 当0<a 时，21x x <ax a x f ax a x x f 1310)(';1310)('-<<⇔<-><⇔>或所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)1,31(aa -． 小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。
含参数的函数单调区间的求法浅析
例１ ： 求函数 ） ＝ ÷ 一 ２ ａ ｘ 。 ＋ ２ ｘ ＋ １ 的 单调区间．
Ｊ
解： ‘ ． ‘ ／ （ ）＝ 一 ４ 似＋ ２ ， △＝ １ ６ ａ 一 ８
摘 要： 求函数 ， ， ＝ ， （ ） 的单调区间， 事实上就是在其定义域的范围内解不等式， （ ） ＞ Ｏ或， （ ） ＜ ０ 。而含参数的函数的单调 区 间就 涉及到舍参 不等式， （ ） ＞ Ｏ 或， （ ） ＜ Ｏ的分类讨论 问题 。常遇到的分类标准有哪些呢？笔者下面通过几道例题予以说明。 关键词 ： 参数 ； 函数 ； 单调 区间
『 二
，
２ 、 当口 ＝ Ｏ时 ， ‘ ． ‘ ， （ ）＝ ３ ｘ ≥Ｏ ， 则函数， （ ） 的单 增 区 间 为 （一 ∞ ， ＋∞） ； 不 等 式 一 ４ 似＋ ２ ＞ Ｏ的 解集为 （－ 一 ∞， ２ ａ 一￣ ， ， ４ 口 一 ２ ） Ｕ（ ２ ａ ３ 、 当口 ＞ ０时 ， 。 ＜ ： ， 函数 ， （ ） 的单增区间为 （ 一ａ Ｏ， ０ ） 和
语 数外学 习
Ｎｏ ． ０ ９． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ ｒ ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
含 参 数 的 函数 单调 区 间的 求 法 浅 析
张 红
（ 巴彦淖 尔市杭锦 后旗奋斗 中学， 内蒙古 巴彦 淖尔 ０ １ ５ ４ ０ ０ ）
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， （ ） ＝ ０的两 个根 为 ＝ ｏ ， ： ＝
含参导数单调区间讨论方法
含参导数单调区间讨论方法1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个非常实用的话题——含参导数单调区间的讨论方法。
听上去有点拗口，但其实这玩意儿就像煮面条，掌握了方法，简单得很！你可别小看这个问题，它就像生活中的各种选择，关键在于怎么找到最优解。
咱们一起来“剖析”一下，让这道数学题变得不再可怕，甚至还可以轻松幽默一下。
2. 什么是含参导数？2.1 含参导数的基本概念首先，啥叫含参导数呢？简单来说，就是在函数中不仅有自变量，还有一些参数。
这些参数就像是调味料，能让我们的函数“味道”不同。
想象一下，你吃了大碗面，再吃小碗，口感可是天差地别。
函数也是如此，参数的变化会直接影响到我们的导数和单调性。
2.2 含参导数的作用那么，了解了含参导数，我们为什么要研究它呢？因为它能帮我们分析函数的变化趋势！比如你在买衣服的时候，如果知道某个品牌的尺码偏小，就可以更聪明地选择；同样的道理，数学里通过含参导数，可以帮助我们找出函数在某些区间内的单调性，甚至是极值点。
简单点说，就是找到“最值”，就像在生活中找到“最佳选择”。
3. 如何讨论单调性？3.1 设定问题我们来设定一个简单的问题，比如函数 ( f(x, a) ) （其中 ( a ) 是参数），要研究它在某个区间的单调性。
首先，咱们得求出它的导数 ( frac{partial f{partial x )，然后看看它的符号是正是负。
这就像打扑克，你得先摸到牌，再决定出牌的策略。
3.2 分析符号一旦得到了导数，接下来就要分析这个导数的符号了。
要是导数大于零，那说明函数在上升，就像你在山顶看到的风景；如果小于零，那就是下降，哎，真是让人心情低落啊！特别是当我们加入参数 ( a ) 后，就像调节音乐的音量，轻重随意。
这个时候，就需要考虑 ( a ) 的取值范围，看看它对导数的影响。
4. 实际应用案例4.1 案例分析为了更生动，咱们来看个例子。
假设我们有一个函数 ( f(x, a) = ax^2 4x + 1 )，我们要研究它的单调性。
高中数学讲义：含参数函数的单调区间
含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。
本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。
即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +¥，中间并没有进行分类讨论。
思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果。
所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。
体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。
所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。
（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。
要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。
例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
含参单调性的讨论
4a
2a
4a 4a
2a 2a
设g(x) ln x x 1,则g'(x) 1 1. x
当x (0,1)时，g'(x) 0;当x (1， )时，g'(x) 0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，在x 1处g(x)有最大值g(1) 0. 所以当x 0时，g(x) 0.
【2017】解：(1) f (x)的定义域为(0,), f '(x) 1 2ax 2a 1 (x 1)(2ax 1)
x
x
若a 0,则当x (0,)时，f '(x) 0,故f (x)在(0,)上单调递增；
若a 0，则当x (0, 1 )时，f '(x) 0；当x ( 1 ,)时，f '(x) 0.
令f
'(x)
0得x1
0,
x2
2 a
.
（1）a 0时，当x 0或x 2 时，f '(x) 0;当0 x 2 时，f '(x) 0.
a
a
f (x)的增区间是(,0),( 2 ,);减区间是(0, 2).
a
a
（2）a 0时，当x 0或x 2 时，f '(x) 0;当 2 x 0时，f '(x) 0.
2
2
所以f (x)在(0, a )递增，在( a ,)递减。
2
2
例2 讨论f (x) (a 1) ln x x a 的单调性。 x
不要只顾着比较两根1与-a大小,而要注意定义域大于0 的限制！
思考题2 f (x) 1 x2 ax (a 1) ln x 2
解：x 0. f '(x) x a a 1 x2 ax (a 1) (x 1)[x (a 1)]
导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。
讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。
导数之含参函数的单调性的分类讨论
高考数学微专题第 1 页 导函数三种含参的单调性讨论类型一：导函数为含参一次型的函数单调性针对通分后分子是一次型的，我们考虑能否参数取得某一个范围使得导数是大于0或者小于0恒成立，如果可以，再去讨论另外的范围。
这样做的好处是思路清晰，不会导致漏了讨论的范围。
例题1：已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论f(x)的单调性变式1：函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=，求函数的单调区间变式2：已知函数x e x f ax 3)(+=，求f(x)的单调区间变式训练3：已知函数2ln )(-+=x xa x f ，是否存在实数a,使得函数f(x)在],0(2e 上有最小值？若存在，求a 的值，若不存在，说明理由 类型二：导函数为含参二次型可因式分解的函数单调性针对求导后为含参二次型可因式分解的函数单调性，如果参数处在二次项系数，先讨论能否为0；再通过因式分解为两个因式的积。
接着首先讨论两根相等时，因为我们寻找了一种临界情况。
接下来就好确定分类标准了，这一点不可不知。
也会省去求不等式解集的麻烦。
例2：求函数2ln )1()(2ax x x a x f +--=的单调区间 变式1：已知函)(11ln )(R a xa ax x x f ∈--+-=，讨论f(x)的单调性 变式2：已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 。
讨论f(x)的单调性变式3：已知函数x x x f cos 2)(2+=，函数)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x（1）求曲线y=f(x)在点))(,(ππf 处的切线方程（2）令))(()()(R a x af x g x h ∈-=，讨论会h(x)的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值类型三：导函数为含参二次型不可因式分解的函数单调性导数含参二次型不可因式分解是我们遇到的第三种情况，我们依然遵循求导通分定义域的步骤书写大题过程。
分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)(教师版)--2024新高考数学导数微专题训练
专题14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）1．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-．（1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性；（2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点．【答案】（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．【详解】（1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-，11()sin cos sin (cos 22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-= ，()f x ∴为偶函数，(0)10f => ，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，()(cos )f x x x a '=- ，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--< ，(0)·()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =，可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，由tan θ=113a <<，可得0tan θ<<，当k ∈N ，22tan 2(k ππθθπ++->，2221113(22tan )10(22)[(22tan )1][(22tan )1]022626k f k a k k a ππθθππθππθθππθθ++--∴++=-++--+<-++--+=-<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，综上所述，当13a >时，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.2．已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≠时，求证：2286ln 3521x x x x x x---<-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先求导，分为0m ≥，1m =-，1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）等价于3226(1ln )23501x x x x x-+--<-，令()()3261ln 235h x x x x x =-+--，利用当2m =时的结论，根据导数判断()h x 与0的关系，即可证明.【详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅，当0m 时，10mx +>，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当0m <时，令()0f x '=，解得1x =或1x m=-，当1m =-时，2(1)()2·0x f x x-'=-恒成立，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，101m<-<，当1(0,x m ∈-或(1,)+∞时，()0f x '<，当1(x m∈-，1)时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<，11m ->，当(0,1)x ∈或1(m -，)+∞时，()0f x '<，当1(1,x m∈-时，()0f x '>，∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,m．综上所述：当0m 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1m =-时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间，当1m <-时，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -，(1,)+∞，单调递增区间为1(m-，1)，当10m -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -，)+∞，单调递增区间为1(1,)m．（2）证明：要证2286ln 3521x x x x x x---<-，即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-，令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--，则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--，由（1），当2m =时，2()22ln 2f x x x x =--，可得()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，即()h x '的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()h x h ∴''（1）0=，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，h （1）6(1ln1)2350=-+--=，∴当01x <<时，()0h x <，210x ->，当1x >时，()0h x >，210x -<，∴3226(1)23501x lnx x x x -+--<-，即22863521x xlnx x x x---<-．【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.3．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x-=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，()()1110x f x x x x-¢=-=>，列表；x1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1(]1,e ()f x '-+()f x 单调递减极小单调递增所以，()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值；（2） 函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=.当0a ≤时，10ax -<，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax -<，从而()0f x '<；若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>.故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.4．已知函数()21()xm x xf x e++=．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若0m ≤，证明：()ln ef x x x +≤．【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-，再对m 分三种情况讨论，即0m =，0m >，0m <三种情况；（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，再利用函数的单调性，即可得证；【详解】解析：（1）因为(1)(1)()xx mx m f x e --'+=-，①当0m =时，1()x x f x e-=-'，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当0m >时，1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<，当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减；③当0m <时，111m ->，当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）要证明()ln ef x x x +≤，只需证明 ()ln ef x x x ≤-，而ln 1x x -≥，因此只需证明1()f x e≤，当0m =时，()x xf x e =，由（1）知()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)f x f e==；当0m <时，()211()xx m x xx f x e e e++=<≤，故()ln ef x x x +≤．【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.5．已知函数()e x f x ax =，a 为非零常数.（1）求()f x 单调递减区间；（2）讨论方程()()21f x x =+的根的个数.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞；（2）当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用()0f x '<可解得结果；（2）转化为函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.【详解】（1）()(1)e x x x f x ae axe a x '=+=+，由()0f x '=得1x =-，①若0a >时，由()0f x '<得1x <-，所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；②若0a <时，由()0f x '<得1x >-，所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述，当0a >时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.（2）因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=，令2(1)()exx g x x +=，所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数，因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=，由()0g x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-，时，()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-上单调递增；当()()1,00,x ∈-+∞ 时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-，()0,∞+上单调递减，又()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()(),0g x ∈-∞；当()1,0x ∈-时，()(),0g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,g x ∈+∞.所以，当0a >时，原方程有且仅有一个解；当0a <时，原方程有两个解.【点睛】方法点睛：讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ .【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =；（3）证明见解析.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；（3）先构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，证明其小于零，即得1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，再将1nx n =+代入求和即证结论.【详解】解：（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=，0x >.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去当1a e >时10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.（3）构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则119()3033x h x x x -'=-=>，故1()ln 313h x x x =-+在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，111111()ln 3120232232h x h ⎛⎫≤=-⨯+=--< ⎪⎝⎭，故1ln 3103x x -+<，即1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+，而11,1112n n N x n n *⎡⎫∈==-⎪⎢++⎣⎭，故13ln 1311n n n n >++⋅+，即[]ln(13ln 131)1n n n n ->++⋅+，将n *∈N 依次代入并相加得[]()1ln1ln 12313ln 2ln 3...ln(1)ln 1231ln 4323n n n n n n n ⎛⎫++++>-+-++-+-+ ⎭+⎪+⎝= ，即1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>- ⎪+⎝⎭ .【点睛】本题解题关键在于观察证明式1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭ ，构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，以证明13ln 13x x >+，将1n x n =+代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n 有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可.7．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=.（1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故()11ax g x a x x-'=-=.当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数.（2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3.当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8．已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）求得()g x 的表达式，求得()'g x ，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围，将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式，利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+.当0a ≤时，()101f x a x '=->+，∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+Q ，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥>121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=.32a ≥Q ，512a +≥，12x x <111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x h x x x x x-'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.9．已知函数()2xf x e ae x =-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a <时，证明：()2ln f x e x >.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2ln xg x e e x =-，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0x h x e x x=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2x f x e ae '=-．当0a ≤时，()0f x ¢>，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间．当0a >时，由()0f x ¢=，得2ln x a =+．当(),2ln x a ∈-∞+时，()0f x ¢<；当()2ln ,x a ∈++∞时，()0f x ¢>，所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞．（2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()2ln xg x e e x =-，则()2xg x e e x '=-，()220xg x e xe ''=+>，所以()g x '在()0,+¥上是增函数．又()210g e e '=-<，()2222022e g ee '=-=>，所以存在()01,2x ∈，使得()02000x g e x e x '=-=，即020x e e x =，00ln 2x x =-．所以当()00,x x ∈时，()0g x ¢<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x ¢>，因此()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数，所以()g x 有极小值，且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=．因此()0gx >，即2ln 0x e x -->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法二：要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->．设()()20x g x ae x x e =->，则()()21x x e g x x-'=．当01x <<时，()0g x ¢<；当1x >时，()0g x ¢>，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2min 1g x g e ae ==-．令()()2ln 0xh x e x x =>，则()()221ln x h x xe -'=．当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥，即22ln x e x xe x ae ->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法三：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()()()222222ln ln xxg x e e x e x ex ee e e x =-=-++--，令()()220xh x e e x ex =-+>，则()2x h x e e '=-，当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上是减函数，在()2,+¥上是增函数，所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．设()222ln m x e x e e x =--，则()()2221x e m x e x xe-'=-=．当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>，所以()m x 在()0,1上是减函数，在()1,+¥上是增函数，所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==．综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号），所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2ln f x e x >．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题10．已知函数2()ln f x x ax x =-+.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在10,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，在14a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥.【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax xk x -+=，构造函数()2ln x ax x h x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax xk x-+=有唯一解，确定k 的取值范围.【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x =，211804x a-=<（舍去），当1(0,)4x a -+∈时，'()0f x >，()f x 在1(0,)4a-+单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在118(0,)4a -单调递增，()f x 在118()4a-+∞单调递减.（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+=有且仅有一解，即2ln x ax xk x-+=；令ln ()1x h x ax x =-+则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e =所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min 331ln 1'()'()2e h x h e a ae e -==-=--当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，ln ,0xax x→-∞-→，所以()h x →-∞；当x →+∞时，ln ,xax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞.所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ；当3102a e-<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x-→+∞-→+∞，所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x-→-→+∞，所以'()h x →+∞.所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--=且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+，又322(,)x e ∈+∞，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x xϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减，且x →+∞时，2ln 1()11x x xϕ-=+→，所以1k ≤；同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增，3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.11．设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可.（2）因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成立问题，求函数的最值即可.【详解】解：（1）()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-，当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得13x <-或13x >+，所以()f x 的单调递增区间为93,13⎛-∞- ⎝⎭和9313⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<，得1133x -<<+，所以()f x 的单调递减区间为9393133⎛-+ ⎝⎭.综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞- ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为9393133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值，所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈，即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈，当0x =时，显然成立.当(]0,2x ∈时，得()21313022ax a x +--≤，即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--.令(]22,4t x =+∈，则2()1,(2,4]th t t t =--∈，()2210h t t '=+>恒成立，所以2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3625(2)12x x +--+，即65a ，所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.12．已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）02a <≤.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断函数的单调性即可；（2原不等式化为：ln 2x a x x ≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，求出函数的导数，再令()221ln g x x x =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】（1）()()()1121121x f x x a x a x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121a x x a x x xx---=--=，()0,x ∈+∞，令()0f x '=，则2ax =或1x =，当02a <<时，函数()f x 在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当2a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，当2a >时，函数()f x 在区间()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（2）原不等式化为：ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，设()ln 2xh x x x=-，()1,x ∈+∞，()2221ln 21ln 2x x x h x x x--+'=-=，令()221ln g x x x =-+，则()140g x x x '=+>，所以()g x 在()1+∞，上单调递增，()()110g x g >=>，所以()0h x '>，则函数()h x 在()1+∞，上单调递增，且()12h =，02a ∴<≤.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为ln 2xa x x≤-在()1+∞，上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.13．已知函数()ln 2ag x x x x=++.（1）讨论()g x 的单调性；（2）当10a e <<时，函数()()222a f x xg x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x 、2x ，且11x x <，若m 1≥，证明：112m mx x e +⋅>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数()g x 的定义域，求得()222x x a g x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()g x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价于()()()121212121ln0m x x x x x x x mx +-<>>+，令()120,1x t x =∈，构造函数()()()11ln m t h t t t m+-=-+，其中()0,1t ∈，利用导数证明出()0h t <对任意的()0,1t ∈恒成立，由此可证得原不等式成立.【详解】（1）函数()ln 2ag x x x x=++的定义域为()0,∞+，()()222122a x x ag x a R x x x+-'=+-=∈，方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+.①当18a ≤-时，0∆≤，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+为增函数；②当18a >-时，0∆>，方程220x x a +-=的两根为114x -'=，214x -'=，（i ）当108a -<≤时，120x x ''<≤，对任意的0x >，()0g x '>，()g x 在()0,∞+为增函数；（ii ）当0a >时，120x x ''<<，令()0g x '<，可得20x x '<<，令()0g x '>，可得2x x '>.所以，()g x在1,4⎛⎫+∞⎝⎪⎪⎭为增函数，在10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦为减函数.综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，()g x的增区间为1,4⎛⎫+∞- ⎝⎪⎪⎭，减区间10,4⎛⎤- ⎥ ⎝⎦；（2）证明：()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈ ，所以()ln f x x ax '=-，因为()f x 有两极值点1x 、2x ，所以11ln x ax =，22ln x ax =，欲证112mm x x e +⋅>等价于要证：()112ln ln m m x x e +⋅>，即121ln ln m x m x +<+，所以()1212121ln ln m x m x ax max a x mx +<+=+=+，因为m 1≥，120x x <<，所以原不等式等价于要证明121ma x mx +>+.又11ln x ax =，22ln x ax =，作差得()1122lnx a x x x =-，1212ln x x a x x ∴=-，所以原不等式等价于要证明()()112211212212ln11ln x m x x x x m x x x mx x x mx +-+>⇔<-++，令12x t x =，()0,1t ∈，上式等价于要证()()11ln m t t t m+-<+，()0,1t ∈，令()()()11ln m t h t t t m+-=-+，所以()()()()221t t m h t t t m --'=+，当m 1≥时，20t m -<，则()0h t '>，所以()h t 在()0,1上单调递增，因此()()10h t h <=，()()11ln m t t t m+-∴<+在()0,1t ∈上恒成立，所以原不等式成立.【点睛】利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.14．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）对函数求导，按照110a ≥、1010a<<分类，求得()0f x '<、()0f x '>的解集即可得解；（2）由极值点的性质可得1a =，由导数的几何意义可得1b 、2b 及()12122x x x x =+，转化条件为1211212221ln 1x x x b b x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=++，构造新函数结合导数即可得解.【详解】（1）由题意，()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<，0a > ，010x <<，∴20ax +>，①当110a ≥，即10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减；当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）∵1x =是()f x 的极值点，∴()10f '=，即()()210a a +-=，解得1a =或2a =-（舍），此时()2ln f x x x x =++，()2211f x x x'=-++，1l ∴方程为()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，得1114ln 1b x x =+-，同理可得2224ln 1b x x =+-，12//l l ，221122212111x x x x ∴-++=-++，整理得：()12122x x x x =+，12122x x x ∴=-，又12010x x <<<，则1112102x x x <<-，解得1542x <<，()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++，令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭，设()()211ln ,,114t g t t t t -⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，则()()()()222141011t g t t t t t -'=-+=>++，()g t ∴在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()10g =，16ln 445g ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，再构造新函数，结合导数即可得解.15．已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若(1)5f =，函数2()()(ln 1)0f x g x a x x=+-≤在(1,)+∞上恒成立，求证：2a e <.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出0m =，转化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，利用导数求出23()(1)ln 1x h x x x +=>+的最小值，即可求解.【详解】（1）()()()'22661661fx x m x m x m x m ⎡⎤=+++=+++⎣⎦6(1)()x x m =++若1m =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；若1m >时，1m -<-，当x m <-或1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1m x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数，若1m <时，1m ->-，当1x <-或x m >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1x m -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上，1m =时，()f x 在R 上单调递增；当1m >时，()f x 在(,)-∞-m 和(1,)-+∞上单调递增，在(,1)m --上单调递减；当1m <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)m -+∞上单调递增，在(1,)m --上单调递减.（2）由(1)23(1)65f m m =+++=，解得0m =，所以32()23f x x x =+，由(1,)x ∈+∞时，ln 10x +>，可知()(ln 1)230g x a x x =+--≤在(1,)+∞上恒成立可化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立，设23()(1)ln 1x h x x x +=>+，则22132(ln 1)(23)2ln ()(ln 1)(ln 1)x x x x x h x x x +-+⨯-'==++，设3()2ln (1)x x x x ϕ=->，则223()0x x xϕ'=+>，所以()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，又3ln163(2)2ln 2022ϕ-=-=<，3()20e eϕ=->所以方程()0h x '=有且只有一个实根0x ，且00032,2ln .x e x x <<=所以在0(1,)x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，在0(,)x +∞上，()0,()h x h x '>单调递增，所以函数()h x 的最小值为0000002323()223ln 112x x h x x e x x ++===<++，从而022.a x e ≤<【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在于得到232ln ()(ln 1)x x h x x -'=+后，不能求出()h x '的零点，需要根据()h x '的单调性及零点存在定理得到0x 的大致范围，再利用0x 的范围及0032ln x x =证明不等式.16．设()1,,54m h x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，其中m 是不等于零的常数，（1）写出()4h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析.【分析】（1）由已知得出1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，解出x 可得()4h x 的定义域；（2）对函数()h x 求导，按0m <，1016m <≤，12516m <<和25m ≥四种情况，分别求出函数的单调递增区间即可．【详解】（1）∵1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴15164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()4h x 的定义域为15164⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）()21m h x x '=-0m <时，()0h x '>恒成立，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；0m >时，令()0h x '>，解得x >或x <，即函数的单调增区间为(,-∞，)+∞14≤即1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增当154<<即12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增5≥即25m ≥时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，无递增区间综上可得：0m <时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增；1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域，考查导数研究函数的单调性，解决本题的关键是令()0h x '>求出函数的单调增区间，讨论定义域的区间端点和单调区间的关系，考查了学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．17．已知1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，函数2()(1)x f x x e kx =--．（ 2.71828e = 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[0,]k 上的最大值．【答案】（1）单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k ；（2）3(1)k k e k --.【分析】（1）由题得()(2)x f x x e k '=-，再利用导数求函数的单调区间得解；（2）证明0(2)ln k k <<，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【详解】（1）由题得()(1)2(2)x x x f x e x e kx x e k '=+--=-，令0()0,20x x f x e k >⎧'>∴⎨->⎩或020x x e k <⎧⎨-<⎩，因为1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以122k <≤，所以不等式组的解为ln 2x k >或0x <，所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，；令0()0,20x x f x e k >⎧'<∴⎨-<⎩或020x x e k <⎧⎨->⎩，解之得0ln 2x k <<，所以函数()f x 的单调减区间为(0,ln 2)k ；所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞，，单调减区间为(0,ln 2)k .（2）令()(2)k k ln k ϕ=-，1(2k ∈，1]，11()10k k k k ϕ-'=-=所以()k ϕ在1(2，1]上是减函数，ϕ∴（1）1()()2k ϕϕ<，112()2ln k k ϕ∴-<<．即0(2)ln k k<<所以()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：x(0，(2))ln k (2)ln k ((2)ln k ，)k ()'f x -0+()f x极小值(0)1f =-，()(0)f k f -3(1)(0)k k e k f =---3(1)1k k e k =--+3(1)(1)k k e k =---2(1)(1)(1)k k e k k k =---++2(1)[(1)]k k e k k =--++。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来研究函数的变化趋势和性质。
在本文中，我们将利用导数来研究含参数的函数的单调区间，并进行分类讨论。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于一个函数f(x)，它在一些点x处的导数可以用以下极限来定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数表示函数在该点处的变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。
如果导数大于0，则函数在该点处是递增的；如果导数小于0，则函数在该点处是递减的；如果导数等于0，则函数在该点处是平稳的。
现在我们考虑一个含参数的函数f(x;a)，其中a是一个参数。
我们的目标是根据参数a的取值，将函数f(x;a)的单调区间进行分类。
首先，我们要找到函数f(x;a)的导函数f'(x;a)。
对于含参数的函数，导函数通常也会含有参数。
我们可以按照求导的规则来计算导函数，只需将参数a视为常数进行求导。
然后，我们要找到导函数f'(x;a)的零点，即求解方程f'(x;a)=0。
这些零点将会告诉我们函数f(x;a)的驻点，即导函数的零点对应的函数的极值点或拐点。
对于含参数的函数，驻点的位置一般会依赖于参数a的取值。
接下来，我们要找到导函数f'(x;a)的不连续点，即导函数在定义域内的断点。
这些不连续点将会对函数f(x;a)的单调性产生影响。
最后，我们要找到导函数f'(x;a)的正负变化点，即导函数从正数变为负数或从负数变为正数的点。
这些正负变化点将会告诉我们函数f(x;a)的单调区间。
根据以上步骤，我们可以对含参数的函数f(x;a)的单调区间进行分类讨论。
具体的分类讨论可以根据参数a的取值来进行。
例如，我们考虑一个含参数的函数f(x;a) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c都是实数。
我们可以按照上述步骤来求解函数f(x;a)的单调区间。
函数单调性(含参)讨论
一、解答题 1．已知函数 婈ࡩ반 ʍ 婈૬ࡩ ૬반૬ࡩ ࡩ
ଅ
讨论 婈ࡩ반的单调性；
提示：由题 ̵婈ࡩ반 ʍ ࡩ ૬ࡩ
，
2．已知函数 设函数
ࡩ ʍ
ࡩ ʍࡩ
提示：
ࡩ
lnࡩ，
̵
ࡩ ʍଅ
ࡩ ，求函数
ଅ ࡩ
ࡩ ʍ
ଅ
ࡩ
ࡩ 的单调区间；
ࡩ
婈
반．
ʍ
ࡩ
ࡩ
ࡩ
ଅ
ʍ
ࡩ ଅ ࡩ
ࡩ
ଅ
，
3． 已知函数 婈ࡩ반 ʍ lnࡩ 的单调性；
13．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ
提示： 婈ࡩ반 ʍ ࡩ૬ࡩ
ଅ ૬ࡩ
ࡩ ʍ ࡩ ૬ࡩ
ࡩ ,讨论 婈ࡩ반单调性; ，
14．已知函数 婈ࡩ반 ʍ lnࡩ 提示： ̵ ࡩ ʍ
ࡩ ࡩ
ଅ ࡩ
ࡩ
ࡩ婈
반.讨论 婈ࡩ반的单调性；
3
15．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ 提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ
ࡩ
ࡩ
lnࡩ婈
ଅ ࡩ
ʍ
ࡩ
반.讨论函数 婈ࡩ반的单调性；
ࡩ ࡩ ଅ
ࡩ
.
16．已知函数 婈ࡩ반 ʍ
ࡩ
提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ ଅ
ࡩ
lnࡩ
ࡩ ࡩ
ʍ
ࡩ
.求函数 婈ࡩ반的单调增区间；
ࡩ ࡩ
ࡩ
婈
반
17．已知函数 婈ࡩ반 ʍ 婈ଅ 提示：
̵婈ࡩ반 ʍ 婈； ࡩ ଅ반૬ࡩ
4
반． 讨论
的单调性；
2
11．已知函数 婈ࡩ반 ʍ ࡩ
婈
提示： ̵ 婈ࡩ반 ʍ ଅ
ࡩ
ଅ반 婈 ࡩ
导数的复习——含参单调性的讨论问题
JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法133数学学习与研究2019.9导数的复习———含参单调性的讨论问题◎靖晶陈艳宝（大庆市第四中学，黑龙江大庆163711）高考中导数问题可谓是学生拉开区分度的分水岭．而含参的单调性的讨论问题是重中之重．单调性的问题讨论清楚了，那么极值最值等问题就可迎刃而解．利用导数求函数单调区间的依据：在定义域范围内，由导数大于0解得的x 的区间为函数的增区间；由导数小于0解得的x 的区间为函数的减区间．常见的分类标准有哪些呢？一般的含参的函数单调性的讨论常见的分类标准有：1．函数类型；2．开口方向；3．判别式；4．导数等于0有根无根；5．两根大小；6．极值点是否在定义域内．通过以下两个例题进行说明．例1讨论函数f （x ）=x －1x －a ln x （a ∈Ｒ）的单调性．分析根据导数的符号得函数在相应区间上的单调性，先进行求导．函数的定义域为（0，+ɕ），f'（x ）=x 2－ax +1x 2分母是恒正的，只需看分子的符号．由f'（x ）=0得x 2－ax +1=0．一元二次方程有根无根需看判别式．故而确定了第一个分类讨论的原因：二次函数的判别式．当Δ＞0时，a ＞2或a ＜－2，方程有两个不等实根．是否需要进一步讨论呢？可以发现此时分子为零的两根记为x 1，x 2，x 1+x 2=a ，x 1x 2=1＞0，而定义域为（0，+ɕ），方程的两根符号与a 相同，故而确定第二个分类讨论的标准：方程的根是否在定义域内．解函数的定义域为（0，+ɕ），f'（x ）=x 2－ax +1x 2．令f'（x ）=0得x 2－ax +1=0．（1）当Δ≤0时，－2≤a ≤2时，f'（x ）≥0，f （x ）在（0，+ɕ）上单调递增．（2）当Δ＞0时，方程有两个不等的实根，x 1=a －a 2槡－42，x 2=a +a 2槡－42．①a ＞2时，x 1+x 2=a ＞0，x 1x 2=1＞0，ʑx 1＞0，x 2＞0，ʑf （x ）在（0，x 1）和（x 2，+ɕ）单调递增，在（x 1，x 2）单调递减．（根据图1）图1②a ＜－2时，x 1+x 2=a ＜0，x 1x 2=1＞0ʑx 1＜0，x 2＜0，ʑf （x ）在（0，+ɕ）上单调递增．（根据图2）图2综上，当时，f （x ）在（0，+ɕ）上单调递增．当a ＞2时f （x ）在（0，x 1）和（x 2，+ɕ）单调递增，在（x 1，x 2）单调递减．例2讨论函数f （x ）=e－kxx 2+x －1()k（k ∈Ｒ）的单调性．分析函数的定义域为Ｒ，f （x ）=e －kx ［－kx 2+（2－k ）x +2］=e －kx （x +1）（－kx +2）．ȵe －kx ＞0，ʑf'（x ）的符号只需看－kx 2+（2－k ）x +2的符号，而x 2的系数含字母，影响函数的类型，故第一类讨论的原因即高次项的系数是否为0．由题意k ≠0．当k ≠0时，其正负影响开口的方向，故第二类分类讨论的原因即开口方向．当k ＜0时，导数等于0的两根大小不确定，故而第三类分类讨论的原因为两根大小，确定分界点－2．解函数的定义域为Ｒ，f （x ）=e －kx ［－kx 2+（2－k ）x +2］=e －kx （x +1）（－kx +2）．（1）当k ＞0时，f （x ）在（－ɕ，－1）和2k ，+()ɕ单调递减，在－1，2()k单调递增．（2）当k ＜0时，2k －（－1）=2+kk．①当k ＜－2时，2k ＞－1，f （x ）在（－ɕ，－1）和2k ，+()ɕ单调递增，在－1，2()k单调递减．②当k =－2时，2k =－1，f （x ）在（－ɕ，+ɕ）单调递增．③当k ＞－2时，2k ＜－1，f （x ）在－ɕ，2()k 和（－1，+ɕ）单调递增，在2k ，()－1单调递减．综上，当k ＞0时，f （x ）在（－ɕ，－1）和2k ，+()ɕ单调递减，在－1，2()k单调递增．当k ＜－2时，f （x ）在（－ɕ，－1）和2k ，+()ɕ单调递增，在－1，2()k单调递减．解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA134数学学习与研究2019.9当k =－2时，f （x ）在（－ɕ，+ɕ）单调递增．当k ＞－2时，f （x ）在－ɕ，2()k 和（－1，+ɕ）单调递增，在2k，()－1单调递减．一般涉及含参单调性的讨论问题，我们可按以下步骤进行：1．先求出函数的定义域，再求出导函数，有分母要通分，能因式分解要分解彻底；2．若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，有可以讨论该参数得0和不得0，最高次项系数是否为0影响的是函数的类型；3．判断导数等于0是否有根，导数等于0得到的方程若为一元二次方程，可判断其判别式的符号：当判别式小于等于0时，若二次项系数为正，则导数恒大于等于0，函数在定义域内为增函数，若二次项系数为负，则导数恒小于等于0，函数在定义域内为减函数；当判别式大于0时，可以结合韦达定理分析导数等于0的两根与定义域的关系，确定单调区间；4．导数等于0得到的方程不是二次函数时，根据方程的特点判断有根无根，若有根，再判断其与定义域的关系，若根在定义域内，则根为极值点，再判断定义域内极值点分成的各段区间导数的正负从而得到函数的单调性；5．若导数等于0，方程有两个根且均在定义域内，当两根大小不确定时，可通过比较两根大小确定讨论的分界点．（上接132页）度”、有“智慧挑战”，要遵循由易及难，由简到繁，由基本到拓展的发展顺序去安排，让不同水平的学生都练有所得．如“平行四边形面积”一课，学生探讨出计算方法之后，我设计了以下的练习：1．基本性练习：计算下面平行四边形的面积，需要什么条件？这个平行四边形已知高的长度，要求它的面积还需要已知什么条件？学生回答完后教师再补充“底是18分米”，让学生独立完成．2．提高练习：（1）计算右图平行四边形的面积，算式是（）．（单位：厘米）A．7．5ˑ4B．7．5ˑ6C．6ˑ4（2）下面第（）个平行四边形的面积算式是12ˑ8．ABC3．实践性练习：（1）选择条件，求出右边图形的面积．（单位：米）本组练习设计由浅入深，分层训练，逐步形成技能．基本练习在于检查学生是否会运用公式计算平行四边形的面积，加深对公式的巩固．提高练习是让学生明确计算平行四边形面积要选择正确的“底”和“高”．实践练习在于让学生能运用所学的知识解决生活当中的实际问题，培养学生的实践能力．发展性练习目的在于帮助学生深化知识、扩展知识，沟通知识间的内在联系，发展学生思维的广度和深度，培养学生创新的精神．四、总结反思要提炼数学思想方法数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂，是学生数学素养的核心．刘云章教授认为：“重视对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的数学天赋，提高其数学素养，从而提高学习效益和质量”．数学思想方法的获得，一方面，需要教师进行有意识的渗透和培养，另一方面，也要靠学生的“悟”———在自身总结反思中提炼．例如，在“平面图形的面积复习”教学中，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形、梯形的面积公式是怎样推导的？有什么共同点？学生在总结反思中理解了“转化”的数学思想方法．如学生学习完“三角形内角和”时，我让学生回顾学习过程：先计算直角三角形、等边三角形的内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度．学生回顾思维过程中总结出“归纳”的思想方法．因此，当数学学习结束后，教师要引导学生回顾自己的思维活动，总结反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对所应用的数学思想方法进行概括与提炼，从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值．“本真数学”课堂教学，主张以“本”为核心，以“真”为重点，遵循“问题情境—探索活动—实践应用—反思提升”的教学程序，经历提出问题、分析问题、解决问题、应用问题的过程，探索数学本质，建构数学模型，提升数学素养．【参考文献】［1］刘加霞．小学数学课堂的有效教学［M ］．北京：北京师范大学出版，2008．［2］陈桂香．小学数学课堂教学中应体现“数学味”［J ］．教师博览（科研版），2011（11）：61．。
求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路
求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路舒云水求含参数三次函数的单调区间是高考热点﹒这类问题涉及二次函数的性质、二次不等式求解、二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是高考考查分类与讨论思想的热点﹒正确对字母的取值范围进行分类讨论是解决这类问题的关键，本文主要谈对字母取值进行分类讨论的思路﹒求含参数三次函数的单调区间的题目按下列步骤进行：第一步，求出导函数)(x f y '=（设原函数为)(x f y =）；第二步，算出导函数的判别式∆，并考查判断判别式∆的正负；第三步，若判别式∆的值不确定，即∆的取值可正可负，则对∆进行讨论，按∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解；若∆0≥，即方程0)(='x f 有实根，先求出两实根1x ，2x ﹒再按1x >2x ，1x <2x ，1x =2x 三种情况进行分类讨论求解﹒由上知分类讨论的方式有两种，下面分别举例说明﹒1. 按判别式取值的正负进行分类讨论例1 已知函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈﹒讨论函数)(x f 的单调区间﹒ 分析：先求出2()321f x x ax '=++，算出其判别式∆)3(42-=a ，再判断24(3)a -的正负，易知24(3)a -正负不确定，然后按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：2()321f x x ax '=++，其判别式∆)3(42-=a ﹒ （1） 当∆0>，即3>a 或3-<a 时，由0)(>'x f 得：332-+->a a x 或332---<a a x ； 由0)(<'x f 得：<<---x a a 332332-+-a a ﹒ 函数)(x f 在)33,(2----∞a a ，),33(2+∞-+-a a 上是增函数；在区间)33,33(22-+----a a a a 是减函数﹒ ⑵当∆0<，即33<<-a 时，对所有R x ∈都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒⑶当∆0=，即3±=a 时，则0)3(=-'a f ，且对所有的3a x -≠都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒点拨：按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例2 已知函数)ln 2(2)(x a xx x f -+-=，0>a ﹒讨论函数)(x f 的单调性﹒ 分析：本题函数)(x f 虽然不是三次函数，但由于导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数2)(2+-=ax x x g 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x g 值的讨论﹒由于82-=∆a 的值不确定，要按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：由题知，)(x f 的定义域是),0(+∞﹒ 222221)(xax x x a x x f +-=-+='﹒ 设2)(2+-=ax x x g ，二次方程0)(=x g 的判别式82-=∆a ﹒ ⑴当∆0>，即22>a 时，方程0)(=x g 有两个不同的实根：2821--=a a x ，2822-+=a a x ，210x x <<﹒ 由0)(>'x f ，即0)(>x g 且0>x 得：2x x >或10x x <<；由0)(<'x f ，即0)(<x g 且0>x 得：21x x x <<﹒函数)(x f 在)28,0(2--a a ，),28(2+∞-+a a 上是增函数，在 )28,28(22-+--a a a a 上是减函数﹒ ⑵当∆0<，即220<<a 时，对一切0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒⑶当∆0=，即22=a 时，仅对2=x 有0)(='x f ，对其余的0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒点拨：例2与例1可以说是形异质同﹒本题的分类讨论思路基本上与例1一样﹒ 例3 已知函数)(x f 1223+-+=x a ax x ，R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：先求出)(x f '2223a ax x -+=，再算出其判别式216a ∆=﹒由于0162≥=∆a ，求出方程0)(='x f 的两根得：31a x =，a x -=2﹒由于3a ，a -的大小不确定，所以要按a a ->3，a a -<3，a a -=3三种情况分类讨论求解﹒ 解：)(x f '2223a ax x -+=，方程)(x f '0=的判别式0162≥=∆a ﹒求方程0)(='x f 的两根得31a x =，a x -=2﹒ ⑴当a a ->3，即0>a 时， 由0)(>'x f 得：3a x >或a x -<； 由0)(<'x f 得：3a x a <<- ﹒ 函数)(x f 在),(a --∞，),3(+∞a 上是增函数；在)3,(a a -上是减函数﹒ ⑵当a a -<3，即0<a 时， 由0)(>'x f 得：a x ->或3a x <； 由0)(<'x f 得：a x a -<<3﹒ 函数)(x f 在)3,(a -∞，),(+∞-a 上是增函数；在),3(a a -上是减函数﹒ ⑶当a a -=3，即0=a 时， 仅对0=x 有0)(='x f ，对所有的0≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：按两根3a ，a -的大小关系分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例4 已知函数)(x f x e a a ax x )32(22+-+=，其中R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：本题函数)(x f 也不是三次函数﹒导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数)(x h 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x h 值的讨论﹒由于)(x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，方程0)(=x h 的两根a 2-，2-a 的大小不确定，本题就得按22->-a a ，22-<-a a ，22-=-a a 三种情况分类讨论求解﹒解：x e a a x a x x f ]42)2([)(22+-++='﹒设)(x h a a x a x 42)2(22+-++=，方程0)(=x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，求方程0)(=x h 的两根得a x 21-=，22-=a x ﹒⑴当21x x >，即32<a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：a x 2->或2-<a x ；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：a x a 22-<<- ﹒函数)(x f 在)2,(--∞a ，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(a a --上是减函数﹒ ⑵当21x x <，即32>a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：2->a x 或a x 2-<；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：22-<<-a x a ﹒函数)(x f 在)2,(a --∞，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(--a a 上是减函数﹒ ⑶当21x x =，即32=a 时， 仅对34-=x 有0)(='x f ，对所有的34-≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：本题的分类讨论思路基本上同例3一样﹒例4与例3也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点﹒练习：1.已知函数)(ln 1)(R a x a x x x f ∈--=﹒讨论)(x f 的单调性﹒ 2.已知函数1634)(223-+-+=t x t tx x x f ，R x ∈，其中R t ∈﹒当0≠t 时，求)(x f 的单调区间﹒答案：1. )(x f 的定义域为),0(+∞﹒222111)(xax x x a x x f +-=-+='﹒设1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a ﹒⑴当2≤a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f在),0(+∞上单调递增﹒⑵当2-<a 时，0>∆，0)(=x g 的两根都小于0，在),0(+∞上，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增﹒⑶当2>a 时，0>∆，)(x g 0=的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x ，当10x x <<时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减﹒2.当0<t 时，在)2,(t -∞，),(+∞-t 上单调递增，在),2(t t -上单调递减；当0<t 时，在),(t --∞，),2(+∞t 上单调递增，在)2,(t t -上单调递减﹒。
含参函数单调性讨论 高考数学
−
−
− ，
当 ∈ [− , ]时， ′ ≥ ，则 在 , +∞ 上是增函数.
当 ∈ −∞, − 时，对于＞，有 ′ ＞，则 在 , +∞ 上是
增函数.
试卷讲评课件
当 ∈ , +∞ 时，
′
令
令 ′
− −
试卷讲评课件
例4.设函数f x = lnx − a − 1 x a ∈ R ，讨论函数f x 的单调性；
解析函数f x = lnx − a − 1 x a ∈ R 的定义域为 0, +∞ ，
f′
1
x
x = − a−1
当a − 1 ≤ 0，即a
当a −
1− a−1 x
=
.
x
≤ 1时，f ′ x
1＞0时，令f ′
＜时，函数 单调递增区间为 −∞, , , +∞ ，单调递减区间为
, .
1
2
3
4
5
6
试卷讲评课件
例2.已知函数f x = x 2 + ax + 1 ex ，讨论f x 的单调性；
解析 因为 = + + ，所以
′ = [ + + + + ] ，
+ −+
′
若＞，令 =
= ，解得 = − ， = .
′
， ′
当＞时， ， 的变化情况如下表
,
′
+
含参数的单调区间问题
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论一、根据判别式24b ac ∆=-讨论例1、已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈． 求函数()f x 的单调区间.归纳总结：求导后是二次函数的形式，根据判别式24b ac ∆=-大于0，等于0，小于0进行讨论.二、根据二次函数根的大小讨论例2、已知函数22()(23)x f x x ax a a e =+-+,当23a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.三、根据定义域的隐含条件讨论例3、已知函数()()f x Inx ax a R =-∈，求函数()f x 的单调区间归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论.四、转化为二次函数讨论例4、已知函数1()1()a f x Inx ax a R x -=-+-∈,当12a ≤时,讨论()f x 的单调性.归纳总结：求导后形式复杂时，转化为二次函数讨论问题，求单调区间.五、多次求导求单调区间例5、已知函数3()(1)f x xInx x x =->,求函数()f x 的单调区间.归纳总结：含有指数、对数形式解析式，通常需要多次求导求单调区间.自主练：1、设0a >,讨论函数2()(1)2(1)f x Inx a a x a x =+---的单调性.2、 已知函数()kx e k x x f 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.求()f x 的单调区间.3、设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R .（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围.4、 已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0），求函数的单调区间.。
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龙文教育一对一个性化辅导教案
学生何宇婷学校广雅年级高二次数第11次科目数学教师石灿标日期16.3.20 时段8-10am 课题函数含参数单调区间讨论
教学重点1.讨论参数变量求解单调区间与极值、最值问题
2.已知函数在区间上单调或不单调，求解参变量的范围
教学
难点
函数的综合性问题
教学
目标
掌握函数恒成立问题转化为最值问题关键要点
教学步骤及教学内容
一、情境导入：
1.了解学生在学校的情况；
2.复习上节课的内容，并简单介绍这节课的内容。
二、知识要点：
1.讨论参数变量求解单调区间与极值、最值问题
2.已知函数在区间上单调或不单调，求解参变量的范围
三、知识的反馈;（让学生分析做错的练习）
四、知识的延伸与拓展（能力提升）
经典例题讲解（教义上）
学生总结本课要点
老师归纳补充并点出学生不足之处而且需要加强的地方五、布置作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日
函数含参数单调区间讨论
知识点1：讨论参数变量求解单调区间与极值、最值问题
思路提示：首先考虑函数定义域，然后按如下步骤求解：
第一步对函数求导；
第二步以导数的零点的存在性进行讨论；
第三步当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系；
第四步利用穿针引线法，解出导函数大于零和小于零的解集；
第五步根据第四步求出原函数的单调区间和极值
例1．设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥-，求函数()f x 的单调区间
变式1：讨论函数2()(2ln )f x x a x x
=-
+-(0)a >的单调性
变式2：已知函数22()(1)
x b f x x -=
-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间
变式3：已知函数22()(23)x f x x ax a a e =+-+()x R ∈，其中23
a ≠
，求函数的单调区间与极值
变式4：讨论函数2
()(1)ln 2
ax f x a x x =--+的单调性
变式5：求函数21()ln 2
f x x ax x =-+
的单调区间
变式6（2011广东高考文）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性．
变式7（广东各地模拟）（本小题满分14分）设R k ∈，函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=).
0(),0(1)(x e x x x f x ，kx x f x F +=)()(，
R x ∈．
⑴当1=k 时，求)(x F 的值域；⑵试讨论函数)(x F 的单调性．。