高中不等式知识点+习题

不等式总结

一、不等式的主要性质：(举例子验证)

(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,

(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>（同加c ）； d b c a d c b a +>+⇒>>,（大+大>小+小） (4)乘法法则（变不变号）：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

(5)倒数法则：b

a a

b b a 1

10,<⇒

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法

0>∆

0=∆

0<∆ 二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

)

)((212x x x x a c

bx ax y --=++=

)

)((212x x x x a c bx ax y --=++=

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b x x 221-== 无实根

的解集)0(02>>++a c bx ax

{}21x x x x x

><或 ⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21x x x x

<<

∅

∅

注意：一般常用求根公式法求解一元二次不等式

顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、“三相等（非常重要）” 四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ，例如 |4||2|-+-x x 的最小值为___________（答案：2） 2、分类讨论思想

则不等式：如果,0>a

a x a x a x -≤≥<=>≥或||（公式）

a x a a x <<-<=><||（公式）

如果0≤a ，则不等式：

<=>≥a x ||R <=>

x ||Φ

3． 当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；

当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 当0=c 时，<=>>+c b ax || <=><+c b ax ||

4、解含有绝对值不等式的主要方法：公式法 步1：是否需对a 分类讨论

步2：套用公式 || (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． 练习1：4332+<+x x 832≥+x 练习2：a x <+32 a x ≥-32

五、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()()0()

()

0()()0;0()0

()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解（利用x y =的单调性）

()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫

⇒⎪⎬>≥⎨⎭

⎪>⎩

定义域

⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]

([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或

⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2

)]

([)(0

)(0

)()()(x g x f x g x f x g x f ③指数不等式：转化为代数不等式（利用x a y =的单调性）

()()()()()

(1)()();(01)()()

(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a

b a b f x a b

>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>

④对数不等式：转化为代数不等式（利用x y a log =的单调性）

()0

()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪

⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩

⎩

六、零点分段法（两个绝对值的情况） 例题：求解不等式：|21||2|4x x ++->．

提示：先求出两个根，假设12x x >，分类讨论（三种情况） 解：①当2x x ≥时，。。。。。。 ②当21x x x <<时，。。。。。。 ③当1x x ≤时，。。。。。。 综上，解集为。。。。。。

练习试题