高中不等式知识点+习题

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高中不等式题目30道

高中不等式的题目：1. x2+3x+2/x2+2x+1 的取值范围是什么？2. 对于实数x，求解不等式｜x-1｜+｜x+3｜≥5。

3. 若不等式(k+1)x2-2(k+2)x+4>0 对任意实数x 恒成立，求k 的取值范围。

4. 已知不等式ax2-2x+b<0 的解集是{x|1<x<3}，求a、b 的值。

5. 求下列不等式的解集：（1）3x2-7x-10≥0（2）4x2-12x+9≤0（3）4-3x-5x2≥0（4）6x-10x2≥06. 解不等式｜2x+1｜+｜3x-4｜≥5。

7. 求不等式-2x2+4x-3<0 的解集。

8. 若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-3≤0 对于任意实数x 都成立，求a 的取值范围。

9. 解不等式｜x-3｜-｜2x+1｜≤x+2。

10. 求不等式x2+2x+3≥2x2+ x的解集。

11. 求下列不等式的整数解：（1）5x-7<3x+1（2）3(x-1)≥7(x-4)（3）10-4(3x-9)≤2(9-4x)（4）5(6x+1)-7(3x+2)≥012. 求不等式-3≤x< 4 的整数解。

13. 解不等式(x-5)(x+7)≥8(x-3)。

14. 求不等式4(3x-7)≥24(x-5)的解集。

15. 求不等式｜2x-3｜≤x+1 的解集。

16. 求不等式-2x+3>10-3x的解集。

17. 求不等式3(2x-4)≥5(x-1)的解集。

18. 求不等式2(4x-2)≥3(x+1)的解集。

19. 求不等式-3(x+2)≥4(x-3)的解集。

20. 求不等式5(x-1)≥2(x+2)的解集。

21. 求不等式-4(x-3)≥5(x-2)的解集。

22. 求不等式2(3x-1)≥5(x+1)的解集。

23. 求不等式6(x+1)≤7(x-2)的解集。

24. 求不等式5(x-1)≤2(x+3)的解集。

25. 求不等式3(x+1)≥5(x-1)的解集。

不等式练习题及讲解高中答案

不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 $ a, b, c $ 均为正数，证明不等式 $ a + b\geq 2\sqrt{ab} $ 成立。

2. 题目二：已知 $ x $ 和 $ y $ 均为实数，且 $ x^2 + y^2 = 1 $，求证 $ x + y \leq \sqrt{2} $。

3. 题目三：若 $ a, b $ 均为正整数，证明 $ a^2 + b^2 \geq 2ab $。

4. 题目四：对于任意实数 $ x $，证明 $ \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 $。

5. 题目五：若 $ x, y, z $ 均为正数，证明 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} $。

#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 $ a $ 和 $ b $，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

题目二讲解：由于 $ x^2 + y^2 = 1 $，我们有 $ (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 $，从而 $ x + y \leq \sqrt{2} $。

题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 $ a = b $ 时，等号成立。

题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 $ x^2 = 1 $，即 $ x = \pm 1 $。

高中数学知识点训练4 不等式

训练4 不等式1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的________条件．2．(2010·江西改编)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________条件． 3．若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．4．不等式x 2－4>3|x |的解集是________．5．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.6．已知p ：关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋2|>m 的解集为R ；q ：关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0的解集为R .则p 成立是q 成立的________条件．7．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是________．8．(2011·大纲全国)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．9．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的解集是M ，若M ∩Z ＝∅，则常数k的取值范围是________．10．若关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，则(a －3b )x ＋b －2a >0的解集是________．11．(2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x的取值范围是________．12．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 13．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．14．(2011·四川改编)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为________．答案1．充分不必要 2．必要不充分 3．3＋2 2 4．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 5．{x |－2≤x ≤5} 6．必要不充分 7．4 8．5 9．2≤k ≤310．{x |x <－3} 11．(－1，2－1) 12．5<b <7 13.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 14．4 900元。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结单选题1、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错. 故选：A.2、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B3、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0故选：B4、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C5、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误. 故选：C6、若a,b,c∈R，则下列命题为假命题的是（）A．若√a>√b，则a>b B．若a>b，则ac>bcC ．若b >a >0，则1a >1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a >1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确.故选：B.7、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．8、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.， 23,21<<-<<-a b故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B多选题9、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有（）A ．2abB ．a 2＋b 2C ．1a ＋1bD ．2ab 答案：BCD分析：利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒∵a ，b ＞0，∴2＝a ＋b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．由ab ≤1，得2ab ≤2，∴2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a+1b =a+b ab =2ab ≥2，C 正确； 2ab ≥2，D 正确．故选：BCD ．10、解关于x 的不等式：ax 2+(2−4a)x −8>0，则下列说法中正确的是（）A ．当a =0时，不等式的解集为{x |x >4}B ．当a >0时，不等式的解集为{x|x >4或x <−2a }C ．当a <0时，不等式的解集为{x |−2a <x <4}D ．当a =−12时，不等式的解集为∅ 答案：ABD分析：讨论参数a ，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A ：a =0，则2x −8>0，可得解集为{x |x >4}，正确；B ：a >0，则(ax +2)(x −4)>0，可得解集为{x|x >4或x <−2a }，正确；C ：a <0，当−2a <4时解集为{x |−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x |4<x <−2a }，错误；D ：由C 知：a =−12，即−2a =4，此时无解，正确.11、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（）A ．a 2−b 2≤4B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），且，则c =4 答案：ABD解析：因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0，再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0，对A ：a 2−b 2≤4等价于b 2−4b +4≥0，显然(b −2)2≥0，故A 正确；对B ：a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ×1b =4，故B 正确；对C ：因为不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，故可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；对D ：因为不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则方程x 2+ax +b −c =0的两根为x 1，x 2，故可得√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 2−4(b −c )=√4c =2√c =4，故可得c =4，故D 正确.故选：ABD .小提示：本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 124x x -=124x x -=分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.13、下列说法正确的是（）A．x+1x(x>0)的最小值是2B．2√x2+2的最小值是√2C．2√x2+4的最小值是2D．2−3x−4x的最小值是2−4√3答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2（当且仅当x=1x，即x=1时取等号），A正确；2√x2+2=√x2+2，因为x2≥0，所以2√x2+2=√x2+2≥√2，B正确；2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2，当且仅当√x2+4=√x2+4，即x2=−3时，等号成立，显然不成立，故C错误；当x=1时，2−3x−4x=2−3−4=−5<2−4√3，D错误.故选:AB.填空题14、若一个直角三角形的面积为4cm2，则此三角形周长的最小值是________cm.答案：4+4√2分析：设两条直角边长分别为xcm、8xcm，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.设两条直角边长分别为xcm、8xcm，则该直角三角形的周长为x+8x +√x2+64x2≥2√x⋅8x+√2√x2⋅64x2=4√2+4(cm)，当且仅当{x=8xx2=64x2x>0时，即当x=2√2时，等号成立. 所以答案是：4√2+4.15、已知正实数x，y满足1x +1y=1，则x+4y最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x，y满足：1x +1y=1，∴x+4y=(x+4y)⋅(1x +1y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx⋅xy=9，当且仅当4yx =xy，即x=2y，x=3，y=32时“=”成立，所以答案是：9.16、若x>−1，则x+3x+1的最小值是___________. 答案：2√3−1分析：由x+3x+1=x+1+3x+1−1，结合基本不等式即可.因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x+1=3x+1即x=√3−1时，取等号成立.故x+3x+1的最小值为2√3−1，所以答案是：2√3−1解答题17、某旅游公司在相距为100km的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本）（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y=6000−15v−24000v(0<v⩽50)，代入v=30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，因为游船的燃料费用为每小时k·v2元，依题意k·202=60，则k=320．所以y=6000−(320v2·100v+240·100v)=6000−15v−24000v(0<v⩽50)．v=30km/ℎ时，y=4750元；（2）y=6000−15v−24000v ⩽6000−2√15v×24000v=4800，当且仅当15v=24000v，即v=40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．18、某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？答案：每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）分析：由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.设该旅店某晚的收入为y元，则y=(50+10x)(200−10x),x∈N∗由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600即10000+1500x−100x2>12600，即x2−15x+26<0，解得：2<x<13，且x∈N∗所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）。

高一不等式练习题(打印版)

高一不等式练习题（打印版）# 高一不等式练习题## 一、选择题1. 若不等式$ a + b > c $成立，且$ a > 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ b > -a $B. $ b > c - a $C. $ b > c $D. $ b > a $2. 对于任意实数$ x $，下列不等式中哪个是恒成立的？A. $ x^2 \geq 0 $B. $ x^2 + 1 \geq 1 $C. $ x^2 + 1 \geq x $D. $ x^2 - 1 \geq 0 $## 二、填空题1. 若$ x $是正数，那么$ \frac{1}{x} $的取值范围是\_\_\_\_\_。

2. 若$ a $和$ b $是两个不同的正数，且$ a + b = 1 $，则$ ab $的最大值是 \_\_\_\_\_。

## 三、解答题1. 已知不等式$ 2x - 3 > x + 1 $，求$ x $的取值范围。

2. 已知不等式$ |x - 2| < 3 $，求$ x $的取值范围，并说明$ x $的最小值和最大值。

## 四、证明题1. 证明不等式$ a^2 + b^2 \geq 2ab $对任意实数$ a $和$ b $都成立。

2. 若$ a, b, c $是正数，且$ a + b + c = 1 $，证明$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 $。

## 五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为$ C(x) = 100 + 30x $，销售价格为$ P(x) = 200 - 5x $，其中$ x $表示产品数量。

求利润最大时的产品数量。

2. 一个班级有50名学生，每个学生至少参加一项课外活动。

高中不等式练习题及答案

高中不等式练习题及答案1. 解下列不等式，并说明其解集：(1) $ x^2 - 4x + 3 < 0 $(2) $ 2x - 5 < 0 $(3) $ 3x^2 - 6x + 2 \geq 0 $2. 判断下列不等式是否有解，并说明理由：(1) $ x^2 - 4x + 3 > 0 $(2) $ x^2 + 2x - 8 < 0 $3. 已知不等式 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 有解，求参数 a, b, c 的取值范围。

4. 求解不等式组：\[\begin{cases}x + 2y \leq 10 \\3x - y \geq 6 \\x \geq 0 \\y \geq 0\end{cases}\]5. 已知函数 $ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 $，求函数值小于 0 的 x 的取值范围。

6. 判断下列不等式是否成立，并说明理由：(1) $ \frac{1}{x} < 1 $ 对于 $ x > 1 $(2) $ \frac{1}{x} > 1 $ 对于 $ 0 < x < 1 $7. 已知不等式 $ x^2 - 2x - 3 > 0 $，求 x 的取值范围。

8. 求解不等式 $ |x - 2| < 3 $ 并说明其解集。

9. 已知不等式 $ x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \leq 0 $，求 x 的取值范围。

10. 已知不等式 $ \frac{x^2 - 4}{x - 2} > 0 $，求 x 的取值范围。

答案：1.(1) $ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $，解集为 $ 1 < x < 3 $。

(2) $ 2x - 5 < 0 $，解集为 $ x < \frac{5}{2} $。

高一数学不等式部分经典习题及答案

ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。

如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

完整版)高一不等式及其解法习题及答案

完整版)高一不等式及其解法习题及答案教学目标】1.能够熟练解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2.理解分类讨论的数学思想并能够应用于解含参不等式教学重难点】分类讨论的数学思想教学过程】题型一：解一元二次不等式例1：解下列不等式1）2x²-3x-2>0；（2）-6x²-x+2≥0；（3）2x²-4x+70方法总结：对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以通过求出其判别式Δ=b²-4ac的值，来判断其解的情况。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，解集为x根2；2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，解集为x=根1=根2；3.当Δ<0时，方程无实数根，解集为空集。

变式练】1-1.已知不等式ax²+bx+c的解集为(2,3)，求不等式cx²+bx+a的解集。

题型二：解高次不等式例2：求不等式(x-4)(x-6)≤0的解集。

方法总结：对于高次不等式，可以通过将其化为一元二次不等式的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。

变式练】2-1.解不等式x(x-1)(x+1)(x+2)≥0.题型三：解分式不等式例3-1：解下列不等式1) 23/(x²-4x+1) < 1；(2) 23/(x²-4x+1) ≤ 2；(3) 23x-7/(x²-2x+1)。

方法总结：对于分式不等式，可以通过将其化为分子分母同号的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。

题型四：解含参数的一元二次不等式例4-1：解关于x的不等式2x+ax+2>(a∈R)。

方法总结：对于含参不等式，可以通过分类讨论的思想来解决。

首先讨论a的值，然后根据a的取值再讨论不等式的解集。

变式练】1.已知a∈R，解关于x的不等式ax-(a+1)x+1<2.2.解不等式a(x-1)/(x-2)。

高中不等式练习题及答案

高中不等式练习题及答案高中不等式练习题及答案在高中数学学习中，不等式是一个重要的概念和工具。

不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式，它可以帮助我们解决各种实际问题。

在学习不等式的过程中，练习题是必不可少的，下面我将为大家提供一些高中不等式练习题及其答案。

1. 练习题一：解不等式：2x - 5 < 3x + 2解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < 2 + 5化简得：-x < 7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > -72. 练习题二：解不等式：3(x - 2) > 2(x + 3)解答：先进行分配律的运算，得到：3x - 6 > 2x + 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：3x - 2x > 6 + 6化简得：x > 123. 练习题三：解不等式：4x + 5 > 3 - 2x解答：将变量移到一边，常数移到另一边，得到：4x + 2x > 3 - 5化简得：6x > -2由于系数为正数，所以不等号方向不需要翻转，得到：x > -1/34. 练习题四：解不等式：2x - 3 > 5x + 1解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 5x > 1 + 3化简得：-3x > 4由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x < -4/35. 练习题五：解不等式：2x + 1 < 3(x - 2)解答：先进行分配律的运算，得到：2x + 1 < 3x - 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < -6 - 1化简得：-x < -7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > 7通过以上的练习题，我们可以看到解不等式的基本步骤。

首先，将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边；然后，化简不等式；最后，根据系数的正负确定不等号的方向。

不等式复习题及答案

不等式复习题及答案1. 若不等式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集为 $ (-1, 2) $，求 $ a $、$ b $ 和 $ c $ 的值。

答案：根据解集 $ (-1, 2) $ 可知，$ -1 $ 和 $ 2 $ 是方程$ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个实根，且 $ a < 0 $。

根据根与系数的关系，我们有 $ -1 + 2 = -\frac{b}{a} $ 和 $ -1\times 2 = \frac{c}{a} $。

解得 $ b = -a $ 和 $ c = -2a $。

由于 $ a < 0 $，我们可以取 $ a = -1 $，则 $ b = 1 $，$ c = 2 $。

2. 已知 $ x $ 和 $ y $ 满足 $ x + y \geq 3 $ 且 $ x -y \leq 1 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的最小值。

答案：要使 $ x^2 + y^2 $ 最小，$ x $ 和 $ y $ 应尽可能接近。

由 $ x + y \geq 3 $ 和 $ x - y \leq 1 $ 可得 $ 2x\leq 4 $，即 $ x \leq 2 $。

当 $ x = 2 $ 时，$ y = 1 $。

因此，$ x^2 + y^2 $ 的最小值为 $ 2^2 + 1^2 = 5 $。

3. 若 $ a $、$ b $ 和 $ c $ 是正实数，且满足 $ a + b +c = 1 $，求 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $ 的最小值。

答案：根据柯西-施瓦茨不等式，我们有 $ (a + b +c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq(1 + 1 + 1)^2 = 9 $。

完整版)高中数学不等式习题及详细答案

完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。

A。

最大值为 5，最小值为 1B。

最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。

最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。

最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。

A。

3B。

$\frac{7}{2}$C。

4D。

$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。

A。

$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。

$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。

$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。

A。

$(-1,+\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。

$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。

A。

2B。

$\frac{2}{3}$C。

4D。

$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。

A。

18B。

高中数学基本不等式知识点及练习题

高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。

基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。

要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。

高一数学不等式知识点总结及例题

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库单选题1、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（）A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1=(4m+1+1n+1)(m+14+n+14)=n+1m+1+m+14(n+1)+54 ≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54=94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .2、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(ba −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A4、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．5、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.6、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.7、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C8、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B． a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、下列说法中正确的是（） A ．若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1 B ．若-2<a <3，1b >0，m >0，则ma<mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 答案：AC分析：利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.对于A ，因c 2+1>0，于是有1c 2+1>0，而a >b ，由不等式性质得a c 2+1>bc 2+1，A 正确；对于B ，因为1b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以ma <mb ，C 正确；对于D ，−1>−2且−2>−3，而(−1)⋅(−2)<(−2)(−3)，即ac >bd 不一定成立，D 错误. 故选：AC11、下列说法正确的是（）A ．若x >2，则函数y =x +1x−1的最小值为3B ．若x >0,y >0，3x +1y =5，则3x +4y 的最小值为5 C ．若x >0，则xx 2+1的最大值为12D ．若x >0,y >0,x +y +xy =3，则xy 的最小值为1 答案：BC分析：利用基本不等式以及“1”的代换，结合不等式的解法，逐项判定，即可求解.对于A 中，由x >2，可得函数y =x +1x−1=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)×1x−1+1=3，当且仅当x −1=1x−1时，即x =2时等号成立，因为x >2，所以等号不成立，所以函数y =x +1x−1的最小值为不是3，所以A 不正确；对于B 中，由x >0,y >0，3x+1y=5，则3x +4y =15⋅(3x +4y)(3x+1y)=15×[13+(12y x+3x y)]≥15×(13+2√12y x×3x y)=5，当且仅当12y x=3x y时，即x =2y =1时，等号成立，所以3x +4y 的最小值为5，所以B 正确；对于C 中，由x >0，则x x 2+1=1x+1x因为x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x时，即x =1时，等号成立，所以x x 2+1的最大值为12，所以C 正确；对于D 中，由x >0,y >0，可得x +y +xy ≥2√xy +xy ，当且仅当x =y 时，等号成立，所以xy +2√xy ≤3，即xy +2√xy −3=(√xy +3)(√xy −1)≤0，解得0<√xy ≤1，即0<xy ≤1，所以xy 的最大值为1，所以D 不正确. 故选：BC.12、已知正数a ，b 满足a +2b =1，则（） A ．ab 有最大值18B ．1a +2b 有最小值8 C ．1b+ba有最小值4D ．a 2+b 2有最小值15答案：ACD分析：A 由a ⋅2b ≤(a+2b 2)2即可确定ab 最大值；B 利用基本不等式“1”的代换有1a +2b =2b a+2a b+5即可求最小值；C 将a +2b =1代入，利用基本不等式即可求最小值；D 将a =1−2b 代入，结合二次函数的性质求最值. A ：a ⋅2b ≤(a+2b 2)2=14，则ab ≤18当且仅当a =12，b =14时取等号，正确；B ：1a +2b =(a +2b )(1a +2b )=2b a +2a b+5≥4+5=9，当且仅当a =b =13时取等号，错误；C ：1b +ba =a+2b b+ba =2+ab +ba ≥2+2=4，当且仅当a =b =13时取等号，正确；D ：a 2+b 2=(1−2b )2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15(0|b|B．ac>bc⇒a>bC．a 3>b3ab>0}⇒1a<1bD．a2>b2ab>0}⇒1a<1b答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A：∵1a <1b<0∴ab>0且−1a>−1b>0，因此−1a⋅ab>−1b⋅ab>0⋅ab，即−b>−a>0⇒|−b|>|−a|>0⇒|b|>|a|，故本命题不正确；B：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C：由a3>b3⇒a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)>0，而ab>0，所以有a>b，而1a −1b=b−aab<0⇒1a<1b，故本命题正确；D：若a=−2,b=−1，显然{a 2>b2ab>0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 填空题14、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2 b ≤4，0<1a+2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：415、若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为____________．答案：2√2分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵a >0,b >0， ∴1a +a b2+b ≥2√1a⋅a b2+b =2b+b ≥2√2b⋅b =2√2，当且仅当1a =a b2且2b=b ，即所以1a +ab 2+b 的最小值为2√2. 所以答案是：2√2.16、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________．答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0， g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0，因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0，所以4a 2−4b a−1=0①，−b >−2a②，由①得b =1a−a 4，代入②得a 4−1a>−2a，因为a >0，此式显然成立．a +b =1a+3a 4≥2√1a×3a 4=√3，当且仅当1a=3a 4，即a =2√33时等号成立，所以a +b 的最小值是√3．所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而a b ==可求得a +b 的最小值．解答题17、设函数f (x )=mx 2−mx −1．（1）若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1．答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m =0和m ≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；（2）将不等式整理为(x −m )(x −2)<0，分别在m <2，m >2和m =2三种情况下求得结果. （1）由f (x )<0知：mx 2−mx −1<0，当m =0时，−1<0，满足题意；当m ≠0时，则{m <0Δ=m 2+4m <0，解得：−4<m <0；综上所述：m 的取值范围为(−4,0]．（2）由f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1得mx 2−mx −1−mx 2+x 2−2x +2m +1<0，即x 2−(m +2)x +2m <0，即(x −m )(x −2)<0；当m <2时，解得：m <x <2；当m >2时，解得2<x <m ；当m =2时，解集为∅．综上所述：当m <2时，解集为(m,2)；当m >2时，解集为(2,m )；当m =2时，解集为∅． 18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0). （1）若不等式的解集是{x |x <−3或x >−2}，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值；（2）由题意得出{k <0Δ<0，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k >0Δ≤0，由此可解得实数k 的取值范围.（1）因为不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是{x |x <−3或x >−2}，所以，−3和−2是方程kx 2−2x +6k =0的两个实数根，且k <0，由韦达定理得(−3)+(−2)=2k，所以k =−25；（2）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是R ，所以{k <0Δ=4−24k 2<0，解得k <−√66，因此，实数k 的取值范围是(−∞,−√66)；（3）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集为∅，则不等式kx 2−2x +6k ≥0(k ≠0)对任意的x ∈R 恒成立，所以{k >0Δ=4−24k 2≤0，解得k ≥√66. 因此，实数k 的取值范围是[√66,+∞). 小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.。

高考数学不等式及其解法习题

专题二不等式2.1 不等式及其解法基础篇考点一不等式的概念与性质考向一利用不等式性质比较大小1.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,9)若1a <1b<0,则下列结论中正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|D.a3>b3答案ABD2.(2022山东日照二模,4)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是( )A.a+c<b+cB.1a <1bC.ac>bcD.b-a>c答案A3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac >bdB.ac<bdC.ad >bcD.ad<bc答案D4.(多选)(2022广东汕头二模,9)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac答案BCD5.(多选)(2022河北承德模拟,9)若实数a,b满足a4<a3b,则下列选项中一定成立的有( ) A.a2<b2 B.a3<b3C.e a-b<1D.ln ab<0答案 AD考向二作差(商)法比较大小问题1.(2023届安徽十校联考,5)已知实数a >b >c ,abc ≠0,则下列结论一定正确的是 ( )A.ab >ac B.ab >bc C.1a <1c D.ab +bc >ac +b 2 答案 D2.(2022重庆育才中学开学练,9)若M =x 2+y 2+1,N =2(x +y -1),则M 与N 的大小关系为( )A.M <NB.M >NC.M =ND.不能确定答案 B3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是 ( )A.若a b >0,则ac 2>bc 2C.若c >a >b >0,则ac−a <bc−b D.若a >b >c >0,则ab >a+c b+c 答案 D4.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是 ( )A.若1x >1y ,则x <y B.若xy >0,则x y+y x≥2 C.若x >y >0,c >0,则yx <y+cx+c D.若xy +1>x +y ,则x >1,y >1 答案 BC5.(2022全国甲理,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A考点二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为( ) ]A.(−2,65]B.[−2,65,+∞)C.(-∞,-2)∪[65,+∞)D.(-∞,-2]∪[65答案C2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( ) A.a2-b2≤4≥4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4答案ABD3.(多选)(2021南京一中阶段练,10)对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是( )} B.{x|x≠-1}A.{x|−1<x<1a<x<−1} D.RC.{x|1a答案AB4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.)答案(−1,23考向二三个“二次”之间的关系应用1.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为( ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}D.{x|0<x<3}答案C2.(2022山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|−1<x<12},则函数y=cx2-x-a的图象可以为( )A BC D答案C3.(多选)(2021广东东莞中学检测,10)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}D.a+b+c>0答案AC4.(多选)(2021江苏盐城11月练习,10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,则以下选项正确的有( )A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集为{x|1n <x<1m}D.cx2+bx+a>0的解集为{x|x<1n 或x>1m}答案AC5.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,13)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为.答案{x|x<−1或x>13}6.(2023届山东潍坊五县联考,14)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值不大于2,则实数m的最大值与最小值的和为.答案47.(2022山东潍坊安丘等三县测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.解析(1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{−2+1=−ba,(−2)×1=2a,所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x>−m3},因为A⊆B,所以-m3≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题考向一直接转化为函数求最值1.(2022湖北恩施高中、荆州中学等四校联考,6)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意的x ∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.{m|m≤0}B.{m|0≤m<57}C.{m|m<0或0<m<57}D.{m|m<57}答案D2.(2022福建龙岩模拟,4)∀x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒成立,则m 的取值范围是( )A.(-2,2)B.(−∞,52]C.[-2,2]D.(-∞,2]答案D3.(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,5)当x∈(1,2)时,x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是( )A.m≤-4B.m<-4C.m<-5D.m≤-5答案D考向二分离出参数后求最值1.(2022湖南岳阳模考,3)若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是( ) A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4]D.(-∞,2]答案A2.(2021河北唐山模拟,6)若∀x∈{x|1≤x≤5},不等式x2+ax-2≤0恒成立,则a的取值范围是( )A.{a|a>−235} B.{a|−235≤a≤1}C.{a|a>1}D.{a|a≤−235}答案D3.(2022北京师大附中模拟,4)关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.(-∞,3]C.(-∞,1]D.(-∞,1]∪[3,+∞)答案B4.(2022天津滨海新区塘沽一中阶段练,5)已知“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-5] B.(-∞,-2]C.(-5,+∞)D.[-5,+∞)答案A5.(2022重庆南开中学模拟,13)当x∈[0,3]时,不等式x2+(a-4)x+4>0恒成立,则a的取值范围为.答案(0,+∞)。

高中不等式练习题及答案

不等式1、解不等式：1211922+-+-x x x x ≥7. 2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0.3、解不等式：65592+--x x x ≥－2. 4、解不等式：2269x x x -+-＞3.5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5.6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y ＞0，求y x yx ++的最大值。

8、已知关于x 的方程x 2＋(m 2－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大，求参数m 的取值范围。

9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1.10解不等式38->-x x .11．解log (2x – 3)(x 2－3)＞012．不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。

13．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满意约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y14在函数x y 1=的图象上，求使y x 11+取最小值的点的坐标。

15函数4522++=x x y 的最小值为多少？16．若a －1≤x 21log ≤a 的解集是[41,21],则求a 的值为多少？17．设,10<<a 解不等式：()02log 2<--x x a a a18．已知函数y ＝13422+++x n x mx 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

19．已知2>a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a20．已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<---)26(log )9(log |,212|31231)1(3322x x x B x x x x , 又A ∩B={x|x 2+ax+b ＜0},求a+b 等于多少？21画出下列不等式组表示的平面区域，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.110,100,3623,242y x y x y x1、[－21,1]∪(1,34) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 4、(0,3) 5、(－∞,－1323) 6、1， 43 7、2 8、－2＜m ＜0 9、解：(I)当a>1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.101a a x a x ，解得x>2a-1.(II)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<->-+.101a a x a x ＋，解得：a-1<x<2a-1.综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}.10、原不等价于不等式组(1)⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)3(80308x x x x 或(2)⎩⎨⎧<-≥-0308x x 由(1)得22153+<≤x ，由(2)得x ＜3，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<2215|x x。

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －nb>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

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