板壳理论课程设计(里茨法应用)

板壳理论课程设计第一部分综述这学期我们学习了板壳理论，也就是弹性力学的下册。

经过这学期的学习，我对弹性力学的概念也越发的清晰，也认识到自己在公式推导方面的不足。

不过作为一名力学专业的学生，这是最基本的数学素质要求。

通过学习板壳理论，我对弹性力学问题的分析思路更加清晰，尤其是对薄板问题的处理，有了更好的认识和理解。

弹性力学的研究对象是完全弹性体，根据问题的性质，忽略一些很小的次要因素，对物体的材料性质采用了一些基本假定，即弹性力学的基本假定，主要有连续性、完全弹性、均匀性、各向同性，符合以上假定的物体，就称为理想弹性体。

弹性体是变形体的一种，在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，出去外力后，除去外力后物体即恢复原状。

在板壳理论中，这一原则的应用ε可以不则更加广泛。

在薄板的小挠度弯曲理论中，垂直于中面方向的正应变zττσ所引起的变形可以不计；薄板中面内的各点都没有平行计；应力分量,,zx zy z于中面的位移，这是以三个计算假定为基础的。

例如在薄板弯曲问题中，一定载荷引起的弯应力和扭应力，在数值上最大，因而是主要的应力；横向切应力在数值上较小，是次要的应力；挤压应力在数值上更小，是更次要的应力。

因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无须计算。

这学期板壳理论的学习，让我在上学期弹性力学上册的基础上有了新的收获。

上学期弹性力学的学习，我感觉整本书就讲了十五个控制方程解十五个未知数。

而剩下的问题就是如何求解这些方程的问题，这也是数学和力学结合最紧密的地方。

而求解的方法无外乎两种:基于位移的求解和基于应力的求解，而前人的研究大部分都是如何使这些方程求解起来更方便。

弹性力学思路清晰，但是方程和公式复杂。

例如,应力函数的引入就是因为同时满足平衡方程和应力表达的相容方程是很难找到的。

这学期，我们学习了伽辽金法的应用及其举例，认识了伽辽金位移函数它使得原本要求的方程(非齐次微分方程)转化为求拉普拉期方程,而拉普拉斯方程在数学上（复变函数）已经研究的很透彻，因而大大简化了求解的难度。

而近代即二十世纪以来发展起来的能量法更是如此:对位移的变分方程代替了以位移表达的平衡方程及应力边界条件，对应力的变分代替了相容方程及位移边界条件 这无疑都大大简化了弹性力学基本方程的求解过程。

随着计算机的发展，各类软件也应用在了各行各业，这学期我们还学习了ABAQUS 和ANSYS 两类有限元软件。

此外，通过数学软件Matlab 和Mathematica 与有限元软件的结合应用，使得求解速度大大加快，便于方便实验，这也使得许多从前很难解决的问题基本上都能获得满足工程精度的解答。

在传统理论解和有限元方法共同合作下，弹性力学的发展会更加迅速，它的应用范围更加广泛，前景是非常可观的。

第二部分 解答题目：四边为夹支边的正方形薄板受均布荷载集度的解法1.里茨法设有一个正方形薄板，边长为a=1m,厚度δ =0.015m 如图所示，四边均为夹支边，在薄板受有均布荷载的作用，20100000/q N m =。

取坐标轴如图所示，则有位移边界条件为0000()0,()0;()0,()0;()0,()0;()0,()0;x x x a x ay y y ay aww x ww x ww y ww y========∂==∂∂==∂∂==∂∂==∂ 在薄板的弯曲问题中，一定荷载引起的弯应力和扭应力，在数值上最大，因而是主要的应力；横向切应力在数值上较小，是次要的应力。

因此在计算薄板的内力时i ，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无需计算。

而由基尔霍夫指出，薄板任一边界上扭矩都可以变换为等效的横向剪力，和原来的横向剪力合并，内力表达式为22222222244(),(),(1),,,x yxy yx Sx Sy w wM D x y w wM D y xwM M D x yF D w F D w x y μμμ∂∂=-+∂∂∂∂=-+∂∂∂==--∂∂∂∂=-∇=-∇∂∂ 在里茨法中，内力边界条件可忽略，因此将挠度的表达式取为111*()()sin sin x y C C x x a y y a a a w w ππ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （a ）则上列位移边界条件都能满足，同时，式（a ）在薄板的四边还满足了内力边界条件，即弯矩不等于零。

薄板的形变势能表达式为：)11()(22x x y xy xy xy xy xy yz yz zx zx dxdydz dxdydz V εσεσετγτγτγτγ++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (b)在薄板的小挠度弯曲问题中，按照计算假定，,,z yz zx γγε 形变分量不计，于是形变势能的表达式简化为222222222()()()w w w w w w w dxdy dxdy x y x y x x yy x x y ⎤⎡⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=-⎥⎢⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎣⎦⎦⎰⎰⎰⎰1()2x x y xy xy xy dxdydz V εσεσετγ=++⎰⎰⎰ (c)根据物理方程2222222222222222(),,1(),1,21x x y y xy xy Ez w w wz x y xEz w w wz y x yEz w w zx y x yσμεμσμεμτγμ∂∂∂=-+=--∂∂∂∂∂∂=-+=--∂∂∂∂∂=-=-+∂∂∂∂ 代入式（c ） 整理后得2222222222()2(1)()2(1)E w w w V z w dxdydz x y x y εμμ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪=∇---⎨⎬⎢⎥-∂∂∂∂⎪⎣⎦⎪⎭⎩⎰⎰⎰ 各项与Z 无关222222221()2(1)()2w w w V D w dxdy x y x y εμ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪=∇---⎨⎬⎢⎥∂∂∂∂⎪⎣⎦⎪⎭⎩⎰⎰ （d ）在等厚度薄板中，D 是常量，3212(1)E D δμ=- 式（d ）可以写为22222222()2(1)()2D w w w V w dxdy x y x y εμ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪=∇---⎨⎬⎢⎥∂∂∂∂⎪⎣⎦⎪⎭⎩⎰⎰ （e ） 或写为22222222()(1)()2D w w w V w dxdy D dxdy x y x y εμ⎡⎤∂∂∂=∇---⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （f ） 其中[]222222222()()()w w w w ww w dxdy dxdy x y x yx x y y x x y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎤⎡-=-⎥⎢∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 由格林定理[]](,)(,)(,)(,).P x y Q x y dxdy Q x y dx P x y dy x y∂∂⎡-=+⎣∂∂⎰⎰⎰得]]22222222(),w w ww ww w dxdy dx dy x y x y x x y x y ⎡∂∂∂∂∂∂∂⎡-=+⎢⎢∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎣⎰⎰⎰ 其中右边的积分是沿薄板的边界进行的。

本题中薄板全部边界条件都是夹支边，有0wx∂=∂ 式（f ）可以简化为22()2D V w dxdy ε=∇⎰⎰ （g ）按式（a ）求挠度w 对于坐标的二阶导数，得到2222222112224*sin ()2sin ()()C xy a y C a x y a y w x a a ππ-+-+-+∂=+∂ 2222222112224*sin ()2sin ()()C x a x y C x a x a y w y a a ππ-+-+-+∂=+∂得6244221176sin ()*221575a C D D V w dxdy επ=∇=⎰⎰从而 （h ）(i) 由式（h ）和(i)求出1C ，1 2.985C e =- 代入式（a ）,得2.988*()()sin sin x y w e x x a y y a a a ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意知薄板中心,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭处挠度最大，为 max 1.86256e m w =-2.差分法2.1用4*4网格求解4a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。

由于对称，只有3个独立的未知值，即123,,w w w ，取坐标如下所示一般来说，夹支边外一行虚结点就等于边界内一行相对 w在边线上按三次式变化，23()()()x x xA B C D h h h+++4为原点，则有边界条o64411**176sin 1575V D C a C επ∂=∂6221sin 144mqw dxdy a π=⎰⎰0322()0,()0,(),()x x x h x h ww w w w w x===-=-∂====∂求得22330,0,2,44w wA B C w D w ===-=- 从而得出232233(2)()()()44w w x x w w w h h=-+- 据此边界外虚结点,,,a b c 的挠度表达式分别为2332a w w w =- ； 1232b w w w =-；2332c w w w =- 为结点1,2,3建立差分方程如下：401234021322403213208(4)2(4)(),4208(2)2()()(),4208(2)222()(),4b c qa w w w Dqa w w w w w w D qa w w w w w D-+=-++++=-+++=带入得到4012340121322240232132208(4)2(4)(),4208(2)2()(3)(),24208(2)222(3)(),24qa w w w Dqw a w w w w w w D qw a w w w w w D -+=-++++-=-+++-= 整理得出关于w 的线性方程组矩阵如下：203288.52816216.528-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 12w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=12.60099611e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此得到该3个结点处的挠度为（单位m ）：1 2.1626w e =- ，2 1.3786w e =- ，30.8786w e =-其中最大挠度为max 1 2.1626w w e ==-2.2用8*8的网格求解8a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。

由于对称，取14 薄板为研究对象，建立如下坐标系，并标注结点如图所示同4*4网格差分法，边界外虚结点,,,,a b c d e 的挠度分别为：2332aww w =-；5832b w w w =-；61032cw w w=-； oY122334775568810109111213141112131415.a....bc ed ...10932d w w w =-；131532e w w w =- 为结点建立差分方程如下：40124340243412552527403257486111404521364853648208(4)2(4)4(),8208()2()2(),8208(2)2(22)2(),8208(22)2(2)22(),8208()qa w w w w Dqa w w w w w w w w w w w w Dq a w w w w w w w w w D qa w w w w w w w w Dw w w w w -++=-++++++++++=-+++++++=-++++++=-+++4027105212101540651048893134078311522104085710364899102()(),8208(22)2()22(),8208(2)2(22)2(),8208()2()(),8208(a b qa w w w w w w w w Dqa w w w w w w w w w D q a w w w w w w w w w D qa w w w w w w w w w w Dw w ++++++++=-+++++++=-+++++++=-++++++++=-+401068401086951057)2()22(),8208()2()().8d c qa w w w w Dq a w w w w w w w w w D+++=-+++++++= 整理得出关于w 的线性方程组矩阵如下：123456789100.1625626w w w w w e w w w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2032480000008258166010001820416284002164221620200038823828030022162004216018.504023160200218.5282418000002022316.5000038.518825-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦由此得到10个结点挠度如下(单位m )： 12345678910 2.0036,1.7946,1.2186,1.6096,1.0966,0.7546,0.4666,0.4226,0.1286,0.2986w e w e w e w e w e w e w e w e w e w e =-=-=-=-=-=-=-=-=-=- 其中最大挠度为1 2.0036w e =- 3有限元解法3.1建立一个三维实体正方形薄板，边长为1m ，厚度 0.015m δ= 3.1.1建模分网（3D 实体）3.1.2定义荷载及边界条件（四边夹支）3.1.2求解查看结果结果：方板中心处挠度最大，最大挠度为max 1.9606w e m=-3.2建立一个二维壳，边长为1m，厚度0.015mδ=，与三维实体条件一样，求解并查看结果如下结果：方板中心处挠度最大，最大挠度为max 2.0066w e m =-三种解法的解法比较：里茨法：边长为1a m = ，厚度0.015m δ= ，弹性模量205a E Gp = ，200.3,100/q N m μ==代入计算，薄板中心处挠度最大为max 1.86256e m w =-差分法：4*4网格：最大挠度为max 1 2.1626w w e m ==-8*8网格：最大挠度为max 1 2.0036w w e m ==- 差分法中两种不同网格密度之间的误差为 2.162 2.003*100%7.35%2.162η-== 有限元： 三维薄板：方板中心挠度最大，最大挠度为max 1.9606w e m =-二维壳： 方板中心处挠度最大，最大挠度为max 2.0066w e m =- 有限元中两种情况之间误差为 2.006 1.960*100% 4.6%2.006η-== 有限元中二维壳与差分法中8*8网格最为接近，误差为2.006 2.003*100%0.149%2.006η-==各种解法之间误差情况汇总如下表：件的初级应用，做了几天的作业几乎凝聚了一学期的内容，同时在学习的过程中，也认识到了很多不足之处，有些是和同学一起研究出来的结果，收获颇丰。