高中数学三维设计必修4：(十五)平面向量的实际背景及基本概念

(1) 在如图所示的坐标系中画出 AD ， DC ， CB ， AB .
(2) 求 B 地相对于 A 地的位移．
解： (1)向量 AD ， DC ， CB ， AB 如图所示．
(2) 由题意知 AD ＝ BC .
所以 AD 綊 BC， 则四边形 ABCD 为平行四边形．
所以 AB ＝ DC ，则 B 地相对于 A 地的位移为 “ 在北偏东 60° 的方向距 A 地 6 千米 ”． 层级二 应试能力达标
个．
5．已知向量 a， b 是两个非零向量， AO ， BO 分别是与 a，b 同方向的单位向量，则
下列各式正确的是 ( )
A． AO ＝ BO
B． AO ＝ BO 或 AO ＝－ BO
C． AO ＝ 1
D． | AO |＝ | BO |
解析： 选 D 由于 a 与 b 的方向不知，故 AO 与 BO 无法判断是否相等，故 A 、B 选
课时跟踪检测（十五） 平面向量的实际背景及基本概念
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是 ( )
A．向量 AB ∥ CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若 a＝ b， b＝ c，则 a＝ c
D ．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选 C 向量 AB ∥ CD 包含 AB 所在的直线与 CD 所在的直线平行和重合两种情
小相等，而方向不确定，因此不一定有
a∥ b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此
若 a 与 b 方向相反，则有 a∥ b；零向量与任意向量平行，所以若 |a|＝ 0 或 |b|＝ 0，则 a∥ b.
答案： ①③④
9.如图， O 是正方形 ABCD 的中心．
(1) 写出与向量 AB 相等的向量；
(2) 写出与 OA 的模相等的向量．
况，故 A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故
B 错； C 显然正确；共线
向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故
D Biblioteka Baidu．
2.如图，在圆 O 中，向量 OB ， OC ， AO 是 ( )
A ．有相同起点的向量 B．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量
解析： 选 C 由图可知 OB ， OC ， AO 是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故
选 C.
3．向量 AB 与向量 BC 共线，下列关于向量 AC 的说法中，正确的为 ( )
A．向量 AC 与向量 AB 一定同向
B．向量 AC ，向量 AB ，向量 BC 一定共线 C．向量 AC 与向量 BC 一定相等
1.如图所示，梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E ， F 分别在两腰 AD ，BC 上，EF 过点 P，且 EF ∥ AB，则下列等式成立的是 ( )
A． AD ＝ BC
B． AC ＝ BD
C． PE ＝ PF
D． EP ＝ PF
解析： 选 D 根据相等向量的定义，分析可得：
D ．以上说法都不正确
解析： 选 B 根据共线向量定义，可知 AB ， BC ， AC 这三个向量一定为共线向量，
故选 B.
4.如图，在 ?ABCD 中，点 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，图中与 AE
平行的向量有 ( )
A． 1个
B．2 个
C． 3个
D．4 个
解析： 选 C 根据向量的基本概念可知与 AE 平行的向量有 BE ， FD ， FC ，共 3
A 中， AD 与 BC 方向不同，故 AD ＝ BC 错误；
B 中， AC 与 BD 方向不同，故 AC ＝ BD 错误；
C 中， PE 与 PF 方向相反，故 PE ＝ PF 错误；
D 中， EP 与 PF 方向相同，且长度都等于线段 EF 长度的一半，故 EP ＝ PF 正确．
2．下列说法正确的是 ( )
________(填序号 )．
8．给出下列四个条件：① a＝ b；② |a|＝ |b|；③ a 与 b 方向相反；④ |a|＝ 0 或 |b|＝ 0.其中 能使 a∥ b 成立的条件是 ________(填序号 )．
解析： 若 a＝ b，则 a 与 b 大小相等且方向相同，所以 a∥ b；若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 的大
解： (1)与向量 AB 相等的向量是 DC .
(2) 与 OA 的模相等的向量有： OB ， OC ， OD ， BO ， CO ， DO ， AO .
10.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务， 先从 A 地向北偏东 30° 方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米 到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30°方向行驶 2 千米才到达 B 地．
是长度不相等，但方向相同或相反，所以
a 与 b 可能共线．
3．若 a 为任一非零向量， b 为单位向量，下列各式：
① |a|＞ |b|；② a∥ b；③ |a|＞ 0；④ |b|＝ ±1.
其中正确的是 ( )
A ．①④
B ．③
C ．③④
D ．②③
解析： 选 B a 为任一非零向量，所以 |a|＞ 0，故③正确；由向量、单位向量、平行向
A．若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c
B．终点相同的两个向量不共线
C．若 a≠ b，则 a 一定不与 b 共线
D．单位向量的长度为 1 解析： 选 D A 中，因为零向量与任意向量平行，若
b＝ 0，则 a 与 c 不一定平行． B
中，两向量终点相同，若夹角是 0° 或 180°，则共线． C 中，对于两个向量不相等，可能
项均错．又 AO 与 BO 均为单位向量．∴ | AO |＝ | BO |，故 C 错 D 对．
6．已知 | AB |＝ 1， | AC |＝ 2，若∠ ABC＝ 90°，则 | BC |＝ ________. 解析： 由勾股定理可知， BC＝ AC2－ AB2＝ 3，所以 | BC |＝ 3.
答案： 3 7．设 a0， b0 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 ① a0＝ b0；② a0＝－ b0；③ |a0|＋ |b0|＝ 2；④ a0∥ b0. 解析： 因为 a0， b0 是单位向量， |a0|＝ 1，|b0|＝ 1， 所以 |a0|＋ |b0|＝ 2. 答案： ③