高一数学不等式的解法2(教师版)
沪教版(上海)高中数学高一上册第二章2.2一元二次不等式的解法
（2）探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c>0的解集为M，ax2+bx+c<0的解集为N，那么 P∪M∪N=______________；
因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距
离叫做刹车距离。
{x | x 3或x 2}
{x | 1 17 x 1 17}
4
4
{x | x 1 17 或x 1 17 }
4
4
交流引导
考一考：
你也来构造一些一元二次不等式解一解！
solve(不等式，变量) 象
这样只含一个未知数，
我们来考察它与其所对的二次
下结论：注意结果要写成集合的形式
s=0. 下结论：注意结果要写成集合的形式
交流引导
动动手：solve(不等式，变量)
x2 10x 16 0 x2 10x 16 0 (x 2)(x 3) 0 (x 2)(x 3) 0
2x2 x 2 0 2x2 x 2 0
交流引导
想一想：
x2 10x 16 0 {x | 2 x 8}
你
x2 10x 16 0 {x | x 2 或x 8}
(2)4x2 4x 1 0 (3) 3x2 x 1 0
解一元二次不等式的步骤：
• 化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、 最高次的系数为正）；
• 考虑判别式：计算判别式的值，若值为正， 则求出相应方程的两根；
• 下结论：注意结果要写成集合的形式
体验反馈
1 、请构造一个不等式解集为{x|x>2或x<1} 的一元二次不等式.
2022高一必修第一册第2章一元二次不等式 教师版有答案
第2讲一元二次函数方程和不等式专题复习要点一不等关系与不等式不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.【例1】(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A.ab>acB.c(b－a)>0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0答案 C解析 因为c <a ，且ac <0，所以c <0，a >0. A 成立，因为c <b ，所以ac <ab ，即ab >ac . B 成立，因为b <a ，b －a <0，所以c (b －a )>0. C 不一定成立，当b ＝0时，cb 2<ab 2不成立. D 成立，因为c <a ，所以a －c >0，所以ac (a －c )<0. (2)已知2<a <3，－2<b <－1，求ab ，b 2a 的取值范围. 解 因为－2<b <－1，所以1<－b <2. 又因为2<a <3，所以2<－ab <6， 所以－6<ab <－2.因为－2<b <－1，所以1<b 2<4. 因为2<a <3，所以13<1a <12， 所以13<b 2a <2.【训练1】 已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab ，因为a >0，b >0，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )>0，即a 2b ＋b 2a >a ＋b .要点二 基本不等式的应用基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例2】 设a >0，b >0，2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值为________. 答案 8解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，b a ＝4a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12时等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为8.【训练2】 已知x >0，y >0，且x ＋3y ＝1，则x ＋yxy 的最小值是________. 答案 23＋4 解析x ＋y xy ＝1y ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x (x ＋3y )＝4＋3y x ＋xy ≥4＋23， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3y x ＝x y ，x ＋3y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12，y ＝3－36时取“＝”号.要点三 恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法：将参数分离转化为求解最值问题.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.【例3】 已知y ＝x 2＋mx －6，当1≤m ≤3时，y <0恒成立，那么实数x 的取值范围是________. 答案 －3＜x ＜－3＋332解析 ∵1≤m ≤3，y <0， ∴当m ＝3时，x 2＋3x －6<0， 由y ＝x 2＋3x －6<0， 得－3－332<x <－3＋332；当m ＝1时，x 2＋x －6<0， 由y ＝x 2＋x －6<0，得－3<x <2. ∴实数x 的取值范围为－3<x <－3＋332. 【训练3】 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，－1≤a ≤1恒成立的x 的取值范围.解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.设关于a 的一次函数为y ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为y >0，当－1≤a ≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则y ＝0，不符合题意，应舍去. (2)若x ≠3，则由一次函数的图象， 可得⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}.破解不等式“恒成立”“能成立”问题解决不等式恒成立、能成立问题，常常使用的方法为：判别式法、数形结合法、分离参数法，主参换位法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养. 类型一 “Δ”法解决恒成立问题【例1】 (1)已知不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若不等式－x 2＋2x ＋3≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当k ＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k ≠0时，令y ＝kx 2＋2kx －(k ＋2)，由y <0恒成立， ∴其图象都在x 轴的下方， 即开口向下，且与x 轴无交点. ∴⎩⎨⎧k <0，4k 2＋4k （k ＋2）<0， 解得－1<k <0.综上，实数k 的取值范围是{k |－1<k ≤0}. (2)原不等式可化为x 2－2x ＋a 2－3a －3≥0 ， ∵该不等式对任意实数x 恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a 2－3a －3)≤0，即a 2－3a －4≥0， 解得a ≤－1或a ≥4，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ≥4}. 类型二 数形结合法解决恒成立问题【例2】 已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x >2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值范围. 解 (1)∵m ＝1，∴f (x )＝x 2－x －2. ∴x 2－x －2≥0， 即(x －2)(x ＋1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥2.故f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}.(2)f (x )≥－1，即x 2－mx ＋2m －3≥0在x >2恒成立，①若m2≤2，即m≤4，则如图.只需f(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4满足题意；②若2m>2，即m>4，则如图.则需Δ＝m2－4(2m－3)≤0，即(m－2)(m－6)≤0，∴2≤m≤6.综上所述，m的取值范围为(－∞，6].类型三分离参数法解决恒成立问题【例3】“∀x<0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为() A.a≤2 2 B.a≤－22C.a≥2 2D.a≥－22答案A解析由∀x<0，x2＋ax＋2≥0可得a≤－x－2 x，因为－x－2x＝(－x)＋⎝⎛⎭⎪⎫－2x≥2（－x）×⎝⎛⎭⎪⎫－2x＝22，当且仅当－x＝－2 x，即x＝－2时等号成立，所以a≤2 2.类型四主参换位法解决恒成立问题【例4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.解设关于m的函数y ＝mx 2－mx －6＋m ＝(x 2－x ＋1)m －6. 由题意知y <0对1≤m ≤3恒成立. ∵x 2－x ＋1>0，∴y 是关于m 的一次函数，且在1≤m ≤3上随x 的增大而增大， ∴y <0对1≤m ≤3恒成立等价于y 的最大值小于0， 即(x 2－x ＋1)·3－6<0⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52.∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.类型五 转化为函数的最值解决能成立问题【例5】 若存在x ∈R ，使得4x ＋mx 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围.解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立， ∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2， ∴m 的取值范围为{m |m ≥－2}.尝试训练1.在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )，若任意x ∈R 使得(x －a )⊗(x ＋a )<1成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－12或a >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－12<a <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－32<a <12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－32或a >12 答案 B解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a <1， 即－x 2＋x ＋a 2－a －1<0在R 上恒成立， 所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)＝(2a －3)(2a ＋1)<0， 解得－12<a <32.2.已知不等式x 2－mx ＋4>0对任意的x >4恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.{m |m ≤5}B.{m |m <5}C.{m |m ≤4}D.{m |m <4}答案 A解析 若不等式x 2－mx ＋4>0对于任意的x >4恒成立， 则m <x ＋4x 对于任意的x >4恒成立， ∵当x >4时，x ＋4x ∈(5，＋∞)，∴m ≤5，即实数m 的取值范围是{m |m ≤5}.3.若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是( ) A.94<a <259 B.94<a ≤259 C.259<a <4916 D. 259<a ≤4916答案 B解析 原不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0， 由题意，知⎩⎨⎧Δ＝（－4）2－4（－a ＋4）＝4a >0，－a ＋4>0，解得0<a <4， 又原不等式的解集为12＋a <x <12－a， 且14<12＋a<12，则1，2为原不等式的整数解， 所以2<12－a ≤3，解得94<a ≤259.4.已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，则a 的取值范围是( ) A.{a |a ≥1} B.{a |－1≤a <4} C.{a |a ≥－1} D.{a |－1≤a ≤6}答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立， 等价于a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，a ≥t －2t 2在1≤t ≤3时恒成立， y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，则当t ＝1时，y max ＝－1，a ≥－1， 故a 的取值范围是{a |a ≥－1}.课后巩固测试(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A.ac >bd B.a －c >b －d C.a ＋c >b ＋d D.a d >b c答案 C解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 2.不等式1x <12的解集是( ) A.{x |x <2} B.{x |x >2} C.{x |0<x <2} D.{x |x <0或x >2} 答案 D解析 由1x <12，得1x －12＝2－x2x <0， 即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D.3.已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，则a ＋b 的值为( ) A.1B.－1C.0D.－2答案 C解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a ＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴a ＋b ＝0.4.若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1b B.ba >1 C.a 2<b 2 D.ab <a ＋b答案 D解析 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；ba <0，B 错； a 2＝b 2，C 错；ab <a ＋b ，D 正确.5.已知a >0，b >0，且满足a 3＋b4＝1，则ab 的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B解析 因为a >0，b >0，且满足a 3＋b4＝1， 所以1≥2a 3·b 4，化为ab ≤3，当且仅当a ＝32，b ＝2时取等号，则ab 的最大值是3.6.设实数1<a <2，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A.{x |3a <x <a 2＋2} B.{x |a 2＋2<x <3a } C.{x |3<x <4} D.{x |3<x <6}答案 B解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵1<a <2，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为{x |a 2＋2<x <3a }.故选B.7.已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 2a ＋1b ＝2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号.又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.8.若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( )A.{x |x <－2或x >1}B.{x |1<x <2}C.{x |x <－1或x >2}D.{x |－1<x <2} 答案 C解析 ∵不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0， 故ax ＋b x －2＝a （x ＋1）x －2>0，等价于(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.已知a >b >c ，下列不等关系不成立的是( )A.ac ＋b 2>ab ＋bcB.ab ＋bc >b 2＋acC.ac ＋bc >c 2＋abD.a 2＋bc >b 2＋ab 答案 ACD解析 对于A ，若ac ＋b 2>ab ＋bc ，则ac －bc >ab －b 2，即c (a －b )>b (a －b )，不成立；对于C ，若ac ＋bc >c 2＋ab ，则ac －c 2>ab －bc ，即c (a －c )>b (a －c )，不成立；对于D ，若a 2＋bc >b 2＋ab ，则a 2－ab >b 2－bc ，即a (a －b )>b (b －c )，若a ＝4，b ＝3，c ＝1，不成立.故选ACD.10.设a >b >1，c <0，给出下列四个结论正确的有( )A.c a >c bB.ac <bcC.a (b －c )>b (a －c )D.a c >b c答案 ABC解析 A.∵a >b >1，c <0，∴c a －c b ＝c （b －a ）ab>0， ∴c a >c b ，故正确；B.∵－c >0，∴a ·(－c )>b ·(－c )，∴－ac >－bc ，∴ac <bc ，故正确；C.∵a >b >1，∴a (b －c )－b (a －c )＝ab －ac －ab ＋bc ＝－c (a －b )>0，∴a (b －c )>b (a －c )，故正确；D.a c －b c ＝a －b c ，又a －b >0，c <0，所以a －b c <0，即a c <b c ，故错误.故答案为ABC.11.若a >0，b >0，与不等式－b <1x <a 不等价的是( )A.－1b <x <0或0<x <1aB.－1a <x <1bC.x <－1a 或x >1bD.x <－1b 或x >1a答案 ABC解析 若x >0，则不等式－b <1x <a 等价为1x <a ，即x >1a ，若x <0，则不等式－b <1x <a 等价为－b <1x ，即x <－1b .12.对于a >0，b >0，下列不等式中正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1bB.ab ≤a 2＋b 22C.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 答案 BCD解析 当a >0，b >0时，因为21a ＋1b≤ab ， 所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.不等式x 2－2x <0的解集为________.答案 {x |0<x <2}解析 不等式x 2－2x <0可化为x (x －2)<0，解得：0<x <2，∴不等式的解集为{x |0<x <2}.14.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.答案 5解析 二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时等号成立.15.一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________(第一空2分，第二空3分). 答案 18 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 解析 由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，故a b ＝18. 不等式ax ＋b <0即为2x －3<0，所以x <32.16.若关于x 的不等式x 2－mx ＋m ＋2>0对－2≤x ≤4恒成立，则m 的取值范围是________.答案 {m |2－23<m <2＋23}解析 设y ＝x 2－mx ＋m ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24＋m ＋2， ①当m 2≤－2，即m ≤－4时，当x ＝－2时，y 的最小值为4＋2m ＋m ＋2＝3m ＋6>0，m >－2，又m ≤－4，∴无解；②当－2<m 2<4，即－4<m <8时，当x ＝m 2时，y 的最小值为－m 24＋m ＋2>0， 解得2－23<m <2＋23，又－4<m <8，∴2－23<m <2＋23； ③当m 2≥4，即m ≥8时，当x ＝4时，y 的最小值为16－4m ＋m ＋2＝18－3m >0，∴m <6，又m ≥8，∴无解.综上，m 的取值范围为{m |2－23<m <2＋23}.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)当x >3时，求2x 2x －3的最小值. 解 ∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2（x －3）2＋12（x －3）＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22（x －3）·18x －3＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝18x －3， 即x ＝6时，上式等号成立，∴2x 2x －3的最小值为24. 18.(本小题满分12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式的解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.19.(本小题满分12分)某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h.根据题意，有118x ＋1180x 2≥40，移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.即(x －80)(x ＋90)≥0.故得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.20.(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立.证明 因为a ，b ，c 均为正数，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原不等式等号成立.21.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN 上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD 的学生公寓，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，假设AB 长度为x 米.(1)要使矩形学生公寓ABCD 的面积不小于144平方米，AB 的长度应在什么范围？(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？解(1)依题意知△NDC∽△NAM，所以DCAM＝NDNA，即x30＝20－AD20，则AD＝20－23x.故矩形ABCD的面积为S＝20x－2 3x 2.根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，即S＝20x－23x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.故AB的长度应在12米～18米内.(2)S＝20x－23x2＝23x(30－x)≤23⎝⎛⎭⎪⎫30－x＋x22＝150，当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.此时AD＝20－23x＝10.故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.22.(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)求证y1＝－a或y2＝－a；(2)求证函数的图象必与x轴有两个交点；(3)若y>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0)，解关于x的不等式cx2－bx＋a>0. (1)证明∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.(2)证明当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，∴图象与x轴有两个交点；当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，∴图象与x轴有两个交点.∴二次函数的图象必与x 轴有两个交点.(3)解 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x >m 或x <n }(n <m <0)， ∴a >0且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为m ，n ，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a ，∴m ＋n mn ＝－b c 且c >0，∴cx 2－bx ＋a >0即x 2－b c x ＋a c >0，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n mn x ＋1mn>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n >0. ∵n <m <0，∴－1n <－1m ，∴不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－1m 或x <－1n .。
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
高一数学一元二次不等式及其解法2
新知探究
例3、某摩托车生产企业，上年度投
入的成本为1万元/辆，出厂价为1.2 万元/辆，年销售量为1000辆.本年度 为适应市场需要，计划提高产品档次. 若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比 例为0.75x，同时预计销售量增加的 比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－ 投入成本)×年销售量.
高一数学必修5第三章《不等式》 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时
新知探究
例1、某同学要把自己的计算机接入 因特网，现有甲、乙两家公司可供选 择.甲公司每小时收费1.5元(不足1小 时按1小时计算)；乙公司的收费原则 为:上网的第一小时内(含1小时，下 同)收费1.7元，第二小时内收费1.6 元，以后每小时减少0.1元(若用户一 次上网超过17小时，按17小时计算).
2
新知探究
2.如何根据上网时间选择到甲、乙两 家公司上网？
35 x x 2 1.5 x x 5 x 0 0 x 5 20 答：一次上网时间在5小时以内，去甲公 司上网；超过5小时，去乙公司上 网； 恰好5小时，去两家公司均可.
2
典例讲评
例2 在一个限速40km/h的弯道上，甲、 乙两汽车相向而行，发现情况不对同时 刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距 离略超过10m，已知甲、乙两种车型的刹 车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如 下关系： ＝0.05x＋ S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙 0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 乙超速行驶应负主要责任.
课堂练习
2. 某台风中心从A处以20km/h的速 度向东北方向移动，离台风中心 30km以内(含30km)的地区为危险区. 城市B在A处的正东方向40km处，那 么城市B处于台风危险区内的持续时 间是几小时？ C 持续时间是1小不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
湖北省天台育青中学高一数学一元二次不等式及其解法教师版2
难点：含有字母的一元二次不等式；
教学过程设计
Байду номын сангаас修改与补充
一、复习引入：
练习1：解下列不等式：
（1） （2） （3）
练习2：求函数 的定义域。
二、新课讲解
探究1：求不等式 的解集。
课内练习1：求不等式 的解集。
课内练习2： 的解集是 ，求 的解集
探究2：已知关于 的不等式 的解集是 ，求 的解集。
天台育青中学集体备课专用纸
高一年级数学备课组执笔人：许珊珊研讨时间：2007年3月23日
成员：王英选、王启明、胡锦彩、庞永江、陈伟强、许珊珊
课题
一元二次不等式的简单应用
第2课时总3课时
三维目标
1、会熟练的解一元二次不等式；
2、掌握利用解不等式求解已知函数的定义域；
3、会解含有字母的一元二次不等式；
重点难点
5、不等式 的解集。
6、求下列函数定义域：
（1） （2）
7、已知集合
集体研讨：
教学反思：
备注：
备课组长签字：年月日
课内练习：二次函数 与 轴恒有两个交点，求 的取值范围。
探究3：不等式 对任意 都成立，求 的取值范围。
课外练习：
1、不等式 的解集是（）
A. B. C. D.
2、不等式 的解集是 ，则 等于（）
A. B.14 C. D.10
3、二次不等式 的解集是全体实数的条件是（）
A. B. C. D.
4、解不等式组：
高一数学第一章(第9课时)绝对值不等式的解法(二)
绝对值不等式的解法（二）教学目的：（1）巩固c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；（2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式 教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题 教学过程：一、复习引入： 不等式)0(><a a x 的解集是： 不等式)0(>>a a x 的解集是： 不等式)0(><+c c b ax 的解集为： 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为：二、讲解范例：例1 解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.练习：解不等式:7522≤-<x例2 解不等式：|4x-3|>2x+1.练习：解不等式：1>x-x234-例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4.三、小结：对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.五、作业:1 不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解为( )A.0B.-1C.1D. 22.不等式|3x+2|>|2x+3|的解集是3．不等式333>--+x x 的解集是 4 已知集合A=｛x|2<|6-2x|<5,x ∈N ｝,求A.5解不等式（1）143-<-x x （2）7523>--+x x。
绝对值不等式(二)教师版
3.5 绝对值不等式（二）学习目标：1．会利用绝对值的几何意义来证明不等式．2．掌握|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的求解及证明． 基础知识：1．(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为________、________及不等式的性质． (2)绝对值不等式的解法(同解性)①|x |＜a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ②|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ＝，a【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)|x |＜3； (2)|x |＞4．2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法：先化为_______________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法：先化为________________________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．【做一做2－1】不等式|x ＋4|＞9的解集是__________．3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 解法一：可以利用绝对值的________．(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“____”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的____，进而去掉__________．(简称零点区间法)解法三：可以通过________，利用________，得到不等式的解集．(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉__________，把它转化为一个或几个普通______或________(即不含绝对值符号)．答案：1．(1)绝对值的定义 几何意义 (2)①－a ＜x ＜a 无解 ②x ＜－a 或x ＞a x ≠0 x ∈R 【做一做1】解：(1)∵3＞0，∴－3＜x ＜3． (2)∵4＞0，∴x ＞4或x ＜－4．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】{x |x ＜－13或x ＞5} 由原不等式，得x ＋4＞9或x ＋4＜－9， 解得x ＞5或x ＜－13．3．几何意义 零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数图像 绝对值符号 不等式 不等式组典型例题题型一|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 【例1】解不等式2＜|2x －5|≤7．解：解法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －5|>2，|2x －5|≤7，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>2或2x －5<－2，－7≤2x －5≤7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >72或x <32，－1≤x ≤6.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6．解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集．原不等式可化为(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5≥0，2<2x －5≤7，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －5<0，2<5－2x ≤7. 解不等式组(1)，得72＜x ≤6．解不等式组(2)，得－1≤x ＜32．∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6．【做一做2－2】不等式|2x ＋1|＞x ＋1的解集为__________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >0题型二 |x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法 【例2】解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5．解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，那么A ，B 两点的距离是3，因此区间[－2,1]上的数都不是原不等式的解．为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点A ，B 的距离之和为5的点．将点A 向左移动1个单位到点A 1，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝5；同理，将点B 向右移动1个单位到点B 1，这时也有|B 1A |＋|B 1B |＝5．从数轴上可以看到，点A 1与B 1之间的任何点到点A ，B 的距离之和都小于5；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到点A ，B 的距离之和都大于5．所以，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 解法二：(零点分区间法)(1)当x ≤－2时，原不等式可以化为－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是(－∞，－3]．(2)当－2＜x ＜1时，原不等式可以化为－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，矛盾．所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为．(3)当x ≥1时，原不等式可以化为(x －1)＋(x ＋2)≥5，解得x ≥2，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是[2，＋∞)．综上所述，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法三：(图像法)将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．构造函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|－5，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是－3,2．从图像可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，有y ≥0，即|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．所以原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 【做一做3】解不等式|2x －5|－|x ＋1|＜2．解：令2x －5＝0，得x ＝52．令x ＋1＝0，得x ＝－1．(1)当x ≤－1时，原不等式等价于－(2x －5)＋(x ＋1)＜2，即－x ＋6＜2，即x ＞4，无解．(2)当－1＜x ＜52时，原不等式等价于－(2x －5)－(x ＋1)＜2，即－3x ＋4＜2，即x ＞23．∴23＜x ＜52．(3)当x ≥52时，原不等式等价于(2x －5)－(x ＋1)＜2，即x －6＜2，即x ＜8．∴52≤x ＜8．综上，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <8．题型三 |x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法【例3】求关于x 的不等式|x ＋4|＋|x －2|≤6的解集． 答案：原不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}．随堂练习：1下列不等式中，解集为R 的是( )． A ．|x ＋2|＞1 B ．|x ＋2|＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞0 2不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x ＞x 2－x的解集是( )．A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞2} 3不等式|x ＋3|＜4的解集是( )．A ．(－7,1)B ．(1,7)C ．(－4,1)D ．(－3,1) 4不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集是__________． 答案：1．C 根据a 2≥0，知(x －78)2＞－1在R 内恒成立． 2．B 由已知，得x2－x＜0，解得x ＜0或x ＞2．故选B ．3．A |x ＋3|＜4⇔－4＜x ＋3＜4⇔－7＜x ＜1．4．{x |x ≥1} |x ＋3|－|x －2|≥3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3.∴x ∈或1≤x ＜2或x ≥2．∴不等式的解集为{x |x ≥1}．3.5 绝对值不等式（二）课后作业 姓名1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x |x <－4或x >2} B ．{x |－4<x <2} C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：|x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2. 答案：A2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x ≠－3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜32 解析：原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x ≠－3.答案：C3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3) C ．(－4,1)D.⎝⎛⎭⎫－32，72 解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．答案：C4．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜0或1≤x ≤32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12＜x ≤0或1≤x ≤32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x ≤0或1≤x <32 解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.答案：D5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔ －x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解． 法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解：(1)当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝1－x ＋2－3x ＝3－4x ，由3－4x ＞3得x ＜0.(2)当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3得x ＞2，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3得x ＞32，∴x ＞32.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜0或x ＞32. 9．已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅，分别求出m 的范围． [解] 法一：因|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差．即|x ＋2|－|x ＋3|＝|P A |－|PB |. 由图像知(|P A |－|PB |)max ＝1， (|P A |－|PB |)min ＝－1. 即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m <1，m 的范围为(－∞，1)． (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的范围为[1，＋∞)．法二：由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，|x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1， 可得－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m ∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为R ，则m ∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m ∈[1，＋∞)．10．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.综上可得，解集为{x|x≤1或x≥3}．(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍)，∴a的取值范围是[5，＋∞)．。
高一数学一元二次不等式及其解法2
甲：1.5x元； 乙: 1.7 (1.7 0.1) (1.7 0.1 2)
(1.7 0.1 2) [1.7 0.1 (x 1)]
35x x2 元. 20
课堂练习
2. 某台风中心从A处以20km/h的速 度向东北方向移动，离台风中心 30km以内(含30km)的地区为危险区. 城市B在A处的正东方向40km处，那 么城市B处于台风危险区内的持续时 间是几小时？
C 持续时间是1小时.
A
B
课堂小结
1.解决一元二次不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
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僻の姓氏.好似只有岭南几带才有此姓.那虬须汉子继续说道.我记起来了.有几次我听得她の侍女唤她作褚姑娘.想是这小子糊里糊涂.粑几个‘赫’字听漏了.芜湖女子冷冷说道.褚.哎.这可是个胡姓啊！ 陈柯及呆了几呆.满面怒存.大声说道.姓褚也好.姓连也好.她总是梁国の御犯.与梁虏 作对の我辈中人！芜湖女子道.哦.她怎么与梁虏作对. 陈柯及道.她上月在梁国京都.杀了梁国の四名将领.后来又在密云杀了梁国の两个禁卫军将领和几个蒙古使者.芜湖女子道.那两名将领.是被派去迎接蒙古来の使者の.可对.陈柯及诧道.原来你都已知道了.你既然知道.那么连姑娘是哪 几种人.你还有猜疑么.我看你书房里桂有南晋状元张于湖写の六州歌头.想来你也是抗梁の女英雄.何以你容不下志同道合の连姑娘.却务必要将她置于死地. 芜湖女子笑着说.这也是玉面妖狐告诉你の吗.陈柯及道. 不错.难道也是假の.芜湖女子道.瑚儿.你来说说这几件事. 瑚儿说道.上月 我奉了小姐之命.打听那蒙古使者の行踪.梁国派了两个禁卫军将领迎接使者.我在密云缀上了它们. 那晚我偷偷进了使者の行署.打听它们の秘密.我躲在梁上.还未到几盏茶の工夫.忽听得似是有人在耳边悄悄说道. ‘小姑娘小心了.有鼠子要来咬你！’我吃了几惊.四顾无人.就在这时.那 蒙古使者蓦地几声喝道.‘下来！’ 这使者の劈空掌好不厉害.幸而我早得高人提醒.及时将身子挪开了两尺.只听得‘喀喇’の几卢响.那条横梁.竟然之间折断.就如给刀斩斧劈几般.要不是我早已避开.绝难抵挡它这股掌力！ 陈柯及听得骇然.想道.这侍女懂得沾衣十八跌の上乘功夫.还抵 挡不了这股劈空掌力.那蒙古使者の功为之高.岂非不可想象. 瑚儿接着说道.眼看我の行藏就要败露.忽听得有人哈哈大笑.‘我就在这里.你们都瞎了眼吗.’房子里突然多了几个人.也不知它是从哪儿冒出来の. 那是个书生模样の中年人.双眼朝天.站在房子之间.面向着那蒙古使者哈哈大 笑.这几下.登时把它们の注意都吸引过去. 那蒙古使者喝问.‘你是谁.’那书生笑着说.‘我是催命阎罗！’那蒙古使者几掌劈去.两人距离几尺.那书生正面抵挡这股猛烈の劈空掌力.衣角都未曾飘起.倒是那蒙古使者摇摇欲坠.哇の就是几口鲜血喷了出来. 这几来.那两个禁卫军将领也都 慌了.各自亮出兵器.就向那书生斫去.这两个将领の武艺也好生了得.身手矫捷之极.其中几个使刀.几招七式.瞬息之间.就斩了十几刀.用了九十几个式子；另几个使判官笔の.几笔横拖.便连点那书生の带脉八处大穴！ 陈柯及心道.这侍女也好生眼利.竟然在那瞬息之间.看得这样清楚.芜湖 女子微笑着说.这么说.在江湖上也算得是二流顶の高手了. 瑚儿继续说道.它们快.那书生更快.它们狠.那书生更狠！呀.我跟小姐出道以来.也曾见过几次大阵仗.却从未曾有几这样惊心动魄の.那书生出手之重.出手之快.简直是匪夷所思.使刀の那个.斩到第十几刀.就给那书生挟手将它の 单刀夺去.转眼另几个将领の判官笔也给它打落了.那书生刀劈两将领.掌毙了蒙古使者.前后只不过是喝两口茶の时间！ 们其中の凶险.却是难以形容.令人毕生难忘1芜湖女子好胜心起.忽地问道.你说得这样厉害.那么伙你看来.我比它如何.你不必奉承我.实话实说吧. 瑚儿答道.小姐功夫 精深博大.婢子虽服侍多年.常蒙指点.却实是未窥藩篱；那书生来去如风.杀人如草.本领也是深不可测.婢子有多大道行.怎敢妄自谈论.这番话答得甚是得体.但她将那个书生与芜湖女子相提并论.显然在她の心目之中.那书生の功夫绝不在她の小姐之下. 芜湖女子笑着说.我自出江湖以来. 从未遏过对手.实在乏味得很.听你这么说.这书生算得是当世能人.我倒想会它几会了.后来怎么样. 瑚儿说道.后来我就向它道谢.并请它留下姓名.它仰天大笑.朗声吟道.‘昂头天外笑.湖海几书生.但识狂歌客.何须问姓名.’狂歌大笑声中.转眼就不见了它の踪迹！ 芜湖女子忽地拍掌叫道. 我知道了.这书生定是‘傲视天下’狂侠华古涵. 瑚儿诧道.它绰号‘傲视天下’.这绰号确实是狂得很．足当‘狂侠’之名.但我以前怎の从未听过这个名字.它是什么来历. 芜湖女子笑着说.本领越高の人.它の名字越是不易为人所知.这书生游戏风尘、如神龙之见首不见尾.等闲之辈.焉能 知道它の来历.我也是不久之前.才知道有这么几个人の.当时我听得那位前辈说它の奇行异事.心里还不怎么相信；但如今听你所说.你已在密云目睹其人.亲眼见到它の本领了.这就不由我不相信了.嗯.怪异呀怪异！瑚儿莫名其妙.不懂她小姐连说这两声怪异是什么意思.她心里倒也是怪异 得很.暗自想道.小姐待我.有如姐妹.她既然早已知道有狂侠此人.何以却从未向我道及.上次我在密云归来.将经过禀告了她.虽没今天说得仔细.但也道及了那书生の卓绝功夫.何以当时小姐又没有说出是它.瑚儿心底里疑惑不已.但究竟是婢女身份.虽有所疑.却不敢多问. 但那瑚儿の怀疑却 还不如陈柯及之甚.陈柯及不但是怀疑.简直是惶惑了.心里想道.这丫头所说.如果不是编造出来の谎话.那就是连姐姐欺骗我了.她为什么要掠人
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.3 分式不等式解法教案
分式不等式解法（一）教学内容分析：分式不等式解法是一元二次不等式解法学习的沿用，主要依据是不等式的性质，将它们转化为解一元二次不等式，然后再求它们的解集，它是一元二次不等式解法的下沿。
（二）教学目标：1. 知识与技能：1)掌握分式不等式转化整式不等式；2)理解不等式的等价性。
2. 过程与方法：1)经历从特殊到一般的解题过程；2)体会数学转化思想，学会分式不等式向整式不等式（或整式不等式组）转化。
3. 情感、态度、价值观：1)通过学生自己探索，增强学生数学学习的成功心理，培养勇于探索的精神，激发学习数学的兴趣；2)在运用类比思想解决问题中克服知识的负迁移。
（三）教学重难点：1. 重点：简单的分式不等式解法2. 难点：分式不等式向整式不等式的转化（四）课堂教学设计：1. 课堂教学方式：教师指导下的学生自主学习。
学生自主学习是指教师启发学生利用不等式性质进行分式不等式解法的学习。
2. 亮点：在求解分式不等式解集时，编口诀：“右化零；左化正；商化积；想分母”有助于学生记忆，提高学习效率。
3. 反思：涉及分式不等式的实际问题相对比较少。
（五）教学过程：1. 新课引入：某船从甲地沿河逆行到乙地。
已知甲乙两地相距84公里，假设水流速度为4千米/小时。
要在2小时内完成整个航线任务，则船速至少需要多少千米/小时？分析：设船速至少需要x 千米/小时（x > 4），整个航程要控制在2小时内，则可列出不等式：8424x <- 这个不等式叫做什么不等式？又如何去求它的解集？这类称为分式不等式。
问题一:解不等式 (1)0312>+-x x (2)0312≤-+x x (1)解:⎩⎨⎧>+>-03012x x 或⎩⎨⎧<+<-03012x x 21>∴x 或3-<x 另解: ()()0312>+-x x 21>∴x 或3-<x (2)解:⎩⎨⎧≠-≤-+030)3)(12(x x x 321<≤-∴x 小结：（1）0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ； （2）0)()(<x g x f ⇔0)()(<x g x f ；（3）0)()(≥x g x f ⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ； （4）0)()(≤x g x f ⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f注意：（1）分式不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应是不等式的等价变形。
4.不等式性质及解不等式(教师版) WPS文字 文档
不等关系性质及解不等式学习目标：① 不等式的性质② 解一元二次不等式、分式不等式绝对值不等式一、基础知识1.实数大小比较的基本事实：(1) a>b ⇔_______; (2) a=b ⇔_______ ; (3) a<b ⇔_______. 要确定任意两个实数a,b 的大小关系，只需确定它们的________与_____的大小关系即可。
2.不等式的基本性质：(1）对称性a>b ⇔b___a; （2）传递性：a>b,b>c ⇒a____c;（3）a>b, ⇒a+c____b+c; （4）a>b,c>0⇒ac___bc;（5）a>b,c<0⇒ac___bc; （6）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈);（7）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈)（8）a>b,c>d ⇒a+c____b+d;(9) a>b>0,c>d>0⇒ac____bd;(10)a>b,ab>0⇒a 1___b1.3.一元二次不等式的解法：（a>o 且0>∆时，简记为：小在中间，大在两边）设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=∆，则△>0△=0△<0f(x)>0f(x)<0判别式函数y=f(x)的简图不等式的解集方程f(x)=0的解4．高次不等式和分式不等式的解法----穿根法穿根法的要领是：从右往左，从上到下，奇次根穿而过，偶次根穿而不过。
5.含有绝对值的不等式的解法：a x a )0a (a x <<-⇔><， 图示：___________ax a x )0a (a x >-<⇔>>或. 图示：___________ 6.几种常见类型的不等式的解法---图解法：（1）|ax+b|≤c ;（2）|ax+b|≥c;注意：（1）x 系数必须化为1；（2）差的绝对值才可以看作是两点的距离简记为：小在中间，大在两边二、题型归类（一）不等式的基本性质a 、比较大小（作差、作商比较法）1、 已知x y R ∈，，且x y >，比较33x y -与22xy x y -的大小。
高一数学上册 第2章 不等式 2.2 一元二次不等式的解法 2.2.3 不等式的应用-二次方程根的分布课件 沪教版
(((342))) m若x2ax22mxbx,1,c0恒是0成x2立1,(则2xkm21,)x 4 2k 0
的则根cx,2则 bxk a 0
(3) mx2 mx 1 0恒成立,则 m
不等式的实际应用 ①找不等关系 ②设元，列不等式（组）
③解不等式（组），写答
p37
不等式的应用----二次方程根的分布
• 一、一元二次方程根的基本分布： • ax2+bx+c=0(a≠0) • 1、有一正根、有一负根的充要条件是： • 2、有两个正根的充要条件是： • 3、有两个负根的充要条件是：
• 例1、 • 1)、若一元二次方程 • x2-ax+a2-4=0有两个正根， • 求a的取值范围。
• 2）若一元二次方程x2+(m-2)x+5-m=0的两 根都是负数，求m的取值范围。
补充练习
已知集合A {x | x2 5x 4 0}, B {x | x2 2ax a 2 0, a R} 且B A,求a的取值范围.
• 若有一个正根和一个负根呢？ • 至少有一个正根
二、一元二次方程区间根分布
• 例2、若一元二次方程3x2-5x+a=0的一根大 于-2而小于0，另一个根大于1而小于3，试 求a的取值范围。
• 例3、若一元二次方程x2+2mx+2m+1=0 • 的两个根 • 1）均在区间（0，1）内，求m的范围。 • 2）均比1大 • 3）均比1小 • 4）若一元二次方程kx2+3kx+k-3=0呢？
解关于x的不等式 x2-5ax+6a2>0
2x2+kx-k>0 ax2-2ax+a+3≤0
一元二次不等式及其解法(第2课时)高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
C．
D．
Δ>0
Δ<0
答案：B
解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，则需满足
a>0
Δ < 0.
4．若不等式x2－ax＋1＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围
(－2，2)
是________．
解析：因为不等式x2－ax＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2，即实数a的取值范围是(－2，2)．
C．{x|x>1} D．{x|x>0}
答案：B
1
1
1−x
解析：依题意 >1⇒ －1>0⇒ >0⇔x(1－x)>0⇔x(x－1)<0⇔0<x<1，所以原不
x
x
x
等式的解集为{x|0<x<1}．
3．关于x的一元二次不等式ax2 ＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是
(
)
a>0
a>0
A．
B．
Δ>0
Δ<0
a<0
要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
x+6
(1)不等式 ≥0的解集为( C
1−x
跟踪训练1
)
A．{x|－6≤x≤1}
B．{x|x≥1或x≤－6}
C．{x|－6≤x＜1}
D．{x|x＞1或x≤－6}
x+1
{x|x<2或x≥5}
(2)不等式 ≤2的解集为___________．
6
6
6
∵函数y＝ 2
＝ 1 2 3在1≤x≤3时的最小值为 .
一元一次不等式的解法(教师版)
一元一次不等式的解法（基础)知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2。
能够熟练解一元一次不等式；3。
掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜"、“≤”、“≥”或“＞”连接,不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接,等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1。
解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式,解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;（2)去括号；(3）移项；（4）化为ax b >(或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释：(1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时,若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以(或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1。
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法(1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x —2≤6的解集为x ≤8．（2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点":若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言,x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？(1)3x+5＝0 （2)2x+3＞5 （3)384x < （4)1x≥2 (5）2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,（1）是等式;(4)不等式的左边不是整式；（5)含有两个未知数．【答案与解析】解：（2）、(3）是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解:去括号，得:23x 32x 2-+<-移项、合并同类项，得:3x <-系数化1得:3x ->这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以（或除以）负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ）.【答案】C 。
高中数学不等式知识点总结教师版
/ 12 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）abba（对称性） （2）cacbba,（传递性） （3）cbcaba（加法单调性） （4）dbcadcba,（同向不等式相加） （5）dbcadcba,（异向不等式相减） （6）bcaccba0,. （7）bcaccba0,（乘法单调性） （8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘） (9)0,0ababcdcd（异向不等式相除） 11(10),0ababab（倒数关系） （11）)1,(0nZnbabann且（平方法则） （12）)1,(0nZnbabann且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2aaRa则若 （2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 .2abab（当仅当a=b时取等号） 极值定理：若,,,,xyRxySxyP则： ○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
人教版高中数学必修一一元二次不等式的解法-课件
例 2.解下列不等式.
（1）x 3 0；（2）1 2x 0 ；（3）2x 1 1；（4）x4 2x2 8 0 .
பைடு நூலகம்
x7
x4
x2
例 2.解下列不等式.
（1）x 3 0；（2）1 2x 0 ；（3）2x 1 1；（4）x4 2x2 8 0 .
例 1.解一元二次不等式. （1） 2x2 3x 2 0 ；（2） 3x2 6x 2 ； （3） 4x2 4x 1 0 ；（4） x2 2x 3 0 .
解析：（3） 4x2 4x 1 0 (2x 1)2 0 {x | x 1} 2
例 1.解一元二次不等式. （1） 2x2 3x 2 0 ；（2） 3x2 6x 2 ； （3） 4x2 4x 1 0 ；（4） x2 2x 3 0 .
1 2
,
例 2.解下列不等式.
（1） x 3 0 ；（2）1 2x 0 ；（3） 2x 1 1；（4） x4 2x2 8 0 .
x7
x4
x2
解析：（3）
2x 1 x2
1
(2x (x
1)(x 2)2
2)
1
x (2x
2
1)(x
2)
(x
2)2
x 2 (x 2)(
x
3)
0
, 3
此时 ax2 bx c 0 为 a x x1 x x2 0 ，
则
x x
x1 x2
0 0
或
x x
x1 x2
0， 0
即
x x
x1 x2
或
x
x
x1 x2
，
所以, x1 x2,
高一数学不等式的解法(二)
年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题不等式的解法（二）教学目的 1、复习回顾一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法教学内容【知识梳理】问题思考：1、 一元二次不等式的解法步骤是什么？2、 解分式不等式的时候应该注意哪些问题？3、 解绝对值不等式的时候，我们常用的有几种去绝对值的符号？1、一元二次不等式的解法：求200)bx c a ++>>ax （的解集，还可以用配方法以及考察200)bx c a ++>>ax （函数图形的方法来解不等式0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象 c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程20ax bx c ++= ()0a >的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2、解分式不等式时，切忌随意去分母。
正确的解法是通过讨论决定分母的正负号后，利用不等式的基本性质，将原不等式化为几个不等式组，或先通过移项将不等式的一边变为零后，再通分找到原不等式的等价不等式（组）。
3、绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①分段讨论；②两边平方法；③转化方法。
【典型例题分析】例1、不等式|x+2|≥|x|的解集是 . 【答案】｛x| x ≥-1｝变式训练1：条件p:|x －2|>2－x ；条件q:x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 . 【答案】2<a变式训练2：不等式|3x －2|>4的解集是 （ ）。
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学科教师辅导讲义
年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数： 课 题
不等式的解法（二）
教学目的 1、复习回顾一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法
教学内容
【知识梳理】
问题思考：
1、 一元二次不等式的解法步骤是什么？
2、 解分式不等式的时候应该注意哪些问题？
3、 解绝对值不等式的时候，我们常用的有几种去绝对值的符号？
1、一元二次不等式的解法：求200)bx c a ++>>ax （
的解集，还可以用配方法以及考察2
00)bx c a ++>>ax （函数图形的方法来解不等式
0>∆
0=∆ 0<∆
二次函数
c
bx ax y ++=2（0>a ）的
图象 c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
20ax bx c ++= ()0a >的根
有两相异实根)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-
== 无实根
的解集
)0(02>>++a c bx ax {}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R 的解集
)0(02><++a c bx ax {}21
x x x
x <<
∅
∅
2、解分式不等式时，切忌随意去分母。
正确的解法是通过讨论决定分母的正负号后，利用不等式的基本性质，将原
不等式化为几个不等式组，或先通过移项将不等式的一边变为零后，再通分找到原不等式的等价不等式（组）。
3、绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①分段讨论；②两边平方法；③转化方法。
【典型例题分析】。