导数双变量问题分类整理

导数双变量问题分类整理

【例】(2018全国卷Ⅰ)已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：

1212

()()

2-<--f x f x a x x ．

【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，222

11

()1a x ax f x x x x

-+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．

（ii ）若2a >，令()0f x '=

得，2a x -=

或2a x +=．

当2()a a x

+∈+∞

时，()0f x '<； 当(

22

a a x -+∈

时，()0f x '>． 所以()f x

在

)+∞单调递减，在单调递增． (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．

由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于

121212212121212

22

()()ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1

()2ln g x x x x

=-+，由(1)知，()

g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． 所以

2221

2ln 0x x x -+<，即1212

()()2f x f x a x x -<--．

【例】(2018浙江)

已知函数()ln f x x =．

(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；

(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 【解析】(1)函数()f x

的导函数1()f x x '=

-，由12()()f x f x ''=

12

11x x -=-， 因为12x x ≠

12

+=

= 因为12x x ≠，所以12256x x >

．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．

设()ln g x x =

，则1()4)4g x x

'=， 所以

所以()g x 在[256,)

+∞上单调递增，故12()(256)

88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． (2)令(||)a k m e -+=，2

||1(

)1a n k

+=+，则()||0f m km a a k k a -->+--≥， (

)))0a f n kn a n k n k

n --<---<≤，所以，存在0(,)x m n ∈

使00()f x kx a =+， 所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．

由

()f x kx a =+得k =

设()h x =则22

ln 1()12()x a

g x a h x x x -+--+'==，

其中()ln g x x =

-．由(1)可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a -≤， 故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤，

所以()0h x '≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根． 综上，当34ln 2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 【例】(2018天津)已知函数()x

f x a =，()lo

g a g x x =，其中1a >．

(1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；

(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明

122ln ln ()ln a

x g x a

+=-

； (3)证明当1e

e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y

f x =的切线，也是曲线()y

g x =的切线． 【解析】(1)由已知，()ln x

h x a x a =-，有()ln ln x

h x a a a '=-．令()0h x '=，解得0x =．

由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：

所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞．

(2)证明：由()ln x

f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a ．由

1

()ln g x x a

'=

，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a ．因为这两条切线平行，

故有121ln ln x

a a x a

=

，即122(ln )1x

x a a =．两边取以a 为底的对数，得21log 2log ln 0a a x x a ++=，

所以122ln ln ()ln a

x g x a

+=-

． (3)证明：曲线()y f x =在点11(,)x

x a 处的切线1l ：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-．

曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线2l ：2221

log ()ln a y x x x x a

-=

⋅-． 要证明当1e

e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y

f x =的切线，也是曲线()y

g x =的切线，只需证明当1e

e a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合．

即只需证明当1e e a ≥时，方程组1

112

12

1ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩

①②

有解，