第9章湍流边界层中的传热

第九章 湍流边界层中的传热

在层流边界层的处理中，只要粘性耗散项可以忽略不计，则能量方程就有着与动量方程相同的数学形式。这时，能量方程的解可直接引用动量方程的解。

在湍流边界层的处理中，我们已经有了动量方程的解。仿层流边界层中能量方程的解法，我们似乎也可以走直接引用湍流动量方程的解的解决途径。

与湍流动量方程一样，湍流能量方程中也有着类似的“封闭”问题。我们可以提出一种模型，以解决湍流能量方程存在着的“封闭”问题的过程中；我们也可以直接引用湍流动量方程解决封闭问题的结论，考察湍流能量方程的类似结论与湍流动量结论之间的关系。本章中的雷诺比拟就属于后一种处理方法。

§9.1湍流边界层能量方程的求解 §9.1.1动量-能量方程的比较

在定常、恒定自由流、全部流体物性处理成常数、忽略体积力和粘性耗散项可以忽略的情况下，湍流动量方程可以表为，

0''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v u y u y y u v x u u

ρμ 湍流能量方程可以表为，

0''=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v t y t c k y y t v x t u

ρ 以上表示湍流边界层中的动量方程和能量方程在数学表述上具有类似的形式。

§9.1.2 雷诺比拟

在求解湍流动量方程“封闭”问题时，引入了普朗克混合长度理论，以计算'

'v u ，

y u l

u ∂∂='最大 和 y

u kl v ∂∂='

最大

2

2'

'''22

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂=⋅=

y u l k v u v u 最大

最大 混合长度定义式如下，

2

2''⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-=y u l v u

并且有，

y l κ=

在求解湍流能量方程的“封闭”问题时，我们也可以引入一种计算'

'v t 的理论。 鉴于动量方程和能量方程在数学表述上具有相似性，我们还可以探索'

'v t 与'

'v u 之间是否存在着一种简单的关系，如果能够找到两者之间所存在的关系，就可以直接引用动量方程求解的结论。

①因y 方向上脉动速度'

v 的存在而引起的有效剪切应力和有效热通量的计算： 动量：()

()v u G G V G y x ++=⋅

对于湍流情况，应当是：()()

'''

''

'v u G G V G y x ++=⋅

鉴于脉动速度的随机性，必须考虑其有效值：()()v u G G V G y x δδδδδδ++=⋅

通过平行于主流方向的某面积为A 的x 方向上脉动动量传递率的有效值为：(

)

A u G y δδ⋅

其中：2

'v C v G y ρδρδ=⋅=

对u δ，则引用普朗特混合长度理论：dy

u d l u ≈δ 于是，面积A 上的剪切应力为：dy

u

d l

v C u v C A F t ρδρτ⋅=⋅==2'2' 热量：

通过平行于主流方向的面积为A 的由'

v 脉动引发的有效热通量为：

()()A t c G A i G

y y

δδδδ⋅=⋅

对t δ，如果也引用普朗特混合长度理论，则有：dy

t

d l

t ≈δ 于是，单位面积上的有效热通量为：dy

t d cl v C A Q q t ρ2'"

==

对比：将动量和能量的表述整理成扩散率形式，

dy u d dy u d l v C M t ερτ=⋅=2

' dy

t d dy t d l v C c q H t ερ=⋅=2'" 于是有：H M εε=

上式表明，关于动量和热量的两种湍流扩散率相等，这就是雷诺比拟。

§9.2热边界层的壁面定律——湍流能量方程的解 §9.2.1雷诺比拟存在的条件 仿照对湍流动量方程，

0''=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v u y u y y u v x u u

ρμ 作如下改动，

0=∂∂-∂∂+∂∂y y u v x u u

τρρ 其中：''v u y

u

-∂∂=ρμρτ 对湍流能量方程，

0''=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v t y t c k y y t v x t u

ρ 也作相应的改动，

01"=∂∂+∂∂+∂∂y q c y t v x t u ρ 其中：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∂∂-=''"

v t y t c k c q ρρ 在壁面附近区域，存在有， ① 可忽略x

t

u

∂∂项，故而有：()y t t = ② 引用 Couette 流动近似：0v v = 于是上式在壁面附近区域就可以改写为，

01"0=+dy

dq c dy t d v ρ 从壁面上沿高度积分上式，

()()

1011"

0"00"

00"00""

00

=-+-=+=+⎰⎰⎰⎰q q c t t v dq c t d v dy dy dq c dy dy t d v q q t t y y

ρρρ

整理得，

()"

00"0"

1q t t cv q q -+=ρ 引入无量纲定义，

ρ

τ00

0v v =

+

()()c q t t t

ρρτ"

00-=+

代入上式，

()()()+

++=-⋅+=-+=t v c q t t v q t t cv q q 0"

0000"000"0"111ρρτρτρ 将湍流边界层关于动量和关于热量的壁面定律做如下比较，

① 有量纲的

动量壁面定律：

0001ττρττ

y

dx P d u v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 热量壁面定律：()"

00"0"

1q t t cv q q -+=ρ 热量壁面定律与动量壁面定律相比，缺少

dx

P

d 项，其他方面则完全相似。