最新第三节-曲面及其方程课件幻灯片
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03曲面及其方程、二次曲面27851 共34页PPT文档

(2)
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面?
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
12.08.2019
7
高等数学(下)主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形?
一般地,三元二次方程(不含交叉项且平方项系数相同)
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面(特别二次曲面)
高等数学(下)主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地,若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ;
则称:方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程,而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题:
(1)已知曲面S,求曲面方程F(x, y, z) = 0 ?
7-3(马鞍面)ppt课件

4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线, 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线, 动直线 叫L 柱 面的母线.
z 1 平面 // x轴 、//y 轴
13/21
四、二次曲面
三元二次方程的图形曲面称为二次曲面.
了解(画)曲面的形状的一种方法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,通
过考察其交线(即截痕)的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面:
14/21
1、方程
x2 a2
y2 b2
5/21
yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理:绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问:曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线, 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线, 动直线 叫L 柱 面的母线.
z 1 平面 // x轴 、//y 轴
13/21
四、二次曲面
三元二次方程的图形曲面称为二次曲面.
了解(画)曲面的形状的一种方法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,通
过考察其交线(即截痕)的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面:
14/21
1、方程
x2 a2
y2 b2
5/21
yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理:绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问:曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面
2.1.曲面及其方程ppt课件

z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意:在空间直角坐标系,缺项方程〔不完全方程〕的 图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意:描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌.
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面.
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.
03曲面及其方程、二次曲面

C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f( x2y2,z)0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f(y, x2z2)0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,
z
0
y)
0
绕ox轴旋转得旋转曲面
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
用截痕法讨论: 设 p0,q0
z
2019/10/17
o x
y
19
高等数学(下)主讲杨益民
(三)双曲面
(1)
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
2019/10/17
20
高等数学(下)主讲杨益民
(2)
x2 a2
by22
f(x, y2z2)0
2019/10/17
7
高等数学(下)主讲杨益民
例6
求xoz坐标面的上双曲线C:
x2 a2
z2 c2
1
分别绕x轴和z轴
一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解:
绕 x轴 旋 转 x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
高等数学第八章第三节曲面及其方程课件.ppt
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3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴)
z
x
y
z
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0
《曲面及其方程》PPT课件

x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是:平方项系数相等,交叉项系数为零.
方程 (*) 称为球面的一般式方程, 经配方后可化为球面的标准方程.
中值定理与导数的应用
4
特别地:球心在坐标原点时, 球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程.
1
双曲柱面 母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴,
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面,
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么? z 轴.
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2,即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周
《曲面及其方程》课件

02
常见曲面及其方程
平面
总结词:二维平面
详细描述:平面是一种常见的曲面,它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面,它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式,它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成,例如,平面上的圆心为 $(h, k)$,半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小,并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面,它可以由多种方式形成,如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同,曲面可以分为多种类型,如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示,其中 两个参数(u和v)用于描述曲面 上的点。通过参数方程,可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
《曲面及方程》课件

7. 曲面的切向量与切线方程
⇢⇠
8. 曲面的法向向量与法线方程⇑⇓
9. 曲面的曲率及主曲率
10. 可视化表示曲面
11. 曲面的翻转与旋转
12. 曲面的投影与裁剪⇩⇧
13. 三维曲面的交点⚡
14. 曲面的梯度、散度、旋度⚙️
15. 曲面的高斯曲率与平均曲率⚖️
16. 曲面的最小曲面与最小旋
转曲面
17. 曲面的拓扑结构
18. 曲面的曲线包络与曲面包络⭕
19. 曲面的偏微分方程
20. 曲面的应用与发展趋势
《曲面及方程》PPT课件
从曲面的定义和特点开始,逐步深入探讨曲面的方程表示、参数化曲面以及
其切平面、法向量等概念,包括曲面的曲率、可视化表示以及应用与发展趋
势。
1. 什么是曲面?
2. 曲面的分类及特点✨
3. 曲面的方程表示
4. 参数化曲面的定义及优点
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 常见的参数化曲面
6. 曲面的切平面与法向量⏩⏪
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x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 z2 绕x轴 a2 c2 1
沿y轴伸缩 b
c
x2 y2 a2
z2 c2
1
扬州环境资源职业技术学院基础部
(5)椭圆抛物面:
x2 a2
y2 b2
z
b
z
沿y轴伸缩
a
x2 a2 z
绕z轴
x2 y2 a2 a2 z
旋转抛物面
xo
y
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第三节-曲面及其方程课件
一、曲面方程的概念
曲面的实例: 水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义:
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系: (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程,而 曲面 S 就叫做方程的图形.
叫圆锥面的半顶角.试建立顶点在
坐标原点,旋转轴为z 轴,半顶角为 的圆锥面方程.
解 yoz 面上直线方程为
zyco t
圆锥面方程
zx2y2co t x
z
M 1(0,y1,z1)
o
y
M (x,y,z)
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例5
将xOz坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z 轴
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
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(3)单叶双曲面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 z2 绕z轴 a2 c2 1
沿y轴伸缩 b a
x2 y2 z2 a2 c2 1
扬州环境资源职业技术学院基础部
(4)双叶双曲面:
旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.
解 绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面:
x2 y2 z2 a2 c2 1
绕x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面:
x2 a2
y2 z2 c2
1
扬州环境资源职业技术学院基础部
zz
y
z
y
o
o
x
x
单叶双曲面图形
双叶双曲面图形
扬州环境资源职业技术学院基础部
柱面举例
(6)双曲抛物面(马鞍面):
x2 y2 a2 b2 z
用截痕法讨论图形如下:
zy
o
x
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还有三种二次曲面是以二次曲面为准线的柱面:
x2 a2
y2 b2
1
椭圆柱面
x2 y2 a2 b2 1
双曲柱面
x2 ay
抛物柱面
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第四章 房地产交易流程与合同
设 M(x,y,z),
(1) zz1 (2)点M 到 z 轴的距离
dx2y2 |y1| 将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入
f(y1,z1)0
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将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋
特殊地:球心在原点时方程为 x2y2z2R2
扬州环境资源职业技术学院基础部
二、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
z
d M 1(0,y1,z1)
M f(y,z)0
o
y
x
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旋转过程中的特征:
转一周的旋转曲面方程.
同理:yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y
轴旋转一周的旋转曲面方程为
fy , x 2 z 2 0 .
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例 4 直线 L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋
转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线
的夹角
0
2
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z (1) 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
O
y
x
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(2)椭球面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 z2 a2 c2 1 x2 y2 z2 a2 c2 1
z y
o x
旋转椭球面
扬州环境资源职业技术学院基础部
椭球面的几种特殊情况:
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R 的
球面方程.
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点,
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
z
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
yx
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z
z
F (x, y)=0
x -z=0
O
y
C
O
y
x
x
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从柱面方程看柱面的特征:
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0,在空间直角
坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面,其准线为
xoy面上曲线 C . (其他类推)
(1) ab,
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕 z轴旋转而成.
方程可写为
x2 a2
y2
cz22
1
旋转椭球面与椭球面的区别:
与平面 z z1 (|z1|c) 的交线为圆.
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Hale Waihona Puke 截面上圆的方程x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
• 第一节 房地产转让流程与合同 • 一、房地产转让的基本流程 • 房地产转让是指房地产权利人通过买
卖、赠与或其他合法方式将其房地产转 移给他人的行为。 • 有六种方式
第一节 房地产转让流程与合同
• (一)房地产买卖的基本流程 • 1、商品房预售基本流程 • 2、商品房预售合同转让基本流程 • 3、房屋在建工程转移基本流程 • 4、商品房销售基本流程 • 5、二手房买卖基本流程
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 //x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
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四、二次曲面
二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称之. 相应地平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其 交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲 面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.