编号86山西大学附中高三年级对称问题

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号86

对称问题应用举例

【学习目标】学会点关于点，点关于直线的对称点；直线关于点，直线关于直线的对称直线的求解方法.

【学习重点】点关于直线对称点的求解步骤.

【学习难点】对称问题的应用.

【学习过程】

（一）知识梳理

1．点),(00y x P 关于点),(b a O 对称的点为)2,2(00y b x a P --'．

2．点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称

方法：（垂直平分）设点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点为),(y x P '''， 则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++'++'-=-⋅-'-'0)2()2(1)(0000C y y B x x A B A x x y y ，解此关于y x '',的方程即可求得),(00y x P ．

3．曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a O 对称的曲线方程为0)2,2(=--y b x a f ．

4．曲线0),(:=y x f C 关于直线0:=++C By Ax l 对称

（1）直线0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 的对称

① 若l l //1，则0:11=++C By Ax l ，可设对称直线2l 的方程为02=++C By Ax ，然后利用21,l l 与l 的距离相等求得2C ．

② 若1l 与2l 相交，其解题步骤为：1）求出交点坐标； 2）在1l 上取异于交点的一点求出其关于直线l 的对称点；3）利用两点式或点斜式写出2l 的方程．

（2）曲线0),(:=y x f C 关于直线0:=++C By Ax l 对称方程为（方法：轨迹法）．

5．常见的几种对称的特殊情形

（1）点),(00y x P 关于原点的对称点为),(00y x P --'；

曲线0),(:=y x f C 关于原点的对称曲线为0),(:=--'y x f C ．

（2）点),(00y x P 关于x 轴的对称点为),(00y x P -'；

曲线0),(:=y x f C 关于x 轴的对称曲线为0),(:=-'y x f C ．

（3）点),(00y x P 关于y 轴的对称点为),(00y x P -'；

曲线0),(:=y x f C 关于y 轴的对称曲线为0),(:=-'y x f C ．

（4）点),(00y x P 关于直线x y =的对称点为),(00x y P '；

曲线0),(:=y x f C 关于直线x y =的对称曲线为0),(:='x y f C ．

（5）点),(00y x P 关于直线x y -=的对称点为),(00x y P --'；

曲线0),(:=y x f C 关于直线x y -=的对称曲线为0),(:=--'x y f C ．

（6）点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2(00y x a P -'；

曲线0),(:=y x f C 关于直线a x =的对称曲线为0),2(:=-'y x a f C ．

（7）点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -'；

曲线0),(:=y x f C 关于直线b y =的对称曲线为0)2,(:=-'y b x f C ．

（8）点),(00y x P 关于直线0=++C y x 的对称点为),(00C x C y P ----'；

曲线0),(:=y x f C 关于直线0=++C y x 的对称曲线为0),(:=----'C x C y f C ．

（9）点),(00y x P 关于直线0=+-C y x 的对称点为),(00C x C y P +-'；

曲线0),(:=y x f C 关于直线0=+-C y x 的对称曲线为0),(:=+-'C x C y f C ．

6.应用举例：

（1）光线问题 （2）角平分线问题 （3）两类距离最值问题 （4）圆锥曲线中的对称问题

（二）巩固练习

1. 已知一束光线通过点)5,3(-A ，经直0443:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点)4,2(B ，则反射光线所在直线的方程为 ．

2. ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(，ABC ∠平分线所在直线方程为02=-y x ，ACB ∠平分线所在直线方程为01=-+y x ，则BC 边所在直线的方程为 ．

3.已知点)3,3(A ，)1,4(B ，试在直线013:=--y x l 上求一点P ，

（1）当PB PA +最小时，P 点的坐标为 （2）当PA PB -最大时，P 点的坐标为

4.已知椭圆13

22

=+y x 与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点N M ,，设点)1,0(-A ，当AN AM =时，m 的取值范围为 ．

5．已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_ ．

6．已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是_ __．

7．直线x y 2

1=关于直线1=x 对称的直线方程是 ． 8．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点)0,2(P 与点)4,2(-Q 重合，若点)8,5(与点),(n m 重合，则n m +的值为 ．

9．已知点)1,3(C ，点B A ,分别在直线x y =和0=y 上，则ABC ∆的周长的最小值是 ．

10．光线的入射线所在直线032:1=--y x l ，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过直线y 轴反射到直线3l 上，则3l 的直线方程 ．

11．抛物线32

+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于 ． 12．函数29102222+-++-=x x x x y 的最小值为 ．

13．ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(--，ABC ∠平分线所在直线方程为01=+y ，