编号86山西大学附中高三年级对称问题

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导学设计9山西大学附中高二年级对称问题的应用举例

山西大学附中高中数学（必修二）学案编号9
课题：对称问题的应用举例
【学习目标】会解决（1）光线问题（2）角平分线问题（3）两类距离最值问题；
【学习重点】掌握实际应用问题的解决方法；
【学习难点】两类距离最值问题；
【学习过程】
一、导学
复习回顾: 如何求点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点的坐标?
二、导练
例1. 已知一束光线通过点)5,3(-A ，经直0443:=+-y x l 反射，如果反射光线通过
点)4,2(B ，则
（1）求光线从A 到B 距离；
（2）求反射光线所在直线的方程．
例2. ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(，ABC ∠平分线所在直线方程为02=-y x ，ACB ∠平分线所在直线方程为01=-+y x ，求BC 边所在直线的方程．
例3.ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,5(-，ABC ∠平分线所在直线方程为044=--y x ，
AB 边的中线所在直线方程为041106=-+y x ，求顶点B 的坐标和BC 边所在直线的方程．
例4.已知点)3,3(A ，)1,4(B ，试在直线013:=--y x l 上求一点P ，使得
（1）PB PA +最小
（2）PA PB -最大。

2024届山西省太原市山西大学附中高三第三次测评物理试卷含解析

2024届山西省太原市山西大学附中高三第三次测评物理试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、两辆汽车a 、b 在两条平行的直道上行驶。

t=0时两车并排在同一位置，之后它们运动的v-t 图像如图所示。

下列说法正确的是（）A ．汽车a 在10s 末向反方向运动B ．汽车b 一直在物体a 的前面C ．5s 到10s 两车的平均速度相等D ．10s 末两车相距最近2、如图所示，直线a b 、和直线、c d 是处于匀强电场中的两组平行线，M 、N 、P 、Q 是它们的交点，四点处的电势分别为M N P Q ϕϕϕϕ、、、。

一质子由M 点分别运动到Q 点和P 点的过程中，电场力所做的负功相等。

下列说法正确的是（）A ．直线a 位于某一等势面内，M Q ϕϕ<B ．直线c 位于某一等势面内，>M P ϕϕC ．若质子由M 点运动到N 点，电场力做正功D ．若质子由P 点运动到Q 点，电场力做负功3、如图，吊桥AB 长L ，质量均匀分布，重G 1。

A 端由铰链支于地面，B 端由绳拉住，绳绕过小滑轮C 挂重物，重G 2。

重力作用线沿铅垂线AC ，AC=AB 。

当吊桥平衡时，吊桥与铅垂线的夹角θ为A ．2arcsin 21G GB ．arcsin 21G GC ．2arctan 212G GD ．arctan 212G G 4、下列关于温度及内能的说法中正确的是( )A ．温度是分子平均动能的标志，所以两个动能不同的分子相比，动能大的温度高B ．两个不同的物体，只要温度和体积相同，内能就相同C ．质量和温度相同的冰和水，内能是相同的D ．一定质量的某种物质，即使温度不变，内能也可能发生变化5、2019年11月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第五十、五十一颗北斗导航卫星。

山西大学附中、东北师大附中2023-2024学年高三10月联考数学试题与答案

山西大学附中、东北师大附中2023-2024学年高三10月联考数学试题一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}2ln 56B x y x x ==--，则A B = （）A.{}2,1,0,1,2-- B.{}2- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0--2.命题“a ∀∈R ，函数21y ax =+是偶函数”的否定是（）A.a ∀∈R ，函数21y ax =+不是偶函数B.a ∃∈R ，函数21y ax =+不是偶函数C.a ∀∈R ，函数21y ax =+是奇函数D.R a ∃∈，函数21y ax =+是奇函数3.已知函数()()()221f x x a x a =+-+-为奇函数，则()f a 的值是（）A.0B.12-C.12D.104.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量y （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t y ma =，若经过5年，二氧化碳的排放量为45m（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为8m（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：lg 20.3=）（）A.43B.44C.45D.465.函数()22cos xxy x -=-在区间[]22-,上的图象大致为（）A.B.C. D.6.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知:sin sin sin a b cp C A B==，q ：ABC 是等腰三角形，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知,a b 为正实数，且()380ab a b -++=，则ab 的取值范围是（）A.[]2,4 B.(][)0,24,+∞ C.[]4,16 D.(][)0,416,+∞ 8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈-∞+∞⎪⎝⎭，()()()2f x f y xy f x y ++=+，则()3f 的值是（）A.9B.10C.11D.12二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则2a a <C.若0b a >>且0c >，则b c ba c a+>+ D.()221222a b a b ++≥--10.已知函数()21e e2xxf x x -=++，则满足)()32f a f a <+的整数a 的取值可以是（）A.1-B.0C.1D.211.已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线()y f x =的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称，则（）A.π2,6ωϕ==B.直线2π3x =为曲线()y f x =的一条对称轴C.若()f x 在(),a a -单调递增，则π03a <≤D.曲线()y f x =与直线15π224y x =-有5个交点12．已知函数()(1)x f x x e =+，()(1)g x x lnx =+，则()A．函数()f x 在R 上无极值点B．函数()g x 在(0,)+∞上存在极值点C．若对任意0x >，不等式2()()f ax f lnx ≥恒成立，则实数a 的最小值2eD．若12()()(0)f x g x t t ==>，则12(1)lnt x x +的最大值为1e三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()y f x =的图像在2x =处的切线方程是31y x =+，则(2)(2)f f '+=______．14.设()f x 定义在R 上且()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩，则()13f =______．15.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1tan 123β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)t n(a 2αβ-=______．16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足AC MN ⊥，且AC 长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A 到小岛建三段栈道AB 、BD 与BE ，水面上的点B 在线段AC 上，且BD 、BE 均与圆C 相切，切点分别为D 、E ，其中栈道AB 、BD 、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道 ME、 DN以及MN ，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，3π是函数()f x 一个零点.(1)求,ωϕ；(2)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为3,,,,222A a b c f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC 面积的最大值.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31n an b =-，若数列{}n c 满足11n n n n b c b b ++=⋅，求证：1214n c c c +++< ．19.2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；(2)设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，122PD PC CB BA AD =====，//AD CB ，90CPD ABC ∠=∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥面PCA ；(2)点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P CD Q --余弦值为55，求λ.21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过(2,0),(4,3)A B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点(2,1)P ，设过点P 的直线l 交C 于,M N 两点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,G H ，当||6GH =时，求直线l 的斜率．22.已知函数()e ln (R)x f x mx x x m -=+-∈.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若0m >，()f x 的最小值是1ln m +，求实数m 的取值范围.山西大学附中、东北师大附中2023-2024学年高三10月联考数学试题答案1.B【详解】因为(){}{}{22ln 565601B x y x x x xx x x ==--=-->=<-或}6x >，又因为{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}2A B =-I .2.B【详解】因为命题“R a ∀∈，函数21y ax =+是偶函数”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“R a ∃∈，函数21y ax =+不是偶函数”.3.D【详解】因为函数()()()221f x x a x a =+-+-为奇函数，所以()00f =，即()()210a a --=，即2a =或1a =，显然函数()()()221f x x a x a =+-+-的定义域为R 关于原点对称，且当2a =时，有()()21f x x x =+，从而有()()()21f x x x f x -=-+=-，当1a =时，有()()21f x xx =-，但()()1210f f -=-≠-=，所以2a =，即()()21f x x x =+，所以()()()2222110f a f ==⨯+=.4.C【详解】由题意可得545m y ma ==，即545a =，解得a =，令8tm ma =，即18t=，两边取对数得1lg 8t =，所以()lg8lg10lg85t -=-，即()3lg 213lg 25t-=-，解得15lg 2 4.5453lg 210.1t --===--，5.C【详解】因为[]2,2x ∈-，关于原点对称，()()()()()22cos 22cos ---=--=--=-x x x x f x x x f x ，所以函数()f x 为奇函数，故D 错误；因为π012<<，所以cos10>，所以()()13122cos1cos102-=-=>f ，故A 错误；因为π2π2<<，所以cos20<，所以()()215242cos2cos204-=-=<f ，故B 错误；6.A【详解】在ABC 中，若sin sin sin a b c C A B==，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得a b cc a b ==，所以22a bc b ac⎧=⎨=⎩，所以a b c ==，所以ABC 为等边三角形，若命题p 成立，则ABC 是等腰三角形，即命题q 成立；反之，ABC 为等腰三角形，ABC 不一定为等边三角形，如在ABC 中，π4A B ==，π2C =，则sin sin sin a b cC A B ==不成立，所以:sin sin sin a b cp C A B==是q ：ABC 是等腰三角形的充分不必要条件.7.D【详解】因为,a b 为正实数，则()0388ab a b ab =-++≤-+，即)240-≥，所以02<≤4≥，所以04<≤ab 或16ab ≥.ab 的取值范围是(][)0,416,+∞ ，8.D【详解】()()()2f x f y xy f x y ++=+中令0x y ==，则()00f =，()()()2f x f y xy f x y ++=+中令1x =，1y =-，则()()()11200f f f +--==，又()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭中令=1x -，则()10f -=，所以()12f =，()()()2f x f y xy f x y ++=+中，令1x y ==，则()()22126f f =+=，再令1x =，2y =，则()()()312426412f f f =++=++=．9.BD【详解】对于A 选项，若0ab ≠且a b <，取1a =-，1b =，则11a b<，A 错；对于B 选项，若01a <<，则()210a a a a -=-<，B 对；对于C 选项，若0b a >>且0c >，则0a b -<，则()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==<+++，故b c ba c a+<+，C 错；对于D 选项，()()()()()22222212222144120a b a b a a b b a b ++---=-++++=-++≥，当且仅当12a b =⎧⎨=-⎩时，等号成立，故()221222a b a b ++≥--，D 对.故选：BD.10.BCD【详解】由题意得()21()e e 2xx f f x x x -+=-=+，故()f x 为偶函数，而()e exxf x x -'=-+，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，若)()2ff a <+，则|||2|a <+，得22344a a a ≤++，即2220a a --≤，解得11a ≤≤+11.ABD 【详解】由题意π2π444T ω==，故2ω=，又()y f x =的图象向左平移π6个单位得到π2sin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()πππ+32k k ϕ+=∈Z ，且π02ϕ<<，故π6ϕ=，A 正确；因为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且2π4ππ2sin +2336f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最小值，所以直线2π3x =为曲线()y f x =的一条对称轴，B 对；令πππππ2π22πππ,Z 26236k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈,故易知()f x 在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故π06a <≤，C 错；直线15π224y x =-与曲线()y f x =均过点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，且该直线与曲线()y f x =均关于该点中心对称，当7π6x =时，3π28y =<，当13π6x =时，7π28y =>，由对称性可知曲线()y f x =与直线15π224y x =-有5个交点，故D 对．12．ACD【详解】对于:()(1)1x A f x x e '=++，则()(2)x f x x e ''=+，令()0f x ''>，解得：2x >-，令()0f x ''<，解得：2x <-，故()f x '在(,2)-∞-递减，在(2,)-+∞递增，故2()(2)10min f x f e -'='-=->，故()f x 在R 递增，故函数()f x 在R 上无极值点，故A 正确；对于1:()1B g x lnx x '=++，21()x g x x-''=，令()0g x ''>，解得：1x >，令()0g x ''<，解得：01x <<，故()g x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，故()min g x g '='（1）20=>，故()g x 在(0,)+∞递增，函数()g x 在(0,)+∞上无极值点，故B 错误；对于C ：由A 得：()f x 在(0,)+∞递增，不等式2()()f ax f lnx 恒成立，则2ax lnx 恒成立，故2lnx a x，设2()lnx h x x =，则22(1)()lnx h x x -'=，令()0h x '>，解得：0x e <<，令()0h x '<，解得：x e >，故()h x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，故()max h x h =（e）2e =，故2a e，故C 正确；对于D ：若12()()(0)f x g x t t ==>，则_1122(1)(1)x x e x lnx t +=+=，0t > ，10x ∴>，21x >，且_12x x e =，_12x x e=时，111121[(1)](1)(1)x x ln x e lntx x x e +=++，设_11(1)x k x e =+，设()lnk g k k =，则21()lnkg k k -'=，令()0g k '>，解得：0k e <<，令()0g k '<，解得：k e >，故()g k 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，故()max g k g =（e）1e=，此时_1122(1)(1)x e x e x lnx =+=+，故12(1)lnt x x +的最大值是1e，故D 正确；13.10【详解】由已知切点在切线上，所以(2)3217f =⨯+=，切点处的导数为切线斜率，所以(2)3f '=，所以(2)(2)10f f '+=.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.0【详解】因为()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩，所以()()()()()()()13121111101110f f f f f f f =-=--=-，()()()()()()()10988787f f f f f f f =-=--=-，同理可得()()()()21371log 210f f f ===-=.15.211-【详解】由π1tan 123β⎛⎫+=⎪⎝⎭得，22π12tan 2π123tan 21π41()1tan 32613βββ⎛⎫+⨯⎪⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎝⎭--+ ⎪⎝⎭，而π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππtan()tan(2)ππ66tan 2tan ()(2)ππ66tan()tan(2))6(16αβαβαβαβ+-+⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭+++⋅132241311124-==-+⨯，16.2π53+【详解】连接CD ，CE ，由半圆半径为1得：1CD CE ==.由对称性，设CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，所以1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，易知MCE NCD θ∠=∠=，所以 MEND =的长为θ.又3AC =，故13(0,2)sin AB AC BC θ=-=-∈，故1sin (,1)3θ∈，令01sin 3θ=且0π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1252sin tan f θθθθ=-++，0π(,2θθ∈，所以()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=.θ0π,3θ⎛⎫⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-+()f θ单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值()min π2π533f f θ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.(0,0,0)C ()0,22,0A ，(D（2）由题意可知过点P 的直线的方程为(2y k x =-()222113k x y =-+-=消去y ，得()22348k x k --()()(2222408124341616k k k k k -≠⎡⎤=-----+⎣⎦。

山西大学附中2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

山西大学附中2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛⎝ B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭3．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.154．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A B 或3C ．2D ．2或35．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A B C D6．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]57．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（）A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．28．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864D ．12809．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．10．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC -C ．3788BA BC +D ．7388BA BC +12．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（）A ．6898B ．6896C ．268D ．5266二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年山西大学附属中学校高三下学期3月模块诊断数学试题+答案解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，，则复数z 的模等于( )2023年山西大学附属中学校高三下学期3月模块诊断数学试题A. 1B.C.D. 22.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知a ，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数在下列哪个区间上单调递增( )A.B.C.D.5.已知双曲线，若对任意实数m ，直线与C 至多有一个交点，则C 的离心率为( )A.B.C.D. 6.考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则( )A.B.C.D.7.如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC 上，则线段PQ长度的最小值是 ( )A. B. C. D.8.已知，则( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序相等数据相邻排列排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则( )A.B. 该组数据的均值一定为90C. 该组数据的众数一定为84和96D. 若要使该总体的标准差最小，则10.如图，棱长为2的正方体的内切球球心为O，分别是棱的中点，G在棱上移动，则( )A. 对于任意点G，平面B. 存在点G，使平面C. 直线的被球O截得的弦长为D. 过直线的平面截球O所得截面圆面积的最小值为11.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为( )A. B. C. D.12.已知函数为自然对数的底数，过点作曲线的切线．下列说法正确的是( )A. 当时，若只能作两条切线，则B. 当，时，则可作三条切线C. 当时，可作三条切线，则D. 当，时，有且只有一条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

导学设计8山西大学附中高二年级对称问题

山西大学附中高中数学（必修2）学案编号8对称问题一.导学：1．点),(00y x P 关于点),(b a O 对称的点为)2,2(00y b x a P --'．2．点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称的点方法：（垂直平分）设点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点为),(y x P '''，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'++'-=-⋅-'-'0)2()2(1)(0000C y y B x x A B A x x y y ，解此关于y x '',的方程即可求得),(00y x P ．3．曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a O 对称的曲线方程为0)2,2(=--y b x a f ．4．直线0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 的对称的直线① 若l l //1② 若1l 与2l 相交二.导练：例1．求点)5,4(P 关于下列点或直线对称的点的坐标：（1）原点（2）x 轴（3）y 轴（4）点（3,2）（5）直线x y = (6）直线x y -=（7）直线2=x （8）直线1-=y（9）直线033=+-y x小结: (1)点),(00y x P 关于原点的对称点为；（2）点),(00y x P 关于x 轴的对称点为；（3）点),(00y x P 关于y 轴的对称点为；（4）点),(00y x P 关于直线x y =的对称点为；（5）点),(00y x P 关于直线x y -=的对称点为；（6）点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为；（7）点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -'；例2．求直线033=+-y x 关于下列点或直线对称的直线方程：（1）原点（2）x 轴（3）y 轴（4）点（3,2）（5）直线x y = （6）直线x y -=（7）直线2=x （8）直线1-=y（9）直线073=+-y x （10）直线012=-+y x小结: (1)曲线0),(:=y x f C 关于原点的对称曲线为．（2）曲线0),(:=y x f C 关于x 轴的对称曲线为．（3）曲线0),(:=y x f C 关于y 轴的对称曲线为．（4）曲线0),(:=y x f C 关于直线x y =的对称曲线为．（5）曲线0),(:=y x f C 关于直线x y -=的对称曲线为．（6）曲线0),(:=y x f C 关于直线a x =的对称曲线为．（7）曲线0),(:=y x f C 关于直线b y =的对称曲线为．三.课堂自测1．已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_ ．2．已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是_ __．3．直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是． 4．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点)0,2(P 与点)4,2(-Q 重合，若点)8,5(与点),(n m 重合，则n m +的值为．。

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题含解析

山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．54B ．2C ．3D ．723．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 4．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（） A ．21B ．22C ．11D ．126．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（）A ．2313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A ．32B ．25C ．6D ．279．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．-2B ．2C ．4D ．710．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省山西大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)(精选)

高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]--2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（）A.3-B.31- C ．3- D ．34. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.243π+B.243π+ C.43π+ D.43π+5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（）6.oooosin 20cos10cos160sin10-=( )A ． B. C.12 D.12-7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（）A. 9B. 32C.34D.528.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC= ）A.254πB.4πC. 16πD. 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（） A ．77S a B ．88S a C ．99Sa D ．1010S a 12.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x af x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .15.从圆422=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于2的概率____. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a CbB 2si n si n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a(Ⅰ)求n a ；（Ⅱ）设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ．ADOCPBE18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程21.（本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x a x x =--+． (Ⅰ)若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2-94 24ππ+ 1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D.(2,1)(1,2]--【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】B【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B.3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（）A.3-B.31- C ．3-D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =，故其体积221111222V r h πππ==⨯⨯=；四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形.故该几何体的体积1243V V V π=+=+.5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.o o o osin20cos10cos160sin10-=( )A．-B. C.12D.1 2 -【答案】C【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.7.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足a b m+=，则14a b+的最小值为（）A. 9B.32C.34D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b aa b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b aa b=，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件答案 A解答便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。

编号80山西大学附中高三年级综合训练三

山西大学附中高中数学（高三）导学设计编号80
综合训练(三)
1.【2015新课标1】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
2.【2015北京】如图，在四棱锥A EFCB
-中，AEF
△为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF BC
∥，4
EBC FCB
=，60
∠=∠=︒，O为EF的中点．
BC=，2
EF a
(Ⅰ) 求证：AO BE
⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B
--的余弦值；
(Ⅲ) 若BE⊥平面AOC，求a的值．
A
C
F
O
E
B
3.【2015广东】如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，
BC.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC AB，3
PD PC，6
4
上，且2
AF FB，2
；
CG GB．（1）证明：PE FG
（2）求二面角P AD C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
4.【2015湖南】如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3
和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为
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，求四面体ADPQ 的体积.。

山西省太原市山西大学附属中学高三(最后冲刺)新高考语文试卷及答案解析

山西省太原市山西大学附属中学高三（最后冲刺）新高考语文试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

1、阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一2018年9月13日，在山东济南开幕的第五届中国非遗博览会在总结历届经验的基础上，推出多项改革创新措施。

树立可持续发展理念，突出展示非遗项目和传承人，为传承人提供贴心的服务；注重从参与者角度策划展览，提高展览的可参与度；引入电商平台，建立网上博览会，将零售、统售、网售有机结合，满足群众购物需求；拓展宣传的广度与深度，为民众普及非遗知识。

将博览会办成人民满意、传承人受益的博览会。

通过活态展示、活态传承等方式，更多地融入传承人绝活展示、非遗爱好者现场体验等，力求让非遗以更加生动鲜活的方式呈现在民众面前，让民众近距离感受、领略非遗的无穷魅力和风采，让非物质文化遗产在新时代发展大潮中焕发新的生机活力。

通过多种形式的传统工艺项目展览展示，运用现代手段，让传统工艺项目走近大众，贴近现代生活，使传统工艺与创意设计、实用功能及市场需求相结合，真正实现传统工艺项目与群众生活相融合，推动传统工艺振兴。

传统媒体与现代传媒相结合，广泛采用新技术，通过互动体验、现场直播、网络视频展播等形式，以生动鲜活的方式将非遗成果呈现给民众，让博览会真正成为全国人民都能看得见的博览会。

函数对称性、周期性的应用(含解析)

函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈，如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-，结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=，则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确；无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤，即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象；再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确；因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数，且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数．方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-，设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=，又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立，故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5）即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称，作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)，由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+，所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。

山西省山西大学附属中学校2022届高三三模(总第七次模块)理科数学试题(2)

一、单选题1. 《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）A．B．C．D．2.已知，，则（）A．B ．7C．D．3.已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（）A．B．C．D．4. 已知函数（）的部分图象如图所示.则（）A．B．C．D．5.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（）A．B．C．D．6. 某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（）A ．7B ．6C ．3D ．27.如图，在长方体中，，点E 为棱BC 上靠近点C 的三等分点，点F 是长方形内一动点（含边界），且直线，EF 与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（）A ．平面B ．三棱锥的体积为4C ．存在点F，使得D ．线段的长度的取值范围为8. 已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若在点处的切线也是的切线，则必是零点．其中所有正确的结论序号是（）A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③山西省山西大学附属中学校2022届高三三模（总第七次模块）理科数学试题(2)山西省山西大学附属中学校2022届高三三模（总第七次模块）理科数学试题(2)二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知点A ，B 在圆O：上，点P 在直线l：上，则（）A ．直线l 与圆O 相离B．当时，的最大值是C ．当PA ，PB 为圆O的两条切线时，为定值D ．当PA ，PB 为圆O 的两条切线时，直线AB过定点10. 现有甲､乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（）A．两两互斥.B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为.C ．以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则.D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为.11. 2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．x 12345y2110a15a90109根据表中数据可知x ，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A ．样本相关系数在内B ．当时，残差为-2C．点一定在经验回归直线上D ．第6天到该医院就诊人数的预测值为13012. 在某次数学竞赛活动中，学生得分在之间，满分100分，随机调查了200位学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图，则（）A ．图中x 的值为0.029B ．参赛学生分数位于区间的概率约为0.85C ．样本数据的75%分位数约为79D ．参赛学生的平均分数约为69.413.设等差数列的前n项和为，且，则___________14. 一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则__________.15.已知函数，则的值为____________．16.如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．(1)求证：平面；(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．17. 为防控某种变异性传染疾病的传播，某药企组织了甲、乙、丙三个研发团队研发防控这种疾病的疫苗，每个团队各有一个研发任务，甲、乙、丙团队研发成功的概率分别为，，，且每个团队研发成功与否互不影响．(1)在三个团队中恰有两个团队研发成功的前提下，求甲团队研发成功的概率；(2)记X表示甲、乙、丙三个团队中研发成功的团队数目与未成功的团队数目之差，求X的分布列与数学期望．18. 在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．19. 已知双曲线C：的右焦点为，O为坐标原点，点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且，.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.20. 已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程.(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.21. 某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示分组频数频率[4，6）50.05[6，8）150.15[8，10）200.20[10，12）[12，14）200.20[14，16]100.10合计1001(1)求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；(2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.。

2023-2024学年山西大学附属中学高三上学期10月月考数学试题及答案

山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数学试题考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只如图所示，则不符合这一结果的试验是（A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率B ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C ．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D ．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率10．函数()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕ⎛=+>><< ⎝π617．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)令2,,,,n n n S c b n ⎧⎪=⎨⎪为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T20．（12分）已知函数)(ln 2)(2R a ax x x x f ∈+-=(1)当0=a 时，求)(x f 的单调区间；(2)若函数m ax x f x g +-=)()(在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只3．二项式12⎪⎫⎛-xx展开式的常数项为（）A ．43π6B ．47π6【答案】A【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为故选：A5．若,ln ,ln e b e a e c b a ==-=--则（）A ．c b a << B ．c a <<【答案】Bln ,ln ,,-====由图象可知b c a <<故选：B6．有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛（无并列名次）乙快的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）A ．21B ．61C ．31D ．【答案】C所以，22121242nn n nnn n na a aa a a+++++===，故数列{}1n na a+是公比为4，首项为12248a a=⨯=的等【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性可知，四边形如图所示，则不符合这一结果的试验是（A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】ABC【详解】解：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为6A ．2ω=B ．()g x 的图象关于点(π-对称C ．()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()g x 在()0,π上有两个极值点【答案】AC【详解】A 选项，设()f x()()()()2cos sin cos cos g x g x x g x x f x x x '''⎡⎤+==⎢⎥⎣，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，()0g x '>，6666a a a -=，即E 为AO ,C D ，，则_____.四、解答题：本大题共670分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)令2,,,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T 【答案】(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，得331034232q d d q d +++=⎧⎨+-=+⎩，解得2d =，2q =，21n a n ∴=+，12n n b -=；(2)解：由(1)可得，(2)n S n n =+，则12,(2)2,n n n n n c n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数，即111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，213521242(...)(...)n n n T c c c c c c c -∴=++++++++111[(1)(335=-+-+ (32111)((22...2)2121n n n -+-++++-+12(1-4)1211-4n n =-++22(41).213n n n =+-+PA PB⊥.）故实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥.(1)求CO 的长；(2)若BC BD =，求ABD △的面积【答案】（1）在ACD 中，由余弦定理得解得4CD =或6CD =-（舍去）1cos ACD ∠=-，所以sin令()ln 1F x x x =-+，则11()1x F x xx -'=-=．。

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山西大学附中高三年级（上）数学导学设计编号86
对称问题应用举例
【学习目标】学会点关于点，点关于直线的对称点；直线关于点，直线关于直线的对称直线的求解方法.
【学习重点】点关于直线对称点的求解步骤.
【学习难点】对称问题的应用.
【学习过程】
（一）知识梳理
1．点),(00y x P 关于点),(b a O 对称的点为)2,2(00y b x a P --'．
2．点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称
方法：（垂直平分）设点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点为),(y x P '''，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++'++'-=-⋅-'-'0)2()2(1)(0000C y y B x x A B A x x y y ，解此关于y x '',的方程即可求得),(00y x P ．
3．曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a O 对称的曲线方程为0)2,2(=--y b x a f ．
4．曲线0),(:=y x f C 关于直线0:=++C By Ax l 对称
（1）直线0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 的对称
① 若l l //1，则0:11=++C By Ax l ，可设对称直线2l 的方程为02=++C By Ax ，然后利用21,l l 与l 的距离相等求得2C ．
② 若1l 与2l 相交，其解题步骤为：1）求出交点坐标； 2）在1l 上取异于交点的一点求出其关于直线l 的对称点；3）利用两点式或点斜式写出2l 的方程．
（2）曲线0),(:=y x f C 关于直线0:=++C By Ax l 对称方程为（方法：轨迹法）．
5．常见的几种对称的特殊情形
（1）点),(00y x P 关于原点的对称点为),(00y x P --'；
曲线0),(:=y x f C 关于原点的对称曲线为0),(:=--'y x f C ．
（2）点),(00y x P 关于x 轴的对称点为),(00y x P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于x 轴的对称曲线为0),(:=-'y x f C ．
（3）点),(00y x P 关于y 轴的对称点为),(00y x P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于y 轴的对称曲线为0),(:=-'y x f C ．
（4）点),(00y x P 关于直线x y =的对称点为),(00x y P '；
曲线0),(:=y x f C 关于直线x y =的对称曲线为0),(:='x y f C ．
（5）点),(00y x P 关于直线x y -=的对称点为),(00x y P --'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线x y -=的对称曲线为0),(:=--'x y f C ．
（6）点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2(00y x a P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线a x =的对称曲线为0),2(:=-'y x a f C ．
（7）点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线b y =的对称曲线为0)2,(:=-'y b x f C ．
（8）点),(00y x P 关于直线0=++C y x 的对称点为),(00C x C y P ----'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线0=++C y x 的对称曲线为0),(:=----'C x C y f C ．
（9）点),(00y x P 关于直线0=+-C y x 的对称点为),(00C x C y P +-'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线0=+-C y x 的对称曲线为0),(:=+-'C x C y f C ．
6.应用举例：
（1）光线问题（2）角平分线问题（3）两类距离最值问题（4）圆锥曲线中的对称问题
（二）巩固练习
1. 已知一束光线通过点)5,3(-A ，经直0443:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点)4,2(B ，则反射光线所在直线的方程为．
2. ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(，ABC ∠平分线所在直线方程为02=-y x ，ACB ∠平分线所在直线方程为01=-+y x ，则BC 边所在直线的方程为．
3.已知点)3,3(A ，)1,4(B ，试在直线013:=--y x l 上求一点P ，
（1）当PB PA +最小时，P 点的坐标为（2）当PA PB -最大时，P 点的坐标为
4.已知椭圆13
22
=+y x 与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点N M ,，设点)1,0(-A ，当AN AM =时，m 的取值范围为．
5．已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_ ．
6．已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是_ __．
7．直线x y 2
1=关于直线1=x 对称的直线方程是． 8．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点)0,2(P 与点)4,2(-Q 重合，若点)8,5(与点),(n m 重合，则n m +的值为．
9．已知点)1,3(C ，点B A ,分别在直线x y =和0=y 上，则ABC ∆的周长的最小值是．
10．光线的入射线所在直线032:1=--y x l ，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过直线y 轴反射到直线3l 上，则3l 的直线方程．
11．抛物线32
+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于． 12．函数29102222+-++-=x x x x y 的最小值为．
13．ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(--，ABC ∠平分线所在直线方程为01=+y ，
ACB ∠平分线所在直线方程为01=++y x ，则BC 边所在直线的方程为．
14．已知点)5,3(-A ，)15,2(-B ，试在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，
（1）当PB PA +最小时，P 点的坐标为（2）当PA PB -最大时，P 点的坐标为。