数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类

第十三章二阶线性偏微分方程的分类本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.13.1 基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y∂∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂∂∂∂∂其中(,,)u x y ⋅⋅⋅是未知多元函数，而,,x y ⋅⋅⋅是未知变量；,,u u x y ∂∂⋅⋅⋅∂∂为u 的偏导数. 有时为了书写方便，通常记22,,,,x y xx u u u u u u x y x∂∂∂==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂∂(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．例13.1.2：方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =−的通解为221(,)()()2u x y xy x y F x G y =−++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）2241(,)252sin 2u x y xy x y x y =−+−+称为方程的特解．n 阶常微分方程的通解含有n 个任意常数，而n 阶偏微分方程的通解含有n 个任意函数．二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数(),()F x G y 指定为特殊的4()25,()2sin F x x G y y =−=，则得到的解在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线22ax bxy cy dx ey f +++++=其中,,,,,a b c d e f 为常数，且设24b ac δ=−13.2二阶线性偏微分方程的分类上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x, y )的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为0,0,0δ>=<则当时，22222(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂（13.2.1）其中,,,,,,A B C D E F G 为(,)x y 的已知函数．定义为方程13.2.1的特征方程22(d )d d +(d )0A yB y xC x −=(13.2.3)它所对应的积分曲线族称为特征曲线族在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情况讨论判别式24B AC ∆=−当判别式240B AC ∆=−>时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解12(,) (,) x y C x y C φψ==及也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令13.2.1双曲型偏微分方程作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：此变换是可逆的(,), (,)x y x y ξφηψ==2(,,,,)0u u u u ξηξηξη∂∂∂+Φ=∂∂∂∂21111((,)(,13.2.)(,)(,)4)u D u E u F u G ξηξηξηξηξηξη∂=+∂∂++或表示为此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式偏微分方程(13.2.4)变为：111122**22**(,(13.2)(,)(,)(.5),)u u D u E u F u G αβαβαβαβαβαβ∂∂−=+∂∂++2222(,,,,)u u u u u αβαβαβ∂∂∂∂−=Φ∂∂∂∂或表示为此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式2(,)tt xx u a u f x t =+波动方程即为双曲型偏微分方程或者进一步作变换,αξηβξη=+=−,22αβαβξη+−==或例13.2.1 原偏微分方程为:板书讲解解：△补充例题：学生自己先做，再演示答案222222y x 0x yu u ∂∂−=∂∂试将方程 化为标准方程。

当判别式240B AC ∆=−=时，方程(13.2.3)一定有重根d d 2y B x A=，所以特征曲线是一族实函数曲线．其特征方程的解为(,)x y c φ=因此令(,), x y y ξφη==作变换，则原方程变为13.2.2抛物型偏微分方程--------13.2.6此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式222222(,)(,)(,)(,)u D u E u F u G ξηξηξηξηξηη∂=++−∂22(,,,,)0u u u u ξηηξη∂∂∂+Φ=∂∂∂热传导（扩散）方程就属于这种类型．u t = a 2u xx + f(x,t)抛物型方程又可记为例13.2.2 原偏微分方程为:板书讲解当判别式240B AC ∆=−<时，如上讨论得到特征方程的解为偏微分方程(13.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族13.2.3椭圆型偏微分方程12(,)i (,); (,)i (,)x y x y c x y x y c φψφψ+=−=(,), (,)x y x y ξφηψ==若令作变换，则偏微分方程变为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．22333322(,)(,)(,)(,)u u D u E u F u G ξηξηξηξηξηξη∂∂+=++−∂∂-----13.2.7椭圆型方程又可记为如下形式．22(,,,,)0u u u u ξηηξη∂∂∂+Φ=∂∂∂22u ξ∂+∂2222220U U U x y z ρε∂∂∂++=−∂∂∂拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程等都属于这种类型．静电场的电势方程----泊松(Poisson)方程例13.2.3 原偏微分方程为:板书讲解§13.3 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法13.3.1双曲型对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简21111(,)u u ud e f u G ξηξηξη∂∂∂=++−∂∂∂∂111,,d e f 1(,)G ξη11(,)(,)e d u eξηξηξη+=v 注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们不妨令大写字母代表某函数区别开来, 例如．为了化简，从而有211(,)h J ξηξη∂=−∂∂vv (10.4.2)其中11()111111, (,)(,)e d h d e f J G eξηξηξη−+=+=由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简22****111122(,)u u u u d e f u G ξηξηξη∂∂∂∂−=++−∂∂∂∂(10.4.3)式中***111,,d e f均为常系数．若令**11(,)(,)e d u eξηξηξη+=v 则有(10.4.4)22**1122(,)h J ξηξη∂∂−=−∂∂v v v (10.4.5)其中**11()***2*2****111111112, (,)(,)e d h f e d e d J G eξηξηξη−+=−++=对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）222222(,)u u ud e f u G ξηηξη∂∂∂=++−∂∂∂还可以进一步化简．上式中小写字母222,,d e f 均为常系数．为了化简，不妨令22(,)(,)e d u e ξηξηξη+=v 从而有2222(,)h J ξηη∂=−∂vv 13.3.12抛物型13.3.3椭圆型对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)22333322(,)u u u ud e f u G ξηξηξη∂∂∂∂+=++−∂∂∂∂还可以进一步进行化简．上式中小写字母的333,,d e f 为常系数．为了化简，不妨令33(,)(,)e d u eξηξηξη+=v 从而有233(,)h J ξηξη∂=−∂∂vv 其中33()2333333(), (,)(,)e d h f e d J G e ξηξηξη−+=−−=含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：[](,)L u G x y =其中L 是二阶线性偏微分算符，G 是x,y 的函数．线性偏微分算符有以下两个基本特征：11221122[][];[][][];L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+§13.5 二阶线性偏微分方程的特征其中12,,c c c 均为常数．进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：u cu 为方程的解时，则也为方程的解；(1).当也是方程的解；12,u u 1122c u c u +为方程的解，则(2)若(3)线性偏微分方程的叠加原理(4)线性偏微分方程的积分解叠加原理是线性偏微分方程具有一个非常重要的特性k u [] (1,2,)k L u f k ==⋅⋅⋅即若是方程（其中L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数1k kk u c u ∞==∑收敛，且二阶偏导数存在（其中(1,2,)k c k =⋅⋅⋅为任意常数），则1k kk u c u ∞==∑一定是方程1[] kk k L u cf ∞==∑的解（当然要假定这个方程右端的级数是收敛的）．3.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：IIIu u+为非齐次方程的通解；IuIIu 为非齐次方程的特解，为齐次方程的通解，则(1)若(2) 若1122[](,),[](,),L u H x y L u H x y ==则1212[](,)(,)L u u H x y H x y +=+二阶线性偏微分方程总结基本概念分类与化标准形式进一步化简解的特性作业习题13.1 a c。