苏科版数学七年级下册：7.4认识三角形

7.4认识三角形
学习目标
1.理解三角形的概念及其中线、高、角平分线的概念，并能正确画出任意一个三角形的中线、角平分线和高.
2.按照边长、角的大小对三角形进行分类.
3.探索并证明三角形的任意两边之和大于第三边.
知识详解：
知识点一：三角形的有关概念
1.定义：不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的基本要素：
边：组成三角形的3条线段叫做三角形的边，三角形有3条边.
顶点：三角形中相邻两边的公共端点叫做三角的顶点，三角形有3个顶点.
角：三角形中相邻两条边所夹的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，三角形有3个内角.
3.三角形及其元素的表示：如图，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，∠A，∠B，∠C是三角形的内角，线段AB、BC、CA是三角形的边.
拓展：
1.由三角形的定义可知：三角形有三个特征：（1）三条线段；（2）三条线段不在同一条直线上；（3）三条线段首尾依次相接.这也是识别三角形的依据.
2.用符号“△”时，其后必须紧跟表示三角形的三个顶点的大写字母，字母顺序可以自由安排.“△”不能单独使用，如“三角形的角”不能写成“△的角”.
3.△ABC的三边，有时也用c
b,来表示.
,来表示.顶点A所对的边BC用a表示，边AC,边AB分别用c
b
a,
（2）以AD 为边的三角形有 . （3）∠AED 是 ， 的内角. 知识点二：三角形的分类 1.按角分类
⎪⎩
⎪
⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形
2.按边分类
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
⎩⎨⎧等边三角形角形腰和底不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形
说明：
1.根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只需要考虑三角形中最大的角.若三角形中最大的角是锐角，则三角形是锐角三角形；若三角形中最大的角是直角，则三角形是直角三角形；若三角形中最大的角是钝角，则三角形是钝角三角形.
2.常见的特殊三角形有：等腰三角形（按边分）、等边三角形（按边分）、直角三角形（按角分）、等腰直角三角形（既按角分又按边分）、等边三角形和等腰直角三角形都是特殊的等腰三角形.
例2：现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ）
A. 3
B. 4或5
C. 6或7
D. 8
知识点三：三角形的三边关系
1.三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.
2.三边关系的应用
（1）根据这一关系可以判断已知的三条线段是否可以构成一个三角形；
（2）在一个三角形中，可由已知的两边来确定第三边的取值范围.
拓展：
1.从三角形三边关系的研究钟可知三角形的三边相互制约——三角形的任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边.
2.判断c
>
a>
+
b
,，三个条件缺一不可.
c
+,
>
+
c
,三条线段能否组成一个三角形，应注意：b
a,
b
a
a
c
b
当a是c
,三条线段中最长的一条时，只需要a
a,
b
+，就有任意两条线段的和大于第三边.
c
b>
3.根据三角三边自之间的关系可得结论：已知三角形的两边为b
a+
<
<
-
b
a,，则第三边c满足.
|
|b
a
c
例3：下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.5，6，10
B.5，6，11
C.3，4，8
D.）
a
4>
a
a
a
（
4
，
，0
8
知识点四：三角形的中线、角平分线、高
1.三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
1BC.
几何表达：如图，E是BC的中点，线段AE是△ABC的中线，则BE=EC=
2
拓展：
1.三角形的中线是线段，而非直线.
2.三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形.
3.通过画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条中线，我们可以发现一个三角形中一共有三
如图，△ABC的中线分别为AD、BE、CF，它们相交于点O.
例4：如图，某校生物兴趣小组有一块三角形的试验田，现某种作物的四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计几种不同的划分方案供选择（画图说明）.
2.三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1∠BAC.
几何表达：如图，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=
2
注意：
1.三角形的角平分线与角的平分线既有联系，也有区别，区别：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线；联系：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就是三角形的一条角平分线.
2.通过画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的三条角平分线，我们可以发现一个三角形中一共有三条角平分线，都在三角形的内部，它们相交于一点，交在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心.如图，△ABC的角平分线分别为AD、BE、CF，它们相交于点O.
例5：如图，在△ABC中，AD是∠A的平分线，若∠B=50°，∠C=70°，则∠BAD= °.
3.三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
几何表达：如图，线段AG是△ABC的边BC上的高，则∠AGB=∠AGC=90°.
拓展：
1.借助三角尺画三角形高的一般步骤
一靠：使三角尺的一条直角边与一条边所在的直线重合；
二移：沿着这条直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过三角形的这条边所对的顶点；
三画：沿着这条直角边从顶点到底边所在直线画一条线段，这条线段就是三角形的高.
2.一个三角形有三条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定.锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条高与直角边重合，三条高相交于直角顶点；钝角三角形两条高在三角形外部，一条高在三角形的内部，三条高没有交点，三条高所在的直线相交于一点，如图：
例6：如图，过△ABC 的顶点A 作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）
拓展例题：
拓展点一：三角形三边关系的应用 1.求三角形第三边的长或取值范围
例1：两根木棒的长分别是7cm 和9cm ，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长度为 cm.
2.三角形的构成数量
例2：长为9,6，5,4的四根木条，组成三角形，选法有（ ） A.1 种 B. 2种 C.3种 D.4种 3.三角形三边的化简
例3：若c b a ,,是△ABC 的三边，化简.||||||b a c a c b c b a --+--+--
拓展点二：三角形中线的运用
例4：如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BA、AD、CE的中点，且2
=
S，
4
cm
∆ABC
则=
S .
∆BEF
拓展点三：三角形高的运用
例5：△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）
A.4
B. 4或5
C. 5或6
D. 6
拓展点四：三角形三边关系在实际生活中的应用
例6：有四个停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能运用“三角形两边之和大于第三边”，在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？
易错提醒
易错点一：忽视三角形三边关系的检验导致错解
例1：已知一个等腰三角形的两边长为3和7，求等腰三角形的周长.
易错点二：没有正确理解三角形的高
基础巩固：
1.如图，以BC为边的三角形有（）
A.3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
2.已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边长可能是（）
A. 5
B. 10
C. 11
D. 12
3.下面给出的四个三角形都有一部分被遮住，其中不能按角判断三角形类型的是（）
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（）
A.BC是△ABE的高
B.BE是△ABD的中线
C.BD是△EBC的角平分线
D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
5.在如图所示的图形中，三角形有个；以∠B为内角的三角形有和；在这两个三角形中，∠B对的边分别为和 .
6.如图是钝角△ABC，请画出：
（1）AB边上的高CD；
（2）BC边上的中线AE；
（3）∠BAC的平分线AF；
（4）写出图中相等的线段；
（5）写出图中面积相等的三角形.
能力提升
7.以长为13cm，10cm，5cm，7cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则符合条件的点C的个数为（）
9.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是；在△AEC中，AE边上的高是 .
10.“综合与实践”学习活动小组准备制作一组三角形，记这些三角形的三边均分别为a并且这些三角形三边的长度大于1且小于5的整数个单位长度.
b
,c
,,
（1）用记号)
c
b
a≤
≤表示一个满足条件的三角形，如（2,3,3）表示边长分别为
a
)(
,
b
,
(c
2,3,3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形.
（2）用直尺和圆规作出三边满足c
b
<的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保
a<
留作图痕迹）。