刚度校核
建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
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8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
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小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
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2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
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2
图 8.2
3
图 8.3
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8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
《刚度校核》课件
刚度校核技术的发展趋势
智能化
利用人工智能和机器学习技术， 实现刚度校核过程的自动化和智
能化，提高校核效率和精度。
精细化
随着计算能力的提升，刚度校核将 更加精细化，能够考虑更多的影响 因素和细节，提高校核结果的准确 性。
多学科交叉
将刚度校核与其他学科领域进行交 叉融合，如结构动力学、材料科学 等，拓展刚度校核的应用范围和深 度。
刚度过大
总结词
刚度过大是指结构在承受外部载荷时，其刚度表现过于强烈，导致结构内部产生 过大的应力或应变。
详细描述
刚度过大可能会使结构在承受载荷时产生过大的应力或应变，从而加速材料的疲 劳和损伤。此外，刚度过大的结构在受到冲击或振动时，可能会产生过大的响应 ，影响结构的舒适性和安全性。
刚度问题对结构性能的影响
劳和损伤。
03
刚度校核的步骤和注意事项
建立模型
模型简化
根据实际结构，对模型进行适当简化，保留主 要受力部分。
参数设定
确定模型中各材料的弹性模量、泊松比等参数 。
约束与载荷施加
根据实际情况，对模型施加合理的约束和外部载荷。
选择合适的校核方法
根据结构特点和校核目的，选择适合 的刚度校核方法，如有限元法、解析 法等。
总结词
刚度问题对结构性能的影响主要体现在结构的稳定性、安全性、舒适性和耐久性等方面 。
详细描述
刚度问题会影响结构的稳定性，使结构在受到外部载荷时容易发生变形或振动；同时， 刚度问题也会影响结构的安全性，使结构在受到意外载荷时容易发生破坏；此外，刚度 问题还会影响结构的舒适性和耐久性，使结构在使用过程中产生不适感或过早地出现疲
详细描述
桥梁结构的刚度校核需要考虑桥梁的跨度、材料、施工方法、环境条件等因素，以确保桥梁在使用过 程中能够承受各种外力作用，保持稳定和安全。在进行刚度校核时，需要依据相关标准和规范，对桥 梁的各个部位进行详细的计算和评估。
梁的强度校核
σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
[σ ]
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而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需 的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应 力[σ]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 62.4 × 103 N ⋅ m = = 175 ×106 Pa = 175 MPa 2 × 178 × 10 −6 m 3
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
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应力强度条件。
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3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截 面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座 的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计 算公式为 Fb 3l 2 − 4b 2 wC = 48EI
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)：
轴的扭转刚度校核
图12－4
3、钢丝软轴（挠性轴）
它不受任何空间的限制，可以将扭转或旋 转运动灵活地传到任何所需的位置，常用于医 疗设备、操纵机构、仪表等机械中。
图12－5
二、按照承受载荷不同分类
转轴：既承受扭矩又承 受弯矩（常见） 转动 根据承受载荷不同分类 受弯矩 心轴：只承受扭矩不承 固定 无弯矩 传动轴：只承受扭矩而
轴有不同的分类方法，也有不同类型的轴。 常用的分类方法有两类： 1）根据轴线的形状 不同分类；2）根据承受载荷不同分类。
光轴 根据需要可制成空心轴 直轴 阶梯轴 按轴线形状分类 旋转运动变为直线运动 曲轴：通过连杆可以把 可以穿过 钢丝软轴：具有挠性， 曲路传递运动或动力
三、轴的设计内容及应考虑的主要问题 与其它零件一样，轴的设计包括两个方面的 内容： 1 ）轴的结构设计：即根据轴上零件的安装、定 位及轴的制造工艺等方面的要求，合理确定轴的 结构形状和尺寸。 2）轴的工作能力设计：即从强度、刚度和振 动稳定性等方面来保证轴具有足够的工作能力和 可靠性。对于不同机械的轴的工作能力的要求是 不同的，必须针对不同的要求进行。但是强度要 求是任何轴都必须满足的基本要求。
合金钢：对于要求强度较高、尺寸较小或有其 它特殊要求的轴，可以采用合金钢材料。耐磨 性要求较高的可以采用 20Cr、20CrMnTi 等低 碳合金钢；要求较高的轴可以使用40Cr（或用 3 5 SiMn、40MnB 代 替 ） 、 4 0 CrNi( 或 用 38SiMnMo代替)等进行热处理。 合金钢比碳素钢机械强度高，热处理性 能好。但对应力集中敏感性高，价格也较高。 设计时应特别注意从结构上避免和降低应力集 中，提高表面质量等。
所以，轴的设计程序是：先根据扭转强度 （或扭转刚度）条件，初步确定轴的最小直径； 然后，根据轴上零件的相互关系和定位要求， 以及轴的加工、装配工艺性等，合理地拟订轴 的结构形状和尺寸；在此基础上，再对较为重 要的轴进行强度校核。只有在需要时，才进行 轴的刚度或振动稳定性校核。 因而，轴的设计区别于其它零件设计过程 的显著特点是：必须先进行结构设计，然后才 能进行工作能力的核算。
心轴的设计与校核
心轴的设计与校核心轴是一种广泛应用于各类机械装置中的重要部件。
它通常用于传递转动力和承受轴向负载。
心轴的设计与校核是确保机械装置安全运行的关键环节。
本文将介绍心轴的设计与校核的基本步骤和注意事项。
首先，心轴的设计需要根据装置的使用条件和工作要求进行。
对于重载工况的应用装置，心轴需要采用高强度和高硬度的材料，如合金钢或不锈钢。
而对于一些低速和轻载工况的装置，可以选用普通碳素钢材料。
此外，还要注意心轴的尺寸设计。
尺寸设计需要考虑装置的承载能力、振动和转速等因素。
通常，心轴的直径和长度与所传递的功率和转矩成正比。
其次，校核是确保设计的可靠性和安全性的重要步骤。
校核的目的是检查心轴是否符合所要求的承载能力和寿命要求。
校核一般包括两个方面的内容：强度校核和刚度校核。
强度校核是指检查心轴是否足够强度，能够承受来自外界的载荷。
在进行强度校核时，需要计算心轴的应力和变形。
应力可以通过使用梁的理论计算得到，变形则可以采用静力学公式来计算。
这些计算需要考虑心轴材料的力学特性和所受到的载荷情况。
校核的目标是确保心轴在工作过程中不会发生过大的应力和变形。
刚度校核是指检查心轴的刚度是否足够，能够满足装置的要求。
心轴的刚度主要包括轴向刚度和弯曲刚度两个方面。
在进行刚度校核时，需要计算心轴的刚度系数和自然频率。
这些计算通常采用有限元分析方法进行。
校核的目标是确保心轴在工作过程中具有足够的刚度，能够承受来自外界的振动和变形。
最后，还需要进行可靠性评估和寿命预测。
可靠性评估是指根据心轴的使用条件和工作要求，对其进行可靠性分析和评估。
可以采用可靠性模型来进行评估，如故障模式与影响分析（FMEA）和可靠性块图（RBD）等方法。
寿命预测是指通过对心轴的应力和变形进行疲劳分析，预测其使用寿命。
这需要根据心轴材料的疲劳性能和装置的工况来进行分析。
综上所述，心轴的设计与校核是确保机械装置安全运行的关键环节。
在设计心轴时，需要考虑材料选择和尺寸设计。
主轴刚度校核
主轴刚度校核通常只作刚度验算1.弯曲变形验算（1）端部桡度y≤[y]≤0.0002ll—跨距，前后车轴间的轴向距离（2）前支承处倾角θb≤[θ]≤0.001rad(3)小齿轮处倾角θ≤[θ]≤0.001rad2.扭转变形验算改变角φ≤1°支承简化与受力分析tmax=955⨯104⨯n⨯η=(n∙mm)njn--电机功率；η--机械效率取（0.75～0.85）；nj--主轴计算转速fc'=2⨯tmax=(n)，其中d=0.5⨯dmax=dff'=0.35⨯fc'=(n)fp'=0.5⨯fc'=(n)由f=a+0.4⨯dmaxf'作用在主轴端部的作用力afz=p=2⨯tmax=(n),其中df—齿轮分度圆直径df分解成水平面受力图：fp；fz1=fz×cosθ；m=ff×d/2分解成垂直面受到力图：fc；fz2=fz×sinθ（注意各力和力矩的方向，和公式示图相反加负号）ⅰ刚性车轴、弹性主轴（指导书p34）由传动力fz引起的变形：主轴端部桡度：y=-p⋅a⋅b.c(l+a)=（1-1）6e⋅i⋅lp⋅a⋅b(b-a)=（2-1）大齿轮处倾角：θ1=3e⋅i⋅lp⋅a⋅b⋅(2a+b)=（3-1）前车轴处倾角：θ2=-6e⋅i⋅l由切削力fp(fc)引起的变形：p⋅c2(l+c)=（1-2）主轴端部桡度：y=3e⋅ip⋅c(l2-3a2)=（2-2）6e⋅i⋅lp⋅c⋅l=（3-2）前车轴处倾角：θ2=3e⋅i小齿轮处倾角：θ1=-由切削力矩m引起的变形：m⋅c(2l+3c)=（1-3）6e⋅i⋅lm(l2-2a2)=（2-3）小齿轮处倾角：θ1=-6e⋅i⋅lm⋅l=（3-3）前支承处倾角：θ2=3e⋅i主轴端部桡度：y=PR320横截面惯性矩i=π⋅d464⨯(1-d0d)4=d—主轴平均值直径；do—主轴内孔直径材料弹性模量：e=2.1×105（mpa）ⅱ刚性主轴、弹性车轴由传动力fz引起的变形：主轴端部桡度：y=p(l+c)⨯(l-b)pbc-=（1-4）cb⨯l2ca⨯l2p(l-b)p⨯b-=（2-4）22cb⨯lca⨯l小齿轮和前车轴处倾角：θ1=θ2=由切削力fp(fc)引起的变形：主轴端部桡度：y=pcpc(1+)2+⨯()2=（1-5）cblcal p(l+c)p⨯c+=.（2-5）22cb⨯lca⨯l小齿轮和前车轴处倾角：θ1=θ2=由切削力矩m引起的变形：主轴端部桡度：y=m(l+c)m⨯c+=（1-6）cb⨯l2ca⨯l2 mm+=（2-6）22cb⨯lca⨯l小齿轮和前车轴处倾角：θ1=θ2=轴承刚度：ca=ra/∆0=;cb=rb/∆0=ra---后端的车轴反力；rb---前端车轴反力；δ0---轴承径向加速度量f3182100系列双列向心短圆柱滚子轴承：∆0=0.062⨯r0.815=(μm)d0.8950.077q0.9圆锥滚子轴承：∆0=⨯0.8=(μm)cosαl0滚动体上的载荷：q=5fr=（n）izcosαfr--轴承的径向载荷；d--轴承的孔径；α--轴承的接触角；z--每列于中翻转体数；i--翻转体列数；l0—滚子长度因此水平方向：y=y11+y12+y13+y14+y15+y16=θ1=θ21+θ22+θ23+θ24+θ25+θ26=θ2=θ31+θ32+θ33+θ24+θ25+θ26=y=y11+y12+y14+y15=θ1=θ21+θ22+θ24+θ25=θ2=θ31+θ32+θ24+θ25=综上所述y=y221+y2=(---)2=(---)2=(---)φ=tmax⨯lg⨯i⨯180抗炎抖横截面惯性矩i=132π(d4-d4环流模量g=8.1⨯104（mpa）l—主轴端部到大齿轮处的受扭长度d—主轴平均直径；do—主轴内孔直径。
转轴扭转强度、刚度校核
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
梁的刚度校核计算
σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
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(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 ql 2 = = 0.125ql 2 8 5ql 4 ql 4 = = 0.0130 384 EI EI
2 = 104 000 mm 3
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* S z ,max 的值也可按下式得出： 当然，
* z , max
S
(100 − 11) mm 11 = 73 mm × 11 mm × 100 − mm + (100 − 11) mm × 7 mm × 2 2 = 104000 mm 3
(
)
(
)
( ) ( (40 ×10 N )(0.9 m)× (3 × 2.4 m (12 ×10 N )(0.6 m)× (3 × 2.4 m
3 2 3 2
2
2
) − 4 × 0.9 m ) + − 4 × 0.6 m )]
2 2 2 2
1671× 103 N ⋅ m 2 = = 4.66 ×10 −3 m 48 210 ×109 Pa 2 ×1 780 × 10 −8 m 4
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
铸轧机强度及刚度的校核计算
第四章铸轧机强度及刚度的校核计算4.1 机架强度和变形计算铸轧机机架强度和变形的计算，一般采用如下步骤：（1）将机架结构简化成为刚架，即以机架各段面的中性轴的连线组成框架，近似地处理成直线或圆弧线段，并确定求解短面的位置；（2）确定静不定阶数，如一般闭式机架是三次静不定问题，需做一系列假设来简化模型，降低静不定阶数；（3）确定外力的大小及作用点；（4）根据变形协调条件，用材料力学中任一种方法（卡氏定理，莫尔积分法。
图乘法，力法等）求解静不定力及力矩；（5）根据计算截面的面积，惯性矩，中性轴线的位置及承载情况，求出应力和应变。
4.1.1双辊铸轧机机架的强度计算铸轧区的单位压力在考虑宽展存在时，铸轧区的变形金属的单位压力计算可以采用才采克利柯夫公式，即：P= K nσnbns式中 K ——铸轧带坯真正的变形抗力；nσ——应力状态系数，考虑到摩擦和张力对单位压力的影响；nb——宽展影响系数，考虑铸轧坯有宽展是对单位压力的影响；ns——外端影响系数，考虑铸轧区外端对单位压力的影响。
在轧制过程中，设铸轧辊上受到由垂直力P=100KN。
当P在图4-1 机架装备图4.2 铸轧辊强度校核轧辊的破坏取决于各种应力（其中包括弯曲应力，扭转应力，接触应力，由于温度分布不均或交替变化引起的温度应力以及轧辊制造过程中形成的残余应力等）的综合影响。
具体来说，轧辊的破坏可由下列三方面原因造成：1）轧辊的形式设计不合理或设计强度不够。
2）轧辊的材质，热处理或加工工艺不合要求。
例如，轧辊的耐热裂性，耐粘性及耐磨性差，材料中有夹杂物或残余应力过大等；3）轧辊在生产中使用不合理。
热轧轧辊在冷却不足或冷却不均匀时，会因热疲劳造成辊面热裂；冷轧时的事故粘附也会导致热裂甚至表层剥落；在冬季换、上冷轧辊突然进行高负荷热轧或者冷轧机停车，轧热的轧辊突然冷却，往往会因温度应力过大，导致轧辊表层剥落甚至断辊；压下量过大或因工艺过程安排不合理造成负荷轧制也会造成轧辊破裂等。
轴的刚度计算
和偏转角等于各载荷分别作用时该截面的挠度和偏转角的代数和（即 表3 轴的允许挠度yp及偏转角θp 条件 一般用途的轴 金属切削机床主轴 安装齿轮处 安装涡轮处 位置 dv的计算公式
y =∑ y ，
=∑ ）。 θp/rad = 0.001 = 0.005 = 0.05 = 0.0025 = 0.0016 = 0.001~0.002
A值 0.4 115 0.5 108 形的计算：
光轴的挠度和偏转角，一般按双支点梁计算。比较典型的受载情况可查表，其他轴受载情况 下的偏转角及挠度计算见有关材料力学公式。 对于阶梯轴，可近似按当量直径为dv的光轴计算。dv值的计算见下表。按当量轴径法计算阶 梯轴的挠度y与偏转角θ时，误差可达到+20%。所以对于十分重要的轴应采取更为可靠的计算 方法，详见材料力学。 在计算有过盈配合轴段的挠度时，应该将轴端和轮毂当作一个整体来考虑，即取轴上零件轮 毂的外径作为轴的直径。
轴的刚度计算
1.轴的刚度校核：
轴在载荷作用下，将发生弯曲和扭转变形。如果变形过大，将会影响轴上零件的工作。 例如，在电动机中，如果由于弯矩使轴所产生的挠度y过大，就会改变电机定转子间气隙的大 小，而影响电机的性能。 又如，内燃机凸轮轴受转矩所产生的扭角ϕ如果过大，就会影响气门启闭时间。 对于一般的轴径，如果由于弯矩所产生的转角θ过大，就会引起轴承上的载荷集中，造成不 均匀磨损和发热过度。轴上装齿轮的地方如有过大的转角，也会使轮齿啮合发生偏载。所 以，在设计机器时，常要提出刚度要求。
滑动轴承处 向心球轴承处 L-支撑间跨距 向心球面轴承处 y = 0.01-0.03 m 圆柱滚子轴承处 y = 0.02-0.05 m 圆锥滚子轴承处 mn、mt-齿轮法面及涡轮端面模数 安装齿轮处 表4 阶梯轴的当量直径dv计算公式 载荷作用于支点间 载荷作用于外伸端
梁的刚度校核
解 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度， 处转角不超过许用数值。 轴承B 处转角不超过许用数值。 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁 B 处的 转角为： 转角为： Fla
θB =
3EI
2
2）由刚度条件确定轴的直径： 由刚度条件确定轴的直径：
θB ≤ [θ ]
3
§8-6 梁的刚度校核
1.刚度条件 1.刚度条件
w max ≤ [w],
θ max ≤ [θ ]
l l ~ 建筑钢梁的许可挠度： 建筑钢梁的许可挠度： 250 1000 1 机械传动轴的许可转角： 机械传动轴的许可转角： 3000
精密机床的许可转角： 精密机床的许可转角：
1 5000
1
B
例7 已知钢制圆轴左端受力为 F＝20 kN，a＝l m，l＝2 m， kN， m， m， E=206 GPa。轴承B处的许可转 GPa。 =0.5° 角[θ] =0.5°。根据刚度要求 确定轴的直径d。
Fla 180 ⋅ ≤ [θ ] 3EI π
Fla ×180 I≥ 3Eπ [θ ]
πd 4
Fla ×180 ≥ 64 3Eπ[θ ]
64Fla ×180 4 64× 20×103 ×2×1×180 d ≤4 = 3Eπ [θ ]π 3×206×109 ×π 2 ×0.5 =111×10−3 m =111m m
材料力学梁的弯曲变形第5节 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
根据对强度和刚度的校核结果，选用 63a 工字钢满足设计要求。
二、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度
EI
、梁的跨度
z
l
以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，
以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
1、合理选择截面形状
影响梁弯曲刚度的截面几何性质是惯性矩
I
。
z
因此，从提高梁的刚度考虑，增大截面的惯性矩是
提高梁抗弯刚度的主要途径。例如使用工字形、圆
环形截面，可提高单位面积的惯性矩。
2、合理选择材料 要提高梁的刚度，应选用弹性模量较大的材料。
但要注意的是，各类钢材的弹性模量的数值非 常接近，故采用高强度优质钢来提高弯曲刚度是不 经济的。
3、改变梁上的载荷作用位置、方向和作用形式 合理调整载荷的位置及分布形式，可以降低弯
y
y
y
5、减小梁的跨度 增加梁的支座也可以减小梁的挠度。
一、梁的刚度条件
设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max， [ f ]和[ ]分别为挠度和转角的许用值，则
梁的刚度条件
| y |max [ f ]
| |max [ ]
挠度的许用值[ f ]一般为梁的跨度l的1/200～1/1000。
在安装齿轮或滑动轴承处，轴的[ ]=0.001rad。
矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集 中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右 图 ），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。
4、减小梁的跨度
因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以 减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。
如果把简支梁的支座向内移动 a ，简支梁变成 外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷 使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向 下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此挠度 减小了。
机械设计轴的校核
机械设计轴的校核在机械设计中，轴是一种用于传递动力和承受载荷的重要零件。
为了确保轴能够安全可靠地工作，需要进行轴的校核。
轴的校核主要包括轴的强度校核和轴的刚度校核。
首先，进行轴的强度校核。
轴的强度校核是为了保证轴在受到载荷时不会发生破坏。
对于受轴承力和传动力作用的轴来说，一般采用轴的直径来进行强度校核。
强度校核主要根据轴的材料性能参数和外部载荷进行计算，可以采用静力学分析方法。
首先，根据轴承力和传动力的大小，选择合适的材料。
然后，根据轴的直径进行强度计算，主要考虑轴的弯曲应力和挠曲应力。
轴的弯曲应力和挠曲应力必须小于材料的屈服强度，才能保证轴不会发生破坏。
另外，还需要进行轴的刚度校核。
轴的刚度校核是为了保证轴在受到载荷时不会发生过大的变形。
轴的刚度主要与轴的几何形状和材料的弹性模量有关。
刚度校核需要考虑轴在受载荷时的挠曲和扭转变形。
挠曲变形是轴在受到弯曲力时的弯曲程度，扭转变形是轴在受到扭矩时的扭转程度。
为了保证轴的刚度满足要求，可以通过轴的直径、长度和材料的选择来进行优化。
在进行轴的校核时，还需要考虑轴的安全系数。
安全系数可以保证轴在各种工况下都能够安全可靠地工作。
常见的安全系数一般为1.5-2.0，根据实际情况可以进行调整。
安全系数的计算需要考虑轴的材料的强度和刚度，以及轴的受载荷情况。
总之，轴的校核是机械设计中非常重要的一项工作。
通过轴的强度校核和刚度校核，可以确保轴能够安全可靠地工作。
此外，还需要注意轴的安全系数，以保证轴在各种工况下都能够满足要求。
梁的刚度校核
第五节 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施一、梁的刚度条件在按强度条件选择了梁的截面后，往往还需要进一步按梁的刚度条件检查梁的变形是否在设计条件所允许的范围内。
因为当梁的变形超过一定限度时，梁的正常工作条件就会得不到保证，为此还应重新选择截面以满足刚度条件的要求。
根据工程实际的需要，梁的最大挠度和最大转角不超过某一规定值。
由此梁的刚度条件为m ax y≤][y （9-5）m ax θ≤][θ （9-6） 式中][y 为许可挠度，][θ为许可转角。
其数值可以从有关工程设计手册中查到。
例9-11 图9-18所示为一吊车梁，跨长m 10=l ，最大起重量30kN =W F ，梁为工字钢截面，许用应力=][σ140MP a ，许可挠度400][ly =，弹性模量a GP 200=E 。
试选择工字钢型号。
图9-18解 （1）按正应力强度条件设计截面，选择工字钢型号由于截面尺寸未定，暂不考虑梁的自重影响。
当起吊重物在跨中点C 时，C 截面将产生最大弯矩和最大挠度。
最大弯矩为4103041)(max ⨯==l F M W W kN ·m =75kN ·m根据强度条件得z W ≥63max 101401075][)(⨯⨯=σW M m 63107.535-⨯=m 33cm 7.535=查附录C 型钢表，初选32a 号工字钢，3cm 602=z W ，11100=z I cm 4。
（2）刚度校核389333max 102.281011100102004810103048--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z W EI l F y m 2.28=mm40010000400][==l y mm 25=mm由于m axy ＞][y ，则32a 号工字钢不能满足刚度要求，需根据刚度条件重新选择型号，由[]z W EI l F y 483=得3933310251020048101030][48-⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y E l F I W z m 441025.1-⨯=m 412500=cm 4查型钢表得36a 号工字钢15800=z I cm 4，875=z W cm 3，单位长度自重588≈q N/m（3）按选得的工字钢考虑自重影响，对梁的强度和刚度进行校核如图9-18(c )所示，自重引起梁跨中最大弯矩22max 105888181)(⨯⨯==ql M q N ·m 35.7=kN ·m载荷和自重共同引起梁的最大弯矩为。
梁的强度校核资料
2019/8/7
15
30103 N 0.8 m 3 2.42 m2 4 0.82 m2
40103 N 0.9 m 3 2.42 m2 4 0.92 m2
12103 N 0.6 m 3 2.42 m2 4 0.62 m2 ]
其值小于许用切应力[]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
2019/8/7 应力强度条件。
8
3. 按刚度条件校核
此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截
面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座
的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计
11
(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为
M max
ql 2 8
0.125 ql2
5ql 4
ql 4
wmax 384 EI 0.0130 EI
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12
如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件(stiffness condition)：
wm a x l
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
w l
算公式为
Fb 3l 2 4b2
wC 48EI
常压容器强度刚度校核计算
1.强度计算按NB/T47003.1-2009《钢制焊接常压容器》执行 2.刚度计算按苏联经验公式核算
名称 液体深度 液柱静压力 计算压力 公称直径 许用应力 焊接接头系数 锥形角度
代号 h Pi Pc Dhi 【σ 】t ψ α COSα 椎底计算壁厚 δ h1 附加余量 C 椎底设计壁厚 δ h2 椎底取用壁厚 δ h
单位 m Mpa Mpa mm Mpa
锥底强度计算 公式 设计取定 ρ *g*h Pi+0.1 设计取定 查表5-1 Q235B 温度25℃ 设计取定 设计取定 Pc*Di/2【σ 】t*ψ *COSα 设计取定 δ h+C
常压容器刚度、强度校核计算
筒体强度计算 公式 设计取定 设计取定 查表5-1 Q235B 温度25℃ 设计取定 Pc*Di/2【σ 】t*ψ 设计取定 δ t+C
名称 计算压力 公称直径 许用应力 焊接接头系数 筒体计算壁厚 附加余量 筒体设计壁厚 筒体取用壁厚
代号 Pc Di 【σ 】t ψ δ t1 C δ t2 δ t
单位 Mpa mm Mpa mm mm mm mm
数值 0.1 1600 116 0.7 0.985 2 2.985 4
说明
筒体刚度校核 名称 代号 单位 公式 公称直径 Di mm 设计取定 校核壁厚 δ 1 mm Di/1000+4 说明：筒体取用壁厚δ t≥校核壁厚δ 1
数值 1600 1.594 筒体取用壁厚合格
主轴刚度校核
通常只作刚度验算 1.弯曲变形验算(1) 端部桡度y < ［丫］ < 0.0002L L —跨距，前后支承间的轴向距离 (2) 前支承处倾角0 B W [ 0 ] < 0.001rad(3) 大齿轮处倾角0 < [ 0 ] < 0.001rad 2.扭转变形验算支承简化与受力分析1 = 590其中 d = 0.5 咒 D max —F f ' = 0.35天 F c ' = (N) F p ' = 0.5XF c ' = (N)主轴校核T max =955"0铁n j=(N •mm)N--电机功率;--机械效率取(0.75〜0.85);nj--主轴计算转速由 F = a +WD max作用在主轴端部的作用力n 刚性主轴、弹性支承2xTF Z = P = maX=(N),d f其中d f —齿轮分度圆直径分解成水平面受力图：Fp ； F Z I =F Z X COS B ; M=F f X d/2分解成垂直面受力图：Fc ；F Z 2=F Z X sin 0(注意各力和力矩的方向，和公式示图相反加负号)I 刚性支承、弹性主轴(指导书P34)由传动力F Z 引起的变形: y =- P £ be- (1 -a)=6E ”1 丄 (1-1) 日1=P ‘a b 心、(b a)= 3E I 丄 (2-1) 02 = P £ 七■(2a +b)(3-1)由切削力Fp (F C )引起的变形： 主轴端部桡度:P C 2(1-2) 大齿轮处倾角:前支承处倾角:日1=- P "C (L 2-3a 2)= 6E ”1 L 3E ”1(2-2) (3-2)由切削力矩M 引起的变形：主轴端部桡度:大齿轮处倾角:前支承处倾角:y = M "C (2L +3C )= 6E d <a M 八 2 2 q = — ----------- (L -2a )=6E d L _ M ”L = "3E H(1-3) (2-3) (3-3)抗弯截面惯性矩I 」宀64d=d —主轴平均直径；do —主轴内孔直径材料弹性模量: E=2.1X 105(MPa主轴端部桡度: 大齿轮处倾角: 前支承处倾角:6E I <由传动力Fz引起的变形:主轴端部桡度：y = P(l+0" -b) PbcC A XI2(1-4)大齿轮和前支承处倾角：6^02P (l-b) Pxb2C B X|(2-4)由切削力Fp(Fc)引起的变形:主轴端部桡度："二咗)、C B P c 2i(T)2(1-5)Px c大齿轮和前支承处倾角：&=&2=晋+。
梁的刚度校核
wmax l
Fl2 3EI
12 103 N 3.52 m2 3 210 109 Pa 11075.510-8m4
2.1103 1 2.5 103 400
可见梁也满足刚度条件。
建筑力学
谢谢观看！
其值为
wmax
wB
Fl3 3EI
(↓)
2) 校核梁的强度。
查型钢规格表，32a号工字钢的Wz=692.2 cm3。梁 的最大正应力为
max
M max Wz
42103 N m 692.210－6 m3
60.68106 Pa
60.68MPa 170MPa
可见梁满足强度条件。
3) 校核梁的刚度。 查型钢规格表，32a号工字钢的Iz=11075.5cm4。 梁的最大挠跨比为
建筑力学
梁的刚度校核
[w]
梁的刚度校核
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往
还要对梁进行刚度校核。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中: wmax、max——梁的最大挠度和最大转角； [w] 、[]——许用挠度和许用转角。根据梁的
用途，[w]、[] 值可在有关设计规范中查得。
在建筑工程中，通常采用最大挠度wmax与跨度l 之比，即最大挠跨比限制在许用的挠跨比范围内，即
长l=3.5m，荷载F=12kN，已知材料的许用应力
跨比=17[0Biblioteka lM]P=a4，010 弹。性试模校量核E梁=2的10强M度P和a，刚梁度的。许用挠
【解】 1) 求梁的最大弯矩和最大挠度。 最大弯矩发生在固定端A截面上，其值为
Mmax= MA=Fl=42 kN·m
查表4.3，该梁最大挠度发生在自由端B截面处，
轴的刚度校核
轴的刚度校核般分别从轴的弯曲刚度校核计算和轴的扭转刚度校核计算两方面着手校核。
I.轴的弯曲刚度校核计算常见的轴大多可视为简文梁。
若是光轴，可直接用材料力学中的公式计算其挠度或偏转角；若是阶梯轴，如果对计算精容要求不高，则可用当量直径法作近似计算。
把阶梯轴看成是当量直径为dv的光轴，然后再按材料力学中的公式计算。
当量直径为式中：l i 阶梯轴第i段的长度，mmd i 阶梯轴第i段的直径，mmL ――阶梯轴的计算长度；m；Z ――阶梯轴计算长度内的轴段数。
当载荷作用干两支承之间时，L=l（I为支承跨距）；当载荷作用于悬臂端时, L=l+K（K为轴的悬臂长度）。
轴的弯曲刚度条件为：挠度y^[y] ™偏转角0 < [3]讪式中：[y]――轴的允许挠度，mm见表15-5 ；[9 ]――轴的允许偏转角，rad,见表15-5表15-5轴的允许挠度及允许偏转角*15-5轴的允许按度及允许拄■的跨J轧mm山一电动机定子与转子间的气隙“叭札一齿轮的法面懺数；fftl2-M轮的熾面複数“2 •轴的扭转刚度校校计算轴的扭转变形用每米长的扭转角p来表示。
圆轴扭转角P的计算公式为：光轴T(p- 5.73X104-------- (°)/m 115-15]GI P阶梯轴(p= 5.73X104^X—⑺加n 5-16JLG 口I p.式中：T --- 轴所受的扭矩，N・mn;G ——轴的材料的剪切弹性模量，MPa对于钢材，G=8.1*104MPaI p --------------- 轴截面的极惯性矩，口市对于圆轴，I p=「：d4/32L ——阶梯轴受扭矩作用的长度，mmT i、l i、I pi――分别代表阶梯轴第i段上所受的扭矩、长度和极惯性矩, 单位同前；z ――阶梯轴受扭矩作用的轴段数。
轴的扭转刚度条件为< ［］(°)/m式中［］为轴每米长的允许扭转角，与轴的使用场合有关。
对于一般传动轴，可取［］=0.5- 1( ° )/m ;对于精密传动轴，可取［］=0.25- 0.5( ° )/m ;对于精度要求不高的轴，［］可大于1( ° )/m 0表15-4 抗弯，抗扭截面系数计算公式*15-4 面紊败计尊公式7.1冲1 -/)注;近般廿冀时*单—般可黠略■花■釉囊面可祝为直轻等于平均直軽的■||面・注：近似计算时，单，双键槽一般可忽略，花键轴截面可视为直径等于平均直径的圆截面。
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刚度校核
l.轴的弯曲刚度校核计算
2.轴的扭转刚度校校计算
l.轴的弯曲刚度校核计算
常见的轴大多可视为简文梁。
若是光轴，可直接用材料力学中的公式计算其挠度或偏转角；若是阶梯轴，如果对计算精容要求不高，则可用当量直径法作近似计算。
把阶梯轴看成是当量直径为dv的光轴，然后再按材料力学中的公式计算。
当量直径为
式中：l i——阶梯轴第i段的长度，mm；
d i——阶梯轴第i段的直径，mm；
L——阶梯轴的计算长度；m。
；
Z——阶梯轴计算长度内的轴段数。
当载荷作用干两支承之间时，L=l（l为支承跨距）；当载荷作用于悬臂端时，L=l+K（K为轴的悬臂长度）。
轴的弯曲刚度条件为：
挠度
偏转角
式中：[y]——轴的允许挠度，mm，见表15-5；
[θ]——轴的允许偏转角，rad,见表15-5。
表15-5 轴的允许挠度及允许偏转角
2．轴的扭转刚度校校计算
轴的扭转变形用每米长的扭转角p来表示。
圆轴扭转角P的计算公式为：
光轴
阶梯轴
式中：T——轴所受的扭矩，N·mm；
G——轴的材料的剪切弹性模量，MPa,对于钢材，G=8.1*104MPa；
I p——轴截面的极惯性矩，mm4,对于圆轴，I p= d4/32
L——阶梯轴受扭矩作用的长度，mm；
T i、l i、I pi——分别代表阶梯轴第i段上所受的扭矩、长度和极惯性矩，单位同前；
z——阶梯轴受扭矩作用的轴段数。
轴的扭转刚度条件为
ϕ≤[ϕ] ( °)/m
式中[ϕ] 为轴每米长的允许扭转角，与轴的使用场合有关。
对于一般传动轴，可取[ϕ]=0.5-1( °)/m；对于精密传动轴，可取[ϕ]=0.25-0.5( °)/m；对于精度要求不高的轴，[ϕ]可大于1( °)/m。
表15-4 抗弯，抗扭截面系数计算公式
注：近似计算时，单，双键槽一般可忽略，花键轴截面可视为直径等于平均直径的圆截面。