任意角和弧度制知识点和练习
教师版__任意角和弧度制知识点和练习
9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（ ）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。 例3： 求两个集合的交集 已知集合，， 练习：1、集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3、，求 例4：判断下列角的集合的关系： 已知集合集合,则（ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件 是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上 都不对 16．设集合M={α|α=
最新高一三角函数知识点加练习题
《三角函数》一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k所以2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒90120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π2π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=ry)(x,P其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）例题：1.已知α∠为第二象限角，135sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值方法：①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负4、同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+= sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ∙，三式之间可以互相表示)例题：1.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为_____________.已知2tan =α，则1.ααααcos sin cos sin -+=_____________.2.αααα22cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换）度 0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度 0 6π 4π 3π 2π23π 34π 56π π 32π 2π sin α 0 12 22 32 1 32 2212 0 1 0 cos α 1 32 22 12 0 12- 22- 32- 1-0 1 tan α 0 33 1 3 无 3- 1- 33- 0 无 02.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍）例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =21，求①αsin .αcos ②αcos -αsin6、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是απ+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k②.公式（二）：α与α-()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=-③.公式（三）：α与πα+()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+=④.公式（四）：α与πα-()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=-⑤.公式（五）：α与2πα+sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ⑥.公式（六）：α与2πα-sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ⑦.公式（七）：α与32πα+ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ⑧.公式（八）：α与32πα- 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；例题1.)619sin(π-的值等于（ ）A. 21B. 21-C. 23D.23-2. 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==z k k M ,52ππαα，{}παπα<<-=N 则N M 等于（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ππ103,5B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ππ54,107C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--ππππ107,54,103,5D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ππ107,103 3. 已知33)6cos(=-απ求)6(sin )65cos(2πααπ+-+的值。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
完整版)三角函数知识点归纳
完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。
2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。
弧度与角度可以互相转换。
2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。
注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。
和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。
2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。
第5章-5.1.2-弧度制高中数学必修第一册湘教版
π
3
3π
，60∘
4
角
图5.1.2-3
的终边即 的终边,所以终边落在阴影部分内
（不包括边界）的角的集合为{|2π −
3π
4
π
3
< < 2π + , ∈ }.
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
π
6
π
2
π
6
π
2
{|2π + < < 2π + , ∈ } ∪ {|2π + π + < < 2π + π + ,
工制作零件，零件的截面如图5.1.2-6所示.为圆孔及轮廓
圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，
是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，
3
5
⊥ ，垂足为，tan ∠ = ,//, = 12 cm,
图5.1.2-6
= 2 cm,到直线和的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面
π
，则−
4
+ 2π <
π+
2
< 2π , ∈
π+
，
的终边
∵ 扇形面积 =
1
2
= 1，∴ =
∴ 周长 = + 2 =
2
+
2
，
2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号.
∴ 当 = 1时，周长最小.
【学会了吗丨变式题】
2.已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积的最大值为( B
A.100 cm2
高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题
知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
任意角的概念与弧度制知识点习题附答案
典型题一 有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是： （ ）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则 是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（ ）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
高一数学 任意角与弧度制及练习
任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈o g ，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.3．常用的象限角α是第一象限角，所以|36036090,k k k Z αα<<+∈o o o g gα是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈o o o o g gα是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈o o o o g gα是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈o o o o g g要点二：弧度制1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。
专题32 任意角和弧度制(解析版)
专题32 任意角和弧度制知识点一任意角1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）A．90°B．75°C．82.5°D．60°【答案】C【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.×30°＝82.5°.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－142.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】D【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.综上，共4次.3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°【答案】B【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.4.400°角终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.5.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）A．－α为第二象限角B．180°－α为第二象限角C．180°+α为第一象限角D．90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.7.终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.10.与405°角终边相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.12.下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.13.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.（1）k·90°与k·180°＋90°（k∈Z）；（2）k·180°±60°与k·60°（k∈Z）；（3）（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）；（4）k·180°＋30°与k·180°±30°（k∈Z）.【答案】（1）由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝（2k＋1）·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.（2）由于k·180°±60°＝（3k±1）·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.（3）由于（2k＋1）·180°表示180°的奇数倍，（4k±1）·180°也表示180°的奇数倍，故（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）是终边相同的角.（4）由于k·180°＋30°＝（6k＋1）·30°表示30°的（6k＋1）倍，而k·180°±30°＝（6k±1）·30°表示30°的（6k±1）倍，故这两个角不是终边相同的角.14.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）.【答案】（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.15.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.16.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，（2）终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.17.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）同理可表示图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.知识点二弧度制18.下列说法中，错误的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误. 19.比值lr （l 是圆心角α所对的弧长，r 是该圆的半径）（ ）A ．既与α的大小有关，又与r 的大小有关B ．与α及r 的大小都无关C ．与α的大小有关，而与r 的大小无关D ．与α的大小无关，而与r 的大小有关 【答案】C【解析】由题意，比值lr ＝|α|，∴比值lr 与α的大小有关，而与r 的大小无关，故选C.20.下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D ．π12化成度是15° 【答案】C【解析】对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°. 21.在△ABC 中，满足∠A ＝π6，∠B ＝π3，则∠C 等于（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．135°【答案】B【解析】∵三角形的内角和为π，∴∠C ＝π－π3－π6＝π2，∵π＝180°，∴∠C ＝90°.22.圆的半径是6cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（） A ．π2cm 2B ．3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2【答案】B【解析】15°化为弧度为π180×15＝π12.∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12|α|r 2＝12×π12×36＝3π2（cm 2）23.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（）A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9【答案】B【解析】设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r . ∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12|α|R 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2，∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.24.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．1cm 2【答案】D【解析】弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：12×2×1＝1（cm 2）. 25.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．16cm 2【答案】A【解析】设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为×4×2＝4（cm2）.2，扇形的面积为：1226.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π＋2kπ2D．α＋β＝（2k＋1）π【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.27.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（）A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【答案】D【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.28.给出下列命题，其中正确的是（）（1）弧度角与实数之间建立了一一对应关系；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90°的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角.A．（1）B．（1）（2）（5）C．（3）（4）（5）D．（1）（3）【答案】D【解析】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D.29.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为________.【答案】（【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ，则A 1＝π6×|AB |＝π6， A 2＝π6×|AC |＝√2π6， A 3＝π6×|DA |＝π6，A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3（A 1＋A 2＋A 3＋A 4）＝2+√22π. 30.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【答案】（1）在半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .（2）∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin ∠AOB ＝√34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－√34r 2＝(π6−√34)r 2. 31.如图，一长为√3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·|AB |＝π2·√3+1＝π，面积S 1＝12·π2·|AB |2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·|A 1C |＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·|A 1C |2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·|A 2D |＝π3·√3＝√33π，面积S 3＝12·π3·|A 2D |2＝12·π3·（√3）2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋√3π3＝(9+2√3π6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.32.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合（不包括边界）.【答案】（1）∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴{θ|−π6＝2kπ<θ<5π12+2kπ，k∈Z?}（2）∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴{θ|−3π4+2kπ<θ<3π4+2kπ，k∈Z?}。
专题32 任意角和弧度制(解析版)
专题32 任意角和弧度制知识点一任意角1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（）A．90°B．75°C．82.5°D．60°【答案】C【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果.×30°＝82.5°.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－142.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】D【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针.②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针.③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针.综上，共4次.3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°【答案】B【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字.3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°.4.400°角终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.5.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.6.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（）A．－α为第二象限角B．180°－α为第二象限角C．180°+α为第一象限角D．90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.7.终边与x轴重合的角α的集合是（）A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.8.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.9.与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.10.与405°角终边相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.11.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.12.下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.13.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.（1）k·90°与k·180°＋90°（k∈Z）；（2）k·180°±60°与k·60°（k∈Z）；（3）（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）；（4）k·180°＋30°与k·180°±30°（k∈Z）.【答案】（1）由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝（2k＋1）·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.（2）由于k·180°±60°＝（3k±1）·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.（3）由于（2k＋1）·180°表示180°的奇数倍，（4k±1）·180°也表示180°的奇数倍，故（2k＋1）·180°与（4k±1）·180°（k∈Z）是终边相同的角.（4）由于k·180°＋30°＝（6k＋1）·30°表示30°的（6k＋1）倍，而k·180°±30°＝（6k±1）·30°表示30°的（6k±1）倍，故这两个角不是终边相同的角.14.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）.【答案】（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.15.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.16.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，（2）终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.17.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.（2）同理可表示图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.知识点二弧度制18.下列说法中，错误的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误. 19.比值lr （l 是圆心角α所对的弧长，r 是该圆的半径）（ ）A ．既与α的大小有关，又与r 的大小有关B ．与α及r 的大小都无关C ．与α的大小有关，而与r 的大小无关D ．与α的大小无关，而与r 的大小有关 【答案】C【解析】由题意，比值lr ＝|α|，∴比值lr 与α的大小有关，而与r 的大小无关，故选C.20.下列转化结果错误的是（ ） A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D ．π12化成度是15° 【答案】C【解析】对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°. 21.在△ABC 中，满足∠A ＝π6，∠B ＝π3，则∠C 等于（ ）A ．120°B ．90°C ．75°D ．135°【答案】B【解析】∵三角形的内角和为π，∴∠C ＝π－π3－π6＝π2，∵π＝180°，∴∠C ＝90°.22.圆的半径是6cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（） A ．π2cm 2B ．3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2【答案】B【解析】15°化为弧度为π180×15＝π12.∴15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是12|α|r 2＝12×π12×36＝3π2（cm 2）23.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（）A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9【答案】B【解析】设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r . ∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12|α|R 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2，∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.24.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．1cm 2【答案】D【解析】弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：12×2×1＝1（cm 2）. 25.已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．16cm 2【答案】A【解析】设扇形的半径为R，所以2R＋2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为4，半径为×4×2＝4（cm2）.2，扇形的面积为：1226.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π＋2kπ2D．α＋β＝（2k＋1）π【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.27.已知集合A＝{α|2kπ≤α≤（2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于（）A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}【答案】D【解析】集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.28.给出下列命题，其中正确的是（）（1）弧度角与实数之间建立了一一对应关系；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于90°的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角.A．（1）B．（1）（2）（5）C．（3）（4）（5）D．（1）（3）【答案】D【解析】∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D.29.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为________.【答案】（【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为π3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ，则A 1＝π6×|AB |＝π6， A 2＝π6×|AC |＝√2π6， A 3＝π6×|DA |＝π6，A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3（A 1＋A 2＋A 3＋A 4）＝2+√22π. 30.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【答案】（1）在半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .（2）∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin ∠AOB ＝√34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－√34r 2＝(π6−√34)r 2. 31.如图，一长为√3dm ，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.（圆心角为正）【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·|AB |＝π2·√3+1＝π，面积S 1＝12·π2·|AB |2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·|A 1C |＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·|A 1C |2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·|A 2D |＝π3·√3＝√33π，面积S 3＝12·π3·|A 2D |2＝12·π3·（√3）2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋√3π3＝(9+2√3π6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.32.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合（不包括边界）.【答案】（1）∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴{θ|−π6＝2kπ<θ<5π12+2kπ，k∈Z?}（2）∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴{θ|−3π4+2kπ<θ<3π4+2kπ，k∈Z?}。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。
任意角和弧度制、任意角的三角函数
一、知识概述（一）、角的概念的推广1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角 .没有作任何旋转时称它形成了一个零角 .2、通常在直角坐标系下研究角，体现了数形结合的思想，同时渗透了基本的数学方法——坐标法，为后面研究任意角的三角函数埋下了伏笔。
3、角α与β的终边相同，则α与β相差整数个周角，即β=α＋k·360°，k∈Z. （二）、弧度制1、弧度的定义：长度等于半径长的弧所对圆心角叫1弧度的角，即角α的弧度数的绝对值为|α|=（其中l为弧长，r是圆的半径）.2、弧度与角度的换算.特殊角的度数与弧度数对应表：（三）、任意角的三角函数1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）.它与原点的距离，则：（1）比值叫α的正弦，记作sinα，即sinα=.（2）比值叫α的余弦，记作cosα，即cosα=.（3）比值叫α的正切，记作tanα，即tanα=.（4）比值叫α的余切，记作cotα，即cotα=.（5）比值叫α的正割，记作secα，即secα=.（6）比值叫α的余割，记作cscα，即cscα=.以上六种函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数 .2、三角函数的定义域3、三角函数的象限符号可用“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆。
（口诀表示的是三角函数值为正时角的终边所在象限）.4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等.二、重点知识归纳及讲解（一）、弧度与角度的换算例 1、设.（1）将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角.分析：运用角度与弧度的换算方法。
解：（1）∴α1在第二象限，α2在第一象限.（2）由－720°≤k·360°＋108°≤0°（k∈z），得k=－2或k=－1. ∴与β1有相同终边的角是－612°与－252°.同理：β2=－420°，与β2有相同终边的角是－60°.总结：（1）把角度化成弧度时乘以，把弧度化成角度时乘以.（2）－720°～0°指的是[－720°～0°].（二）、弧长公式与扇形面积公式的应用由弧度定义 |α|=可得弧长公式l=|α|·r，进一步可推导出扇形面积公式S=lr.以上公式比角度制下的相应公式要简洁.而且应用起来比较方便.例 2、已知扇形 OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.分析：将圆心角用弧度表示后，利用弧长公式和扇形面积公式即可获解 .解：∵α=120°=，r=6（cm）.∴弧长又∴ S弓形=S扇－S△OAB=（三）、任意角的三角函数定义的应用例 3、已知角α的终边与函数的图象重合，求sinα、cosα、tanα.分析：给出α的终边而要求三角函数值，只需在α终边上任取一点 P，再利用定义可直接求解，但必须注意这里的角α的终边有两种情形，应分别求解.解：由题意可知α的终边在第一或第三象限 .若α终边在第一象限，则在终边上任取点 P（2，3）.此时 x=2，y=3，r=.若α终边在第三象限，则在终边上任取点 P（－2，－3），此时 x=－2，y=－3，r=.总结：（1）因为点P的选取与三角函数的值无关，故怎样利于计算就怎样取.（2）解题中遇到不确定因素时，常采用分类讨论的思想方法.三、难点知识剖析（一）、区域角的表示例 4 、写出顶点在原点、始边重合于 x轴非负半轴、终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）.分析：先依照逆时针方向写出一周内边界所对应的角，然后用终边相同的角的写法表示出符合条件的角的范围 .解：（1）选定OA，在－180°～180°间，把图中以OA为终边的角看成－60°，以OB为终边的角看成150°，则：{α|－60°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} （2）把图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转180°得到的，则{α|120°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}.总结：α＋ k·360°（k∈Z）可看成每旋转360°，即重复出现.同理：α＋k·180°，α＋k·120°，α＋k·90°可分别看成每旋转180°，120°，90°重复出现.例 5、集合，集合，求A∩B.分析：用图示法可表示出 A∩B，注意集合B是每旋转重复出现，而A是每旋转4π重复出现，最后A∩B应是每旋转4π重复出现.解答：∴ A∩B=（二）、三角函数线设角α的终边与单位圆交于点 P，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.过点 A作单位圆的切线，与OP或OP的反向延长线交于点T.则有向线段AT叫做角α的正切线，在有关问题中利用三角函数线则会带来简便.例 6、当α∈（ 0，）时，求证：sinα<α<tanα.分析：利用代数方法很难得证。
任意角的概念及弧度制基础知识与练习
任意角的概念及弧度制基础知识一、角的定义:1、小学和初中对角的定义：2、高中对角的定义：3、正角、负角、零角的定义：4、角的加减法的几何意义：5、终边与某一角相同的角的表示法:6、象限角的定义:7、轴线角的定义：8、若角α是某一象限的角，则α2、α3分别是什么象限的角:二、弧度制、弧度制与角度制的换算1、角度值的定义：2、弧度制的定义:3、弧度制与角度制的换算4、 特殊角的弧度：5、 弧度、弧长、半径之间的关系:6、 扇形的面积的计算公式：任意角的概念及弧度制练习题1、 在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是 ．若角α与角β的终边互相垂直，则α与β的关系可以是 ．2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 ．3、已知集合{第一象限的角｝，{锐角｝，｛小于90o 的角},下列四个命题：① ② ③ ④正确的命题个数是 ．4、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ．5、若是第四象限角,则是 ．6、－1120°角所在象限是 ．7、下列命题是真命题的是( ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα8、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角9、两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为 。
=A =B =C C B A ==C A ⊂A C ⊂B C A =⊂ααπ-10、写出—720°到720°之间与—1068°终边相同的角的集合 ．11、与1991°终边相同的最小正角是 ．绝对值最小的角是 ．12、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为 ．13、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．14、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ．15、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ．16、设集合， {}Z k k k A ∈︒+︒⋅<<︒-︒⋅=,4536045360αα=B {}Z k k k ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅,9018030180ββ,求B A ，B A 。
02-第一节 任意角和弧度制-课时2 弧度制高中数学必修一人教A版
⌢
为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，则 , ,围成的阴影部
4π
− 3
分的面积为________．
3
【解析】 如图，连接,.由题意知，线段,,
的长度都等于2，所以△ 为正三角形，则
∠ = ∠ =
1
2
π
.又△
3
的面积
1 = × 2 × 3 = 3，扇形的面积
2.4 rad的角的终边所在的象限为( C )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【解析】 因为4 ≈ π + 0.86，所以π < 4 < π
D.第四象限
π
+ ，故其终边在第三象限.
2
知识点2 弧度制与角度制的互化
3.用弧度制表示与150∘ 角终边相同的角的集合为( D )
A.{| =
5π
D.用弧度表示的角都是正角
【解析】 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于
所在圆的半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度
的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角
所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角
或零角，故D错误.
2π
−
准,则手表分针转过的角的弧度数为_____,已知手表分针长1
cm,则分针扫
π
2.
过的扇形面积为__cm
3
3
【解析】 由题意得手表分针转过的角的弧度数为 = −2π ×
20
60
=
2π
− .由
3
π
3
cm2 .
手表分针长1 cm,即扇形的半径 = 1 cm,得分针扫过的扇形弧长
第五章-5.1-任意角和弧度制高中数学必修第一册人教A版
第二象限角时， 的终边在标号为“二”的位置上.故 可能是第一象限
3
3
角、第二象限角或第四象限角.
图5.1-8
【学会了吗|变式题】
2.［多选题］(2024·福建省厦门市期末)
已知角
的终边与120∘
A.第一象限角
角的终边关于轴对称，则 是(
2
B.第二象限角
C.第三象限角
BD
)
D.第四象限角
【解析】∵ 角 的终边与120∘ 角的终边关于轴对称，∴ 角 的终边与−120∘ 角
=−
②③
的是______.
【解析】在①中， 与 的始边相同， 的终边为 的始
边， 与 的终边相同，所以 = + .
在②中， 与 的始边相同， 的终边为− 的始边，−
与 的终边相同，所以 = + − = − .
同理可知，
③中 = − ，④中 = + .
（1）405∘ ；
【解析】405∘ 角是第一象限角.405∘ = 45∘ + 360∘ ，所以在0∘ ∼ 360∘ 范围内，与
405∘ 角终边相同的角是45∘ 角.
（2）−45∘ ；
【解析】−45∘ 角是第四象限角.−45∘ = 315∘ − 360∘ ,所以在0∘ ∼ 360∘ 范围内,与
−45∘ 角终边相同的角是315∘ 角.
4
AB
3π
，故A正确；
4
+ 2π ， ∈ ，
5π
，故B正确；
4
+ 2π =
9π
− ，解得
4
+ 2π =
13π
，解得
4
=
(完整版)任意角的概念与弧度制重点、难点题型
任意角的概念与弧度制重点、难点题型题型一终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：S k 360°,k z 终边相同的角不一定相等，等相等的角一定终边相同。
例 1. 把1230°、3290°写成k 360°（其中0°360°, k z）的形式。
例2. 在0°到360°范围内找出与1500°，-1500°（1）终边互为反向延长线的角；（2）终边关于x轴对称的角；（3）终边关于y轴对称的角；题型二轴线角与象限角1.终边落在x轴正半轴上角的集合2.终边落在x轴负半轴上角的集合3.终边落在y轴正半轴上角的集合4.终边落在y轴负半轴上角的集合5.终边落在x轴上角的集合6.终边落在y轴上角的集合7.终边落在坐标轴上角的集合8.与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系9.与终边关于X轴对称,与的关系10.与终边关于y轴对称,与的关系11.第一象限角的范围：12.第二象限角的范围：13.第三象限角的范围：14.第四象限角的范围：例3.设为第一象限角'判断-、亍2分别是第几象限角?例 4•集合 A= | =k 1200 30°,k z ,B k 3600 1200 k 360° 60°,k z ，求A B3.设集合 A xx kgl8O 0 则集合A 、B 的关系是（） （A ）A B （ B ）B A4.. 如图所示，终边落在阴影部分5.. 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.题型三弧度制与角度值的互化 1.1800，10 _______ _______ ，1 = _____度0030045060090012001350弧度度1500180021002250270°31503300弧度(A)第象限（B ）第二象限(C ) 第三象限 （D ）第四象限2•如果 与x 450具有同一条终边，角 与x 450具有同一条终边，那么, 间关系: 是（）(A )(B )(C )kgB60°,k z(D )kgB60° 900,k z跟踪练习：1•已知角，终边相同，那么 的终边在（）与之(1)k g900,k z ，B= xx kg3600 900,k z（C ） A=B （ D ）A B= （含边界）的角的集合是跟踪练习:1.如果 与一具有同一条终边，角 与具有同一条终边，那么， 与 之间关系是()44(A)(B)= 7 (C)+ =2k ,k z(D)=2k尹z2.终边在直线 y=x 上的角的集合为3.集合Mx xk—,k z-N x x则MN 等于( )2 517 47 4/ 、 37(A)—(B )(C )(D )——,5 1010 55 10 10 510 104•已知 是第二象限角，且 +2 5，贝U的范围为 ___________5.. 已知 8000。
最新任意角的概念及弧度制基础知识与练习
任意角的概念及弧度制基础知识一、角的定义：1、小学和初中对角的定义：2、高中对角的定义：3、正角、负角、零角的定义：4、角的加减法的几何意义：5、终边与某一角相同的角的表示法：6、象限角的定义：7、轴线角的定义：8、若角α是某一象限的角，则α、α分别是什么象限的角：二、弧度制、弧度制与角度制的换算1、角度值的定义：2、弧度制的定义：3、弧度制与角度制的换算4、 特殊角的弧度：5、6、 弧度、弧长、半径之间的关系：7、 扇形的面积的计算公式：任意角的概念及弧度制练习题1、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是 ．若角α与角β的终边互相垂直，则α与β的关系可以是 ．2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 ．3、已知集合{第一象限的角}，{锐角}，{小于90o 的角}，下列四个命题：① ② ③ ④正确的命题个数是 ．4、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ．5、若是第四象限角，则是 ．6、－1120°角所在象限是 ．=A =B =C C B A ==C A ⊂A C ⊂B C A =⊂ααπ-7、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα8、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角9、两弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形的面积为 .10、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合 ．11、与1991°终边相同的最小正角是 ．绝对值最小的角是 ．12、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为 ．13、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．14、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ． 15、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ．16、设集合, {}Z k k k A ∈︒+︒⋅<<︒-︒⋅=,4536045360αα=B {}Z k k k ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅,9018030180ββ,求B A ,B A .17、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
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知识点一：任意角
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o
第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o
o
o
o
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o
o
o
o
第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o
o
o
o
终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o
o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o
3、终边相同的角：
与角α终边相同的角的集合为{}
360,k k ββα=⋅+∈Z o 4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k
的区域是角
n
α
终边所在的范围。
知识点二、弧度制的转换：
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=
． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o
，1180π
=o
，180157.3π⎛⎫
=≈ ⎪⎝⎭
o
o ．
8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211
S lr r α==．
例题分析 【例1】在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2）
；（3）
．
【例2】如果α角是第二象限的角，那么
2α，3
α
角分别是第几象限的角？说说你的理由。
【例3】写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
【例4】（1）扇形的中心角为π3
2
，弧长为π2，则其半径=r ______．
（2）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．
（3）点P 从圆心在原点O 的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π65
弧长，到达点Q ，则点
Q 的坐标是_______________.
（4）将65π
rad 化为角度是 ．
（5）已知扇形的周长为cm 3
24π
+
,其半径为cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 . （6）若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为（ ）
A 、1sin 2
B 、21sin 2
C 、 21sin 1
D 、tan1
【例5】如图,一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB 和劣弧AB 所组成的弓形的面积.
A B
R R
【例6】如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
【例7】一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此
扇形的最大面积？
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）
Α.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于︒90的角都是锐角。
3．如果一扇形的弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）
Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．π2 Ｄ．3π
2
4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5．若3rad α=-，则它是（ ）C
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角 6.一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
Ａ．2112sin 222
R ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
Ｂ．21sin 22
R Ｃ．212
R
Ｄ．221
sin 22
R R -
7．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α
的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限
8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）
A ．2°
B ．2
C ．4°
D ．4 9．下列说法正确的是
（ ）
A ．1弧度角的大小与圆的半径无关
B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D ．用弧度表示的角都是正角
10．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A ．2
B ．
1
sin 2
C ．1sin 2
D ．2sin
二、填空题
11．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ．
12.将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度．
13．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
14．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题
15.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）ο210-； （2）731484'-ο．
16．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1） （2） （3）
17．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm?
18、已知两角的和为1弧度，两角的差为1°，求这两个角各是多少弧度？。