探求正四面体外接球内切球半径求法

探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.
已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h
是
3a
，外接球半径是4a 即34R h =；内切球
半径是a 即14
r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：
方法一：（勾股定理）
作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥
高3
h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH 中，222BO BH OH =+，
即222))33
R a a R =+-， 方法二：（三角正切倍角公式）
作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥
高3
h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt ABH
中，tan ,23
a BH AH θ=== 在Rt OBH
中，3tan 2,3a BH OH r r
θ===
方法三：（分割等体积）
作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥
高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,,,BO CO DO 得到四个以O 为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是 内切球的半径r ，设正四面体每个面的面积为S ，
则4,O BCD A BCD V V --=即114,33
S r S AH ⨯= 方法四：（侧棱、高相似或三角）
作 平面于点,则点H 是的中心，
AH BCD H BCD ⊥
高3
h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BH
AMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，
AMO AHB ∴， AM AO AH AB
∴
=， 即,a
R a
= 或：设BAH MAO θ∠=∠=
，则 在Rt ABH 中，3cos a AH AB a θ==， 在Rt AMO 中，2cos .a
AM AO R
θ==
32a a
a R
∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）
作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥
高3
h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，
作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC 中心，N 是AE 的三等分点，
平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO
Rt AEH AN AO AH AE ∴=，
a R = ，
或：设EAH NAO θ∠=∠=，则
在Rt AEH
中，cos a AH AE θ=
=， 在Rt ANO
中，3cos .a AN AO R
θ==
32a a R
∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）
作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥
高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈
设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，
则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC
则,Rt ODH
Rt DNE OH OD NE DE ∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13
r R ∴=， 3.R r ∴=
又,3R r AH h a +===
或：在Rt DNE 中，1sin ,3
NE NDE DE ∠== 在Rt DOH 中，sin sin ,OH NDE ODH OD ∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13
r R =， 3.R r ∴=
又,R r AH h a +===
方法七：（构造正方体）
外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a
的棱长为
.2a
2a R ⨯=， 方法八：（相交弦定理）
设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，
交底面BCD 于H ，则H 为BCD 的外心，求得
,,33
AH a BH a == 由相交弦定理得
解得.4R a =
以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。