探求正四面体外接球内切球半径求法

探求正四面体外接球、内切球半径 正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.

已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h

是

3a

，外接球半径是4a 即34R h =；内切球

半径是a 即14

r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：

方法一：（勾股定理）

作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥

高3

h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH 中，222BO BH OH =+，

即222))33

R a a R =+-， 方法二：（三角正切倍角公式）

作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥

高3

h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt ABH

中，tan ,23

a BH AH θ=== 在Rt OBH

中，3tan 2,3a BH OH r r

θ===

方法三：（分割等体积）

作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥

高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,,,BO CO DO 得到四个以O 为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是 内切球的半径r ，设正四面体每个面的面积为S ，

则4,O BCD A BCD V V --=即114,33

S r S AH ⨯= 方法四：（侧棱、高相似或三角）

作 平面于点,则点H 是的中心，

AH BCD H BCD ⊥

高3

h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BH

AMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，

AMO AHB ∴， AM AO AH AB

∴

=， 即,a

R a

= 或：设BAH MAO θ∠=∠=

，则 在Rt ABH 中，3cos a AH AB a θ==， 在Rt AMO 中，2cos .a

AM AO R

θ==

32a a

a R

∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）

作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥

高3

h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，

作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC 中心，N 是AE 的三等分点，

平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO

Rt AEH AN AO AH AE ∴=，

a R = ，

或：设EAH NAO θ∠=∠=，则

在Rt AEH

中，cos a AH AE θ=

=， 在Rt ANO

中，3cos .a AN AO R

θ==

32a a R

∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）

作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥

高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈

设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，

则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC

则,Rt ODH

Rt DNE OH OD NE DE ∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13

r R ∴=， 3.R r ∴=

又,3R r AH h a +===

或：在Rt DNE 中，1sin ,3

NE NDE DE ∠== 在Rt DOH 中，sin sin ,OH NDE ODH OD ∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13

r R =， 3.R r ∴=

又,R r AH h a +===

方法七：（构造正方体）

外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a

的棱长为

.2a

2a R ⨯=， 方法八：（相交弦定理）

设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，

交底面BCD 于H ，则H 为BCD 的外心，求得

,,33

AH a BH a == 由相交弦定理得

解得.4R a =

以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.