九年级数学竞赛讲座常量数学到变量数学附答案

数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．

函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．

【例题求解】

【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． (河南省竞赛题)

思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．

注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：

(1)利用几何计算求；

(2)通过解析式求；

(3)解由解析式联立的方程组求．

【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图象中的( )

思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0

h．

注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．

【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：

若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．

(1)如果用W l、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出W l、W2、W3与小x间的函数关系式．

(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?

(湖北省黄冈市中考题)

思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由W l—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．

【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(23，8)．

(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；

(2)写出A、B两点的坐标；

(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． (江苏省常州市中考题)

思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．

注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．

【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．

(1)当AP＝3cm时，求的值；

(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；

(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)

思路点拨对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需

分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．

注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：

(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；

(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．

学力训练

1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标．

(贵州省中考题)

2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)． (广西桂林市中考题)

3．根据指令(S ≥0，0°

(浙江省杭州市中考题)

4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 的坐标为(一2，0)，点B 在x 轴上方，设AB ＝a ，那么点B 的横坐标为( ) A ．22a -

B ．22a +

C ．22a --

D ．2

2a

+- (年南昌市中考题)

5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( ) A ．爸爸登山时，小军已走了50米 B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶

D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快