第七章振动与波动4

2 2
2 x

cos t V
2
40
wp 2 A0 sin
2 x

cos t
2
各点的动能和势能都随时间作周期性变化，但两者的变化 不同步。 当各质点的位移达到最大值时，动能为零，势能密度：
wp 2 A0 sin
2 2 2
2 x
波节处势能密度最大，波腹处势能密度为零。驻波的势能 集中在波节附近。 当中各质点到达平衡位置时，势能为零，动能密度
12
(1)干涉条件 波频率相同，振动方向相同，位相差恒定 满足干涉条件的波称相干波. (2)干涉现象 某些点振动始终加强，另一些点振动始终 减弱或完全抵消. 例 水波干涉 光波干涉
13
(3)干涉现象的定量讨论 波源振动
y 1 A1 cos( t 1 )
y 2 A 2 cos( t 2 )
波密介质 波 密 介 质 较 大
u
波 疏 介 质
u
较 小
35
相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分 界处产生 π 的相位跃变，相当于出现了半个 波长的波程差，称半波损失.
36
波密介质
波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反 射波在此处的相位时时相同，即反射波在分 界处不产生相位跃变.
wk 2 A0 cos
2 2 2

2 x
波腹处动能密度最大，波节处动能密度为零。驻波的动能 集中在波腹附近。 驻波的动能和势能不断地在波腹和波节之间的小范围内迁 41 移并转换。驻波进行过程中没有能量的定向传播。

例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波 3 方程为 y 1 10 cos[200 π(t x / 200)] (m) （1） 在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O 相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1 的波阻, 反射波与入射波的振幅相等, 求：
当 cos
x 2k
2π

x 1 时
A 2 A 为波腹

4
( 的偶数倍)
4

(k 0,1,2， )
30
结论 有些点始终不振动,有些点始终振 幅最大. 相邻波腹（节）间距 2 相邻波腹和波节间距 4 振幅包络图 波节

4
y


4
波腹
3 4

2
5 4
x
31
L P S1 P S2 P
x
L-x
23
（3）P 点在 S 1 左侧， r2 r1 L


2

9 2
5
S1 左侧所有的点两简谐波的振动相互减弱。
L P
S1
x
P L-x
S2
P
24
二 驻波
1 现象
25
2 条件
两列振幅相同的相干波相向传播
26
3 驻波的形成
27
驻波方程
正向 负向
O
x
dx
O
y
y dy
x x
7
能量密度：单位体积介质中的波动能量
w dW dV A sin ( t
2 2 2
x u
)
平均能量密度：能量密度在一个周期内的 平均值 1 T 1 2 2
w T

w dt
A
0
2
O
x
dx
O
y
y dy
x x
8
三.波的能流和能流密度
能流：单位时间内垂直通过某一面积的 能量. 平均能流：
P wuS
udt
S
9
u
能流密度 ( 波的强度 )I:
通过垂直于波传播方向的单位面积的平 均能流.
I P S
I 1 2
P wuS
u
wu
A u
2 2
udt
S
10
例 证明球面波的振幅与离开其波源的距 离成反比，并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过两个球面的平均能 流相等. w1uS 1 w 2 uS 2
2
1
YS d x (
dy dx
)
2


u dV (
2
2
2 dy
)
2
2 1
2
dx
d VA sin ( t
2 2
x u
)
O O
x
dx
y
y dy
x x
4
d W d VA sin
2 2
2
(t
x u
)
体积元的总机械能
d W d W k d W p d VA sin ( t
17
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有 干涉的波程差条件 当 r1 r2 k 时（半波长偶数倍） 合振幅最大
Amax A1 A2
当 r r (2k 1) 时（半波长奇数倍） 1 2
2
合振幅最小
Amin A1 A2
18
例 如图所示，A、B 两点 P 为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 cm，频率皆 A 20 m 为100 Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 恰为波谷.设波 速为10 m s 1 ，试写出由A、 B发出的两列波传到点P 时 干涉的结果.
(2) 相位分布
y (2 A cos
x (
2π

, 4 4

x) cos t A cos t
2π x0
), cos

y (2 A cos
2π

x) cos t
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
32
x(
3
, 4 4
), cos
2π

x0
y (2 A cos
1
x
x

cos 2 π t

随 x 而异,与时间无关
k π k 0 ,1, 2 ,
)π k 0 ,1, 2 ,
cos 2 π
x
2π
2π
x


0

x

(k
1 2
29
当
cos
2π
x (2k 1)

4
x0 时
A 0
为波节
( 的奇数倍)
4

(k 0,1,2， )
2 2 2
x u
)
O
x
dx
O
y
y dy
x x
5
讨 论 (1)在波动传播的介质中，任一体积元的 动能、势能、总机械能均随 x , t 作周期性变 化，且变化是同相位的.
d W d VA sin
2 2
2
(t
x u
)
6
(2) 任一体积元都在不断地接收和放出 能量，即不断地传播能量. 任一体积元的机 械能不守恒. 波动是能量传递的一种方式 .
A
2 2
2 π r1
2 π r1
) A 2 sin( 2 ) A 2 cos( 2
2 π r2
2 π r1
) )
A1 A 2 2 A1 A 2 cos
2 1 2π
r2 r1
s1
r1
r2
*
P

定值
s2
15
讨 论A2πFra bibliotekx) cos t (2 A cos
2π

x) cos(t π)
结论 一波节两侧各点振动相位相反
y


4

4
3 4
5 4
x
33
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反 射发生在两介质交界面上，在交界面处出现 波节还是波腹，取决于介质的性质. 介质分类
波疏介质,波密介质
34
波疏介质
22
S2
P
（2）P 点在 S1 和 S2 之间， r2 r1 L 2 x


2

(9 2 x) 2
令 2k 得：振动加强的点为
x 2k 4 （ k 2、 1 0、、 ） 、 1 2
（ ） 令 2k 1 得：振动减弱的点为
x 2k 5 （ k 2、 1 0、、 ） 、 1 2
A1 A2 2 A1 A2 cos
2 2
位相差 决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件 当
2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大 当
Amax A1 A2
2k 1π
合振幅最小
Amin A1 A2
16
位相差
( 2
二
波动能量
波的传播是能量的传播，传播过程中， 介质中的质点运动，具有动能 W k，介质形变 具有势能 W p .
1
y A cos ( t
x u
)
以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
dW k
v
1
2 y
t
d m v
2

1 2
d V v
2
A sin ( t
y 1 A cos 2π ( t x

)
y 2 A cos 2π ( t