(优选)线性二次型最优控制器设计

在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
（优选）线性二次型最优控制 器设计
应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很
多简单、确定系统的实际设计问题。但是对于诸多 新型而复杂的控制系统，例如多输入多输出系统与 阶次较高的系统，往往得不到满意的结果。这时就 需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。
最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控
制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务 时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统 不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控 制的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指 标为最小。
程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
在MATLAB工具箱中，提供了求解连续系统 二次型最优控制的函数：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其调用格式为：
K, S, E lqr(A, B,Q, R, N) K, S lqr2(A, B,Q, R, N) K, S, E lqry(sys,Q, R, N)
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存
（3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虚轴上不是非能观
模式。
当上述条件不满足时，则二次型最优控制无解，函数
会显示警告信号。
3.连续系统二次型最优控制设计实例
【例8.7】设系统状态空间表达式为：
0
•
x
0
1
y 1
1 0 0
01
x
0
u
4 6 1
0 0 x
(1)采用输入反馈，系统的性能指标为：
ห้องสมุดไป่ตู้ u J 1
(
20
TQx
1
TRu)dt
取
Q
0
0
0 1 0
0
0
，R=1
1
(2)采用输出反馈，系统的性能指标为：
y u J 1
(
T
Qy
TRu)dt ，取Q=1,R=1
20
试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵
K [k1 k 2
仿真。
k
]
3
，并对闭环系统进行单位阶跃的
【解】
（1）我们可以用MATLAB函数lqr()来求解LQ最
优控制器，程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=diag([1,1,1]); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序运行结果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046
同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-1所示。 图1-1 闭环系统阶跃响应曲线
由图1-1可知，闭环系统单位阶跃响应曲线略微 超调后立即单调衰减，仿真曲线是很理想的，反 映了最优控制的结果。
（2）我们可以用MATLAB函数lqry()来求解LQ最优控 制器，给出程序清单如下：
A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6]; B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc)
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u R B 1 TPx Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须
A R 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 PA TP PB 1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
2.连续系统二次型最优控制的MATLAB函数
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
•
x(t) Ax(t) Bu(t)
x u u 要寻求控制向量 (t)使得二次型目标函数 J 1
(
TQx
TRu)dt
20
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。