北大经院微观刘文忻 答案 (7)

STC LTC
2
相切的点 （100,200） （200，400） （400，800）
K =100 K =200 K =400
0.01q +100 0.005q +200 0.0025q +400
2 2
2q 2q 2q
从短期平均成本函数推导长期平均成本函数：
min STC = K
q2 + K （将其中的 K 看作是可变的） K
a. Calculate the firm’s total costs as a function of q, w, v, and K . b. Given q, w, and v, how should the capital stock be chosen to minimize total cost? c. Use your results from part (b) to calculate the long-run total cost of hockey stick production. d. For w=$4, v=$1, graph the long-run total cost curve for hockey stick production. Show that this is an envelope for the short-run curves computed in part (a) by examining values of K of 100, 200, and 400. 解： a. STC=wL+v K ，而根据 q = 2 KL ， L =
2．英文教科书Nicholson, Chapter 12 problem 12.7 page328 Suppose, as in Problem 12.6, a firm produces hockey sticks with a production function of
q = 2 KL . Capital stock is fixed at K in the short run.
（4）如果一个完全竞争厂商在AVC曲线下降时达到了短期均衡，为了使其利润最大，该厂 商就应当增加可变要素的投入。 错。如图，如果短期均衡处于 AVC 下降阶段时，说明短期均衡价格低于 SAVC，因此， 厂商处于亏损经营状态，连生产的可变成本也不能够全部收回，则此时厂商应该选择停产， 而不是增加可变要素投入。
3．英文教科书Nicholson, Chapter 12 problem 12.8 page329 An enterprising entrepreneur purchase two firms to produce widgets. Each firm produces identical product, and each has a production function given by
q 5 2q q − = 0 Î L1* = ( ) 2 ， L2* = ( ) 2 4 20 L1 25 25
代入各自的生产函数Î q1 =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱq 4q ， q2 = 5 5
b. STC = L1 + L2 + 125 =
q2 + 125 125
SAC =
q 125 2q ， SMC = + 125 q 125
(5)短期内完全竞争厂商处于停业点上，该厂商由于无法弥补其全部固定成本而肯定会退出 该行业。 错。处于停业点（关闭点）上意味着该厂商面临 P=SAVC，退出与不退出是无差异的， 都会损失相当于固定成本的数额。在现实中考虑到社会稳定和就业目标因素可能不会退出。 如果是 P>SAVC，理性的企业会选择继续经营，因为继续营业至少还可以弥补一部分固定 成本。如果 P<SAVC，该厂商菜一定会退出该行业，但理由不是“无法弥补其全部规定成 本” ，而是“不能弥补全部可变成本” 。
q2 4K
=> STC = w
q2 + vK 4K
b. min TC = wL + vK L,K s.t. q = 2 KL ÎK =
*
q w q v * ，L = 2 v 2 w q v q w +v =q wv 为长期总成本函数 2 w 2 v
c. LTC=wL+vK=w
q2 d. 当 w=4,v=1 时，LTC=2q， STC = +K K
q = KL , i=1, 2
The firms differ, however, in the amount of capital equipment each has. In particular, firm 1 has K1=25, whereas firm 2 has K2=100. Rental rates for K and L are given by w=v=$1. a. If the entrepreneur wishes to minimize short-run total cost of widget production, how should output be allocated between the two firms? b. Given that output is optimally allocated between the two firms, calculate the short-run total, average, and marginal cost curves. What is the marginal cost of the 100th widget? The 125th widget? The 200th widget? c. How should the entrepreneur allocate widget production between the two firms in the long run? Calculate the long-run total, average, and marginal cost curves for widget production. d. How would your answer to part (c) change if both firms exhibited diminishing returns to scale? 解： a. 设两个企业的产出分别为 q1 和 q2，根据已知，有：
q1 = 5 L1 ， q2 = 10 L2
Min STC = w( L1 + L2 ) + r ( K1 + K 2 ) = L1 + L2 + 125 s.t. q1 + q2 = 5 L1 + 10 L2 = q
(q − 5 L1 ) 2 + 125 =>min L1 + 100
F.O.C.
当 q=100 时，SMC=8/5；当 q=125 时，SMC=2；当 q=200 时，SMC=16/5。 c.在长期，他面临的生产配置问题是：
L1 , K 1 ; L 2 , K 2
m in
LTC = w ( L1 + L 2 ) + r ( K 1 + K 2 ) = L1 + L 2 + K 1 + K 2 K1L1 + K 2 L2 = q K1L1 − K 2 L2 )
s.t. q = 2 KL ÎF.O.C −
q2 + 1 = 0 Îq=K K2
ÎL=
q2 q = Î LTC=4L+K=2q 4K 4
STC3 LTC STC2 （400，800） 400 STC1 （200，400） 200 100 （100，200） Q
图形如下：长期成本函数曲线为短期成本函数曲线的包络线。 C
Î L1 = K1 = q1 ， L2 = K 2 = q2 ， L1 + L2 = q
* *
Î可以任意选择两家企业的生产规模。 （规模报酬不变，投入和产量一块变化） LTC=2q LAC=2，LMC=2 或者：
L1 , K 1 ; L 2 , K 2
m in
LTC = w ( L1 + L 2 ) + r ( K 1 + K 2 ) =
s.t. q1 + q2 =
L= LTC = L1 + L2 + K1 + K 2 + λ (q − F.O.C
1 − 1/ 2λ L1−1/ 2 K11/ 2 = 0 1 − 1/ 2λ L11/ 2 K1−1/ 2 = 0 1 − 1/ 2λ L2 −1/ 2 K 21/ 2 = 0 1 − 1/ 2λ L21/ 2 K 2 −1/ 2 = 0
q1 2 + K 1 ≥ 2 q1 K1
q1 2 q 2 + K 1 + 2 + K 2 ≥ 2( q1 + q 2 ) K1 K2
m in LTC 1 = w L1 + rK 1 =
L1 , K 1
LTC1 = 2q1 ， LTC2 = 2q2 ； LTC = 2q 。
d. 如果两家企业都报酬递减， 可以预期， 为达到一定产量 q 所需要投入的 L 和 K 都会增加， 长期成本会增大。举例 q = K
− K 21/ 3 L21/ 3 )
1/ 3 1/ 3
L ，如下：
Min LTC = w( L1 + L2 ) + r ( K1 + K 2 ) = L1 + L2 + K1 + K 2 s.t. q1 + q2 = K1 L1
1/ 3 1/ 3
+ K 21/ 3 L21/ 3 = q
1/ 3 1/ 3
L= LTC = L1 + L2 + K1 + K 2 + λ (q − K1 L1 F.O.C