二元函数极值问题

二元函数极值问题

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0x >时，

1,z x ∂=∂ 0x <时，1z

x

∂=-∂. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为f

x

∂∂及f y ∂∂同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.

3.2极值的充分条件

设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又

0),(00'

=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为

A

y x f

xx

=),(00'

,B

y x f

xy

=),(00'

,C

y x f

yy

=),(00'

,

AC B -=∆2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下:

(1) 当0<∆且0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>∆时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值;

(4) 当0=∆时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值.

4. 求二元函数的极值的步骤

要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ∆，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有

222

000000200001

(,)(,)((,)22(,)(,))

x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ∆=+∆+∆-=+∆+∆∆++∆+∆∆∆++∆+∆∆.

由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，

00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有

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200(,),0(0,0)x f x x y y A x y θθαα+∆+∆=+→∆→∆→

00(,),0(0,0)

xy f x x y y B x y θθββ+∆+∆=+→∆→∆→

200(,),0(0,0)y f x x y y C x y θθγγ+∆+∆=+→∆→∆→

于是

222211

[2][2]22

f A x B x y C y x x y y αβγ∆=∆+∆∆+∆+∆+∆∆+∆.

当二次形式222kf A x B x y C y =∆+∆∆+∆不为零时，注意到0,0x y ∆→∆→时，,,αβγ都是无穷小量，所以存在点000(,)M x y 的一个领域，使得在这个领域内，f ∆的符号与kf 的符号相同，而当0kf =时，f ∆的符号取决于

222x x y y αβγ∆+∆∆+∆的符号了. 对于二次型 222kf A x B x y C y =∆+∆∆+∆ 它的判别式为 2A B H AC B BC

==-.

那就有以下结论：

H>0

H<0

H=0

A<0

A>0

函数有极大值

函数有极小值

函数无极值 需进一步判定

这是因为当0H >而0A <时，二次型kf 为负定的，故0kf <，从而0f ∆<；当0H >而0A >时，二次型kf 为正定的，故0kf >，从而0f ∆>；当0H <时，二次型为不定的.所以f ∆亦可正可负的，于是函数无极值；当0H =时，二次型kf 在某些,x y ∆∆值上将等于零，于是f ∆的符号就必须进一步判断

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了.

5. 求极值的相关例题

例1 证明具有已知周长的三角形中，等边三角形有最大面积.

证明:

设三角形的边长为,,x y z ，周长

2x y z p ++=，

于是

2z p x y =--.

三角形的面积S 有如下公式：

2

(,)()()()()()()f x y S p p x p y p z p p x p y x y p

=

=---=--+-. 由 ()(22)0,()(22)0,f

p p y p x y x

f

p p x p x y y ∂=---=∂∂=---=∂

解得(,)f x y 的稳定点：

(0,)p ， (,)p p ， (,0)p ， 22

(,)33

p p .

事实上，(,)f x y 的定义域是D （如下图阴影部分）：

y

x

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0x p <<, 0y p <<, x y p +>. (,)f x y 在D 上一定有最大值，

在D 内有唯一稳定点22

(,)33

p p ，

4221111(,)***3333327

f p p p p p p p ==, (,)f x y 在D ∂上取值为零，因此(,)f x y 一定在22

(,)33p p 取到D 内的最大

值，即

23x p =

, 23y p =, 23

z p =. 时，三角型有最大值.

例2 设通过观测或实验得到一列点(,)i i x y ，1,2,....i n = 它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系，现要确定一直线与这n 个点的偏差平方和最小. 解: 设所求直线方程为

y ax b =+，

所测得的n 个点为(,)i i x y (1,2...)i n =，现要确定,,a b 使得

21(,)()n

i i i f a b ax b y ==+-∑

为最小，为此

1

12()0,2()0

n

a i i i i n

b i i

i f x ax b y f ax b y ==⎧

=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩

∑∑ 把这组关于,a b 的线性方程加以整理，得