中考数学经典几何模型之轴对称最值模型(解析版)

中考数学几何模型：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山B'QDA'AP B C典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．变式练习>>>1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝P A+PB≥AB，∴当P与E重合时，P A+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，变式练习>>>2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠P AQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠P AQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．变式练习>>>3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为2．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，OD′．∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，∴△ODD′是等边三角形．同理△OAA′也是等边三角形．∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，∠D′OA′＝90°．∴A′D′＝＝2．变式练习>>>4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，∴折线OPQB的长的最小值＝B′O′．∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝，∴折线OPQB的长的最小值＝2；（2）设B′O′交AC于点Q′，∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，∴AQ′＝AO′＝1＝AO，∴点Q′就是AC的中点O．∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．变式练习>>>5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，∴FG+DF＝FG'+DF，∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，现在再移动点E（也就是移动G），∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，即DF+GF的最小值为﹣1．故选：A．变式练习>>>6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．变式练习>>>7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为．（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，∵AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，故答案为；（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN中，EN＝CE sin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，过点F作FM⊥AC于M，∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四边形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴，∴，∴CF＝1∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．15D．10【解答】解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为﹣3．3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是8﹣2和8+2．【解答】解：y＝x+4，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，∴sin∠CAD′＝＝，∴＝，解得：x＝，∴BE′＝4+，BE＝4﹣，∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，最大值是：×（4+）×4＝8+2，故答案为：8﹣2和8+2．4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，又∵BF＝3CF，BC＝4，∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，∴四边形EMNF周长的最小值为++．故答案为：++．5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为3．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．故答案为：3．6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是．【解答】解：延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'＝＝＝27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6，∵点E，F是线段AC的三等分点，∴EF＝2，∵E′F′＝AB＝6，∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．故答案为：8．8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，DE＝AB＝1，∵AB垂直平分线CF，∴AC＝AF，∴AC+BD＝AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，∴EF＝＝＝，∴AC+BD的最小值是．故答案为：．9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．【解答】解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．故答案为：．10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|P A﹣PB|的最大值等于10．【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|P A﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|P A﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|P A﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．11. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．【解答】解：作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP．∵DQ＝D″Q，DP＝D′P，∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP＝PQ+D″Q+D′P＝D′D″，根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值．∵∠A＝∠B＝60°，∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠α＝∠β＝90°﹣60°＝30°，∠D′DD″＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵D为AB的中点，∴DF＝AD•cos30°＝1×＝，AF＝，易得△ADF≌△QD''F，∴QF＝AF＝，∴AQ＝1，BP＝1，Q、P为AC、BC的中点．∴DD″＝×2＝，同理，DD′＝×2＝，∴△DD′D″为等腰三角形，∴∠D′＝∠D″＝＝30°，∴D″D′＝2DD′•cos30°＝2××＝3．12. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为25．【解答】解：（1）由线段的和差，得BC＝（8﹣x）．由勾股定理，得AC+CE ＝+＝+＝+；（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，∵AB＝5，DE＝1，∴AF＝6，∵∠ABD＝90°，∴∠FBD＝90°，∵∠BDE＝∠BFE＝90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD＝EF＝8，∴AE＝＝＝10；（3）如下图所示：作BD＝24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED ⊥BD，使AB＝3，ED＝4，连接AE交BD于点C，当BC＝x，∵x+y＝24，∴y＝24﹣x，AE的长即为代数式的最小值，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝3，AF＝BD＝24，所以AE＝＝＝25，即代数式+的最小值为25，故答案为：25．- 21 -。