最新第十一章-恒定电流的磁场(一)-作业及参考答案-

一.选择题:
1．（基础训练1）［D ］载流的圆形线圈(半径a1)
与正方形
线圈(边长a2 )通有相同电流I．若两个线圈的中心O1、O2处的磁
感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为
(A) 1∶1 (B) π2∶1
(C) π2∶4 (D) π2∶8
提示
()
8
2
,
,
2
2
135
cos
45
cos
2
4
4
,
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
π
π
μ
π
μ
μ
=
=
=
-
⨯
⨯
⨯
=
=
a
a
B
B
a
I
a
I
B
a
I
B
o
o
o
o
得
由
2．(基础训练3)［B ］.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I
在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点(如
图)的磁感强度B
的大小为
(A)
)
(
2
b
a
I
+
π
μ
．(B)
b
b
a
a
I+
π
ln
2
μ
．
(C)
b
b
a
b
I+
π
ln
2
μ
．(D)
)
2
(
b
a
I
+
π
μ
．
提示：
b
b
a
a
I
r
dr
a
I
r
r
dI
dB
dr
a
I
dI
a
b
b
+
=
=
=
=
=
=
⎰
⎰
⎰
+
ln
2
2
2
dI
B
B
B,B
d
B
,
2
P
,
)
(
dr
r
P
π
μ
π
μ
π
μ
π
μ
的大小为：
，
的方向也垂直纸面向内
据
方向垂直纸面向内；根
处产生的
它在
，电流为
导线
相当于一根无限长的直
的电流元
处选取一个宽度为
点为
在距离
3. .(基础训练4)［D ］如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接
到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I从a端流入而从d端流出，
则磁感强度B
沿图中闭合路径L的积分⎰⋅
L
l
B
d
(A) I0μ．(B) I0
3
1
μ．
(C) 4/
I
μ．(D) 3/
2
I
μ．
提示
⎰
∑
⎰
=
⋅
∴
=
-
=
=
∴
=
=
=
⋅
L
L
I
l d
B
I
I
s
l
I
I
s
l
I
s
l
I
I
I
l d
B
3
2
3
2
2
)
(
R
R
R
I
R
I
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
L
μ
ρ
ρ
ρ
μ
μ
得
为两条支路的电阻。

，
，其中
，而
内
4. 自测提高7［C ］如图，正方形的四个角上固定有四个电荷量均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为
(A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2．
(C) B 1 =
2
1
B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 提示： 设正方形边长为a ,)2
2
(a b b OC AO =
==式中， 两种情况下正方形旋转时的角速度ω 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为 π
ω
2q I =
当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 点产生的磁感应强度的大小为b
I
B 20μ=
，实际
上有两个点电荷同时绕AC 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感应强度的大小为
b I
b
I
B B 001222μμ=
⨯
==
同理，当正方形绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为
b
I
b I
B B 0022244μμ=
⨯
== 故有122B B =
5. 附录C 2［ B ］有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数为2=N 的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强度和磁矩分别是原来的：
(A) 4倍和1/8 (B) 4倍和1/2 (C) 2倍和1/4 ． (D) 2倍和1/2
提示：由半径为R 的单匝线圈弯成匝数为2=N 的线圈以后，每一个线圈的半径变为
R r 2
1
=，故磁感应强度变为原来的4倍，磁矩变为原来的1/2，总的变化为4倍和1/2
二. 填空题
6.（基础训练11）均匀磁场的磁感强度B 与半径为r 的圆形平面的法线n
的夹角为α ，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平
面组成封闭面如所示．则通过S 面的磁通量Φ = απcos 2
B r -。

提示：根据磁场的高斯定理，通过S 面的磁通量数值上等于通过圆平
面的通量。

当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S 面的磁通量为负值。

C q
7.（基础训练12）一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原
点O 处取一电流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 204a
Idl
πμ
方向为Z 轴负方向
提示： 根据毕奥-萨伐尔定律 k a Idl a i j Idl r
e l Id B r
2
02020444πμπμπμ-=⨯=⨯=
8.（基础训练18）将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i ，则管轴线磁感强度的大小是
R
ih
πμ20. 提示： R
ih
πμ20 利用填补法思想
9．（自测提高13）、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均
匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此
柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图所示)．则B
在圆柱
侧面S 上的积分 =⎰⎰⋅S
S B
d ______0______．
提示：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

10．（自测提高16）如图所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R 的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度ω 0绕z 轴转动，则沿着z 轴从－∞到＋∞磁感应强度的线积分等于
π
ωμ200q
提示： 由安培环路定理 ⎰⋅⎰⋅+∞∞
-=l B l B
d d I 0μ=
而 π
=20
ωq I ， 故
⎰⋅+∞
∞
-l B d =π200q
ωμ
11.（基础训练17）一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径
为R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B
=__6.67×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_7.2×10-7（Am 2）___．(μ0 =4π×10-
7
H ·m -1)
提示： 2
;42,22
00qvR
IS p R
qv
R
I
B R
qv
T q I m =
==
=
==πμμπ等效的圆电流，
三.计算题
12． （基础训练21）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图示中O 点处的磁感应强度． 解: B 1=B 4=0 方向垂直纸面向里
方向垂直纸面向里
方向垂直纸面向里
13．（基础训练23）. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的
均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B
的大小及其方向．
解: 圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为
λωω
πλπR R T q I ===
/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得
2
/32230)(2y R R B B y +=
=ωλ
μ 方向沿y 轴正向。

14.（基础训练25）. 一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；
(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

R I R I B 8412002
μμ=⨯=R
I R I B πμπμ2)135cos 45(cos 42003=
︒-︒=R I R I B B B B B πμμ280
04321+=+++=
解：用安培环路定理⎰∑=⋅L
L l d B 内
求解I 0μ。

磁感应强度的方向与内导线的电流成
右手螺旋关系。

其大小满足：
∑=内
L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）
(1)2
02
20
2,2
:a Ir
B r a
I r B a r πμππμπ=
∴=⋅< (2)I r B b r a 02 :μπ=<<， r
I
B πμ20=
∴ (3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=<<I b c b r I r B c r b )()(2 :22220ππμπ ()()222202b c r r c I B --=∴πμ
(4)0B 02 :=∴=⋅>，r B c r π
15.（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩m p
与电子轨道运动的动量矩L 大小之比，并指出和L 方向间的关系．(电子电荷为e ，电子
质量为m )
解：设电子绕核运动的轨道半径为R ，匀速圆周运动的速率为v 。

核外电子绕核运动等效的圆电流为 R ev v
R e I ππ22== 电流的磁矩 2
22evR
R R ev IS P m =
⋅==ππ 电子轨道运动的动量矩 mvR L =
可见 m
e
L P m 2= 两者的方向相反
16．（自测提高26）在一半径R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A 通过．试求圆柱轴线任一点的磁感强度．(μ0 =4π×10-
7
N/A 2)
解：如图所示，在1/2圆筒上取d l 段，其中电流为
π=π=π=
θ
θd d d d I R IR R l I I 在P 点 （轴） θμθμμd d 22d d 2000
R
I
I R R I B 2π=π⋅π=π= 选坐标如图
R I B x 20d sin d 2π-=
θθμ, R
I B y 2
0d cos d 2π=θ
θμ
⎰π
2π-=0
20d sin θθμR I B x R I 20π-=μ
0d cos 0
2
0=2π=
⎰π
θθμR
I
B y 即半圆筒电流关于Y 轴对称，所以在P 点产生的总的磁感应强度 为：
Y 方向的矢量和为零;
X 方向的合磁感应强度为： T R
I B 5
2
01037.6-⨯-=-
=πμ 方向沿负X 轴
［附加题］
17．（基础训练26）均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求：
(1) O 点的磁感强度0B
；
(2) 系统的磁矩m p
；
(3) 若a >> b ，求B 0及p m ．
解：（1）将带电细杆分割为许多电荷元。

在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：
dr dq T dq dI π
ωλ
ωπ2/2===
它在O 点产生的磁感应强度为
方向垂直于纸面向内。

,42000dr r r dI
dB πωλ
μμ=
=
根据⎰=00B d B
，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为
a
b
a dr r B b
a a
o +==∴⎰
+ln 4400πωλμπωλμ （2） dq 所等效的圆电流dI 的磁矩为dr r SdI dp m π
λω
π22
==,方向垂直于纸面向内； 根据⎰
=m m p d p
，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p
的大小为
()[]
332
6
2a b a dr r p b
a a
m -+=
=∴⎰
+ωλ
πλωπ （3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，等效的圆电流：π
ω
λ2b I =
在o 点产生的磁感应强度为
a
b
a
I
B πωλμμ4200=
=
∴ 系统的磁矩 2
222b
a a
b IS p m ωλππωλ===∴ 18. （自测提高28）用安培环路定理证明，图中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁
场不可能存在．
【证明】：用反证法.
假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B ．作矩形有向闭合环路如图所示，其ab 边在磁场内，其上各点的磁感强度为B ，cd 边在磁场外，其上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：
0d ==⎰⋅ab B l B L
因 0≠ab ．所以 B = 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．。