中国剩余定理

B ÷ a =d 还原 d × a = B （二维）.
D ÷ C ( 即 i × a )=a... A 还原 i × a × a + A = C + A = D （三维）.
C ÷ i =a 还原 i × a = C （二维） C ÷ d =a...A 还原 d × a + A = C （二维）.
D ÷ C ( 即 i × a )=a... A 还原 i × a × a + A = C + A = D （三维）.
FD ÷ CF =1... D 还原 1× CF + D = FD .
FD ÷ I =2... D
还原
2 × I + D = FD .
ABA ÷ I =3... D 还原 3 × I + D = ABA . ABA ÷ D =5... A 还原 5 × D + A = ABA .
立方根式 3 Λ 个数的自然系数 “ n ”的剩余除法及还原
G ÷ d =d ...C 还原 d × d +C = D + C = G 对应于 2 × 2+3 = 4 + 3 = 7 .
G ÷ p =a...C 还原 p × a +C = D + C = G 对应于 4 ×1+3 = 4 + 3 = 7 .
H ÷ i =d ...B 还原 i × d +B = F + B = H
4 × 2+2 = 8 + 2 = 10 .
10.2 三维积整数 Λ 的一次余除与二次余除 10.2.1 二次除法 10.2.2 二次除法 二次余除 10.2.3 二次余除 10.2.4 二次除法 10.2.5 二次除法
C ÷ B ( 即 d × a )=a... A 还原 d × a × a + A = B + A = C （三维）.
还原
3
5 × 3 H + 3 A = 3 ACCA .
3
BAIG ÷ 3 AOOO =1... 3 BG 还原 1× 3 AOOO + 3 BG = 3 BAIG .
103
10.4.7
3
BAIG ÷ 3 ABE =2... 3 BG 还原
2 × 3 ABE + 3 BG = 3 BAIG .
特别声明：本文的代数符号对应于数的计算设定为 1 特别设定：序列且有形的十个一维线性平方根代数符号对应于 0 ~ 9 十个序列的数字 为 o, a , d , i , p , y ,
O＜ A＜ D＜ I ＜ AF ＜ BE＜ CF＜ DI ＜ FD＜ HA＜ AOO＜ ABA＜ ADD 对应于 0＜ 1＜ 4＜ 9＜ 16＜ 25＜ 36＜ 49＜ 64＜ 81＜ 100＜ 121＜ 144 序列成立 且顺应自然哲学逻辑法则.
2 特别设定：序列且有形的十个二维两个平方根乘积整数的代数符号对应于 0 ~ 9 十个 序列的数字为 O, A, B, C , D, E , F , G , H , I = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 , 因此， O = 0 ， A = 1 ，
D ÷ i =a...A
还原 i × a + A = D （二维）.
E ÷ C ( 即 i × a)=a...B 还原
i × a × a + B = C + B = E （三维）.
C ÷ i =a 还原 i × a = C （二维）. C ÷ d =a...A 还原 d × a + A = C （二维）.
还原 对应于 6 ×1+3 = 6 + 3 = 9 . 还原 对应于 7 ×1+2 = 7 + 2 = 9 . AO ÷ i =i...A 还原 i × i +A = I + A = AO 对应于 3 × 3+1 = 9 + 1 = 10 .
AO ÷ p =d ...B 还原 p × d +B = H + B = AO 对应于
对应于 3 × 2+2 = 6 + 2 = 8 .
H ÷ y =a...C 还原 y × a +C = E + C = H 对应于 5 ×1+3 = 5 + 3 = 8 .
还原
+ B = 6 A + B = F + B = i × d + B = H 对应于 3 × 2+2 = 8 . + A = G + A = H 对应于 7 ×1 + 1 = 7 + 1 = 8 .
101
10.1.1.5 F ÷ y =a...A 还原 y × a +A = E + A = F 对应于 5 ×1+1 = 5 + 1 = 6 . 10.1.1.6 10.1.1.7 10.1.1.8 10.1.1.9 10.1.1.10 10.1.1.11
G ÷ y =a...B 还原 y × a +B = E + B = G 对应于 5 ×1+2 = 50.1.1.13 10.1.1.14 10.1.1.15 10.1.1.16 10.1.1.17 10.1.1.18 10.1.1.19
还原
I ÷ d =p...A 还原 d × p +A = H + A = I 对应于 4 × 2+1 = 8 + 1 = 9 . I ÷ p =d ...A 还原 p × d +A = H + A = I 对应于 2 × 4+1 = 8 + 1 = 9 . I ÷ y =a...D 还原 y × a +D = E + D = I 对应于 5 ×1+4 = 5 + 4 = 9 .
3
BG ÷ 3 H =1... 3 A FD ÷ 3 BG =1... 3 A ABE ÷ 3 H =2... 3 A
还原 还原 还原
1× 3 H + 3 A = 3 BG . 1× 3 BG + 3 A = 3 FD . 2 × 3 H + 3 A = 3 ABE .
3
3
3
ABE ÷ 3 BG =1... 3 H 还原 1× 3 BG + 3 H = 3 ABE ACCA ÷ 3 H =5... 3 A
平方根式 Λ 个数的自然系数“ n ”的剩余除法
I ÷ D =1... A AF ÷ I =1... A BE ÷ I =1... D
还原 还原 还原
1× D + A = I . 1× I + A = AF . 1× I + D = BE .
BE ÷ AF =1... A 还原 1× AF + A = BE . FD ÷ BE =1... I 还原 1× BE + I = FD .
C ÷ d =a...A 还原 d × a + A = C （二维）.
E ÷ B ( 即 d × a)=d ... A
还原 d × d × a + A = D + A = E （三维）.
B ÷ a =d
还原
d × a = B （二维）.
E ÷ D ( 即 p × a)=a... A 还原 p × a × a + A = D + A = E （三维）.
第10章
中国剩余定理
李达科
深圳市达科格位数论代数运算系统研究所 E-mail: ldkhxzh@ “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年，英国传教士伟烈亚力将《孙子算经》中 “物不知数”的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出，此法符合 1801 年由高斯 得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. 在所有的除法形式中，数学家和数论家都会碰到一个“整数除以整数后的得数‘商’不 知道是什么数理含义”的问题. 如“潘承洞、潘承彪著《简明数论》§整数第 7 行‘两个整 数不一定能作除法，即它们的商不一定是整数’ ”的数论问题，就是最好的典例. 乘积整数既有二维乘积整数 Λ ， 也有三维乘积整数 Λ .故二维乘积整数 Λ 的除法与三维 乘积整数 Λ 有着完全不同的数理含义. 或二维乘积整 如： 二维乘积整数 Λ 除以平方根素数 ∂ 等于另一个平方根素数 ∂ 的整除； 数 Λ 除以平方根素数 ∂ 等于另一个平方根素数 ∂ 后剩余了一个二维乘积整数 Λ ；或二维乘 积整数 Λ 除以二维积整数 Λ 等于二维积整数个数的自然系数 N （含倍数 N ） ；或二维乘积 整数 Λ 除以二维乘积整数 Λ 等于二维乘积整数个数的自然系数 N 后剩余了一个二维乘积 整数 Λ .这样的剩余除法叫中国剩余定理，传统数学把以上的除法叫一次性整除或一次性余 除（平方根式整除、平方根式余除；立方根式整除、立方根式余除原理同上）. 又如：三维乘积整数 Λ 除以一个平方根素数 ∂ 既等于两个平方根素数 ∂ × ∂ （实际上也 是二维乘积整数 Λ .这是很难懂的） ；或三维乘积整数 Λ 除以两个平方根素数 ∂ × ∂ （实际上 是二维乘积整数 Λ ）等于另一个平方根素数 ∂ （这是很难懂的） ；或三维乘积整数 Λ 除以三 维乘积整数 Λ 等于三维乘积整数 Λ 的个数的自然系数 N （含倍数 N ） ；或三维乘积整数 Λ 除以二维乘积整数 Λ 等于一个平方根素数 ∂ 后剩余了一个三维乘积整数 Λ . 这样的剩余除 法也叫中国剩余定理，传统数学把以上的二维余除除法叫二次余除.因此，二维积整数 Λ 的 剩余除法恰恰与哥德巴赫猜想“表‘ Λ +Λ ’积整数之和为‘ Λ +∂ × ∂ ’即表‘一个积奇 ”.《达科格位数论代数运算系统》证明了三 整数 Λ 与两个（平方根）素数 ∂ × ∂ 乘积之和’ 维积整数的 “ ‘ Λ +Λ ’之和，则可以表述成‘ Λ +∂ × ∂ × ∂ ’即表‘一个积奇整数 Λ 与三 ”. 个（立方根）素数 ∂ × ∂ × ∂ 乘积之和’ 10.1 二维积整数 Λ 的余除 10.1.1 二维积整数 Λ 与平方根 ∂ 的一次余除，如 10.1.1.1 C ÷ d =a...A 还原 d × a +A = B + A = C 对应于 2 ×1+1 = 2 + 1 = 3 . 10.1.1.2 D ÷ i =a...A 还原 i × a +A = C + A = D 对应于 3 ×1+1 = 3 + 1 = 4 . 10.1.1.3 E ÷ d =d ...A 还原 d × d +A = D + A = E 对应于 2 × 2+1 = 4 + 1 = 5 . 10.1.1.4 E ÷ i =a...B 还原 i × a +B = C + B = E 对应于 3 ×1+2 = 3 + 2 = 5 .
G ÷ E ( 即 y × a )=a...B 还原 y × a × a + B = E + B = G （三维）.
E ÷ a =y
还原
y × a = E （二维）.
还原 还原
E ÷ d =d ...A E ÷ i =a...B
d × d + A = E （二维）. i × a + B = E （二维）.
a = 1， d = 2， i = 3 ，p = 4 ， = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 ,因此 o = 0 ，
， ， ， ao = 10 ， aa = 11 ， ad = 12 ， ai = 13 ， ap = 14 ， ，… ， ， ， ，ao = 10 ，aa = 11 ，
B = 2 ，C = 3 ， D = 4 ， E = 5 ， F = 6 ，G = 7 ， H = 8 ， I = 9 ， AO = 10 ， AA = 11 ， AB = 12 , AC = 13 , AD = 14 , ABCDEFGHIO = 1234567890 ,… O = 0 ，A = 1 ，B = 2 ，C = 3 ，D = 4 ，E = 5 ，F = 6 ，G = 7 ，H = 8 ，I = 9 ，AO = 10 ， AA = 11 , AB = 12 ，不难看出
D ÷ a =p
还原
p × a = D （二维）.
102
二次余除 10.2.6 二次除法 二次余除 10.2.7 二次除法 二次余除 二次余除 10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.3.5 10.3.6 10.3.7 10.3.8 10.3.9 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3 10.4.4 10.4.5 10.4.6
y = 5，
，
ay = 15 ，…， aai = 113 ，…， ada = 121 ，…，
o = 0 ，a = 1 ，d = 2 ，i = 3 ，p = 4 ，y = 5 ， ad = 12 ，不难看出 o＜a＜d＜i＜p＜y
＜ao＜aa＜ad 对应于
0＜1＜2＜3＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11＜12 ，当且仅当