有效数字运算法则
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字
电阻值只记录到“ 10”。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可
疑位。
6
三.有效数字的运算规则
(1)记录测量数据时,一般只保留一位可疑数字. 如滴定管读数32.47ml.
(2) 在运算中舍去多余数字时采用四舍五入法.等 于5时,如前一位为奇数,则增加1;如前是偶数则 舍去.
(3)加减运算时,计算结果有效数字的末位的位置 应与各项中绝对误差最大的那项相同. 即保留 各小数点后的数字位数应与最小者相同. 13.75 +0.0084 +1.642应为13.75+0.01+1.64
四舍、六入、五凑偶
16
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或 可疑数位。
3
有效数字的特点
（1）位数与单位变换或小数点位置无关 。 35.76cm = 0.3576m = （2）00.00的0地35位76km
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
（3）特大或特小数用科学计数法
3.576 101
3.576 102
h 6.627 10 34 j s
4
二、有效数字的读取
进行直接测量时，由于仪器多种多样， 正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一 位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度
位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则
21 30 0 333
20 9673
20 967
可见，约简不影响计算结果。在加减法运 算中，各量可约简到其中位数最高者的下一 位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位 数最高者对齐。
11
乘、除法
有效数字及运算法则
★移液管:25.00mL(4);
☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
b) 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式表 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
.
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致) 50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1 ±0.1 ±0.01 ±0.001 50.1 1.5 + 0.6 52.2
有效数字及运算法则
有效数字(significant figure)
1定义：是在分析工作中实际测量到的数字, 除最后一位是可疑的外,其余的数字都是确 定的。它一方面反映了数量的大小,同时也 反映了测量的精密程度。
2构成:全部准确数字+最后一位估计的可疑数 字
如滴定管读数23.45mL，23.4是准确的，而 第四位5可能是4也可能是6，虽然是可疑的， 但又是有效的。
,e
数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
有效数字位数的确定
• • • • 1.0008，43.181 0.1000，10.98% 0.0382，1.98×10- 10 54， 0.0040 5位 4位 3位 2位 1位 位数含糊不确定
• 0.05， 2×10-5 • 3600， 100
有效数字及运算法则
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
（5） 1.00 1.00
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
二、有效数字位数的确定
1.关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有 效 如：12.04cm 、20.50m 2 、1.000A
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500 物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
5.相对误差的表达
E N 100% N
0.05 E1 1.20 100% 4.2%
3、有效数字及运算法则
+1.234 63.734
例2
19.68 - 5.848 = 13.83 – 19.68 – 5.848
————— ––
–
–
–
13.832结果为 13.83 Nhomakorabea–
2.乘除法
运算规则: 乘除运算后结果的有效数 字一般以参与运算各数中 有效数字位数最少的为准。
例3
————— –– –– 1605 – 1926 – ————— – ––– 结果为 21
而cos20o18’=0.937889…...
误差位在小数点后第四位
根据不确定度: cos20o18’=0.9379
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差，故有效数字是 无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数 、e等的位数可与参加运算的量中有效数字 位数最少的位数相同 或多取一位。
(2)指数函数
10x 或 ex 的位数和 x 小数点后的 位数相同（包括紧接小数点后 面的0）
例6
6.25 10 =1778279.41 6 1.810 0.0035 10 =1.00809611.008
（3）三角函数 例 7 x=20 18’ x=1’ 0.0003 弧度
0
求 cos x 的有效数字 解：首先用传递公式计算 cosx 的不确定度 cosx= |sinx|x = sin(20018’) 0.0003 = 0.0001
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
49 = 7.0 49 = 7
100=10.0
2 4.0 =16 2 4.0 =16.0
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。
例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。
也是在同一数位上。
（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。
”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。
有效数字与运算法则
• 3600， 100
5位 4位 3位 2位
1位 位数含糊不确定
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效 数字，如0.0382中0，起定位作用； （2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 →0.5. 267
10.2452 → 10.25 10.2350 →10.24 10.2450 →10.24 10.245001 →10.25
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致)
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 ＝ 0.328432 (±0.8%) (±0.04%) (±0.01%) (±0.3%)
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注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可 看做是四位有效数字。
（2）乘方或开方，结果有效数字位数不变。例如, 6.542=42.8
（3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效 数字位数相同。
例如：[H ] 6.31011 mol/L
pH 10.20
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
有效数字的运算法则
有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。
5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。
— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。
7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。
8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。
— 2 —。
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
(完整)实验数据处理之有效数字运算规则
有效数字运算规则间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题.严格说来,应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。
但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。
有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位（最多两位）欠准确数字.1．加减运算根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度,等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。
如：y x N +=x y x N U U U U >+=22（或y U )因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐,或根据有效数字与不确定度的关系,计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。
下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。
【例3】235.31.32+和652.19.116-的计算结果各应保留几位数字?【解】先观察一下具体计算过程：533.35523.31.32+ 842.115265.19.116-可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减,其结果必然是欠准确数字。
例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则3.35235.31.32=+ 2.115652.19.116=-分别为三位有效数字和四位有效数字，2．乘除运算乘除运算结果的相对不确定度，等于参与运算各量的相对不确定度平方和的开方,因此运算结果的相对不确定度大于参与运算各量中的最大相对不确定度。
我们知道，有效数字位数越少,其相对不确定度越大。
所以，乘除运算结果的有效数字位数,与参与运算各量中有效数字位数最少的相同。
【例4】11.11111.1⨯的计算结果应保留几位数字？【解】计算过程如下：因为一个数字与一个欠准确数字相乘，其结果必然是欠准确数字。
所以，由上面的运算过程可见，小数点后面第二位的“3”及其后的数字都是欠准确数字。
大物实验 有效数字
0.03 0.957 0.03cm
（3）根据不确定度决定结果的有效数字：
N 0.96 0.03cm
2.乘除法
3.乘方与开方 4.函数运算
对数函数 lgx结果的尾数与x的有效位数相同
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例1
62 . 5 + 1. 234 = 63 . 7 – 62.5 – + 1.234
————— – –
–
–
–
63.734
结果为 63.7
–
例2
————— ––
2. 偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对不确定 度等，所有位数都是可疑的，没有可靠位数，都是1位 有效数字。
如 ， 标 准 偏 差 SN=0.053 cm 有 两 位 可 疑 数 字 ， 但 有 效 位 数 是 1 位 ； g=(9.9±0.1)m/s2 中不确定度0.1m/s2 是1位有效数字；g是2位有效数字；而g =(9.87±0.14)m/s2中不确定度0.14m/s2是1位有效数字，g是2位有效数字.
L=2.5153cm （五位有效数字）
螺旋测微计
4.误差和不确定度的有效数字
1. 系统误差、相对误差、修正值具有若干位可靠数字 和1位可疑数字；
如，某指针式电流表的仪器误差为1mA，零差为12mA，为2位有效数字；修正 值-12mA也是2位有效数字； 再如，重力加速度测量值g=(9.685±0.004)m/s2,公认值为9.792m/s2 ，则绝 对误差-0.107m/s2为3位有效数字；相对误差Eg=-1.10%也是3位有效数字；
有效数字及运算法则
找出下列正确的数据记录：
(4)用量程为100 mA，刻有100小格的0.1级表测量 电流，指针指在80小格上；用量程为100V，刻 有50小格的1.0级表测量电压，指针指在40小格 上，数据如下：
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500
物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
100 0.1 __0_.1_×__1_02__,
式子的前一项 100 0.1 __1___。
有效数字及其运算法则 - 有效数字及其运算法则
14.7 - 0.3674 - 14.064 =（小数1位）
14.7 0.37 14.06
8
2.乘除法 各测量值相对误差传递 计算结果以有效数字位数最少的为准
若 R=XY R x b
R xb
9
x 0.3210 48.112 (21.25 16.10) 0.28451000 0.3210 48.112 5.15 0.28451000
0.3210 48.11 5.15 (三位） 0.28451000
10
例：6.549， 2.451 一次修约至两位有效数字
6
3、运算过程中可多保留一位 4、修约标准偏差其结果应使准确度降低
S=0.213 两位 S=0.22 表示标准偏差和RSD时，通常取两位有效数字
7
三、运算法则 1、加减法
各测量值绝对误差传递，结果与数据中绝 对误差大的数据相当
0.5362 + 0.001 + 0.25 =（小数点后两位）
5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位。 例：90.0%,101.4% 均可示为四位有效数字.
3
6. 记录有效数字时，不可夸大。 例：托盘天平：10.3g × 10.3000g,
量筒：10 mL H2O × 10.00mL. 7.常量分析0.000018 2500L （4位） 86（3位） 99.9%（4位） pH=12.26（2位）
2.5430 （5位） Ka=1.8×10-5（2位） 2.50×10-3（3位） 9 （2位） 100.1%（4位）
5
二、数字修约规则
1、四舍六入五留双
四位：14.2442 24.4863 15.0250 15.0150 15.0251
有效数字及运算法则
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
————— – –
–
–
–
63.734
结果为 63.7
–
例2
2 A 62 . 5 0 . 1 cm N A B C 其中：
B 1.234 0.003cm 2 , C 5.43 0.06cm 2 试确定N的有效数字。 解： （1）求出N的不确定度 N
N
2 A 2 B
2 C
2 A
2 C
( 0.1 ) 2 ( 0.06 ) 2 0.1cm 2
（2） N 62.5 1.234 5.43 58.304( cm 2 ) （3）用误差（估计误差范围的不确定度）决定 结果的有效数字
N 58.3 0.1cm
2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运Fra bibliotek法则N
2 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.98 0.03cm
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
运算规则:
乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算 各数中有效数字位数最少的为准。
0.961 21843 210000 196587 134130 131058 30720
有效数字及运算法则
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
有效数字Ub的计算法则
有效数字Ub的计算法则
有效位数运算：间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题。
严格说来，应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。
但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。
有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位（最多两位）欠准确数字为了表述方便记函数MUC（U）=n。
其中U为不确定度，n为U的最大位数（小数点后第n位）。
加减法则U=UA+UB显然。
MUC（U）=MIN（MUC（UA），MUC（UB））（-1）故结果的不确定度保留到所有参
与运算的数中末尾数数量级最大的那一位。
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1.3 有效数字及其运算法则
物理实验中要记录数据并进行运算，记录的数据应取几位，运算后应保留几位，这些要由不确定度来决定，也涉及有效数字的问题。
1.3.1 有效数字的概念
任何一个物理量，既然其测量结果都包含有误差，该物理量的数值就不应该无限制地写下去。
例如，cm应写成cm。
因为由不确定度0.02cm可知，该数值在百分位上已有误差，在它以后的数字便没有
意义了。
因此，测量结果只写到有误差的那一位数，并且在位数以后按“四舍五入”的法则取舍。
最后一位虽然有误差，但在一定程度上也能反映出被测量的客观大小，也是有效的。
所以我们把能反映出被测量实际大小的全部数字，称为有效数字。
或者说，我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的1.37cm称为三位有效数字。
有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。
因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。
当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。
显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。
如0.0135m是三位有效数字，0.0135m 和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。
从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m 是用最小刻度为厘米的尺子测量的。
因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。
有效数字的位数多少大致反映相对不确定度的大小。
有效数字位数越多，相对不确定度越小，测量结果的精确度越高。
1.3.2 如何确定有效数字
当给出（或求出）不确定度时，测量结果的有效数字由不确定度来确定。
由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字只取一位（若首位为1、2时，不确定度可取二位）。
测量值的最后一位要与不确定度的最后一位取齐。
一次直接测量结果的有效数字可以由仪器允差或估计的不确定度来确定；多次直接测量结果（算术平均值）的有效数字，由计算得到的A类不确定度来确定；对于间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定。
当未给出（或未求出）不确定度时，直接测量还是间接测量结果的有效数字位数也不能任意选取。
对于直接测量量，在一般情况下，有效数字取决于仪器的最小分度是否估读以及估读的程度。
如对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。
对于间接测量量，其有效数字位数由参与运算的各直接测量量的有效数字位数以及运算方式来估计。
为了达到不因计算而引进误差，影响结果；同时又尽量简洁，不作徒劳的运算这
一原则。
有效数字的运算，约定下列规则：
（1）加法或减法运算
对于加减类型的运算，由于运算结果的不确定度总是大于或等于个运算分量中最大的不确定度，所以运算结果的有效数字位数应由这个具有最大不确定度的分量来确定，即运算结果的末位应与参与运算的有效数字中最后一位的位数最高的分量相同。
例如
432.3+0.1263-2=430
推论：若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。
（2）乘法和除法运算
对于乘除类型的运算，由于运算结果的相对不确定度总是大于或等于有效数字位数最小的分量的相对不确定度，所以运算结果的有效数字位数应与参与运算有效数字位数最少的分量相同。
例如
推论：测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。
（3）乘方和开方运算
乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。
例如
（4）三角函数、对数和指数运算
三角函数、对数和指数运算其结果的有效数字位数一般与变量的位数相同。
例如
则
结果为
（5）无理常数π,的位数也可以看成很多位有效数字。
例如L＝2πR，若测量值时，应取为3.142。
则
（6）运算数据尾数的取舍规则
为了使舍和入的概率相等，现在通用的规则是“四舍六入五凑偶数”。