【易错题】高二数学上期末模拟试题(及答案)
【易错题】高二数学上期末一模试题及答案(1)
【易错题】高二数学上期末一模试题及答案(1)一、选择题1．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1102．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？ 3．把化为五进制数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？5．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.56．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4137．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．9．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．4511．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）A．13B．49C．59D．23二、填空题13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．15．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．16．某程序框图如图所示，若输入的4t=，则输出的k=______．17．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．18．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是____________.19．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．20．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．三、解答题21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.22．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82823．某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，给出下表数据：x2 3 5 7 8 y 12246（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（2）试判断y 与x 之间是正相关还是负相关，并预测燃放烟花爆竹的天数为9天时的雾霾天数约为几天？（参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.）24．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示：编号12345678身高/x cm164160158172162164174166体重/y kg6046434848506152该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7y x a=+，请你据此预报一名身高为176cm的女高中生的体重；（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为176cm的女高中生的体重；（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n nx y x y x yL，其回归方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121ˆˆ,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑.25．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：[)[)[)[)[)[)20,30,30,40,40.50,50,60,60,70,70,80，后得到如图所示的频率分布直方图，问：（1）在40名读书者中年龄分布在[)30,60的人数； （2）估计40名读书者年龄的平均数和中位数.26．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==.故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】 因为所以用倒取余数法得323，故选：B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5=满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．D解析：D 【解析】 【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项. 【详解】由$$1.5y x a=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误； 由已知表格中的数据，可知0123425x ++++==，2.2 4.3 4.5 4.8 6.74.55y ++++==，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错误；又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+， 当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过(),x y ，本题属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEFABCS P S =V V ，即可得解. 【详解】由题意易知120ADB ∠=o ，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABC S FD P S AB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭V V .故选：C.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.7．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B8．B解析：B【解析】【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。
【易错题】高二数学上期末模拟试题(及答案)
易错题】高二数学上期末模拟试题（及答案）一、选择题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120 名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80 ，150] 内现将这100名学生的成绩按照[80 ，90），[90 ，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140 ，150] 分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中a 的值为0.040B．样本数据低于130 分的频率为0.3 C．总体的中位数（保留1 位小数）估计为123.3 分D．总体分布在[90 ，100）的频数一定与总体分布在[100 ，110）的频数不相等2．已知回归方程$y 2x 1，而试验得到一组数据是（2,5.1），（3,6.9），（4,9.1），则残差平方和是（）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.043．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）3732A．B．C．D．20 20 16 5 4．执行如图所示的程序框图，若输入x 8 ，则输出的y 值为（）13 C ． D ． 245．2018年12月 12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（6． 日本数学家角谷静夫发现的“ 3x 1 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数， 我们就把它除以 2 ，如果它是奇数我们就把它乘 3 再加上 1，在这样一个变换下，我们就得 到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反 复进行上述运算后，最后结果为 1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程 序框图输入的 N6 ，则输出 i 值为（ ）5 B ．2 A ．3B ．47C ．48D ．638．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区收入 x 万8.38.6 9.9 11.112.1A ．6B ． 7C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，若输入的 a ，b ， c 依次为 sinsincossin ，sincos ，其中，则输出的 x 为（sin sinC ． cossinD ． sin cos5 户家庭，得到如B ．支出 y 万5.9 7.8 8.18.4 9.8根据上表可得回归直线方程y? b ?x a?，其中 b 0.78，a yb x元，据此估计，该社区一户收入为 16 万元家庭年支出为（ ）A ． 12.68 万元B ． 13.88 万元C ．12.78万元 D ．14.28 万元 9． 已知线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P ，则点 P 到点 M ，N 的距离都大于2 的概率为 （ )3211A ．B ．C ．D ．4 3 2310． 如图，边长 2 的正方形有一内切圆 .向正方形内随机投入 1000 粒芝假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有 795 粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率11．小赵和小王约定在早上 7:00至 7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有 2 班公交车到达该站，到站的时间分别为 7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）1A ．4B ． 5C ．92D ．12． 2 路公共汽车每 5分钟发车一 次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）2 321A ．B ．C ．D ．55 35二、填空题13．下图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值．若要使输入的 x值与输出的 y 值满足关系式 y=-2x+4 ，则这样的 x 值 ___个．214．如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y=x与两直线 x=2及 y=0所围成2的阴影部分的面积 S ：①先产生两组 0～1 的均匀随机数， a=RAND （ ）， b=RAND （ ）；B ． 3.2C ． 3.3D ． 3.4 的近似值为 （ ）②做变换，令 x=2a ，y=2b ；③产生 N 个点（ x ，y ），并统计落在阴影内的点（ x ， y ）的个 数N 1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当 N=1 000 时， N 1=332，则据此可估计 S18．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是 2 的倍数的概率是 _________ 19． 使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为 __________16．已知某产品连续 4 个月的广告费 x i （千元）与销售额 y i （万元）（ i 1,2,3, 4 ）满足4 x i415 ， y i i112 ，若广告费用x 和销售额 y 之间具有线性相关关系，且回归直线方 ^程为y17． 取一根长度为（记为事件 A ）的概率=bx +a ，b 0.6 ，那么广告费用为 5 千元时，可预测的销售额为 万元 .3 米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米S 的值数据： a 1 9.3， a29.6，a3 9.3a4 9.4， a5 9.4， a6 9.3a79.3， a 8 9.7， a9 9.2 a 10 9.5， a119.3， a 12 9.6 20． 在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是 __________ ．三、解答题21．某地统计局调查了 10000 名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直 方图如图所示．求居民月收入在 [3000,3500 ）内的频率； 根据频率分布直方图求出样本数据的中位数； 为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 中用 步分析，则应从月收入在 [2500,3000） 内的居民中抽取多6.5,7.5 （时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作 代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在4.5,6.5 （时）内的周数为 X ，求 X 的分布列以及数学期望 . 23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县 成年人安全知识抽样调查 . 已知该县成年人中 40% 的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶 证，用分层抽样的方法抽取了 100 名成年人，然后对这 100 人进行问卷调查，所得分数的 频率分布直方图如下图所示 . 规定分数在 80 以上（含 80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证 合计（2）（3） 分层抽样的方法抽出 100 人做进 少人？ 22．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具 车从家到公司的时间之和统计如图所示 ..现将某人三年以来每周开1）1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面2 2 的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？2）若规定参加调查的100 人中分数在70 以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出取3 人，试求抽取的3 人中恰有一人为“安全意识优良”的概率24．“中国人均读书4.3 本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20 本、日本的40本、犹太人的64 本少得多，是世界上人均读书最少的国家. ”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20,30 ，30,40 ，40,50 ，50,60 ，60,70 ，70,80 后得到如图所示的频率分布直方图. 问：1）估计在40 名读书者中年龄分布在40,70 的人数；2）求40 名读书者年龄的平均数和中位数；3）若从年龄在20,40 的读书者中任取2 名，求这两名读书者年龄在30,40 的人数X5 人，再从5 人中随机抽附表及公式：K 22n ad bcP K 2k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中n的分布列及数学期望25．某中学随机选取了40 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在185,195 （单位: cm ）的人数；（Ⅱ ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在145,155 和185,195 （单位: cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．26．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2 名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为A1，A2，A3，乙协会编号为A4，丙协会编号分别为A5，A6，若从这6 名运动员中随机抽取2 名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.参考答案】*** 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出a 0.030；样本数据低于130 分的频率为：0.7 ；80,120 的频率为0.4，120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数（保留1位小数） 0.5 0.4估计为：120 3 123.3 分；样本分布在90,100 的频数一定与样本分布在0.3100,110 的频数相等，总体分布在90,100 的频数不一定与总体分布在100,110 的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：0.005 0.010 0.010 0.015 a 0.025 0.005 10 1，解得a 0.030，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：1 0.025 0.005 10 0.7，故B 错误；80,120 的频率为：0.005 0.010 0.010 0.015 10 0.4 ，120,130 的频率为：0.030 10 0.3 ．0.5 0.4总体的中位数（保留1位小数）估计为：120 10 123.3分，故C 正确；0.3样本分布在90,100 的频数一定与样本分布在100,110 的频数相等，总体分布在90,100 的频数不一定与总体分布在100,110 的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5 的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03. 故选C.考点：残差的有关计算3．B 解析： B 【解析】【分析】由题意可以分两类，第一类第 5 球独占一盒，第二类，第 5 球不独占一盒，根据分类计数 原理得到答案． 【详解】解：第一类，第 5球独占一盒，则有 4 种选择；如第 5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第 1球放旁边，就是 2，3，4 球放入 2，3，4 盒的错位排列，有 2 种选择， 再把第 1 球分别放入 2，3，4 盒， 如第 1球独占一盒，有 3 种选择，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率 故选： B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析： C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用 循环计算 y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可 . 【详解】不满足退出循环的条件，则 x 3 ，1第二次执行循环： y ，此时 y2满足退出循环的条件， 故输出的 y 值为 1，故选 C.2【点睛】 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结 构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确 控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 , (6)在给出程序框图求解输出结果的试题中有 3 种可能选择，于是此时有 2 3 6 种选择； 剩下的 2，3， 4球放入两盒有 2种选择，此时有2 3 6种选择，得到第 5 球独占一盒的选择有 4 第二类，第 5 球不独占一盒，先放 号球：有 4 种选择； 9 436 ， 根据分类计数原理得，不同的方法有 而将五球放到 4 盒共(6 6) 48 种，4 号球， 4 个球的全不对应排列数是 9；第二步放36 48 84 种．240 种不同的办法，P84 7240 20输入 8，第一次执行循环： y 3 ，此时 y x 5，52，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．A解析：A【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63，最中间的数为：45 ，所以，中位数为45．本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D 解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得n 1 ，不满足条件n 是奇数，n 3,i 2，不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n是奇数，n 10,i3 ；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，可得n 5,i 4，不满足条件n 1 ，执行循环体，满足条件n 是奇数，n16,i 5，不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，n 8,i 6；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，n 4,i 7；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，n 2,i 8；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n是奇数，n 1,i 9，满足条件n 1 ，退出循环，输出i 的值为9 ，故D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,( 6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．C本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热 点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： ① 分支的条件 ② 循环的条件8．A解析： A 【解析】 分析】详解】0.78x 0.2 ．取x 16，得 y $0.78 16 0.2 12.68 万元，故选 A ．点睛】 本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．D解析： D 解析】 分析】解析： C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，【详解】 由程序框图可知 a 、b 、c 中的最大数用变量 比较大小即可 x 表示并输出，∴0 cosα 2 sin 1 ， sin 1 ，2又y sinx在 R 上为减函数， sin yx在0，sincos sin∴sin < sin ， cos<sin故最大值为 cossin ，输出的 x为 sincos故选 ： C上为增函数，③ 变量的赋值 ④ 变量的输出．由已知求得 x ，y ，进一步求得 a $ ，得到线性回归方程，取 x 16求得 y 值即可．8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 x10，5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 8 ．又b $0.78 ，∴a $ yb $x 80.78 10 0.2．42si点睛】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P ，21则点 P 到点 M ，N 的距离都大于 2的概率为 P ．63故选 D ．【点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10．B 解析： B 【解析】 【分析】 由圆的面积公式得： S 圆S圆结合随机模拟试验可得： 圆S 正【详解】 由圆的面积公式得： S 圆 由正方形的面积公式得： S正 由几何概型中的面积型可得：S 圆 795 S 正 1000 ，795 4所以 3.2 ，1000故选： B ．【点睛】 本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．11．C 解析： C 【解析】 【分析】 设小赵到达汽车站的时刻为 x ，小王到达汽车站的时刻为 y ，根据条件建立二元一次不等式 组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】 如图，设小赵到达汽车站的时刻为 x ，小王到达汽车站的时刻为 y ， 则 0≤ x ≤ 1，5 0≤y ≤1，5S 正 4 ，由几何概型中的面积型由正方形的面积公式得：795，得解． 10004，两人到达汽车站的时刻（ x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大 正方形．将 2 班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率 故选： C点睛】 本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关 键．12．A解析： A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的 时间对应的几何量长度为 5，然后再计算出乘客候车时间不超过 2 分钟的几何量的长度， 然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过 当乘客在上一辆车开走后 3 分钟内到达候车时间会超过 2 分钟点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何 量的值是解答此类问题的关键、填空题13．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺 序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是 有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用 解析： 2必须满足 ｛（ x ，y ）|5，或5<x5 5< y15 15 ｝，125 = 515 15 = 9∴乘客候车时间不超过 故选 A .2 分钟的概率为 P535【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计x 2,x 2算分段函数 y 2x 4,2 x 5 的函数值，并输出 .1,x 5 x【详解】 该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的 作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果 .x 2,x 22x 4,2 x 5的函数值，1,x 5 x故答案是： 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相 应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数 .14．328【解析】根据题意满足条件 y<的点 (xy)的概率是矩形的面积为 4则有所 以 S ≈1328点睛 :随机模拟求近似值的方法先分别根据古典概型概率公式以及几 何概型概率公式计算概率再根据两者相等求近似值解析： 328【解析】 根据题意 ,满足条件 y< 的点 ( x,y)的概率是 点睛: 随机模拟求近似值的方法 , 先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算 概率 ,再根据两者相等求近似值 15．9【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序根据题意， 可知该程序的作用是计算分段函数 依题意得2x 或2x 4 2x 42x4或2x 4解得 x 5 ，所以满足条件的 x 的值有两个，2. , 矩形的面积为 4,则有, 所以S≈1.328.的运行可得 S ＝0n ＝ 1 满足条件 n <6 执行循环体 S ＝1n ＝ 3 满足条解析： 9【解析】 【分析】 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得S ＝0， n ＝ 1 满足条件 n < 6，执行循环体， S ＝1，n ＝ 3 满足条件 n < 6，执行循环体， S＝4，n ＝ 5 满足条件 n < 6，执行循环体， S ＝9，n ＝ 7 此时，不满足条件 n < 6，退出循环，输出 S 的值为 9． 故答案为： 9．【点睛】 本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结 论，是基础题．16．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令 x ＝5解得 y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（ 3）又回归直线过 （3）即 3＝06×+解得＝所以回归直线方程为 y ＝ 06x+令 x ＝ 5 时 解析：75【解析】 【分析】计算 x ， y ，然后将 x ， y 代入回归直线得 a ，从而得回归方程，然后令 x ＝5解得 y 即 为所求． 【详解】4∵ x i 15 ，∴ xi1 4 ∵ y i12 ，∴yi115 ∴样本中心点为（ 15，3），41515 3又回归直线 y? 0.6x a 过（ 15 ，3），即 3＝0.6× 15 + a ，解得 a ＝ 3，4 4 4 3所以回归直线方程为 y ＝0.6 x + ，4令x ＝5时， y ＝0.6 ×5+ 3＝3.75 万元4 故答案为： 3.75 ．【点睛】 本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样 本中心点 .17．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于 1m 为事件 A 则只能在中间 1m15123，的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m所以事件A 发生的概率P(A)=考点：几何概型解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A 发生的概率P( A) =考点：几何概型18．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2 的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2 的倍数的事件数为3 所以概率为点睛：古典概型中1解析：12【解析】分析：先确定总事件数，再确定向上的点数是2 的倍数的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为投掷一枚均匀的骰子，向上的点数有6种情况，向上的点数是2 的倍数的事件31 数为3，所以概率为3=1.62 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M 的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据解析： 9.7,8【解析】【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M 的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，所以答案是9.7,8.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.20．512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换得结果详解：因为四位八进制数最小数为所以点睛：本题考查不同进制数之间转换考查基本求解能力解析：512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换，得结果.3 详解：因为四位八进制数最小数为(1000)8 ，所以(1000)8=1 83=512 .点睛：本题考查不同进制数之间转换，考查基本求解能力.三、解答题21． ( 1) 0.15 (2)2400(3)25人【解析】【分析】(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500 )内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000 人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.【详解】(1)居民月收入在[3000,3500] 内的频率为0.0003 (3500-3000)=0.15(2)因为0.0002 (1500 1000) 0.1 ，0.0004 (2000 1500) 0.2 ，0.0005 (2500 2000) 0.25 ，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为2000 0.5 (0.1 0.2) 2000400=2400 .0.0005(3)居民月收入在[2500,3000] 内的频率为0.0005 (3000 2500)=0.25，所以这10000人中月收入在[2500,3000] 内的人数为0.25 10000=2500.从这10000 人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000] 内的居民中抽取100 2500 25（人）.10000【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.22．（1）0.35 ；（2）7 ；（3）分布列见解析；数学期望6.点睛】5【解析】 【分析】（1）用 1减去频率直方图中位于区间 3.5,6.5 和 7.5,10.5 的矩形的面积之和可得出结 果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知 X : B 4, 3，利用二项分布可得出随机变量 X 的概率分布列，并利用 10 二项分布的均值可计算出随机变量 X 的数学期望 . 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 6.5,7.5 （时）内的频率为 1 0.03 0.1 0.2 0.19 0.09 0.04 0.35； （2）所求平均数为x 4 0.03 5 0.1 6 0.2 7 0.35 8 0.19 9 0.09 100.04 7（时）；（3）依题意， X :B 3 4, 10 . P X 04 7 240110 10000P X 1 C 41 3 3 7 1029 ，P X2C 42 130 4 10 227 1323 ，10 10 2500 10 5000P X 3C 43 337 189 ，P X 4434 81.10 10 2500 10 10000 .故 X 的分布列为故 E X 4 .10 5本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和 数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题 .23． （ 1）列联表见解析；有超过 99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有3关；（ 2） P 35【解析】分析】 （1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得K 26.635，从而可得结论；（ 2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人 数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取 2 人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果 . 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为： 100 40% 40 人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为： 40 25 15 人 由频率分布直方图知得分优秀的人数为： 100 10 0.015 0.005 20 人没有驾驶证且得分优秀的人数为： 20 15 5 人 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：100 40 5 55 人有超过 99% 的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关2）由频率分布直方图可求得 70以上（含 70 ）的人数为：100 0.020 0.015 0.005 10 40按分层抽样的方法抽出 5人时，“安全意识优良”的有 2 人，记为 1,2； 其余的 3人记为 a,b, c从中随机抽取 3 人，基本事件有： 1,2,a ， 1,2,b ， 1,2,c ， 1,a,b ，1,a,c ，1,b,c ， 2,a,b ， 2,a, c ， 2,b,c ， a,b,c 共10个 恰有一人为“安全意识优良”的事件有 6 个恰有一人为“安全意识优良”的概率为： P 6 3可得列联表如1225962100 15 55 25 5 K 240 60 20 8012 6.635。
江苏省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟考试2套(含答案)
江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.双曲线2214y x -=的渐近线方程是 ． 2.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是 ． 3.命题“若a b <，则22a b <”的否命题为 ．4.等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若53a =，则9S = ．5.函数y =的定义域是 ．6.已知实数x ，y 满足条件30,0,0,x y y x +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值是 ．7.在等比数列{}n a 中，70a <，242646236a a a a a a ++=，则35a a += ． 8.对任意的[]0,1x ∈，都有2(1)30x a x a +-+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 9.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a = ． 10.函数()cos 2f x x =+（(0,)2x π∈）的极小值是 ．11.过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2FA BF =，则直线AB 的斜率为 ．12.已知x ，y R +∈，且244x y+=，则21x y+的最小值是 ． 13.已知1F ，2F 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆上存在点P 使2||PF c=（c 为半焦距）且12F PF ∠为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14.已知实数a ，b 满足1a b +=，则33(1)(1)a b ++的最大值是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+． （1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，“p q ⌝∧”为真命题，求实数x 的取值范围．16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．（1）若异面直线AM 和1A N 所成的角为90︒，求AM 的长； （2）若14CC CM =，求二面角1A DN M --的余弦值．17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为34m 、30m 的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如图），池边由两个半椭圆22221(0)x y x a b +=≤和22221y x b c+=（0x ≥）组成，其中0a b c >>>，“挞圆”内切于矩形且其左右顶点A ，B 和上顶点C 构成一个直角三角形ABC ．（1）试求“挞圆”方程；（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？18.设{}n a 是公差为d （0d ≠）且各项为正数的等差数列，{}n b 是公比为q 各项均为正数的等比数列，n n n c a b =⋅（*n N ∈）． （1）求证：数列1nn nc c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）若112a b ==，220c =，364c =． （i ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （ii ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右顶点，B 是上顶点，C 是椭圆位于第三象限上的任一点，连接AC ，BC 分别交坐标轴于P ，F 两点．（1）若点F 为左焦点且直线CO 平分线段AB ，求椭圆的离心率； （2）求证：四边形ABFP 的面积是定值． 20.已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，试求实数m 的取值范围．高二数学答案 一、填空题1.2y x =±2.28x y = 3.若a b ≥，则22a b ≥ 4.27 5.[]4,3-6.67.6-8.3a ≥9.1201810.12-+ 11.±12.4 13.1(1)214.4二、解答题15.解：（1）因为p ：23x -≤≤；又q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 则23,22m m +≤⎧⎨-≥-⎩，得1m ≤，又1m =时p q ⇔，所以01m <<．（2）当2m =时，q ：44x -≤≤，p ⌝：3x >或2x <-．因为p q ⌝∧是真命题，所以44,32,x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或则(3,4][4,2)x ∈--．16.解：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，1DD 为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．（1）则(1,0,0)A ，1(1,0,2)A ，(0,1,0)C ，1(,1,0)2N ，设(0,1,)M m ， 所以11(,1,2)2A N =--，(1,1,)AM m =-因为AM 和1A N 所成的角为90︒，所以1A N 0AM ⋅=， 则11202m +-=，34m =， 所以41||AM =（2）当14CC CM =时，则1(0,1,)2M ，设面1A DN 的法向量为000(,,)n x y z =，面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =， 因为1(1,0,2)DA =，1(,1,0)2DN =，1(0,1,)2DM =，则10DA n ⋅=，0DN n ⋅=，∴000020,10,2x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取02x =，则01y =-，01z =-，则(2,1,1)n =--，又10DN n ⋅=，10DM n ⋅=，∴111110,210,2x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以||6n =，1||3n =，13n n ⋅=，则1116cos ,6||||n n n n n n ⋅<>==⋅，根据图形可知，二面角1A DN M --平面角为锐角，等于这两个法向量的夹角，所以其大小的余弦值为617.解：（1）由题意知2222215,34,()()34,,b a c a b b c a b c =⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪>>⎩ 解得25,15,9,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以“挞圆”方程为：22221(0)2515x y x +=≤和22221(0)159y x x +=≥. （2）设00(,)P x y 为矩形在第一象限内的顶点，10(,)Q x y 为矩形在第二象限内顶点，则2200222201221,1591,2515y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得10259x x =- ，所以内接矩形的面积2200000022342153421534()5109915915x y x y S x y =⋅=⨯⨯⋅⋅≤⨯+=，当且仅当009152x y ==时S 取最大值510. 答：网箱水面面积最大5102m . 18.解：（1）因为11111111()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a b a b a b ac qc a b qa b a b a b b a a qd++++++++⋅====----，所以112111n n n n n n n n c c a q d c qc c qc qd qd qd q+++++-=-==--（常数），由等差数列的定义可知数列1n n n c c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1q 为公差的等差数列．（2）（i ）因112a b ==，220c =，364c =，所以22(2)20,2(22)64,q d q d +=⎧⎨+=⎩因{}n a 的各项为正数，所以3,2,d q =⎧⎨=⎩则31n a n =-，2nn b =．（ii ）因31n a n =-，2n n b =，所以(31)2nn c n =-⋅，所以231225282(31)2nn n ii S cn ===⨯+⨯+⨯++-⋅∑…，①2312 2252(34)2(31)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，②①-②得23143(222)(31)2nn n S n +-=++++--⋅…114(12)=4+3(31)212n n n -+-⨯--⋅-11412(21)(31)2n n n -+=+---⋅1(34)28n n +=-+⋅-，所以1(34)2+8n n S n +=-⋅．19.解：（1）设椭圆焦距为2c ，则(0,)B b ，(,0)F c -，直线BF 的方程为1x yc b+=-， 联立方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩⇒222(1)1x x a c ++=，即22211()20x x a c c ++=，所以2322222(,)a c b C a c a c --++， 又AB 中点D (,)22a b ，因CO 平分线段AB ，所以C ，O ，D 三点共线，则OCOD k k =，所以322b b a a c=，则22b ac =⇒222a c ac -=⇒212e e -=，所以1e =．（2）设00(,)C x y ，则直线AC 的方程为00()y y x a x a =--，所以0(0,)ay P a x -； 直线BC 的方程为00y b y x b x -=+，所以0(,0)bx F b y -； 所以00||b AF a b y =--，00||ay BP b a x =--， 因为22222200b x a y a b +=，则四边形ABFP 的面积22000000011||||()22()()abx a y b x S AF BP ab a x b y a x b y =⋅=+------222222000000001()2()()abx y ab x a by b x a y ab a x b y --++=+--000000(1()2()()ab x y bx ay ab ab ab a x b y --+=+=--， 所以四边形ABFP 的面积是定值ab ． 20.解：（1）设切点000(,ln )mP x x x +，因切线方程为240x y +-=， 所以12k =-02001'()m f x x x ==-，①又0001ln 22m x x x +=-+，② 由①得0012x mx =+，③，将③代入②得00ln 10x x +-=，所以01x =，因为000()ln 1g x x x =+-在(0,)+∞上递增，则01x =是唯一根， 所以切点(1,)P m ，代入切线方程得32m =． （2）因为()ln (0)mf x x x x=+>， 所以21'()m f x x x =-=2x mx -，因0x >，当0m ≤时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； 所以()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当0m >时，(0,)x m ∈有'()0f x <，(,)x m ∈+∞有'()0f x >， 所以()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增， 则当2m ≥时，()f x 在[]1,2递减，则min ()(2)ln 22mf x f ==+； 当01m <≤时，()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当12m <<时，()f x 在[]1,m 递减，在[],2m 递增，则min ()()ln 1f x f m m ==+．综上有minln 2,2,2()ln 1,12,, 1.m m f x m m m m ⎧+≥⎪⎪=+<<⎨⎪≤⎪⎩（3）由（2）可知，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多有一个零点，又当0m >时，()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增，所以min ()()f x f m =，若()f x 由两个相异零点，则必有()0f m <，即()ln 10f m m =+<，则10m e<<．第6题图 江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20. （本小题16分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>上的一动点P到右焦点的最短距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）设()4,0P，,A B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于,M N两点，求OM ON⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P是椭圆22194x y+=上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，求动点Q的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)nx*()n∈N的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；24.（本小题10分）是否存在a 、b 、c使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (a n 2+bn +c ) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．PEDCBA答 案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．321- 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.或52-13．８ 14．2(,1)215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2)2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为22-，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．20．解：（1）由题意知222a c a cbc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ．由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得6(1,)M ，6(1,)N -． 此时12OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． (16)21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则22()()22194x y--+=. 即2213616x y +=。
【易错题】高二数学上期末第一次模拟试题(含答案)(1)
【易错题】高二数学上期末第一次模拟试题(含答案)(1)一、选择题1．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A．35B．45C．1D．652．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A．B．C．D．3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．3164．执行如图所示的程序框图，若输入8x ，则输出的y值为（）A ．3B ．52C ．12D ．34-5．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A ．112B ．12C ．13D ．166．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③7．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn8．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A．﹣1 B．12C．2 D．19．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．1310．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．310B．25C．12D．3511．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是()A．0.020B．0.018C．0.025D．0.0312．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．若正方形ABCD 的边长为4, E 为四边形上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于______15．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示： 时间t （分钟） 30 40 7090 120 数学成绩y3548m8292通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆyt =+，则表格中的m 的值是___． 16．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．17．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________18．由茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是__________．19．执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g1400g～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？22．随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题： 使用时间/时 (]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10大学生/人51015128（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间(]0,2，(]2,4，(]4,6的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.23．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 24．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果： 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70） [70,80] 男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8325．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（1）求直方图中x 的值；（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.26．某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组[2,6)，[6,10)，____________=，[14,18)，[18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量.（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.2．C解析：C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()221822a a=，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．C解析：C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 8．B解析：B 【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=12,k=2017<2018 2,2018S k ==输出2,选C.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=.【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．10．D解析：D【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率.【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．【详解】由频率分布直方图的性质得：()100.0050.0150.0350.0150.0101a+++++=，解得0.020a=．故选A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．C【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项： 在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立． 在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项. 【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】确定在正方形的位置即可求解【详解】由题时则当在上运动时的长度大于5故的长度大于5的概率等于故答案为【点睛】本题考查长度型几何概型确定的轨迹是关键是基础题解析：18【解析】 【分析】确定E 在正方形的位置即可求解 【详解】由题3BG DF ==时5AG AF ==，则当E 在,GC CF 上运动时，AE 的长度大于5 故AE 的长度大于5的概率等于111168+= 故答案为18【点睛】本题考查长度型几何概型，确定E 的轨迹是关键，是基础题15．63【解析】回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心解析：63 【解析】30407090120705x ++++==回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=，即：35488292645m ++++=，解得：63m =.点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．16．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S ＝1设阴影部分的面积为S ∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S ＝038故答案为：解析：38 【解析】 【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论． 【详解】正方形的面积S ＝1，设阴影部分的面积为S ， ∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分， ∴由几何槪型的概率公式进行估计得38011000S =， 即S ＝0.38， 故答案为：0.38． 【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．17．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于1m 为事件A 则只能在中间1m 的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m 所以事件A 发生的概率P （A ）=考点：几何概型 解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A ，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m ， 所以事件A 发生的概率 P （A ）=考点：几何概型18．【解析】【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数从而得到甲组数据的众数找出乙组数据的最大值和最小值两者作差求得极差得到结果【详解】根据众数的定义可以断定甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现其最 解析：21,43【解析】 【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数，从而得到甲组数据的众数，找出乙组数据的最大值和最小值，两者作差求得极差，得到结果. 【详解】根据众数的定义，可以断定甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现，其最大值为52，其最小值为9，所以极差为52943-=， 故答案为21，,43. 【点睛】该题考查的是茎叶图的应用，涉及到的知识点有一组数据的众数和极差的概念，只要明确众数是数据中出现次数最多的数，极差是最大值和最小值的差距，从而求得结果.19．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．20．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力解析：1 【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果. 详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=． 点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.三、解答题21．（1）a 0.001=；（2）0.62；（3）12.08吨 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程能求出a ．（2）由频率分布直方图先求出满足题意的频率，即得概率．（3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求． 【详解】()1由()0.00020.00055a 0.00050.000254001++++⨯=，解得a 0.001=． ()2Q 消费者月饼购买量在600g 1400g ～的频率为： ()0.000550.0014000.62+⨯=，∴消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率为0.62．()3由频率分布直方图得人均月饼购买量为：()4000.00028000.0005512000.00116000.000520000.000254001208g⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，∴2012085%1208⨯⨯=万克12.08?=吨， ∴该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求． 【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题． 22．（1）频率分布直方图见解析，中位数约为5.33小时；（2）1115【解析】 【分析】（1）根据题中数据，完成频率分布表，可完成频率分布直方图，设中位数为x ，则()()0.050.1020.1540.5x +⨯+⨯-=，可得中位数；（2）分别求出从6人中随机抽取2人总的事件数及2人取自不同使用时间区间的事件数，由古典概型公式可得概率. 【详解】解：（1）根据题意，可将数据做如下整理：频率/组距 0.05 0.1 0.15 0.12 0.08设中位数为，则()()0.050.1020.1540.5x +⨯+⨯-=，解得 5.33x =. ∴大学生每天使用手机时间的中位数约为5.33小时.（2）用分层抽样的方法从使用时间在区间(]0,2，(]2,4，(]4,6中抽取的人数分别为1，2，3，分别设为a ，1b ，2b ，1c ，2c ，3c ，所有的基本事件为1ab ，2ab ，1ac ，2ac ，3ac ，12b b ，11b c ，12b c ，13b c ，21b c ，22b c ，23b c ，12c c ，13c c ，23c c ，这2名大学生取自同一时间区间的基本事件12b b ，12c c ，13c c ，23c c ，设这2名大学生取自不同使用时间区间为事件A ，符合条件的总事件数为15，在同一区间内的情形有4种情况，∴()41111515P A =-=， 故这2名年轻人取自不同使用时间区间的概率为1115.. 【点睛】本题考查了频率分布直方图及系统抽样的相关性质，考查了分层抽样的使用及概率的求法，考查了推理与计算能力，是中档题. 23．（1）1225；（2）2125.【解析】分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出. 详解：全体基本事件共有25种情形，（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形， 故概率1225P =. （2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球， 即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形， 即42112525P =-=. 点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．24．（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”．【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数（2）先填表，再利用卡方公式计算详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x,依据题意有30750100x=，解得：225x=，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()2200603040702002.198 2.7061001001307091K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算．25．（1）0.0125；（2）2 5 .【解析】【分析】（1）利用直方图矩形的面积的和为1，直接求解x即可.（2）求出基本事件的总数以及符合条件的基本事件的个数，即可求解.【详解】（1）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1.所以x＝0.0125.（2）由题意知：[0，20）有2人，设为1，2，[20，40）有4人，设为a，b，c，d；则基本事件有：12，1a，1b，1c，1d，2a，2b，2c，2d，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的包括：ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种.所以抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率P62 155 ==.【点睛】本题考查了直方图，考查古典概率的求值，是一道中档题.26．（1）24；（2）见解析；（3）3 5。
【易错题】高二数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)
【易错题】高二数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)一、选择题1．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1102．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：0020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n=⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯4．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A．30B．20C．12D．85．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A．没有白球B．2个白球C．红、黑球各1个D．至少有1个红球6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．-1C．0D．-27．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（）A．31号B．32号C．33号D．34号8．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19369．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71210．执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．811．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球二、填空题13．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则()E X =______________．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
试卷陕西省高二上学期期末模拟数学试题(解析版)
一、单选题1．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为()222210,0x y a b a b -=>>F A OAF △2的等边三角形（为原点），则双曲线的离心率为（ ）． O ABC ．4D ．2【答案】D【分析】根据等边三角形的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式进行求解即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以，显然渐近线的倾斜角为， OAF △2c =by x a=60︒因此有， 2222222tan 6033422b cb ac a a c a c a e a a︒=⇒=⇒-=⇒=⇒=⇒==故选：D2．已知，，，则点C 到直线的距离为（ ） ()1,2,0A ()3,1,2B ()2,0,4C AB A ．2B C ．D ．【答案】B【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C 到直线AB 的距离．【详解】因为，，()2,1,2AB =- ()1,2,4AC =-所以在方向上的投影数量为． AC AB 4||AB AC AB ⋅==设点C 到直线的距离为d，则 AB d ===故选：B.3．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n ＝，则平面β的法向量可以是（ ）1(2,1,)2-A ．B ．(2，－1，0)11(1,,)24-C ．(1，2，0) D ．1(,1,2)2【答案】A 【解析】略4．在中，已知，，且a ，b 是方程的两个根，，则ABC BC a =AC b =213400x x -+=60C =︒（ ）AB =A ．3 B ．7C D ．49【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为a ，b 是方程的两个根，所以. 213400x x -+=13,40a b ab +==由余弦定理，.7c ====即7. AB =故选：B5．抛物线的焦点坐标为（ ）．22y x =A ．B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为， 22y x =212x y =y 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭则，解得，所以焦点坐标为.122p =14p =10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.6．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（ ） 2:(0)C y mx m =>(,2)A a 4m =A ．B ．C ．D ．148184【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解. 2p【详解】，， 21x y m=()0m >因为点到的准线的距离为，所以，得．(,2)A a C 41244m+=18m =故选：C7．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）,x y 50,20,4,x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩32z x y =-A ． B ．C ．D ．5-72-52-2-【答案】A【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义求解即可. z 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：， 50144x y x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩()1,4A 由得， 32z x y =-322zy x =-表示直线的轴截距的倍， z 322zy x =-y 2-当直线过时，取得最小值，. 322zy x =-()1,4A z min 385=-=-z 故选：A8．在中，若，，，则等于（ ） ABC a =10c =30A =︒B A ．105° B ．60°或120° C ．15° D ．105°或15°【答案】D【分析】得到或，即可得到10sin C =sin C =45C =135 或.105B = 15【详解】，所以 10sin C =sin C =又因为，，所以或. 0180C ︒<< c a >45C = 135 所以或. 105B = 15 故选：D9．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点O C ，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形D E 2AOD DOE AOC ∠=∠=∠AOC ODEB 区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值COD DE EB DE EB +时，（ ）sin AOC ∠=A B C ．D ．1214【答案】D【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性AOC α∠=DE EB +质求得正确答案.【详解】设，则， AOC α∠=2,π4AOD DOE BOE αα∠=∠=∠=-，则、为正数. ππ04π,0,0242ααα<<<<<<sin αcos 2α在三角形中，由余弦定理得：ODE 2sin DE α====，在三角形中，由余弦定理得：BOE，()22cos 2212sin EB αα=====-所以,()222sin 212sin 4sin 2sin 2DE EB αααα+=+-=-++由于，所以当时，取得最小值， sin α⎛∈ ⎝()21sin 244α=-=⨯-DE EB +也即时，取得最小值. 1sin 4AOC ∠=DE EB +故选：D10．记数列的前n 项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为{}n a n S 598S ={}2nn S {}n a （ ） A ． B ． C ． D ．2-1516-1-14【答案】C【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再探讨其最{}2nn S {}n a 小项作答.【详解】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则559232368S =⨯={}2n n S ，55227(5)71n n S S n n =+-=+因此，当时，，而不满足上式， 712n n n S +=2n ≥117176137222n n n n n nn n n a S S --+--=-=-=114a S ==当时，，即当时，， 2n ≥11167137720222n n n n n n n n a a +++----=-=3n ≥1n n a a +>于是当时，数列是递增的，而，，则，3n ≥{}n a 214a =-31a =-min 3()1n a a ==-所以的最小项为. {}n a 1-故选：C二、填空题11．已知等比数列中，，公比，则__________. {}n a 12a =2q =2a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解.21a a q =【详解】由题意，等比数列中，，公比，则. {}n a 12a =2q =21224a a q ==⨯=故答案为：.4【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算问题，考查了计算能力，属于容易题.12．设a >0，若对于任意正数m ，n ，都有m +n =7，则满足的a 的取值范围是11411a m n ≤+++___________. 【答案】[1，+∞）【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 1411m n +++的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围． 【详解】解：∵m +n =7，∴（m +1）+（n +1）=9，则， ()()()()411414111111551111199119m n m n m n m n m n +⎡⎤+⎛⎫+=++++⨯=++≥⨯=⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦当且仅当，即m =2，n =5时取等号， ()41111m n m n ++=++∴，∵a >0，∴a ≥1， 11a≤∴a 的取值范围是[1，+∞）， 故答案为：[1，+∞）.13．在中，已知，，则_________.ABC 120B =︒AC 2AB =BC =【答案】3【分析】设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即A B C a b c a 可求得的值，从而得到的长度．a BC 【详解】解：设角，，所对的边分别为，，， A B C abc 结合余弦定理，可得， 219422cos120a a =+-⨯⨯⨯︒即，解得或（舍去）， 22150a a +-=3a =5a =-所以． 3BC =故答案为：．314．已知双曲线过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以()222210,0x y a b a b -=>>P ，Q ，则双曲线的离心率为________. 【答案】32【分析】不妨取，分别计算两点到渐近线的距离，根据22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0bx ay -=12,r r 求解即可.12r r +=【详解】代入可得，x c =-()222210,0x ya b a b -=>>2b y a=±不妨取，渐近线方程为，22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0bx ay -=设圆P 和圆Q 的半径分别为，12,r r∵圆P 和圆Q 均与双曲线的同—条渐近线相切，, 2212,bc b bc b r rcc+-∴，，即， 122rr b ∴+==b a =离心率， ∴32e ====故答案为：32【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查了数形结合思想和运算能力，属于中档题.三、解答题15．（1）已知数列{an }满足a 1＝－1，an ＋1＝an ＋，n ∈N *，求通项公式an ； 1n(n 1)+（2）设数列{an }中，a 1＝1，an ＝an －1(n ≥2)，求通项公式an .1(1n-【答案】（1）an ＝－(n ∈N*)；（2）an ＝ (n ∈N*)． 1n 1n【分析】（1）由已知条件可得an ＋1－an ＝，然后利用累加法可求出通项公式an .111(1)1n n n n =-++（2）由an ＝an －1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式1(1)n -1n n a a -1n n -【详解】（1）∵an ＋1－an ＝， 1n(n 1)+∴a 2－a 1＝； 112⨯a 3－a 2＝； 123⨯a 4－a 3＝； 134⨯… an －an －1＝.1(1)n n-以上各式累加得，an －a 1＝＋＋…＋112⨯123⨯1(1)n n -＝＋＋…＋＝1－. 1(1)2-11(23-11()1n n --1n ∴an ＋1＝1－， 1n∴an ＝－(n ≥2)． 1n又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴an ＝－(n ∈N*)． 1n（2）∵a 1＝1，an ＝an －1(n ≥2)，1(1)n-∴＝， 1n n a a -1n n-an ＝×××…×××a 1＝×××…×××1＝.1n n a a -12n n a a --23n n a a --32a a 21a a 1n n -21n n --32n n --23121n又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴an ＝(n ∈N*)． 1n16．等差数列满足，.{}n a 1210a a +=432a a -=（1）求的通项公式.{}n a （2）设等比数列满足，，求数列的前n 项和. {}n b 23b a =37b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.22n a n =+224n +-【解析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用23,b b 1,b q 等比数列前项和公式即可求出. n n s 【详解】解：()∵是等差数列，1{}n a ， 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩∴解出，， 2d =14a =∴1(1)n a a d n =+-422n =+-.22n =+()∵，2232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=是等比数列，{}n b ， 322b q b ==∴b 1=421(1)4(12)24112n n n n b q s q +--===---17．记中，角的对边分别为，已知. ABC ,,A B C ,,a bc cos cos tan a B b A A +=(1)求；A (2)若，求的面积. 2,a b ==ABC 【答案】(1)6A π=【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；（2）根据余弦定理可得或，再根据面积公式求解即可2c =4c =【详解】（1）由正弦定理可得，故，因sin cos sin cos tan A B B A C A +=()sin tan A B C A +=为，故，故，又，故A B C π++=()sintan sin A B C AC +==tan A =()0,A π∈6A π=（2）根据余弦定理可得，故，.当(22222c =+-⨯()()240c c --=2c =4c =时，；当时，2c=111sin 2222ABC S bc A ==⨯⨯= 4c =，故111sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= ABC18．已知O 为坐标原点，双曲线C ：（，P 在双曲线22221x y a b-=0a >0b >C 上，点，分别为双曲线C 的左右焦点，.1F 2F ()2124PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点，，设直线PA ，PB 的斜率分别为，.证明：为定值.()1,0A -()10B ,1k 2k 12k k 【答案】(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b ，即可得出双曲线的标准方程； 1a =(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可. ()00,P x y 1k 2k 【详解】（1）由题知： 122PF PF -=由双曲线的定义知：， 22a =1a =又因为，所以 e ca==c =2222b c a =-=所以，双曲线C 的标准方程为2212y x -=（2）设，则()00,P x y 220012y x -=因为，，所以， ()1,0A -()10B ,0101y k x =+0201y k x =-所以 220000122200002111112y y y y k k x x x y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪+--⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭19．若椭圆E ：过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点.22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值以及此时直线的方程.l 【答案】(1)2213x y +=(2)，此时直线的方程为OAB l y x =【分析】首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，即可得到、，再由，即可求出，b c 222c a b =-2a 即可求出椭圆方程；（2）将直线方程和椭圆方程联立组成方程组，然后求解得到的值，并通过求解得到点到直||AB O 线的距离，即可得到含有的表达式，进而求解得出最大值．l d m OAB S 【详解】（1）解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依24x y =()0,1221x y -=())题意可得，所以，所以椭圆方程为；1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩222c a b =-23a =2213x y +=（2）解：根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 2233x y y x m ⎧+=⎨=+⎩消去得，，y 2246330x mx m ++-=即得，，1232mx x +=-212334m x x -=则由相交弦长公式可得 ||AB=又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为， OAB|dm =所以， 111||||224OAB S d AB m ∆=⋅⋅==当且仅当，即时，的方程为 22m =m =OAB l y x =20．正项数列的前项和满足：{}n a n n S 222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求n S （2）求数列的通项公式 {}n a n a （3）令，求数列的前项和 2221(1)n nn b n a +=+{}n b n n T 【答案】（1）；（2）；（3） 2n S n n =+2n a n =()211141n ⎛⎫ ⎪-⎪+⎝⎭第 11 页 共 11 页【分析】（1）将所给式子因式分解，即可得解；（2）根据计算可得； 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）由（2）可得，再利用裂项相消法计算可得； ()2211141n b n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦【详解】解：因为222(1)()0n n S n n S n n -+--+=所以()201()n n S n n S ⎤+⎣⎦+⎡-=所以或2n S n n =+1n S =-因为各项均为正数，所以；{}n a 2n S n n =+（2）因为，当时，当时，，所以2n S n n =+1n =211112S a =+==2n ≥()()1211n S n n -=-+-，当时也成立，所以 ()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦1n =2n a n =2n a n =（3）因为，所以 2221(1)n n n b n a +=+()2222211114(1)41n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦所以 ()2222222211111111111141242343441n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦ ()()2222222221111111111114122334411n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭。
【易错题】高二数学上期末试卷(附答案)
此时不满足 i 5 ，执行循环： S 1 1 2,i i 1 4 ； S
此时不满足 i 5 ，执行循环： S 1 1 1 ,i i 1 5 ； S2
此时不满足 i 5 ，执行循环： S 1 1 1,i i 1 6 ； S
求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概
率计算公式求解即可. 【详解】 由题意可知,从 5 个大小相同的小球中,一次性任意取出 3 个小球包含的总的基本事件数为
图，若输出 m 的值为 67，则输入 a 的值为 ( )
A．7
B．4
9．下列赋值语句正确的是( )
A．s＝a＋1 B．a＋1＝s
C．5
D．11
C．s－1＝a D．s－a＝1
10．在长为10cm的线段 AB 上任取一点 C ，作一矩形，邻边长分別等于线段 AC 、 CB 的
长，则该矩形面积小于16cm2 的概率为（ ）
16．把十进制数 23 化为二进制数是______． 17．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是 2 的倍数的概率是_________， 18．4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参 加公益活动的概率是________
19．已知 AOB 中， AOB 60 ， OA 2 ， OB 5，在线段 OB 上任取一点 C ，则
是：[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100] .
2019-2020年高二上学期期末模拟试题一 数学试题 含答案
xx 学年度高二上学期期末模拟试题一2019-2020年高二上学期期末模拟试题一 数学试题 含答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ． 2 C. 3 D. 22. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若， 则的值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是( ) A. B. C. D.4. 等差数列中，已知前项的和，则等于（ ） A ． B ．12 C ． D ．65. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B ．“”是“”的必要不充分条件．C ．命题“使得”的否定是：“ 均有”．D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题6. (xx 年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－117. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 若的内角所对的边满足，且，则的最小值为( ) A ． B ． C ． D ． 9. 已知正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A. 0 B. C. D.10.若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．若双曲线的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12.若抛物线的焦点是,准线是,则经过点、（4，4）且与相切的圆共有（ ）．A.4个B.2个C.1个D.0个第2卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．等差数列中，若则= . 14. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是 15. 设，，且，则的最小值为 ．16. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，⑴求的值；⑵求数列的通项公式。
苏教版高二数学第一学期期末复习模拟7附答案
7 8 994 4 6 4 73高二数学第一学期期末模拟七一 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．下图是某地少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的 平均数和方差分别为_______________。
2．若双曲线1922=-m y x 的渐近线方程为x y 35±=，则双曲线的 焦点F 到渐近线的距离为 。
3．“18a =”是“命题:p ),0(+∞∈∀x ，21ax x+≥为真命题”的______________条件。
4．算法的流程图如图，则输出S 为________。
5．函数xxy ln =的单调递减区间是_______________。
6. 已知命题“p : x x ),0,(-∞∈∃是 函数ax e x f x +=)(的极值点”是真命题， 则实数a 的取值范围是____________。
7. 若函数3)2(3123++++=x b bx x y 有三个单调区间，则b 的取值范围是 。
8. 用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色， 每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都 不相同的概率为______。
9. 关于某设备的使用年限x 与所支出的维修 费用yy对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为65y x =+________。
10.直线b x y +=2是曲线x x y ln =的一条切线，则实数b ＝ __________11. 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件，测得其尺寸后，画出其频率分布直方图如下，若尺寸在[15,45]内的频数为46，则尺寸在[20,25]的产品 个数为 。
12．已知32()26f x x x a =-+(a 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么函数)(x f 在[－2，2]上的最小值为_______。
13．设曲线),0(:≥=x x y C 直线0=y 及直线t x =)0(>t 围成的封闭图形的面积为)(t S ，则=)2('S _________。
高二数学上册期末模拟试题附参考答案
2013年高二数学上册期末模拟试题（附参考答案）宜宾市四中2012级第三期期末模拟测试题（三）1、在空间直角坐标系中，，，是坐标原点，则=A、B、C、D、2、抛物线的准线方程是3、已知某程序框图如右图所示，则执行该程序后输出的结果是()．12．－1．2．14、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是5、已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题：①若∥,,则∥；②若,,且∥,则∥③若,,，∥,则∥④若,=,,,则其中正确命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个甲乙9086554135571226、在2013年12月16日举行的高2012级学生艺术节初赛中，6位评委给某班甲、乙两名同学打分的茎叶图如图所示，、分别表示甲、乙两位同学的平均分，、分别表示甲、乙两位同学成绩的标准差，则有A、,B、=,=C、=,D、,7、下列说法正确的是8、正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则点的轨迹是A.抛物线的一部分B.双曲线的一部分C.椭圆的一部分D.线段10、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、用分层抽样的方法从某校1200名学生中抽取一个容量为60的样本，已知高二年级学生比高一年级学生多120人，高三年级比高二年级多抽取12人，则该校高一年级共有学生人12、在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是13、从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是14、如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为15、已知下列命题:其中正确命题的序号是①椭圆标准方程中，若a,b,c成等比数列，则其离心率；②双曲线(a0)的离心率且两条渐近线互相垂直；③在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④若实数，则满足≥1的概率为.三、解答题：16如图，在三棱柱中，△ABC为等边三角形，侧棱⊥平面，，D、E分别为、的中点．（Ⅰ）求证：DE//平面；（Ⅱ）求BC与平面所成角；（Ⅲ）求三棱锥的体积．17、（本小题满分12分）某幼儿园在“六一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一:宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二:宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为n．（I）在方案一中，若x+l=2y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．18、如图，在直四棱柱中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面是边长为4的菱形，且，，P、Q分别是棱和AD的中点，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）（文科科考生）求异面直线与所成角的余弦值。
2022-2023学年度(上)高二数学期末模拟卷1答案及解析
2022-2023 学年第一学期期末模拟考试 1高二数学卷参考答案及解析1．A【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.【详解】由题设，存在R λ∈使a b λ= ，则21239x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，可得163213x y λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以134623x y +=-=-.故选：A 2．C【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列性质:若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+即可得到结果.【详解】解:由题知1122S =,即()1111161111222a a S a +===,62a ∴=,13961184a a a a a ∴+++==.故选:C 3．B【分析】F 为AC 中点，连接,PF EF ，根据中位线性质及线线角定义知,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，结合已知确定其余弦值，应用向量数量积的定义求PE BC ⋅即可.【详解】若F 为AC 中点，连接,PF EF ，又E 是棱AB 中点，所以//EF BC 且2BC EF =，故,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，因为正四面体-P ABC 各棱长为4，故四面体各面均为等边三角形，所以3PF PE ==2EF =，且cos 23PEF ∠=，而,PE BC为PEF ∠的补角，故||||cos 234423PE BC PE BC PEF ⋅=-⋅∠=-⨯⨯=- .故选：B 4．A【分析】根据题意和椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，长轴长为8的椭圆，进而求解.【详解】因为12(2,0),(2,0)F F -，所以12=F F 4，又12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，所以121228PF PF F F +==，则点P 到定点12F F ，的距离之和为8，（大于12=F F 4），所以动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，1228a PF PF =+=，则4,2a c ==，22212b a c =-=，所以椭圆方程为：2211612x y +=，故选：A .5．C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C 6．D【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点(,)P x y ，由2PA PB =2222(1)2(2)x y x y ++=-+22(3)4x y -+=，即点P 的轨迹是以点0(3,0)C 为圆心，2为半径的圆，而圆C 的圆心(2,)C m ，半径为12，依题意，圆0C 与圆C 有公共点，即有0112222CC -≤≤+，即2925144m ≤+≤，而0m >，解得52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎥⎣⎦.故选：D 7．D【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到118a =，1433nn n a a -=⨯-，变形后得到3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出()423nn a n =+⋅，故代入2n a ≥整理得3nn≥，利用作差法得到3nn 单调递减，最小值为13，列出不等式求出答案.【详解】当1n =时，2111332a S a ==-，解得：118a =，当2n ≥时，111333322n n n n n n n a S a a S --+==-+--，整理得1433nn n a a -=⨯-，方程两边同除以3n ，得11343n n n n a a ---=，又163a =，故3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为6，公差为4，所以()123644nn n n a =+-=+，故()423nn a n =+⋅，经验证，满足要求，所以2n a ≥为()2423nn +⋅≥故3nn≥，对任意N n +∈恒成立，111113123333n n n n n n n n n +++++---==，当1n ≥时，111120333n n n n n n+++--=<，故1133n nn n++<，3n n 单调递减，当1n =时，3n n 取得最大值13，故13≥，解得：136k ≥，则k 的最小值为136.故选：D 8．A【分析】当AC 、BD 有一条不存在斜率时，直接求得四边形ABCD 的面积.当AC 、BD 都存在斜率时，设出直线,AC BD 的方程，利用弦长公式求得,AC BD ，由此求得四边形ABCD 的面积的表达式，求得面积的取值范围，从而计算出正确结论.【详解】依题意2,1,a b c ===设点()0y在椭圆上，则(22014y +=，解得012=±y .①当AC 、BD 有一条不存在斜率时，()11222222ABCD S ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.②当AC 、BD 都存在斜率时，设AC 方程1l：(y k x =，BD 方程2l：1(y x k=-+，1l与椭圆联立得22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()2222141240k x x k +++-=，则22121222124,1414k x x x x k k --+=⋅=++，AC=224(1)14k k +=+.同理可得224(1)4k BD k +=+，∴2222114(1)4(1)22144ABCDk k S AC BD k k ++=⋅⋅=⨯⨯++2242228(1)8112541749()124k k k k +==++--++，22210,11,011k k k ≥+≥<≤+，故当21112k =+，即21k =时ABCD S 取得最小值83225254=，由于21252599(0)42444--+=-=，824=，所以32,225ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上所述，ABCD S 的最大值为2，最小值为3225，则最大值与最小值之差为321822525-=.故选：A【点睛】求解直线和圆锥曲线位置关系的题目，要注意判断直线的斜率是否存在，必要时要进行分类讨论.9．BC【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A 项；求出a ，b ，c 的值，可判断B ，C 项；代入判断D 项.【详解】由已知，椭圆的焦点在y 轴上，a =2，b =c =1，则长轴长为2a =4，离心率为12c e a ==.将点代入椭圆方程左边得22312143⎛⎫ ⎪⎝⎭+≠，不满足，即点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭不在椭圆上.故选：BC.10．AD【分析】由题意画出图形，证明四边形1CAD V 与四边形1CBC V 是平面图形，再结合所有棱长相等得新的组合体是斜三棱柱，也是五面体．【详解】将两个正三角形侧面VAB 与△111V A B 按对应顶点粘合成一个正三角形以后，如图，取AB 中点E ，11C D 的中点F ，连接CE ，VE ，VF ，ABC 是正三角形，CE AB ∴⊥，VAB △是正三角形，VE AB ∴⊥，CE V E E = ，,CE VE ⊂平面VEC ,AB ∴⊥平面VEC ，△111V C D 是正三角形，11VF C D ∴⊥，又11//AB C D ，AB VF ∴⊥，而VE V F V = ，,VE VF ⊂平面VEF ,则AB ⊥平面VEF ，∴四边形VCEF 是平面四边形，由CE VF =，VC EF =，得四边形VCEF 为平行四边形，则//VC EF ，又1//AD EF ，1//VC AD ∴，同理可得1//VC BC ，再由所有棱长相等，可得几何体为斜三棱柱，也是五面体．故选：AD ．11．BC【分析】利用(3)(1)f f ≠-可判断A;根据函数满足的性质推得14,Z x k k =+∈和34,Z x k k =+∈皆为()f x 的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将3()20f x x -+=的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.【详解】由题意可知当[1,3]x ∈时，2()2f x x x =-+，故()()2211211,33233f f =-+⨯==-+⨯=-，则(3)(1)f f ≠-，即()f x 的图象不关于点(2,0)对称，A 错误；由于函数()f x 满足(4)()f x f x +=，故4为函数的周期；函数(1)f x +为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称，即有(2)()f x f x -=，则(4)(2),(4)(2)f x f x f x f x +=-∴+=-，故()f x 的图象也关于直线3x =对称，由于4为函数的周期，故14,Z x k k =+∈和34,Z x k k =+∈皆为()f x 的图象的对称轴，当505k =时，342023x k =+=，故B 正确；由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为[3,1]-，C 正确；方程3()20f x x -+=的根即()y f x =与1(2)3y x =-的图象的交点的横坐标，因为当5x =-时，17(52)333y =--=->-，当7x =-时，1(92)33y =--=-，当5x =时，1(52)13y =-=，所以()y f x =与1(2)3y x =-的图象共有7个交点，即方程3()20f x x -+=的实数根个数为7，故D 错误，故选：BC .【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.12．BD【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE =1233BA BC + ，结合()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ ，推出11222n n n n a a +-=-，即11222n n n n a a +--=-，求出1242n n a n -=-+，()22nna n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断B ，根据数列的单调性可判断C ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t -+=-++ ，()()1111231223n n n n a t a t-+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()11222n n n n a a -++=-，所以11222n n n n a a +-=-，即11222n nn n a a +--=-，又12a =，所以122a =，所以12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2-的等差数列，所以()1221242n n an n -=--=-+，所以()()124222n n n a n n -=-+⋅=-+⋅，因为()11(1)222222n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为()()()111122(1)21212222n n n n n n n n n a a n n n ++++-+⋅-+⋅-=-=-+--+=-，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故B 正确；因为1n n a a +-=()1(1)222n nn n +-+⋅--+⋅=2n n -⋅，所以{}n a 为递减数列，故C 不正确；因为()1231202(1)222nn S n =⨯+⨯+-⨯++-+⋅ ，所以()234121202(1)222n n S n +=⨯+⨯+-⨯++-+⋅ ，所以()()23412222222n n n S n +-=-++++--+⋅ ，所以()()1142222263212n n n n S n n ++-⨯-=---+⋅=+-⋅-，所以()1326n n S n +=--，故D 正确.故选：BD 13【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.r r Þ=14【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1AEC 的法向量后可求线面距.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1111,0,0,1,,0,1,1,1,,0,0,1,022A E C F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1111,,0,1,,022EC FC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故1//EC FC ，而1EC ⊂平面1AEC ，⊄FC 平面1AEC ，故//FC 平面1AEC ，故直线FC 到平面1AEC 的距离为即为F 到平面1AEC 的距离.设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，又10,,12AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取2y =，则()1,2,1n =- ，而()0,0,1FE = ，故F 到平面1AEC 1666=，6615．20【分析】作出图形，分析可知6PM PC =+，1PQ PC ≤+，利用基本不等式可求得2PM PQ的最小值.【详解】如下图所示：在双曲线221916x y -=中，3a =，4b =，225c a b =+=，圆()2251x y -+=的圆心为()5,0C ，半径长为1r =，所以，双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为M 、C ，由双曲线的定义可得26PM PC a PC =+=+，1PQ PC ≤+，所以，()()()226252511011020111PC PM PC PC PQPC PC PC+≥=+++≥+⋅+=+++，当且仅当Q 为射线PC 与圆C 的交点，且4PC =时，等号成立，故2PM PQ的最小值是20.故答案为：20.16．2(1)n S n a =+【解析】根据已知条件知数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，可求出11(1)n n a a a n d +-=-+-，再根据已知条件转化求出等差数列{}2n a ､{}21n a -的通项公式，再利用分组求和即可得解.【详解】2111a a a a -=-=-Q 又211n n n n a a a a d +++-=-+，即211n n n n a a a a d+++---=∴数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，11(1)n n a a a n d +∴-=-+-①，又{}{}221,n n a a -分别构成等差数列，根据①式可得221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥②，212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥③，2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥④，由②+③，得2121[1(21)][1(22)](1)n n a a a n d a n d n +--=±-+-±-+-≥，又{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥，或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥，由①得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+，2a a =Q ，3(1)a a d a ∴=±-++，又11a =，311(1)a a a a d ∴-=-±-+，即31a a d -=-或312(1)a a a d -=-+(舍去)，2121n n a a d +-∴-=-，{}21n a -∴是首项为1，公差为d -的等差数列，211(1)n a n d -∴=--，同理，由③+④得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥，所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，321a a a d -=-+-Q ，43(12)a a a d -=±-+，421(12)a a a d a d ∴-=-+-±-+，即42a a d -=或42223a a a d -=-+-(舍去)，222n n a a d +∴-=，{}2n a ∴是首项为a ，公差为d 的等差数列，2(1)n a a n d ∴=+-，从而21221221()k k k k a a a a a k N *-+++=+=+∈，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+ .故答案为：2(1)n S n a =+【点睛】方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的方法有：（1）分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.17．(1)72n a n =-；(2)21622n n n +-++-.【分析】(1)设{}n a 公差为d ，根据91027,40S S =-=-列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求n a ；(2)利用分组求和法求n T 即可.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，由91027,40S S =-=-得，1198927210910402a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得152a d =⎧⎨=-⎩，∴52(1)72n a n n =--=-；（2）由2nn n b a =+得722n n b n =-+，∴1212(12)(1)5(2)22622122n n n n n n n T S n n n ++--=+=⨯+⨯-+-=-++--.18．(1)点P 不在圆上，证明见解析(2)x ＝0或3x ＋4y －8＝0．【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.【详解】（1）点P 不在圆上．证明如下：∵3PC =<，∴由圆的定义可知点P 是在圆C 的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C 到直线l的距离2d ==，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时202d =--=，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，又∵2d =，解得34k =-，此时直线l 为3x ＋4y －8＝0，综上所述：直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －8＝0．19．(1)2213x y +=(2)20x -=或20x -=【分析】（1）已知可得：ca=2a =（2）直线l 的方程为2x ty =+且与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立22233x ty x y =+⎧⎨+=⎩，由根与系数的关系以及弦长公式求解即可；（3）过原点O 作圆M 的切线y kx =，设()00,M x y ，利用圆心到直线的距离等于半径，结合已知条件求解即可【详解】（1）由已知可得：c e a ==2a =所以a =c =又222321b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）易知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x ty =+且与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 由22233x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 可得()223410t y ty +++=，()21210t ∆=->.所以21t >，由韦达定理可得：12243t y y t -+=+，12213y y t =+AB ===.所以42712270t t --=即23t =或297t =-（舍），所以t =.所以直线l 的方程为20x -=或20x -=.（3）过原点O 作圆M 的切线y kx =，设()00,M x y ，圆的半径为()0r r >，由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径，可得0021y kx r k -=+.即()()222001k r y kx +=-，即()22222000020x r k x y k y r --+-=.（*）由已知OP k ，OQ k 即为方程（*）的两个根，所以由韦达定理可得：22022013OP OQy r k k x r -⋅==--，所以2220034x y r +=.因为()00,M x y 在椭圆上，所以220013x y +=，即220033x y +=.所以234r =，即32r =.所以圆M 的半径为32r =.20．(1)见解析(2)存在，14λ=【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于点O ,由于四边形11ACC A 为矩形，所以O 为1AC 的中点，又点D 是棱BC 的中点，故在1A BC 中，OD 是1A BC 的中位线，因此1//OD A B ,OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ,所以1//A B 平面1AC D（2）由1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥可知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;则()()()()()10,0,0,0,0,2,4,0,0,0,4,0,2,2,0,A A B C D 由()01AM AC λλ=<<得()0,4,0M λ,()()14,0,2,2,2,0A B BD =-=-,设平面1BA D 的法向量为(),,m x y z =，则1420220m A B x z x y m BD⎧⊥-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⊥⎩⎪⎩，取2z =，得()1,1,2m = ，()()10,4,2,2,42,0A M DM λλ=-=--,设平面1A DM 的法向量为()111,,x n y z =，则()111114202420y z n A Mx y n DMλλ⎧-=⊥⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⊥⎪⎩⎩ ，取12z λ=，得()211,2n λλ=- ，，故1cos ,2m n m n m n ⋅== ，化简得()()2821=04121=0λλλλ+-⇒-+由于01λ<<，所以14λ=，故棱上AC 存在点M ，其中14AM AC = ，即14λ=，使得平面1BAD 与平面1A DM 所成角的大小为60°.21．(1)见解析(2)2m =或3或4【分析】（1）由n a 与n S 的关系得出n a ，再由等差中项的性质得出q （m ）的所有可能值；（2）利用错位相减法得出n T ，再结合不等式的性质得出m 的所有可能值．(1)由11a =及n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列得1n n S nq -=，故121(1),2n n n n n a S S nq n q n ---=-=-- ，且当1n =时亦满足.由12,,m m m a a a ++成等差数列得11212(1)(1)(2)(1)m m m m m mm q mq mq m q m q m q ---+⎡⎤+-=--++-+⎣⎦化简并整理得2(1)[(2)(1)]0q m q m -+--=解得1q =或12m q m -=+，因此，当1m =时，1q =；当2m ≥时，12m q m -=+.(2)当1q =时，34T >，所以12m q m -=+，2m ≥由于1212,2n nn n T q nq qT q q nq-=+++=+++ ()211111n nnnn q T q qqq q n n qq ---=---=++++ 故222211(2)(1)(1)1(1)9n n n q nq m T q q q q +=--<=----从而当4m ≤时，4n T <对任意*n ∈N 恒成立，当5m ≥时，47q ，则2344584443141344777777T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⨯++=-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦综上，2m =或3或422．(1)124【分析】（1）联立直线l 与双曲线方程，根据点T 是MN 的中点，列方程求解即可.（2）联立直线l 与双曲线方程，表示出BN 的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果.（1）设()()1122,,,A x y B x y联立直线l 与双曲线方程()221102y k x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()22212412(1)0k x k k x k -----=，由韦达定理可知，()221212222144,1212k k k x x x x k k ---+=⋅=--联立直线l 与其中一条渐近线方程()11y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得2x =即2N x =2M x 则21224412M N k k x x x x k -+==+-，则可知AB 的中点与MN 中点重合.由于()1,1T 是MN 的中点，所以()241212k k k -=-，解得12k =；（2）()11y k x =-+与2212x y -=联立，消去y 得()()22212412(1)20k xk k x k ------=由（1）知，2AB MNBN AM -==.或()12OBN OAB OMN S S S =-由于AB MN =，所以BN =又O到直线的距离d =，所以12OBNS BN d=⋅==整理得2OBN S =令11,12t k ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则2222212241142(1)k t t k t t t --+-==-+--，当12t =，即12k =时，2212(1)k k --的最大值为2，所以OBN S。
高二数学(上)期末模拟试卷带解析(2021年整理)
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12高二数学（上）期末理科试卷考试范围：必修二，选修2-1；考试时间：120分钟;学校：___________姓名：___________班级:___________第I 卷（选择题）评卷人得分一、单选题（本大题共12道小题，每小题5分,共60分）1．抛物线22x y =-的焦点坐标是（ )A 。
10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D 。
10,4⎛⎫⎪⎝⎭2．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则实数m 等于( ）A. B 。
32 C.85 D. 233．已知命题π:2P x ∃≥, sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A. π2x ∀≥， sin 1x ≤ B 。
π2x ∀<， sin 1x ≤C. π2x ∃≥, sin 1x ≤D. π2x ∃<， sin 1x ≤4．已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的离心率为2,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 。
3y x = B. 3y x =± C 。
5．已知m ,n 是两条不同的直线，α,β,γA. 若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB. 若m ∥n ,m ⊂α,n ⊂β，则α∥βC 。
高二数学上学期期末模拟考试试题 理含解析 试题
泸县第五中学2021-2021学年高二数学上学期期末模拟考试试题理〔含解析〕一选择题〔每一小题5分，12小题，一共60分，每一小题的四个选项只有一项符合题目要求，请将答案填在后面答题卡中，否那么不予给分〕1. 命题：，那么A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否认是特称命题，全称命题命题“〞的否认为特称命题“〞，应选C.2. “〞是“〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A.....................3. 有50件产品，编号从1到50，如今从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，那么第三个样本编号是A. 37B. 27C. 17D. 12【答案】B【解析】用系统抽样时，每个组中抽取的样本编号通常是一个等差数列，且公差为组数，故第三个样本编号为.应选B.4. 2021年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下，那么这组数据的中位数是A. 19B. 20C. 21.5D. 23【答案】B【解析】样本数据一共有12个，中位数为.应选B.5. 椭圆()的左焦点为F1(－4,0)，那么m等于A. 9B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】由题设知焦点在轴上，所以且，故，应选C.6. 假设样本数据，，…，的HY差为8，那么数据，，…，的HY差为A. 8B. 16C. 24D. 32【答案】C【解析】一般地，假如样本数据的HY差为，那么数据HY差为〔〕，应选C.7. 直线与圆相交于两点，假设，那么的值是：A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆心到直线的间隔为，那么，又，解得，应选B.8. 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为，那么以下结论中不正确的选项是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 假设该大学某女生身高增加1 cm，那么其体重约增加0.85 kgD. 假设该大学某女生身高为170 cm，那么可断定其体重必为58.79 kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为，那么＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心〔〕，B正确；该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为×170﹣85.71=58.79kg，D错误．应选：D．视频9. 两圆，，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，那么动圆圆心的轨迹方程为A. B. C D.【答案】D【解析】设圆的半径为，那么，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.应选C.10. 某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的外表积是A. B. C. D. 5【答案】C【解析】解：该几何体是棱长分别为的长方体中的三棱锥：，其中：，该几何体的外表积为： .此题选择B选项.点睛：此题考察的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体〔包括多面体、旋转体和组合体〕的构造特征是高考中的热点问题.视频11. 直线与椭圆交于、两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，那么椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为、，由题意可得，由，得，．∴．由椭圆定义可知，，∴，∴．考点：直线与椭圆的位置的关系.【思路点睛】此题重点考察圆与椭圆的综合，考察椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点两点为顶点得一矩形．以为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆的离心率．12. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，那么的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可以，.又因为，故两条动直线互相垂直，所以，有根本不等式可知也就是，当且仅当A.二、填空题〔一共4个小题，5分每一小题，一共20分〕13. 双曲线的渐近线方程是___________.【答案】【解析】令，得渐近线方程为：.故填.14. 某校早上8:00开场上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间是段任何的时刻到校是等可能的，那么小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____【答案】【解析】假设小张是后的分钟到校，小王是后的分钟到校，那么两人到校应满足，它是一个平面区域，对应的面积为.设随机事件为“小张比小王至少早5分钟到校〞，那么两人到校时间是应满足，对应的平面区域如图以下图阴影局部所示，其面积为，故所求概率为，故填.点睛：此题为几何概型中的会面问题，其处理方法是找出根本领件对应的平面区域的面积.15. 抛物线的焦点，点，那么曲线上的动点到点与点的间隔之和的最小值为_________．【答案】2【解析】如图，抛物线的准线为，过点做作准线的垂线，垂足为，那么，所以，当且仅当三点一共线时等号成立，故所求最小值为．点睛：抛物线中，与焦点有关的问题可以转化到准线的间隔去考虑．16. 椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，假设，那么__________．【答案】【解析】由条件椭圆：∴椭圆的右焦点为F,可知F(1,0)，设点A的坐标为〔2，m〕，那么=〔1，m〕，∴，∴点B的坐标为，∵点B在椭圆C上，∴，解得：m=1，∴点A的坐标为〔2，1〕，.答案为：.三．解答题：解容许说明必要的文字说明，证明过程和演算步骤.17. 命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．〔1〕假设，且为真，务实数的取值范围；〔2〕假设是的充分不必要条件，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：先由命题解得；命题得，〔1〕当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．〔2〕由是的充分不必要条件，那么是的充分必要条件，根据那么，即可求解实数的取值范围．试题解析：命题：由题得，又，解得；命题：，解得．〔1〕假设，命题为真时，，当为真，那么真且真，∴解得的取值范围是．〔2〕是的充分不必要条件，那么是的充分必要条件，设，，那么；∴∴实数的取值范围是．18. 某城100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．〔1〕求直方图中x的值；〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，那么月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【答案】〔1〕0.0075；〔2〕224；〔3〕5【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图小长方形的面积之和为1可得x＝0.0075；(2)结合所给的数据可得：月平均用电量的众数和中位数为,224;(3)结合频率分布直方图和分层抽样的概念可得月平均用电量在[220，240〕的用户中应抽取5户.试题解析：〔Ⅰ〕由直方图的性质，可得〔0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025〕×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．〔Ⅱ〕月平均用电量的众数是．因为〔0.002＋0.0095＋0.011〕×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240〕内，设中位数为a，由〔0.002＋0.0095＋0.011〕×20＋0.0125×〔a－220〕＝0.5，解得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224．〔Ⅲ〕月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100＝25〔户〕，月平均用电量为[240，260〕的用户有0.0075×20×100＝15〔户〕，月平均用电量为[260，280〕的用户有：0.005×20×100＝10〔户〕，抽取比例，所以月平均用电量在[220，240〕的用户中应抽取〔户〕．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心〞，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.视频19. 点及圆：.〔1〕假设直线过点且与圆心的间隔为1，求直线的方程；〔2〕设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；【答案】〔1〕和；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用点到直线的间隔构建关于斜率的方程，解出斜率即可.注意检验斜率不存在的情形.〔2〕因为，所以到直线的间隔为，但是，因此为的中点，故可直接写出以为直径的圆的方程.解析：〔1〕假设直线的斜率存在，那么方程为. 即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即. 假设的斜率不存在时，的方程为，经历证也满足条件.〔2〕由于，而弦心距，所以，所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为.点睛：注意利用几何量的互相关系简化计算.20. 某百货公司1～6月份的销售量x与利润y的统计数据如下表：月份 1 2 3 4 5 6销售量x(万件) 10 11 13 12 8 6利润y(万元) 22 25 29 26 16 12〔1〕根据2～5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；〔2〕假设由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，那么认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？【答案】〔1〕；〔2〕回归直线方程是理想的【解析】试题分析：〔1〕直接根据线性回归方程的公式进展计算.〔2〕利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.解析：〔1〕根据表中2～5月份的数据，计算得，，，所以，.故关于的回归直线方程为：.(2)当时，，此时；当时，，此时.故所得的回归直线方程是理想的．21. 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。
广东省深圳市普通高中上学期高二数学期末模拟试题 01 Word版含答案
上学期高二数学期末模拟试题01一、填空题（每题5分，共70分）1、已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0，则命题P 的否定是2、过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为3、已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .4、抛物线24x y =的焦点坐标为5、过点)2,1(作圆01422=--+x y x 的切线方程为6、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，实轴长4，则双曲线的焦距等于7、已知集合A 为数集，则“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的 条件 8、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 。
9、两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是 10、在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于11、已知直线的倾斜角的范围为[3π，32π]，则直线斜率的范围为12、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是13、以下说法正确的有．．．．（1）命题“若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”.（2）“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. （3）若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题.（4）若命题p :x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥.14、已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是________ 二、解答题（共90分）15、（14分）已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝x c 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝2x －2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． 16、（14分）如图，在正三棱柱ABC ―A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)如果点E 为B 1C 1的中点，求证：A 1E ∥平面ADC 1． 17、（14分）过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．18、（16分）过抛物线y 2=4x 的焦点F ,引倾斜角为3π的直线,交抛物线于A 、B 两点.（1）求AB 的中点M 到抛物线准线的距离 （2）如果O 是坐标原点,求△AOB 的面积.19. （16分）椭圆22221(0)x y a b a y+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM（1）、求椭圆的离心率e ；（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围20、（16分）已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .(Ⅰ)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；(Ⅱ)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；(Ⅲ)设P 为（Ⅱ）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.第20题答案1、012,2≤+-∈∃x x R x 2、072=+-y x 3、14π 4、（0，161）5、032=+-y x6、7、必要不充分8、（1）（4）9、1 10、 11、33-≤≥k k 或 12、55 13、（1）（2）（4） 14、455 15、16、略17、解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4(5,0)k-，交y 轴于点(0,54)k -， 14165545,4025102S k k k k=⨯-⨯-=--= 得22530160k k -+=，或22550160k k -+= 解得2,5k =或 85k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。
江苏省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟考试2套(含答案)
江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）姓名 成绩一、填空题：1．椭圆223412x y +=的焦距为 ．2．命题“若α为锐角，则sin 0α>”的否命题是 ．3．已知函数xx x f 1)(2+=，()f x '为()f x 的导函数，则)1(/f 的值是 ． 4．已知抛物线2:2016C y x =，则它的准线方程是 ．5．已知函数()sin 2()14f x x xf π'=++，则)3(/πf = ．6．已知函数32()1f x x x x =+-+,求函数)(x f 的单调减区间为 ．7．直线20x y +=被圆22(3)(1)25x y -+-=截得的弦长为等于 ． 8．曲线2ln 1y x =-在点（e,1）处的切线与y 轴交点的坐标为 ．9．已知圆22(2)1x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ．10．若命题“2,20R x x x m ∃∈-+≤”是真命题，则实数m 的取值范围是 ． 11．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(/f f +的值为 ．12．函数()xf x e mx =-的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 ．14．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影为右焦点F ,若1132k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ． 二、解答题：15．设命题p ：函数1+=kx y 在R 上是增函数，命题q ：，R ∈∃x 01)32(2=+-+x k x ，如果q p ∧是假命题，q p ∨是真命题，求k 的取值范围．16．已知三点53,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭、A （－2，0）、B （2，0）。
【易错题】高二数学上期末模拟试题(附答案)
【易错题】高二数学上期末模拟试题(附答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．153．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18 C ．38D ．3164．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？5．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A ．112B ．12C ．13D ．166．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号B ．32号C ．33号D ．34号7．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 8．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12 C ．1D ．329．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )A ．3.1B ．3.2C ．3.3D ．3.410．执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（ ）A ．1次B ．2次C ．3次D ．4次11．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）A ．10B ．17C ．19D ．3612．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人.14．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．15．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．16．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．17．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 18．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．12B ．2C ．1-D ．12-19．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．20．已知AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为锐角三角形的概率_________．三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 22．在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．甲镇有基层干部60人，乙镇有基层干部60人，丙镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成[)5,15，[)15,25，[)25,35，[)35,45，[]45,555组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在[]45,55的概率．23．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI )，数据统计如下： 空气质量指数(3/g m μ)0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染中度污染 重度污染 天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m 的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.24．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm ），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm 的为优质树苗.（1）求图中a 的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如列联表：A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗 60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k …0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82825．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）26．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率. （1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．C解析：C【解析】【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷， 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号，故选C.【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.7．C解析：C【解析】【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】 Q A ()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦ Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<< 故选：C【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键8．D解析：D【解析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值， 可得2tancos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D.【点睛】 本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.9．B解析：B【解析】【分析】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：7951000S S =圆正，得解． 【详解】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型可得：7951000S S =圆正， 所以7954 3.21000π⨯=≈， 故选：B ．本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．10．C解析：C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==，413y x -=>； 1129,39x y ==，419y x -=<；结束. 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.11．C解析：C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ．考点：程序框图．12．A解析：A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝ ． 故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键 二、填空题13．40【解析】【分析】设应从B 校抽取n 人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B 校抽取n 人某市有ABC 三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分解析：40【解析】【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．【详解】设应从B 校抽取n 人，Q 某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人， 在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，120n 650500350500∴=++，解得n 40=． 故答案为：40．【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．5【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的的值当时根据题意退出循环输出结果【详解】模拟执行程序框图可得；；；；此时退出循环输出结果故答案为5【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题涉及到 解析：5【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,s k 的值，当5,58s k ==时，根据题意，退出循环，输出结果.【详解】模拟执行程序框图，可得 1,7S k ==；771,688s k =⋅==；763,5874s k =⋅==；355,5468s k =⋅==； 此时，57810<，退出循环，输出结果， 故答案为5.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算循环结构程序框图输出结果的问题，属于简单题目.15．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【解析：3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可.【详解】由程序语句知：算法的功能是求22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值， 当3x ≥时，2110y x =+=，解得3x =(或3- ,不合題意舍去)；当3x <时，210y x ==,解得5x = ,舍去，综上，x 的值为3，故答案为3 .【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.16．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到所有输出的的值然后求和即可【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；退出循环可得所有值 解析：10【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的y 的值,然后求和即可.【详解】输入2n =-，第一次循环，8,1y n ==-；第二次循环，3,0y n ==；第三次循环，0,1y n ==；第四次循环，1,2y n =-=；退出循环，可得所有y 值之和为830110++-=，故答案为10.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主 解析：4π 【解析】【分析】画出不等式组2201011a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.【详解】根据题意，画出不等式组2201011a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，如图所示，在[]0,1上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为2211414P ππ⨯==，故答案为4π. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 18．A 【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的k 的值当k=2012时不满足条件退出循环输出的值为【详解】模拟执行程序框图可得满足条件满足条件满足条件满足条件由此可见S 的周期为3故当k=20解析：A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k=2012时不满足条件2011k ≤ ，退出循环，输出S 的值为12. 【详解】模拟执行程序框图，可得2,1S k ==满足条件2011k ≤，1,22S k ==， 满足条件2011k ≤，1,3S k =-=， 满足条件2011k ≤，2,4S k ==，满足条件2011k ≤，1,52S k ，== 由此可见S 的周期为3，20113670...1,÷= 故当k=2012时不满足条件2011k ≤ ，退出循环，输出S 的值为12. 故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 19．【解析】分析：设爸爸到家时间为快递员到达时间为则可以看作平面中的点分析可得全部结果所构成的区域及其面积所求事件所构成的区域及其面积由几何概型公式计算可得答案详解：设爸爸到家时间为快递员到达时间为以横解析：18【解析】分析：设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，则(,)x y 可以看作平面中的点，分析可得全部结果所构成的区域及其面积，所求事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案.详解：设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|67x x y y ⎧⎫≤≤⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，面积=1S ， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|670x x y y x y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭，直线=0x y -与直线=6.5x 和y=6交点坐标分别为(6,6)和(6.5,6.5)，2111==228S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭阴影 由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：1=8S P S =阴影. 故答案为18. 点睛：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x 、y ，将(,)x y 基本事件和所求事件在平面直角坐标系中表示出来.20．6【解析】如图过点作垂线垂足为在中故；过点作垂线与因则结合图形可知：当点位于线段上时为锐角三角形所以由几何概型的计算公式可得其概率应填答案点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题解答时充分借助 解析：6【解析】如图，过点A 作OB 垂线，垂足为H ，在AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，故1OH =；过点A 作OA 垂线，与OB 交于点D ，因60AOB ∠=o ，则4,3OD DH ==，结合图形可知：当点C 位于线段DH 上时，AOC ∆为锐角三角形，所以3,5d HD D OB ====，由几何概型的计算公式可得其概率30.65d P D ===，应填答案0.6． 点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题．解答时充分借助题设条件，运用解直角三角形的有关知识，分别算出几何概型中的3,5d HD D OB ====，然后运用几何概型的计算公式求出其概率为30.65d P D ===． 三、解答题21．（1）甲班参加；（2）710P =． 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由题意知求出x=5，y=6．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S 12和S 22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（2）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率．试题解析：（1）甲班的平均分为，易知6y =．2127.2S =；又乙班的平均分为283x =，∴2257.2S =；∵12x x =，2212S S <，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（2）85分及以上甲班有2人，设为,a b ；乙班有人，设为，从这5人中抽取2人的选法有：,,,,,,,,,ab ax ay az bx by bz xy xz yz ，共10种，其中甲班至少有名学生的选法有7种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为710P =． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．茎叶图． 22．（1）28（2）35 【解析】【分析】（1）按照比例得出这20人中来自丙镇的人数，利用频率直方图求中位数的方法求解即可；（2）按照比例得出走访户数在[)35,45，[]45,55的人数，列举出6人中抽取2人的所有情况，再由古典概型概率公式计算即可.【详解】解：（1）20人中来自丙镇的有80208606080⨯=++人． ∵()0.0150.025100.40.5+⨯=<，0.40.030100.70.5+⨯=>∴估计中位数[)25,35x ∈． ()250.0300.1x -⨯=∴28.3328x ≈≈（2）20名基层干部中工作出色的人数为()0.0200.01010206+⨯⨯=其中，走访户数在[)35,45的有0.210204⨯⨯=人，设为a ，b ，c ，d走访户数在[]45,55的有0.110202⨯⨯=人，设为e ，f从6人中抽取2人有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f (),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种其中2人走访贫困户都在[)35,45的有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6种． 故所求概率1563155P -==． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图计算中位数以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题.23．(1)答案见解析；(2)35. 【解析】【试题分析】（1）借助题设中提供的频率分布直方图，算出0-50的频率为0.004500.2⨯=，进而求出样本容量200.2100n =÷=，从而求出25m =，最后完成频率分布直方图；（2）先运用分层抽样的方法求出空气质量指数为51-100和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天，即将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，算出从中任取2天的基本事件数为10种和其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件数为6种，进而算得事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==： (1)由频率分布直方图可知0-50的频率为0.004500.2⨯=，所以200.2100n =÷=，从而25m =，频率分布直方图补充如下图所示.(2)在空气质量指数为51-100和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d 共6种，所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==. 24．（1）0.025a =；（2）列联表见解析，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系；（3）分布列见解析，()1E X = 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）和为1可求得a ；（2）由频率分布直方图求出优质树苗和非优质树苗的株数后可填写列联表，求出2K 后知有无关系；（3）由（2）知这批树苗为优质树苗的概率为3011204=，X 的可能取值为0，1，2，3，4， X 服从二项分布，即1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算出各概率，得分布列，根据期望公式计算出期望． 【详解】（1）根据频率分布直方图数据，有2(22a a ⨯⨯++0.1020.20)1⨯+=，解得：0.025a =.（2）根据频率分布直方图可知，样本中优质树苗棵树有120(0.1020.0252)30⨯⨯+⨯= 列联表如下：可得；2120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.310.8287=<< 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系注：也可由22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.28610.8287=≈<得出结论 （3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为3011204=X 的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知：X 服从二项分布，即1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭4413()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =即：04041381(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；13141327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 22241327(2)44128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3134133(3)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4044131(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X ∴的分布列为：X0 1 2 3P812562764 27128 364∴数学期望为()414E X =⨯= （或812727()01225664128E X =⨯+⨯+⨯3134164256+⨯+⨯=）. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，考查二项分布和期望，正确认识频率分布直方图是解题基础．25．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组. 【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在[4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为0．17，则频率分布直方图中样本落在[4，6）的小矩形的面积为0．17，从而求出矩形的高即a 的值，同理得到b 的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组．试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0．17，所以，课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0．25，所以，。
高二数学(文科)上学期期末模拟试卷(1)(含答案)
高二数学（文科）上学期期末模拟试卷（1）一、单选题1．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．16 2．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 74813．某家庭2019年一月份收入的总开支分布饼形图如图1所示，这个月的食品开支柱状图如图2所示：图1图2那么这个月的肉食类开支占这个家庭收入总开支的（ ） A ．10% B ．15% C ．20%D ．30%4．已知数据1x 、2x 、3x 的方差24S =，则122x +，222x +，322x +的方差为（ ） A ．4B ．6C ．16D ．365．命题“若(1)0x x -=,则0x =或1x =”的否命题为( ) A ．若(1)0x x -≠,则0x ≠或1x ≠ B ．若(1)0x x -≠,则0x ≠且1x ≠ C ．若0x ≠或1x ≠,则(1)0x x -≠D ．若0x ≠且1x ≠,则(1)0x x -≠6．渝康码是腾讯和支付宝与重庆市政府合作推出的重庆电子健康码，用户申请使用渝康码，凭此码出入小区，学校，医院，商业，公共交通，办公楼宇，交通卡口等.如图，健康人员的渝康码是黑白相间的.已知某个重庆市民的渝康码是边长为15cm 的正方形，利用随机模拟的方法向该渝康码内投入900个点，其中落入黑色部分的点的个数为480个，则该渝康码的黑色部分的面积约为（ ）2cm A ．105 B ．115 C ．120 D ．1357．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现2K 的观测值 6.023k =，根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言()20P K k ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8288．已知函数()f x 在0x x =处的导数为k ，则000(3)()lim h f x h f x h→--=（ ）A ．kB ．k -C ．3kD ．3k - 9．“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个充要条件是（ ）A ．21m -<<-B ．0m <C ．2m <-或1m >-D ．0m >10．设抛物线24y x =的焦点为F ， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若OP PF =，则OPF 的面积为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2211．已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足1222MF MO MF ==，则椭圆C 的离心率e 等于( ) A ．5B ．32C ．3 D ．6 12．已知定义域为R 函数()f x 满足()11f =，且1'()2f x <，则1()22x f x <+的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞二、填空题13．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是_____________________________________ 14．若4进制数2m 01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则m =______ 15．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为______16．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>与圆222x y c +=的一个公共点，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线Γ的左右焦点，设12PF k PF =，若(1,2]k ∈，则双曲线Γ的离心率的取值范围是___________三、解答题17．已知p ：|1|2x +≤，q ：(1)()0x x m +-≤（1）若4m =，命题“p 或q ”为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)
高二上期期末检测模拟试题数学 试题 参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =， 由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确； 因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++， 所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+， 所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′， 则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】 解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥， 所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−， 所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a， 设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+， 由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=， 则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++， 由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++， 故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。
高二数学上学期期末模拟题(一)答案
高二数学上学期期末模拟试题（一）答案1.A 由等差数列性质，a 1+a 9=2a 4,39=3a 4,a 4=13.2.A =+-+⋯+⨯+⨯)13)(23(1741411n n 1111111111[(1)()()()](1)3447711323133131nn n n n -+-+-++-=-=-+++ 3.B 显然1q ¹，则10551055131111,,.132322s q q q q s q -==+==-=-- 4.D 6612345654321()n n n n n n n n s s s a a a a a a a a a a a a ------+-=+++++++++++111()6()216,36,18324,18.2n n n n a a na a a a s n n +=+=+===== 5.D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D.6.D 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6<m <10.再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.7.D 设正六边形边长为x ，则|FC |＝2x ，在△DEF 中，|DF |＝x 2＋x 2－2x 2cos120°＝3x ，故e ＝ca ＝2x (3－1)x＝3＋1.8.D 如图所示，易得：P ′F ＋PQ ＝P ′A ′＋PQ >A ′Q >AQ ＝AP ＋PQ ＝PF ＋PQ .∴该点P 横坐标为2，代入得纵坐标为8，该点为(2,8)，选D.9.BD 因为“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，所以在M 中存在不属于集合P 的元素，M 中可能有属于P 的元素，也可能没有属于P 的元素故BD 正确，AC 不正确.10.ABC 由1a ＜1b ＜0，可得b ＜a ＜0，故选ABC.11.AB ∵y 2＝4x ，∴抛物线的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，又∵P 到F 的距离为10，设P (x ，y )，∴x ＋p2＝10，即x ＋1＝10，∴x ＝9.∴y 2＝36，y ＝±6，∴P 点坐标为(9，±6)． 12.AB ∵AP ―→∥BC ―→，∴可设AP ―→＝λBC ―→.易知BC ―→＝(3，－2，－1)，则AP ―→＝(3λ，－2λ，－λ)．又|AP ―→|＝14，∴(3λ)2＋(－2λ)2＋(－λ)2＝14，解得λ＝±1，∴AP ―→＝(3，－2，－1)或AP ―→＝(－3,2,1)．设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP ―→＝(x －1，y ，z －3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝3，y ＝－2，z －3＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3，y ＝2，z －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，z ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，z ＝4.故点P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.14.55 解析：不妨设CB ＝1，则B (0,0,1)，A (2,0,0)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)．∴BC 1―→＝(0,2，－1)，AB 1―→＝(－2,2,1)．cos 〈BC 1―→，AB 1―→〉＝BC 1―→·AB 1―→|BC 1―→|·|AB 1―→|＝0＋4－15×3＝55.15、121111122221112()(122222222x xx xxf x f x --+-==+=+++++112211112222121212222(21)222(5)(6)(4)(5)(0)(1),(5)(6)632x x x x f f f f f f f f ---++====++-+=-+==+=-++=?16. y ＝8x －15 [解析] 设所求直线与y 2＝16x 相交于点A ，B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)．即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2⇒k AB ＝8.故所求直线方程为y ＝8x －15. 17.解： 由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1，∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3. 命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．18. 解：设数列｛a n ｝的公差为d∵S 10＝S 20，∴10×29＋2910⨯d ＝20×29＋21920⨯d 解得d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋31设这个数列的前n 项和最大，a n ≥0 －2n ＋31≥0则需： 即a n ＋1≤0 －2(n ＋1)＋31≤0 ∴14.5≤n ≤15.5∵n ∈N ，∴n ＝15∴当n ＝15时，S n 最大，最大值为S 15＝15×29＋21415⨯ (－2)＝225.19.解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元． 20. 解：(1)∵S n ＋1＝4a n ＋2 ①∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2 ②②－①得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1，2，…)即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形，得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列｛b n ｝是公比为2的等比数列；由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，得a 2＝5故b 1＝a 2－2a 1＝3∴b n ＝3·2n －1.1111112(2)(1,2,),,22222n n n n n nn n n n n n n n a a a a a b c n c c ++++++-==∴-=-==将b n ＝3·2n －1代入，得c n ＋1－c n ＝43(n ＝1，2，…)由此可知，数列｛c n ｝是公差为43的等差数列，它的首项c 1＝,2121=a1331(1).2444n c n n =+-=-故 311(3)(31)444n c n n =-=-∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1，2，…)；当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2，由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式，所以所求｛a n ｝的前n 项和公式是：S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.21．(1)证明： 由题意得DA ，DD 1，DC 两两垂直．以D 为坐标原点，分别以DA ，DD 1，DC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E (0,0,1)，A 1(1，2，0)，B (1,0,1)，C 1(0，2，2)，D 1(0，2，0)． EA 1→＝(1，2，－1)，DB →＝(1,0,1)，DC 1→＝(0，2，2)． ∵EA 1→·DB →＝1－1＝0，∴EA 1→⊥DB →，即EA 1⊥DB .∵EA 1→·DC 1→＝2×2－1×2＝0，∴EA 1→⊥DC 1→，即EA 1⊥DC 1. 又DB ∩DC 1＝D ，∴EA 1⊥平面BDC 1.(2)解： 设平面BD 1C 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)．∵BC 1→＝(－1，2，1)，D 1C 1→＝(0,0,2)， 由⎩⎨⎧D 1C 1→·n ＝0，BC1→·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，－x 1＋2y 1＋z 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝1，z 1＝0，∴n ＝(2，1,0)． 由(1)知EA 1⊥平面BDC 1，∴平面BDC 1的一个法向量为EA 1→＝(1，2，－1)．∴cos 〈EA 1→，n 〉＝EA 1→·n |EA 1→||n |＝2＋2－02×3＝63.由图知二面角D －BC 1－D 1为锐二面角，∴二面角D －BC 1－D 1的余弦值为63. 22．解： (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2－a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＋0. Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34. x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.此时S △OPQ max ＝1， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.。
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【易错题】高二数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等2．已知回归方程21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ）A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ）A ．320B ．720C ．316D ．254．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A．3B．52C．12D．34-5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．636．日本数学家角谷静夫发现的“31x+猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N=，则输出i值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 7．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα8．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1支出y 万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元9．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( )A ．34B ．23C ．12D ．1310．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )A ．3.1B ．3.2C ．3.3D ．3.411．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．2312．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ）A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．14．如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=22x 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S ：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND （ ），b=RAND （ ）；②做变换，令x=2a ，y=2b ；③产生N 个点（x ，y ），并统计落在阴影内的点（x ，y ）的个数1N ，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，1N =332，则据此可估计S 的值为____．15．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．16．已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =）满足4115i i x==∑，4112i i y ==∑，若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a =+，0.6b =，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元. 17．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________18．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________，19．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a =49.4a =，59.4a =，69.3a =79.3a =，89.7a =，99.2a =109.5a =，119.3a =，129.6a =20．在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________．三、解答题21．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？22．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.6.5,7.5（时）内的频率；（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X，求X的分布列以及数学期望.23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀25 合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. ()2P K k ≥ 0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 24．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X的分布列及数学期望.25．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]185,195（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．26．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A ，2A ，3A ，乙协会编号为4A ，丙协会编号分别为5A ，6A ，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=，[)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=， 不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C .【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．C解析：C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭∴0cos α1sin α<<<<， 又()y xsin α=在R 上为减函数，y sin x α=在()0∞+，上为增函数， ∴()sin sin αα＜()cos sin αα，()sin cos αα＜()sin sin αα故最大值为()cos sin αα，输出的x 为()cos sin αα故选：C 【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．8．A解析：A 【解析】 【分析】由已知求得 x ， y ，进一步求得 a ，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可． 【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=， 5.97.88.18.49.858y ++++==．又 0.78b =，∴ 80.78100.2a y bx --⨯===． ∴ 0.780.2y x =+．取16x =，得 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：7951000S S =圆正，得解． 【详解】由圆的面积公式得：S π=圆， 由正方形的面积公式得：4S =正， 由几何概型中的面积型可得：7951000S S =圆正， 所以79543.21000π⨯=≈， 故选：B ． 【点睛】本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．11．C解析：C 【解析】 【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ， 则0≤x≤15，0≤y≤15，两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足{（x，y）|0505xy≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515xy≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x，y）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．12．A解析：A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P-=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用解析：2【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，并输出. 【详解】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x ⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值， 依题意得2224x x x ≤⎧⎨=-+⎩或252424x x x <≤⎧⎨-=-+⎩或5124x x x>⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得15x =-±，所以满足条件的x 的值有两个， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数.14．328【解析】根据题意满足条件y<的点(xy)的概率是矩形的面积为4则有所以S≈1328点睛:随机模拟求近似值的方法先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算概率再根据两者相等求近似值解析：328 【解析】根据题意,满足条件y<的点(x ,y )的概率是,矩形的面积为4,则有,所以S ≈1.328.点睛: 随机模拟求近似值的方法,先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算概率,再根据两者相等求近似值15．9【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得S ＝0n ＝1满足条件n ＜6执行循环体S ＝1n ＝3满足条解析：9 【解析】 【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 S ＝0，n ＝1满足条件n ＜6，执行循环体，S ＝1，n ＝3 满足条件n ＜6，执行循环体，S ＝4，n ＝5 满足条件n ＜6，执行循环体，S ＝9，n ＝7此时，不满足条件n ＜6，退出循环，输出S 的值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．16．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令x ＝5解得y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（3）又回归直线过（3）即3＝06×+解得＝所以回归直线方程为y ＝06x+令x ＝5时解析：75 【解析】 【分析】计算x ，y ，然后将x ，y 代入回归直线得a ，从而得回归方程，然后令x ＝5解得y 即为所求． 【详解】 ∵4115i i x ==∑，∴154x =， ∵4112i i y ==∑，∴1234y ==， ∴样本中心点为（154，3）， 又回归直线0.6ˆyx a =+过（154，3），即3＝0.6×154+a ，解得a ＝34， 所以回归直线方程为y ＝0.6x +34， 令x ＝5时，y ＝0.6×5+34＝3.75万元故答案为：3.75．【点睛】本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样本中心点.17．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于1m为事件A则只能在中间1m 的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m所以事件A发生的概率P（A）=考点：几何概型解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率 P（A）=考点：几何概型18．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2的倍数的事件数为3所以概率为点睛：古典概型中解析：1 2【解析】分析：先确定总事件数，再确定向上的点数是2的倍数的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为投掷一枚均匀的骰子，向上的点数有6种情况，向上的点数是2的倍数的事件数为3，所以概率为31 =62.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据解析：9.7,8【解析】【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M 的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果. 【详解】仔细分析程序框图的作用和功能， 所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7， 所以答案是9.7,8. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.20．512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换得结果详解：因为四位八进制数最小数为所以点睛：本题考查不同进制数之间转换考查基本求解能力解析：512 【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换，得结果.详解：因为四位八进制数最小数为8(1000)，所以38(1000)=18=512⨯.点睛：本题考查不同进制数之间转换，考查基本求解能力.三、解答题21．（1）0.15（2）2400（3）25人 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率； (2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数. 【详解】（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为0.0003(3500-3000)=0.15⨯ （2）因为0.0002(15001000)0.1⨯-=，0.0004(20001500)0.2⨯-=， 0.0005(25002000)0.25⨯-=，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为0.5(0.10.2)20002000400=24000.0005-++=+.（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为0.0005(30002500)=0.25⨯-， 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为0.2510000=2500⨯.从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人， 则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取25001002510000⨯=(人). 【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.22．（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】 【分析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）；（3）依题意，34,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为故()4105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.23．（1）列联表见解析；有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）35P = 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得2 6.635K >，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取2人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果. 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人 可得列联表如下：()21001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P == 【点睛】。