上海大学高等数学
《》课程教学大纲-上海大学
掌握牛顿三定律及适用条件，理解运用牛顿定律求解动力学问题的方法、步骤。掌握功与能的概念；理解保守力做功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力的功及系统的势能；掌握动量的概念，理解平面内运动质点的角动量和角动量守恒定律。理解质点的动量守恒、机械能守恒定律。了解狭义相对论基本原理；了解狭义相对论新的时空观。
教学目的及要求：
1．学习和理解物理学观察、分析和解决问题的思想方法，培养、提高学生的科学素质,激发对科学的求知欲望及创新精神。
2．掌握必要的物理学基础知识及其基本规律,能运用经典物理学的理论对力、热、电、磁、光等学科的基本问题作初步的解释、分析和处理。
3．了解近代物理学的有关基础知识。
课
程
内
容
及
学
时
难点：光的波粒二象性。
配套
实践
环节
课堂演示实验、开放演示实验
说明
大纲
编写
责任
人
大学物理
（教研组）
孙迺疆（签名）
2001年06月27日
系
审核
意见
物理
（系）
龚小燕（签名）
2001年07月06日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
难点：电动势的计算方法。
（四）振动和波动（12学时）
第八章：简谐振动（6学时）
掌握描述简谐振动的特征量及各量之间的关系，掌握简谐振动的运动学及动力学方程的基本特征；掌握用旋转矢量法解物体简谐振动运动状态的方法。理解同方向，同频率两简谐振动的合成规律。
重点：简谐振动的特征、合成规律。
难点：位相及位相差。
重点：电场强度和电势。
上海大学-高等数学-环与域
实例
例7 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系， 则偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是 lcm(x,y)，即x与 y的最小公倍数；x∧y是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例：
14
实例(续)
例8 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别给下图
例如整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环. {0}和R也 是实数环R的子环，称为平凡子环.
定理14.12 (子环判定定理) 设R是环, S是R的非空子集, 若 (1) a,b∈S，ab∈S (2) a,b∈S，ab∈S
则 S 是 R 的子环.
5
实例
例3 (1) 整数环<Z,+,·>，对于任意给定的自然数n，
解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (2) 不是环, 关于加法不封闭.
(3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元.
(4) 不是环, A关于加法不构成群.
(5) 不是环, 关于乘法不封闭.
11
格与布尔代数
• 格的定义 • 格的性质 • 格的等价定义 • 子格与格的同态 • 特殊的格 • 布尔代数的性质 • 布尔代数的同态与同构
12
格的定义
定义14.29 设<S,≼>是偏序集，如果x, yS，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.
由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最 小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示x与y的最小上界和最大下界.
上海大学插班生高等数学A和B的详细范围
上海大学插班生高等数学A基本要求1、函数、极限、连续（1）、理解函数的概念，掌握函数的表示方法（2）了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会建立简单函数关系式（4）掌握基本初等函数的性质和图形（5）理解极限的概念,了解分段函数的极限（6）掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
（7）掌握极限存在的二个准则，并会利用它们求极限（8）理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会利用等价无穷小求极限1（9）理解函数连续性的概念，会判断函数间断点的类型（10）了解初等函数的连续性和闭区间上的连续函数的性质，并会应用这些性质2、导数与微分（1）理解导数的概念导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系（2）掌握导数的四则元算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。
会求分段函数的一阶二阶导数（3）了解高阶函数的概念，会求简单的函数的n阶导数，掌握初等函数的二阶导数的求法（4）会求隐函数和参数方程所确定的函数的一、二阶导数。
（5）了解微分的概念和四则运算（6）会用导数描述一些简单的物理量3、中值定理与导数的应用（1）理解并会应用罗尔定理、拉格朗日定理，利用定理能求方程的根、证明不等式。
了解柯西定理（2）理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法（3）会用导数描绘图形（4）会求MAX、MIN的应用问题（5）掌握洛必达法则求未定式极限的方法（6）了解曲率，曲率半径的概念，并会计算（7）了解求方程近似解的二分法和切线法4、不定积分（1）理解原函数的概念，理解不定积分的概念及性质（2）掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法5、定积分及其应用（1）理解定积分的基本概念，定积分的中值定理（2）理解变限函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式（3）掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法（4）了解定积分的近似计算方法（5）掌握定积分在几何上的应用，和物理上的应用（6）了解广义积分的概念，会计算广义积分6、级数（1）理解常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件（2）掌握几何级数、P—级数的收敛性（3）掌握正向级数的判别法（4）会用交错级数的莱布尼兹判别法（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及两者之间的关系（6）了解函数项级数的收敛域和函数的概念（7）掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法（8）了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数的项级数的和（9）了解泰勒公式、泰勒级数，掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开幂级数（10）了解幂级数在近似计算中得到简单应用（11）了解傅立叶级数的概念及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理（12）会将定义在上函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦与余弦级数、会些出傅立叶级数的和表达式7、向量代数与空间解析几何（1）理解向量的概念及其表示（2）掌握向量的运算，了解两向量垂直、平行的条件。
课程教学大纲 上海大学数学系
1．Cauchy-Binet公式及其应用
1．了解n阶行列式的定义。
2．掌握n阶行列式的性质。
3．掌握行列式展开式与Cramer法则。
4．会用行列式的性质、展开式计算n阶行列式。
5．了解拉普拉斯定理，掌握行列式的乘法定理。
6.掌握Cauchy-Binet公式。
第三章多项式理论（20学时）
课程的教学目的和要求
通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
5．可逆矩阵的计算方法
第五节分块矩阵及其初等变换
1．分块矩阵的概念
2．分块矩阵运算
3．特殊分块矩阵
4．分块矩阵的初等变换
第六节矩阵的广义逆
1．矩阵广义逆及其性质
2．广义逆的计算
第二章行列式（15学时）
一、教学基本要求
1．掌握排列的奇偶性，逆序数的求法及排列在对换下奇偶性的变化。
2．了解行列式概念推广的过程，确切理解n阶行列式的定义，熟练掌握n阶行列式的性质及依行依列展开定理。
5．首选教材：《高等代数》第二版，北京大学数学系几何与代数教研室，高等教育出版社，2003年09月。
二选教材：姚慕生编著，高等代数，复旦大学出版社，第一版（2003年）。
参考书目：张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）。
6．考核形式：考试（闭卷）
7．教学环境：课堂
课程教学目的及要求
课程教学大纲-上海大学
4.1遗传算法的基本原理
4.2遗传算法的实现过程
4.3遗传算法的若干应用
重点：遗传算法的计算原理
难点：遗传算法的应用
（五）人工智能的研究现状和发展趋势（6学时）
5.1智能数据库及其应用
5.2人工智能专家系统及其应用
5.3人工智能研究展望
重点：智能数据库的基本框架
难点：智能数据库的应用和展望
配套
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人
物理化学
（教研组）
陆文聪（签名）
2001年10月20日
系
审核
意见
化学
（系）
吕敬慈（签名）
2001年12月20日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
《人工智能算法及其应用》课程教学大纲
课程
编号
01066086
课程
名称
（中文）人工智能算法及其应用
（英文）Artificial Intelligence Algorithm and its Application
课
程
基
本
情
况
1．学分：4学时：40（课内学时：40实验学时：0）
2．课程性质：专业课
3．适用专业：理学、工学
课
程
内
容
及
学
时
分
配
课
程
内
容
及
学
时
分
配
（一）绪论（6学时）
1.1人工智能研究的目的和意义
1.2人工智能的发展简史
1.3人工智能在化学各分支应用的简况
上海大学高等数学
F ( ) 0
（3 分）
（2）又 F ( x) 在 [0, ] 上连续， (0, ) 可导
F (0) 0 F ( ) 0 (0, ) (0,1) F ( ) 0
即： f ( ) 1 （3 分）
25．设 f ( x) ln x ln a
（
）
（A）平行 （B） 直线 L 在平面上
5．三角函数的正交性是指:在三角函数系中 （A） 任意一个函数在 [ , ] 上积分值为零
（B）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值不为零 （C）任意一个函数自身平方在 [ , ] 上积分值为零 （D）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值为零
3
tan x sin x
12．原式 lim
e x ex 2 e x ex e x ex （2分） lim lim 2 x 0 x 0 x0 1 cos x sin x cos x
1 x x （2 分） lim ( ) e x （2 分） x 0 1 x
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恩波—科兴
一、 选择题（每题 2 分，共 10 分）
上大高数试题
上海大学高等数学 A(一)
x 2 sin
1. lim
x 0
sin x
1 x 的值为
B：∞ C：不存在 D：0
（
）
A：1
2.当 x 0 时 f ( x) 1 sin x 1 sin x 与 x 是 A：等价无穷小 B：同阶无穷小
(1)
x 1 x 2x 3
2
dx
高等数学教程 课后答案(上海大学理学院数学系 著) 上海大学出版社
5. a = −π , b = 0 6. (1)当 a = 0, b ≠ 1 时，有无穷间断点 x = 0 ； (2)当 a ≠ 1, b = e 时，有无穷间断点 x = 1 . 习题 1-9 (A) 1.连续区间为： (−∞,−3), (−3,2), (2,+∞)
lim f ( x) =
x →0
1 2
8. a = b 9.
6 5
10. 第二类，第一类 三. 1. ϕ ( x) = 4. 4 7.
1 ln a 2
x +1 x −1
2. α = − 5.
e4
2004 1 ,β = 2005 2005
3. lim x n = 1 n →∞ 6. －50
8. 当 α ≤ 0 时， f ( x) 在 x = 0 处不连续；
1 2
(4)0; (8)
π2 . 8
总复习题一 一. 1. D 6. D 2. D 7. D 3. D 8. C 4. B 9. D 5. C 10. D
2 ⎧ ⎪x − x , x < 0 二.1. f (− x) = ⎨ 2 ⎪ ⎩x , x ≥ 0
2. arcsin(1 − x 2 ) , [− 2 , 2 ] 3. －1 4. 充分，必要 5. 充分，必要 6. 充分必要 7.
(3) p = 21000 (元) 习题 1-1 (B) 1. f ( x) 为偶函数.
2. f ( x) = x 2 − 2, f ( x − ) = x 2 + 3. f [ g ( x)] = ⎨ 4.
3 + 2x 2 1+ x2 ⎧1 − e − x , − 1 < x < 0 x ≤ −1 ⎩− 1 , ⎧0, x < 0 ⎩x , x ≥ 0
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第 1 章 函数与极限一. 函数的概念1. 两个无穷小的比较设lim f (x ) = 0, lim g (x ) = 0 且lim f (x ) = l g (x )（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g (x ) ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2. 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccos x ~ x ，1− cos x ~ x ^2 / 2 ， e x −1 ~ x ， ln(1+ x ) ~ x ， (1+ x ) -1~ x二．求极限的方法1. 两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若lim g (x ) = A , lim h (x ) = A ，则lim f (x ) = A2. 两个重要公式公式 1 lim sin x = 1x →0 x公式 2 lim(1+ x )1/ x = e x →03. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换4. 用泰勒公式当 x → 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次2 3 n 3 5 2 4 e x = 1+ x + x + 2! x +... + 3! x + o (x n ) n ! sin x = x - x +3!x +... + (-1)n 5!x 2n +1 (2n +1)! + o (x 2n +1 ) cos x = 1- x + 2! x +... + (-1) 4!n x 2n 2n ! + o (x 2n )ln(1+ x ) = x - x 2 + x 3 3... + (-1) n +1 x n n + o (x n ) (1+ x ) = 1+x +(-1) x 2 +... + (-1)...(- (n -1)) x n + o (x n ) arctan x = x - x 3 + x 5 5 2! -... + (-1) n +1x 2n +1 2n +1 n ! + o (x 2n +1 ) 5. 洛必达法则定理 1 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = 0 ， lim F (x ) = 0 ；x → x 0 x → x 0（2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则lim f (x ) = lim f '(x ) x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 这个定理说明：当limf '(x ) 存在时， lim f (x ) 也存在且等于lim f '(x ) ； x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 当lim f '(x ) 为无穷大时， lim f (x ) 也是无穷大．x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x )这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ L 'H ospital ）法则.∞ 型未定式∞定理 2 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = ∞ ， lim F (x ) = ∞ ；x → x 0 x → x 0 （2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则 lim f (x ) = lim f '(x )x → x 0 F '(x )x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 注：上述关于 x → x 0 ∞ 型同样适用．∞时未定式∞型的洛必达法则，对于 x → ∞ 时未定式 ∞ 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1） 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须 0 ∞2 30 先化简变形成“ 0 ”或“ ∞”型才能运用该法则； 0 ∞（2） 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3） 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6. 利用导数定义求极限基本公式lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = ∆xf ' (x ) (如果存在） 7. 利用定积分定义求极限1 n k 1基本格式lim n ∑ f ( n ) = ⎰ f (x )dx （如果存在） n →∞ k =1 03. 函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） 第一类间断点设 x 0 是函数 y = f (x )的间断点。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
上海大学数学系老师经典语录汇总
值此上海大学数学系建系50周年之际，我们搜集整理了数学系部分教授，副教授，讲师的经典语录，与大家共同怀念曾经的经典时光。
持续更新补充中，希望大家群策群力，把这份经典语录不断充实完善。
希望大家能够积极留言！精彩开始了！！王卿文（授课：高等代数）1、华罗庚老先生说过一句话：把厚书读薄，把薄书读厚。
2、普林斯顿号称“数学家的摇篮”。
它们的理念是：把孩子扔进水里。
3、我一直想要写一本书，就是没时间。
（过段时间）：我一直想出本书，写好了，就是没时间印刷出版邬冬华（授课：数学模型，博弈论）1、我可以告诉你（这句是口头禅），我侄子智商不高，应该说不如在坐的同学，他靠的就是努力，我可以告诉你……2、我可以告诉你，我前几届有一个学生，现在在哥伦比亚大学，你们不相信我下次可以把他发给我的邮件给你们看下，我可以告诉你，他在那里，早上4点钟，图书馆里坐满了人，他在那里一天就睡4个小时。
3、我可以告诉你，我的小舅子，当年中学的时候参加数学竞赛什么的，全国都获过奖，当年上海中学10个公派出国的，现在在美国**大学里面，我可以讲，他就是勤奋出来的。
4、我可以告诉你们，这个世界上哪里有这么多的天才，每个人的能力都是在（ε，δ）之间的，如果你真正遇到了天才，那你就要小心了！！5、我可以告诉你们，现在中国的学校，就是一批愚蠢的老师去教聪明的学生，然后把学生教蠢了。
这批学生，蠢一点的出国留学，更蠢一点的就去当老师，再去教聪明的学生，然后把学生教蠢了。
6、我考试范围就是上课讲过的和没讲过的。
王远弟（授课 数学分析）1、你看那个xx，人家小姑娘，人又长的漂亮，作业也写的工整。
2、考试题早就出好了，就在我办公室的抽屉里。
3、你们要看着我！看着我就知道xx定理了。
4、在数分课堂这么神圣的地方怎么能发出剪指甲这种不和谐的声音呢？5、考试不要作弊，千万不要心生邪恶的念头！许凤良（传说上大最受欢迎的高数名师，上大理科“龙凤虎”中的凤。
已退休！授课：高等数学，数学分析 ）1、数分课，一同学没做作业，借同学一建平中学的作业本抄好后交了上去。
上海大学2015年插班生招生章程
六、报名条件
1．拥护党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法。
2．品学兼优，身体健康。
3．2014-2015年度本市普通本科院校在校在籍、且经学生学籍所在院校同意的一年级优秀学生（仅招收普通类本科和艺术类本科）。
4.原按照普通类本科批次招生入校的学生只能填报我校非艺术类专业，原按照艺术类本科批次招生入校的学生只能填报我校艺术类专业。
视觉传达设计
2
设计基础
10000元/年
悉尼工商学院
（中外合作办学）信息管理与信息 Nhomakorabea统8
综合英语能力测试
（含听力、词汇语法、阅读、写作）
15000元/年
无
注：各科目满分均为100分。
十八、监督电话
66132857
上海大学2015年插班生招生总表
学院
专业
计划
考试科目
学费
专业限制
图书情报档案系
档案学
10
高等数学A
5000元/年
无
文学院
历史学
2
科目一：英语
科目二：文史
影视艺术
技术学院
数字媒体技术
5
科目一：大学物理（含力学、热学、电磁学）
科目二：高等数学A
色盲、色弱、重听
材料学院
材料物理
学校承诺：确保被本校录取的学生不因家庭经济困难而辍学。
十七、其他须知
学籍管理
我校将录取名单和有关材料上报上海市教委审批。经审批同意的学生按“插班生”途径转入我校相关专业就读，其学籍按转学处理。
监督约束机制
上海大学2015年插班生招生工作在上海市教委、校招生工作委员会的领导下进行工作，同时接受上级纪委、监察部门、校纪委、校监察处对招生工作实行全程监督、检查。
上海大学成教课程免修免考规定
⼀、申请课程学分转移（免修免考）规定总则 国家承认学历的专科以上（含专科）毕业⽣及肄业⽣、结业⽣（⾮学历结业⽣除外）可申请免修免考相同层次、相同名称、学时相当的课程（即承认并转移学分）。
1、申请课程免修免考者须出具正本证明材料：毕业（肄业、结业）证书及原学校教务处开具的课程名称、学时数及原始成绩证明；⾃学考试单科合格证书。
2、在整个学习期间申请免修免考的课程⼀般不得超过教学计划规定课程总学分的三分之⼀，且每学期不超过两门课程。
3、申请免修免考的课程只能是第⼀次修读的课程（即：再次修读课程不得申请免修免考）。
4、申请免修免考者经审核批准后，承认并转移相关课程的学分，但不减免学费。
⼆、申请课程学分转移或免听课的程序 1、办理课程学分转移（即免修免考） 每学期开学第⼀周：凡符合本规定的学⽣，可通过班主任向办学学院成教办公室提出免修免考书⾯申请，填写“上海⼤学成⼈学历教育学⽣免修免考申请单”，提供必要的正本证明材料，交原件及复印件各⼀份。
办学学院成教办公室指定专⼈审核，审核后原件返还学⽣本⼈，收取复印件，在复印件上注明“已验证”、签名并注上⽇期。
开学第⼆周的第三天前：办学学院成教办公室汇总“免修免考申请单”与证书复印件，送所在校区成教院分部审核批准（校区外办学点由办学学院成教办公室审核批准）。
开学第三周末：办学点所在校区成教院分部公布获准免修免考的学⽣名单。
注：“免修免考申请单”上有“不参加考试”与“参加考试”两个单选框。
学⽣若认为课程免修免考转换成绩偏低［成绩转换标准详见本规定“三、课程学分转移（免修免考）的成绩登录规定”］，依然愿意参加课程的期末考试，则须在“免修免考申请单”上“参加考试”栏⽬的单选框内选择打勾，凡不选或多选的⼀律默认为“不参加考试”。
2、办理课程免听课 每学期开学第⼀周务必要求免听课的考⽣填写“上海⼤学成⼈学历教育学⽣免听课申请单”。
3、关于课程免听课的规定 已取得以下合格证书者六年内（含六年）可免听课、免考勤，但不免考试： （1）⾃学考试“计算机应⽤基础”单科合格证书。
高等数学1册(上海大学)第一章答案
《高等数学教程》习题答案第一章 习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2 ±±=+≠k k x ππ(5)),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++3.0,22,22,215.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数 6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T(3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)acx b dx y-+-=(2)2arcsin31x y=(3)21-=-x e y (4)xxy -=1log2(5)2xx ee y --=8.(1)2,xa u u y-==(2)2,xue y u ==(3)cos ,lg ==u u y (4)xv tgv u u y 6,,2===(5)21,,cos ,xw e v v u arctgu yw-====(6)22,ln ,ln ,xw w v v uu y ====9.(1)]1,1[- (2) zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a，则=D Ф.10.4)]([xx =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ.11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h rh V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=rV15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h hr Vπ16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx xx f x x f3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123xx ++8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0(3)2+n n ,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21(6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x1)(lim-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim 习题1-4 (B)3.x x ycos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大.5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量； 当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103;(5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-.2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)nm ; (4)0;(5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a(5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ；(6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x .2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0;(5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+.习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34xx -比32xx +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α4.m =α6.(1)23;(2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<n m n m n m ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)ba ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e; (3)21; (4)0;(5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1.5.xx x x p 32)(23++=.6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点(4)0=x 为第二类间断点. 4.(1)1=x为可去间断点，补充32)1(=f ; (2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点.(5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a4.),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x.习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(lim 0=→x f x ，58)(lim3-=-→x f x ，∞=→)(lim2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1;(9) ab; (10) 5e; (11) -1; (12) 2.4. 1=a5.1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点;(5)无间断点. 2.1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0; (5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D 二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f 2.]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7. 21 8. b a =9.5610. 第二类，第一类 三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα3.1lim =∞→n n x4. 45. 4e6. －507.aln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续； 当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续.9.82-部分习题选解 习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim时>=∞→a a nn 证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a nnn n n nn nh h h n n nh h a>++-++=+=∴ 22)1(1)1(εεan na h n><<<∴0 ∴取1][+=εaN ，当Nn >时，有ε<<=-na h a n n1，即1lim=∞→nn a(ⅱ)当1=a时，显然成立.(ⅲ)当10<<a 时，令11>=a b∴11limlim==∞→∞→nn nn ab∴1lim=∞→nn a综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a时，有1lim=∞→nn a .习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，nn n y x x =+1，21nn n y x y+=+.证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim证明：2nn n n y x y x +≤),2,1,0(011 =≤≤∴++n y x n nnnn nn n n n n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0( =n由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少， 又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21nn n y x y +=+，2limlimnn n n n y x y +=∴∞→∞→b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim.习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F)(x f在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续，)(x F ∴在]1,0[l -上连续. 又)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f0)1()0(≤-⋅∴l F F (ⅰ)若0)0(=F ，取0=x ，即)()0(l f f =(ⅱ)若0)1(=-l F ，取lx -=10，即)1()1(f l f =-(ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ， 即)()(00l x f x f +=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法)假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f)(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续.由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()2arcsin 1x x'=- ⒁()2arccos 1x x'=-⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+ ⒄()1x '= ⒅2x x'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾2arcsin 1x c x=+-八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+22ln x x a c =±+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
同济版《高等数学》 多元函数泰勒展开
同济大学的《高等数学》教材是一部经典的数学教材，其中关于多元函数的泰勒展开是数学学习者所必须掌握的重要内容。
本文将从多元函数泰勒展开的基本概念、公式推导和具体实例分析三个方面来详细介绍该内容。
一、多元函数泰勒展开的基本概念1.1 多元函数的概念多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2,\cdots, x_n)$，其中$x_1, x_2, \cdots, x_n$为自变量，$f$为因变量。
在实际问题中，常常遇到多个自变量同时改变而导致因变量发生变化的情况，所以研究多元函数的泰勒展开对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
1.2 泰勒展开的定义若函数$f(x)$在某点$x=a$处有各阶导数，那么$f(x)$在点$x=a$处可以展开为以$a$为中心的幂级数，即泰勒展开式：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为泰勒余项。
1.3 多元函数的泰勒展开对于多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，若其各阶偏导数在点$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$处存在，那么可以利用多元函数的偏导数来推广泰勒展开式，得到多元函数的泰勒展开式：$$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=f(a_1, a_2, \cdots,a_n)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)$$$$+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partialx_i\partial x_j}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)(x_j-a_j)+\cdots+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为多元函数的泰勒余项。
上海大学参考书目录
616物理化学（一）
《物理化学核心教程》（第2版）沈文霞编科学出版社2009年
《多媒体CAI物理化学》（第4版）傅玉谱等编大连理工大学出版社2004年
《物理化学简明教程》（第4版）印永嘉等编高等教育出版社2007年
617作文
不指定参考书目
618英美文学史
《现代社会学教程》（第2版）张敦福主编高等教育出版社2007年
《社会学理论的结构》（上、下册）J·特纳华夏出版社2000年或2006年
650人类学概论
《小地方，大论题：社会文化人类学导论》【挪威】托马斯•许兰德•埃里克森著董薇译周大鸣校北京：商务印书馆2008年
651民俗学
《民俗学概论》钟敬文上海文艺出版社1998年
《美国文学大纲》吴定柏上海：上海外语教育出版社2006年
《美国文学史》童明南京：译林出版社2002年
《英国文学选读》（第2版）王守仁编著高等教育出版社2005年5月
《简明英国文学史》（高等学校英语专业系列教材）（第1版）刘意青刘炅编著外语教学与研究出版社2008年10月
619综合日语
《日语综合教程》（第7、8册）季林根皮细庚上海外语教学出版社2008年
648中国民族民间舞蹈概论
《舞蹈概论》[美]约翰·马丁著文化艺术出版社
《中国舞蹈史》王克芬著上海文艺出版社
《中华舞蹈志》（云南卷、新疆卷、内蒙卷、广东卷、广西卷、福建卷）蓝凡总编学林出版社
《芭蕾》蓝凡著上海三联书店出版社
《上海民间舞蹈》蓝凡主编中国城市经济社会出版社
649社会学理论
《社会学》（第5版）吉登斯著李康译北京大学出版社2009年
642中西戏剧理论基础
kb115145427
上午8：15--11：25（4节课）
07级专升本 彭 课程名称 英语提高班 金 学时
妹
教师 教室 上课形式
注：晚上6:15--8：40（3节课） 下午12：20--2：45（3节课）
上海大学成教院延长校区2007--2008学年07级
上课起讫日期：2008.2.16~2008.7.12(40学时课程前13周授课,第14周考试)
专科 63人
沈 桂 琴
学时 教师 教室 上课形式
40(13周) 李永萍 四教101
与编导\影视制作合106人
60 陈怡海 四教608 现代经济学(3节) 60 韩太祥 一教306
60 韩伯顺 四教608
60 黄瑾 四教608
07级经营管理 专科1、2班 89人
课程名称
马克思主义哲学原理(3节) 40(13周) 刘绍学 四教202 与计专合127人
与编导\会展\动画合136人
大学英语B(1)(3节) 高等数学D(3节)
陈 乐
学时 教师 教室 上课形式
40(13周) 纪谦玉 四教501 与法学合135人
60
朱会杰
60 韩伯顺 四教502
纪谦玉 待定
政治经济学(社会主义)(3节)
20(后7周即5月22开始上课)
四教312 54人
60 吴英俊 四教504 与机械合70人
07级计算机 应用专科38人 龚
课程名称 学时 教师 教室 上课形式 时间 班级
高等数学E(1)(3节) 大学英语C(1)(3节)
林 娣
40(13周) 刘绍学 四教202 与经营合127人 专升本英语提高1班 大学英语B(1)(3节) 60 赵秀琴 四教403
高等数学教程上海大学教材
高等数学教程上海大学教材高等数学是大学理工科专业中的重要课程之一，对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和问题解决能力具有重要意义。
上海大学作为国内知名高校之一，其高等数学教材展现了该校在数学教育方面的专业水平和丰富经验。
本文将对上海大学的高等数学教程进行简要介绍。
一、教材概况上海大学的高等数学教材是经过多年教学积累和教师精心编写的产物。
该教材以系统性、全面性和可读性为主要特点，涵盖了大学高等数学的各个重要分支，如极限与连续、微分学、积分学、多元函数等。
同时，教材内容既注重理论的讲解，又强调实际问题的应用，充分体现了高等数学的学科特点和实用性。
二、教材内容上海大学的高等数学教材内容安排合理，循序渐进，符合学科知识结构的逻辑关系。
教材以概念的引入和基础知识的建立为起点，通过例题和习题的讲解巩固学生的基本功。
随后，教材逐步深入，详细介绍了高等数学的核心内容，如导数与微分、不定积分与定积分、多元函数与偏导数等。
最后，教材还对高等数学与其他学科的联系进行了简要介绍，拓宽了学生的学科视野。
三、教学方法上海大学的高等数学教材注重理论与实践相结合的教学方法。
在讲解理论知识的同时，注重引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学建模和问题解决能力。
教材中包含大量的例题和习题，供学生练习和巩固所学知识。
同时，教材还提供了相关的学习资源，如电子版教辅材料和计算机辅助教学软件，方便学生进行在线学习和实践操作。
四、教材特色上海大学的高等数学教材具有一些独特的特色。
首先，教材注重培养学生的数学思维能力，鼓励学生进行自主思考和探索，提高他们的问题解决能力。
其次，教材将抽象的数学知识与实际问题相结合，通过具体案例的分析，使学生更好地理解和应用所学数学知识。
此外，教材还提供了大量的数学应用实例，涵盖了工程、自然科学、经济等各个领域，使学生能够将数学知识与实际问题相结合，培养他们的创新思维和分析能力。
五、教材评价上海大学的高等数学教材在教学实践中得到了广大教师和学生的一致好评。
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f ( x) 在 x 0 处为
A：不连续 B：连续，但不可导 D：可导且导数为 2
（ C：可导且导数为 0
5、若 f ( x) 的导数是 cos x ，且 f ( x) 有一个原函数为（ ） A： 1 cos x B： 1 cos x C： 1 sin x 二、填空题： （每小题 2 分，共 10 分） 6．已知 f ( x) e ， f [ ( x)] 1 x
1 n x sin 23.设 f ( x) x 0
x0 x0
当 n 为何值时，在 x 0 处
-2-
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（1） f ( x) 连续
（2） f ' ( x) 存在
（3） f ' ( x) 连续
（
）
（A）平行 （B） 直线 L 在平面上
5．三角函数的正交性是指:在三角函数系中 （A） 任意一个函数在 [ , ] 上积分值为零
（B）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值不为零 （C）任意一个函数自身平方在 [ , ] 上积分值为零 （D）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值为零
9.设 lim (
x
。
x 2a x ) 8， 则a xa
x2
。
10.曲线
f ( x) e
的向上凸区间是
三、计算下列各题（每题 5 分，共 55 分）
-1-
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11. lim
1 tan x 1sin x x 0 x3
x 0 x 0
n
1 0 x
， 故 f(x) 在 x 0 连续
（2 分）
f ( x) 0 1 lim x n 1 sin 0 故 f ( x) 在 x 0 可导 （2 分） x 0 x 0 x x 1 1 1 n 1 n （3）当 n 2 且 x 0 时 lim f ( x) lim( nx sin x cos 2 ) f (0) 0 故 f ( x) 在 x 0 连续 （2 x 0 x 0 x x x
(1)
x 1 x 2x 3
2
dx
20、
x 2 arctan x 1 x 2 dx
21、
1 cos x dx
1 ，完成下表填空，并作草图： x 1
x sin x
四． （ 7 分） 22.设 f ( x) x 极值点： 拐点： 渐近线：
五.完成下列各题（每小题 6 分，共 18 分）
B 8.
一．D
A
C 7.
D
二．6． x 0 三． 11．原式 lim
x 0
e
1 2
y
3 1 x 3 2
9． a ln 2
10.
(
2 2 , ) 2 2
1 sin x(1 cos x) 1 cos x 1 （2分） lim 3 lim （3 分） x 0 2 x x 0 cos x 4 2x 2 x ( 1 tan x 1 sin x )
（2）当 n 1 时，由于 f (0) lim 分） 六． 24． 证 明 ： （1）令 F ( x) f ( x) x F (1) f (1) 1 1 0
1 F( ) 2
1 f ( ) 1 1 2 0 2 2
1 ( ,1) (0,1) 2
20．
I （ 1
．令 x sin t 四． 22．极值点：
dx cos tdt
（1 分）
x0 y 1
x 2 y 3
（1 分）
（2 分）
拐点：无
（1 分）
渐近线： x 1 草 图（3 分） 五
23． （ 1）当 n 0 时，由于 lim f ( x) lim x sin
19． I
1 d ( x 2 2 x 3) d ( x 1) 2 (3分） x 2 2 x 3 2 ln( x 1 x 2 2 x 3 ) C （2 分 ） 2 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2
1 ) arctan xdx（2分） arctan xdx arctan xd arctan x （3 分） 1 x2 x 1 1 1 x arctan x dx (arctan x) 2 x arctan x ln(1 x 2 ) (arctan x) 2 C 2 2 2 2 1 x x sin x x 21． I dx（2分） xd tan ln(1 cos x) x 1 cos x 2 2 cos 2 2 x x x x tan 2 ln cos ln(1 cos x) C （or x tan C ） 2 2 2
二、填空题（每题 2 分，共 10 分）
-5-
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( x 3) n 的收敛域是 6． n n 1 n 3
7.向量 a 2 b 垂直于 a 4 b ,向量 a 4 b 垂直于 a 2 b , 则
（ ）
4
（B）
3
4
3
（D）
3
4
3
4
3．平面 3x 3 y 6 0 的位置是 （A）平行于 xoy 平面 （B）平行于 z 轴 4．直线 L : （C）垂直于 z 轴 （D）通过 z 轴
x 2 y 2 z 3 与平面 x y z 3 的关系是 3 1 4
（C）垂直相交 （D）相交但不垂直 （ ）
1 cot 2 x) x2
x
15. y 2e
( x 1)
求 y 求 y
16. y x[cos(ln x) sin(ln x)]
17.设 y 由方程 xy 2 e y cos( x y 2 ) 所确定，求 dy 18.设 y x ln x , 求 f 19、
( n)
xa ax
( x a 0)
（2 分）
f ( x)
1 1 1 a ( x a)2 ( 3) 0 x a 2 x 2 x ax 2x 2
-4-
（2 分）
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f ( x) 单调减少
即： ln x ln a
e x e x 2x 12. lim x 0 x sin x
1 x 1 )x ( 1 x 13.已知 f ( x) a sin kx x
14. lim(
x 0
x0 x0 x0
（其中 k 0 ）当 a, k 何值时， f ( x) 在 x 0 处连续。
18． y ln x 1
（2 分）
1 y x
y ( n ) (1) n 2 (n 2)! x ( n1)
（3 分）
y ( n ) (1) (1) n 2 (n 2)! （2 分）
-3-
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2
1 1 cos ln x ] （4分） 2 cos ln x （1 分） x x
（3 分）
17． y 2 xyy e y sin( x y )(1 2 yy )
y
2
( y 2 sin( x y 2 )) dy 2 xy e y 2 y sin( x y 2 )
4
x
0
f ( x)dt ,则 ( x) 在 [a, a] 上为
（C）非奇非偶函数 （D）可能是奇函数,也可能是偶函数
3 4 到 的一段弧长 S 4 3
4
（
）
（A）
3
3
4
1 1 ( ) 2 d 1 1 1 ( ) 2 d
（C）
3
3
4
1 1 2 d 2 1 2 d 1
F ( ) 0
（3 分）
（2）又 F ( x) 在 [0, ] 上连续， (0, ) 可导
F (0) 0 F ( ) 0 (0, ) (0,1) F ( ) 0
即： f ( ) 1 （3 分）
25．设 f ( x) ln x ln a
x
0
a 来自 b 的夹角为8．
lim
x 0
t sin t d t
2
ln(1 x 3 )
24.设 f ( x) 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f (0) f (1) 0 , f ( ) 1 试证：至少存在点 0,1 ，使 f ' ( ) 1 25.设 0 a b ,证明不等式
1 2
ln b ln a 1 ba ab 高等数学 A（一）解答
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恩波—科兴
一、 选择题（每题 2 分，共 10 分）
上大高数试题
上海大学高等数学 A(一)
x 2 sin
1. lim
x 0
sin x
1 x 的值为
B：∞ C：不存在 D：0
（
）
A：1