上海大学高等数学
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1 x2 (cos x) 7．已知函数 f ( x) a
x2
D： 1 sin x
且 ( x) 0 ，则函数 ( x) 的定义域为
。
x0
在 x 0 处连续，则 a 。
x0
x cos 3 t 8.曲线 对应 t 点处的切线方程是 3 6 y sin t
9.设 lim (
x
。
x 2a x ) 8， 则a xa
x2
。
10.曲线
f ( x) e
的向上凸区间是
三、计算下列各题（每题 5 分，共 55 分）
-1-
We supply success!!!
TEL:
55971195 55971197
11. lim
1 tan x 1sin x x 0 x3
（
）
C：高阶无穷小 D：无法比较
sin x x x2 3.设 f ( x) 0
A：0 B：1 C：2
x0
则 f ( x) 的间断点个数为 （ ）
x0
D：3
x 0
4． f ( x) 在 x 0 的某个邻域内有定义， f (0) 0 且 lim
f ( x) 2 ，则 x
1
（3 分）
sin kx 13． lim f ( x) lim k x0 x 0 x
f (0) a
14．原式= lim
a k e 2 时 f ( x ) 在 x 0 连 续 。 （ 1 分）
（3 分）
sin 2 x x 2 cos 2 x sin x x cos x sin x x cos x lim 2 2 x 0 x 0 x x sin x x3
x 0 x 0
n
1 0 x
， 故 f(x) 在 x 0 连续
（2 分）
f ( x) 0 1 lim x n 1 sin 0 故 f ( x) 在 x 0 可导 （2 分） x 0 x 0 x x 1 1 1 n 1 n （3）当 n 2 且 x 0 时 lim f ( x) lim( nx sin x cos 2 ) f (0) 0 故 f ( x) 在 x 0 连续 （2 x 0 x 0 x x x
F ( ) 0
（3 分）
（2）又 F ( x) 在 [0, ] 上连续， (0, ) 可导
F (0) 0 F ( ) 0 (0, ) (0,1) F ( ) 0
即： f ( ) 1 （3 分）
25．设 f ( x) ln x ln a
(1)
x 1 x 2x 3
2
dx
20、
x 2 arctan x 1 x 2 dx
21、
1 cos x dx
1 ，完成下表填空，并作草图： x 1
x sin x
四． （ 7 分） 22.设 f ( x) x 极值点： 拐点： 渐近线：
五.完成下列各题（每小题 6 分，共 18 分）
24.设 f ( x) 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f (0) f (1) 0 , f ( ) 1 试证：至少存在点 0,1 ，使 f ' ( ) 1 25.设 0 a b ,证明不等式
1 2
ln b ln a 1 ba ab 高等数学 A（一）解答
二、填空题（每题 2 分，共 10 分）
-5-
We supply success!!!
TEL:
55971195 55971197
( x 3) n 的收敛域是 6． n n 1 n 3
7.向量 a 2 b 垂直于 a 4 b ,向量 a 4 b 垂直于 a 2 b , 则
（
）
（A）平行 （B） 直线 L 在平面上
5．三角函数的正交性是指:在三角函数系中 （A） 任意一个函数在 [ , ] 上积分值为零
（B）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值不为零 （C）任意一个函数自身平方在 [ , ] 上积分值为零 （D）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值为零
2
1 1 cos ln x ] （4分） 2 cos ln x （1 分） x x
（3 分）
17． y 2 xyy e y sin( x y )(1 2 yy )
y
2
( y 2 sin( x y 2 )) dy 2 xy e y 2 y sin( x y 2 )
4
x
0
f ( x)dt ,则 ( x) 在 [a, a] 上为
（C）非奇非偶函数 （D）可能是奇函数,也可能是偶函数
3 4 到 的一段弧长 S 4 3
4
（
）
（A）
3
3
4
1 1 ( ) 2 d 1 1 1 ( ) 2 d
（C）
3
3
4
1 1 2 d 2 1 2 d 1
（2）当 n 1 时，由于 f (0) lim 分） 六． 24． 证 明 ： （1）令 F ( x) f ( x) x F (1) f (1) 1 1 0
1 F( ) 2
1 f ( ) 1 1 2 0 2 2
1 ( ,1) (0,1) 2
1 cot 2 x) x2
x
15. y 2e
( x 1)
求 y 求 y
16. y x[cos(ln x) sin(ln x)]
17.设 y 由方程 xy 2 e y cos( x y 2 ) 所确定，求 dy 18.设 y x ln x , 求 f 19、
( n)
x 0
2 lim
15． y 2e
x
sin x x cos x cos x cos x x sin x 2 2 lim 3 x 0 3 x 3x 2 1 ( x 1) 2e
x
（2 分）
1 2 x
2 x
e
x
（3 分）
y
1 2 x
e
x
（2 分）
16． y cos(ln x) sin ln( x) x[ sin ln x
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恩波—科兴
一、 选择题（每题 2 分，共 10 分）
上大高数试题
上海大学高等数学 A(一)
x 2 sin
1. lim
x 0
sin x
1 x 的值为
B：∞ C：不存在 D：0
（
）
A：1
2.当 x 0 时 f ( x) 1 sin x 1 sin x 与 x 是 A：等价无穷小 B：同阶无穷小
3
tan x sin x
12．原式 lim
e x ex 2 e x ex e x ex （2分） lim lim 2 x 0 x 0 x0 1 cos x sin x cos x
1 x x （2 分） lim ( ) e x （2 分） x 0 1 x
x
0
a 与 b 的夹角为
8．
lim
x 0
t sin t d t
2
ln(1 x 3 )
xa ax
( x a 0)
百度文库
（2 分）
f ( x)
1 1 1 a ( x a)2 ( 3) 0 x a 2 x 2 x ax 2x 2
-4-
（2 分）
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55971195 55971197
f ( x) 单调减少
即： ln x ln a
（ ）
4
（B）
3
4
3
（D）
3
4
3
4
3．平面 3x 3 y 6 0 的位置是 （A）平行于 xoy 平面 （B）平行于 z 轴 4．直线 L : （C）垂直于 z 轴 （D）通过 z 轴
x 2 y 2 z 3 与平面 x y z 3 的关系是 3 1 4
（C）垂直相交 （D）相交但不垂直 （ ）
1 n x sin 23.设 f ( x) x 0
x0 x0
当 n 为何值时，在 x 0 处
-2-
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（1） f ( x) 连续
（2） f ' ( x) 存在
（3） f ' ( x) 连续
19． I
1 d ( x 2 2 x 3) d ( x 1) 2 (3分） x 2 2 x 3 2 ln( x 1 x 2 2 x 3 ) C （2 分 ） 2 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2
1 ) arctan xdx（2分） arctan xdx arctan xd arctan x （3 分） 1 x2 x 1 1 1 x arctan x dx (arctan x) 2 x arctan x ln(1 x 2 ) (arctan x) 2 C 2 2 2 2 1 x x sin x x 21． I dx（2分） xd tan ln(1 cos x) x 1 cos x 2 2 cos 2 2 x x x x tan 2 ln cos ln(1 cos x) C （or x tan C ） 2 2 2
20．
I （ 1
．令 x sin t 四． 22．极值点：
dx cos tdt
（1 分）
x0 y 1
x 2 y 3
（1 分）
（2 分）
拐点：无
（1 分）
渐近线： x 1 草 图（3 分） 五
23． （ 1）当 n 0 时，由于 lim f ( x) lim x sin
e x e x 2x 12. lim x 0 x sin x
1 x 1 )x ( 1 x 13.已知 f ( x) a sin kx x
14. lim(
x 0
x0 x0 x0
（其中 k 0 ）当 a, k 何值时， f ( x) 在 x 0 处连续。
又 f (a) 0
f ( x) 0
xa ax
1 ab
取x b
ba
得证：
ln b ln a ba
（2 分）
上海大学高等数学 A（二）试卷
一、 单选题（每题 2 分，共 10 分） 1．设 f ( x) 在 [a, a] 连续且为偶函数, ( x) （ ） （A）奇函数 （B）偶函数 2．曲线 r 1 从
）
f ( x) 在 x 0 处为
A：不连续 B：连续，但不可导 D：可导且导数为 2
（ C：可导且导数为 0
5、若 f ( x) 的导数是 cos x ，且 f ( x) 有一个原函数为（ ） A： 1 cos x B： 1 cos x C： 1 sin x 二、填空题： （每小题 2 分，共 10 分） 6．已知 f ( x) e ， f [ ( x)] 1 x
18． y ln x 1
（2 分）
1 y x
y ( n ) (1) n 2 (n 2)! x ( n1)
（3 分）
y ( n ) (1) (1) n 2 (n 2)! （2 分）
-3-
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B 8.
一．D
A
C 7.
D
二．6． x 0 三． 11．原式 lim
x 0
e
1 2
y
3 1 x 3 2
9． a ln 2
10.
(
2 2 , ) 2 2
1 sin x(1 cos x) 1 cos x 1 （2分） lim 3 lim （3 分） x 0 2 x x 0 cos x 4 2x 2 x ( 1 tan x 1 sin x )
x2
D： 1 sin x
且 ( x) 0 ，则函数 ( x) 的定义域为
。
x0
在 x 0 处连续，则 a 。
x0
x cos 3 t 8.曲线 对应 t 点处的切线方程是 3 6 y sin t
9.设 lim (
x
。
x 2a x ) 8， 则a xa
x2
。
10.曲线
f ( x) e
的向上凸区间是
三、计算下列各题（每题 5 分，共 55 分）
-1-
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11. lim
1 tan x 1sin x x 0 x3
（
）
C：高阶无穷小 D：无法比较
sin x x x2 3.设 f ( x) 0
A：0 B：1 C：2
x0
则 f ( x) 的间断点个数为 （ ）
x0
D：3
x 0
4． f ( x) 在 x 0 的某个邻域内有定义， f (0) 0 且 lim
f ( x) 2 ，则 x
1
（3 分）
sin kx 13． lim f ( x) lim k x0 x 0 x
f (0) a
14．原式= lim
a k e 2 时 f ( x ) 在 x 0 连 续 。 （ 1 分）
（3 分）
sin 2 x x 2 cos 2 x sin x x cos x sin x x cos x lim 2 2 x 0 x 0 x x sin x x3
x 0 x 0
n
1 0 x
， 故 f(x) 在 x 0 连续
（2 分）
f ( x) 0 1 lim x n 1 sin 0 故 f ( x) 在 x 0 可导 （2 分） x 0 x 0 x x 1 1 1 n 1 n （3）当 n 2 且 x 0 时 lim f ( x) lim( nx sin x cos 2 ) f (0) 0 故 f ( x) 在 x 0 连续 （2 x 0 x 0 x x x
F ( ) 0
（3 分）
（2）又 F ( x) 在 [0, ] 上连续， (0, ) 可导
F (0) 0 F ( ) 0 (0, ) (0,1) F ( ) 0
即： f ( ) 1 （3 分）
25．设 f ( x) ln x ln a
(1)
x 1 x 2x 3
2
dx
20、
x 2 arctan x 1 x 2 dx
21、
1 cos x dx
1 ，完成下表填空，并作草图： x 1
x sin x
四． （ 7 分） 22.设 f ( x) x 极值点： 拐点： 渐近线：
五.完成下列各题（每小题 6 分，共 18 分）
24.设 f ( x) 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f (0) f (1) 0 , f ( ) 1 试证：至少存在点 0,1 ，使 f ' ( ) 1 25.设 0 a b ,证明不等式
1 2
ln b ln a 1 ba ab 高等数学 A（一）解答
二、填空题（每题 2 分，共 10 分）
-5-
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( x 3) n 的收敛域是 6． n n 1 n 3
7.向量 a 2 b 垂直于 a 4 b ,向量 a 4 b 垂直于 a 2 b , 则
（
）
（A）平行 （B） 直线 L 在平面上
5．三角函数的正交性是指:在三角函数系中 （A） 任意一个函数在 [ , ] 上积分值为零
（B）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值不为零 （C）任意一个函数自身平方在 [ , ] 上积分值为零 （D）任意两个不同函数乘积在 [ , ] 上积分值为零
2
1 1 cos ln x ] （4分） 2 cos ln x （1 分） x x
（3 分）
17． y 2 xyy e y sin( x y )(1 2 yy )
y
2
( y 2 sin( x y 2 )) dy 2 xy e y 2 y sin( x y 2 )
4
x
0
f ( x)dt ,则 ( x) 在 [a, a] 上为
（C）非奇非偶函数 （D）可能是奇函数,也可能是偶函数
3 4 到 的一段弧长 S 4 3
4
（
）
（A）
3
3
4
1 1 ( ) 2 d 1 1 1 ( ) 2 d
（C）
3
3
4
1 1 2 d 2 1 2 d 1
（2）当 n 1 时，由于 f (0) lim 分） 六． 24． 证 明 ： （1）令 F ( x) f ( x) x F (1) f (1) 1 1 0
1 F( ) 2
1 f ( ) 1 1 2 0 2 2
1 ( ,1) (0,1) 2
1 cot 2 x) x2
x
15. y 2e
( x 1)
求 y 求 y
16. y x[cos(ln x) sin(ln x)]
17.设 y 由方程 xy 2 e y cos( x y 2 ) 所确定，求 dy 18.设 y x ln x , 求 f 19、
( n)
x 0
2 lim
15． y 2e
x
sin x x cos x cos x cos x x sin x 2 2 lim 3 x 0 3 x 3x 2 1 ( x 1) 2e
x
（2 分）
1 2 x
2 x
e
x
（3 分）
y
1 2 x
e
x
（2 分）
16． y cos(ln x) sin ln( x) x[ sin ln x
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恩波—科兴
一、 选择题（每题 2 分，共 10 分）
上大高数试题
上海大学高等数学 A(一)
x 2 sin
1. lim
x 0
sin x
1 x 的值为
B：∞ C：不存在 D：0
（
）
A：1
2.当 x 0 时 f ( x) 1 sin x 1 sin x 与 x 是 A：等价无穷小 B：同阶无穷小
3
tan x sin x
12．原式 lim
e x ex 2 e x ex e x ex （2分） lim lim 2 x 0 x 0 x0 1 cos x sin x cos x
1 x x （2 分） lim ( ) e x （2 分） x 0 1 x
x
0
a 与 b 的夹角为
8．
lim
x 0
t sin t d t
2
ln(1 x 3 )
xa ax
( x a 0)
百度文库
（2 分）
f ( x)
1 1 1 a ( x a)2 ( 3) 0 x a 2 x 2 x ax 2x 2
-4-
（2 分）
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f ( x) 单调减少
即： ln x ln a
（ ）
4
（B）
3
4
3
（D）
3
4
3
4
3．平面 3x 3 y 6 0 的位置是 （A）平行于 xoy 平面 （B）平行于 z 轴 4．直线 L : （C）垂直于 z 轴 （D）通过 z 轴
x 2 y 2 z 3 与平面 x y z 3 的关系是 3 1 4
（C）垂直相交 （D）相交但不垂直 （ ）
1 n x sin 23.设 f ( x) x 0
x0 x0
当 n 为何值时，在 x 0 处
-2-
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（1） f ( x) 连续
（2） f ' ( x) 存在
（3） f ' ( x) 连续
19． I
1 d ( x 2 2 x 3) d ( x 1) 2 (3分） x 2 2 x 3 2 ln( x 1 x 2 2 x 3 ) C （2 分 ） 2 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2
1 ) arctan xdx（2分） arctan xdx arctan xd arctan x （3 分） 1 x2 x 1 1 1 x arctan x dx (arctan x) 2 x arctan x ln(1 x 2 ) (arctan x) 2 C 2 2 2 2 1 x x sin x x 21． I dx（2分） xd tan ln(1 cos x) x 1 cos x 2 2 cos 2 2 x x x x tan 2 ln cos ln(1 cos x) C （or x tan C ） 2 2 2
20．
I （ 1
．令 x sin t 四． 22．极值点：
dx cos tdt
（1 分）
x0 y 1
x 2 y 3
（1 分）
（2 分）
拐点：无
（1 分）
渐近线： x 1 草 图（3 分） 五
23． （ 1）当 n 0 时，由于 lim f ( x) lim x sin
e x e x 2x 12. lim x 0 x sin x
1 x 1 )x ( 1 x 13.已知 f ( x) a sin kx x
14. lim(
x 0
x0 x0 x0
（其中 k 0 ）当 a, k 何值时， f ( x) 在 x 0 处连续。
又 f (a) 0
f ( x) 0
xa ax
1 ab
取x b
ba
得证：
ln b ln a ba
（2 分）
上海大学高等数学 A（二）试卷
一、 单选题（每题 2 分，共 10 分） 1．设 f ( x) 在 [a, a] 连续且为偶函数, ( x) （ ） （A）奇函数 （B）偶函数 2．曲线 r 1 从
）
f ( x) 在 x 0 处为
A：不连续 B：连续，但不可导 D：可导且导数为 2
（ C：可导且导数为 0
5、若 f ( x) 的导数是 cos x ，且 f ( x) 有一个原函数为（ ） A： 1 cos x B： 1 cos x C： 1 sin x 二、填空题： （每小题 2 分，共 10 分） 6．已知 f ( x) e ， f [ ( x)] 1 x
18． y ln x 1
（2 分）
1 y x
y ( n ) (1) n 2 (n 2)! x ( n1)
（3 分）
y ( n ) (1) (1) n 2 (n 2)! （2 分）
-3-
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B 8.
一．D
A
C 7.
D
二．6． x 0 三． 11．原式 lim
x 0
e
1 2
y
3 1 x 3 2
9． a ln 2
10.
(
2 2 , ) 2 2
1 sin x(1 cos x) 1 cos x 1 （2分） lim 3 lim （3 分） x 0 2 x x 0 cos x 4 2x 2 x ( 1 tan x 1 sin x )