第七章：点的合成运动

一点二系三运动
va ve vr
va cos30 ve cos60 0 ve - vr sin60
例6：车A沿半径为150m的圆弧道路以 v A 45km h
匀速 行驶，车B沿直线道路以 vB 60 km h 匀 速 行驶 ，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的 速度；（2）B车相对A车的速度。
M v
一点二系三运动
动点: MN杆上M点: 动系: 三角块 确定三种运动轨迹 vr
N va
M v
ve
va ve v r
vacos45 vecos45
投影法
0 ve vr cos45
[例2] 桥式吊车 已知：
小车水平运行，速度
为v平，物块A相对小车
垂直上升的速度为v。
求物块A的运行速度。
以地面为参考系
以盘为参考系
§7-1相对运动、牵连运动和绝对运动
◇ 一点二系三运动
动点 研究对象，是一个运动中的点；
z
x'
z'
o'
M
定系
固定在地球上的坐标系
o x
y'
y
动系 固定在其他对于地球有运动的刚体上（固接）
三种运动
绝对运动 动点对于定系的运动
z'
z
x'
o'
ra
rr M
★是点的运动
相对运动
一点二系三运动
动点: 物块A 动系: 小车 确定三种运动轨迹 vr va
va ve v r
vax vex vrx
合成法
θ
y x
2 2
ve
vay vey vry
va vax vay
tg
vay vax
例3 汽车以速度v1沿直线行驶，雨滴M以v2铅垂下落，
求人在车内观察到的雨滴的速度。
一种现象
无风的下雨天
站在屋檐下看雨，雨滴如何下落？
坐在行驶的车箱内看雨，雨滴如何下落？
本章重点：
速度合成 加速度合成
本章难点：
动点动系的选择 三种运动分析（运动轨迹的判定） 牵连速度的定义 科氏加速度的大小与方向
对于不同的参考体来说，物体的运动是不同的
车上的人：
车轮边缘一点在做圆周运动
站在地面上的人： 车轮边缘一点的轨迹为一螺旋线。
ωAB
O
v a
0 ve sin 30 vr
B 60

n a
a a a ae a r a r
M
v2 v1
一点二系三运动
动点：雨滴 动系：汽车 vr
M
θ
v1=ve
v2 =va
va ve vr
v2 tg v1
v1
va vr sin
0 ve vr cos
[例4] 曲柄摆杆机构已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
16、游乐场中的旋转木马； 17：人坐在行使的车内看雨滴； 18：沿交叉路口行驶的两辆汽车； 19：吃饭的时候，边走边吃； 20：人在行驶的火车厢内走动；
二、三种运动之间的关系
绝对运动
合成
牵连运动
+
相对运动
三、三种速度
绝对速度 动点对于定系的运动速度
va
vr
相对速度
动点对于动系的运动速度
相对运动速度
难点：第三关
牵连速度
动系对定系的运动速度
牵连速度定义
牵连运动是刚体的运动 除非平动，刚体上各点的速度不同
动系（平面）上与动点重合 的那一点（牵连点）的速度
ve
一般处理方法：
任意瞬时，动系扩展为无限大平面，
该平面固结在动系上随动系一起运动，
动系（平面）上与动点重合的点
(牵连点)
ve
牵连点
牵连点与牵连速度
动系扩展为无限大平面
牵连点与牵连速度
牵连点与牵连速度
动系扩展为无限大平面
ve
确定下列各种情况下的牵连速度
问题1
甲板上一人M沿船横向运动
牵连点：？
问题2 杆长l，绕O轴以角速度 转动，圆盘半 径为r，绕 o 轴以角速度 转动。求圆盘边缘 M 1 和 M 2 点的牵连速度
M2

a a ae a r a r

n
0 ve - vr cos60
aa cos60 ae cos30- arn
3、分析AB杆的角速度与角加速度
B 60
A 30 O
v a
一点二系三运动
B 60 va ve 30 vr
va ve vr
va ve cos30
AB
va AB

o
o
M1
动系固接杆上
ve 2
M2
ve1 OM
’ 1
' ve 2 OM2
ve1


M1
o
o
重点要弄清楚 牵连点的概念
3 确定牵连速度
4 确定牵连速度
ve
O
C
A
5 确定牵连速度
B
ve
A
C O
§7-２ 点的速度合成定理
M’ Δra
M2
Δrr
ra re M 1M
一点二系三运动
A：动点
动系：O1B
分析三种运动
va ve vr
va sin ve
ω1
ve 1 ' O1 A
[例5] 圆盘凸轮机构已知：OC＝e ,
R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。
动点：杆上接触点A 动系-凸轮 分析三种运动
va ve vr
ve
OC
C v
va sin ve
OC
ve v sin OA a
va
O

vr
A
B
求解合成运动的速度问题的一般步骤：
选取动点，动系； 三种运动的分析；
三种速度的分析； 根据速度合成定理，作出速度平行四边形； 根据合成原则，求出未知量；
O
vA
R A
vB
B
（1）A车相对B车的速度 以车A为动点
一点二系三运动
动系取在车B上
分析三种运动
vr 1 v v
2 A
ve O
2 e
va vr1 θ
A
R
vB B
va tg ve
（2） B车相对A车的速度 以车B为动点
一点二系三运动
分析三种运动
动系取在车A上
ve ??????
dra va dt drr vr dt
z
z’
rr
O’
M
drO' vO' dt
O
ra
y’
va vO' vr
vO' v M' ve
rO' x’
x
y
va v e v r
va vO' vr
dv a dvO' dv r dt dt dt
Fra Baidu bibliotek
z
z’ M ra
rr rO' x’
一、三种加速度
绝对加速度
动点对于定系运动的加速度，以 aa 表示
相对加速度 动点对于动系运动的加速度，以 ar 表示
牵连加速度
动系上与动点重合的那一点（牵连点）的加速 度，以 ae 表示 。
画出图示结构的牵连加速度
aet
D
B
aen
ω
O
二、加速度合成定理
ra rO' rr
dra drO' drr dt dt dt
M1
'
M
Δre
ra re M 1M '
M2
va
M’
dra dre d ( M 1M ' ) dt dt dt
dra va dt
ve
M
M1
dre ve dt
d va ve ( M 1 M ' ) dt
当Δt->0时：
va
vr
M2
M 1M ' MM 2
O’
y’
aa aO' ar
aO' a M' ae
O
x
y
aa ae ar
e 0
—牵连平动
aa ae ar
z
z’ M ra rr rO' x’
O’
a a a

n a

n
O
y’
x
y
n
a a a ae a a r a r
n e


各种运动的法向加速度必定为已知
A

M O r
vr B
va sin ve
ve u va sin sin
u
ve
va
例9 AB杆以速度v沿水平向左运动，带动OC杆运动，求当OC与 水平线成θ角时，OC杆端点C的速度。已知，OA=a, AC＝b。
C v A B

取套筒A为动点 分析三种运动
动系与OC固连 vC
vA 0.083 rad / s R
vB' OB
'
O
v A
R A
ve
va
θ
vr 2 v v
2 B
2 e
ve tg va
B vr 2
例7：平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动， 偏心凸轮以等角速度 绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴 线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮 半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为θ，试 求当θ =45°时，顶杆AB的速度。
可以在水平滑道内滑动。求曲柄OA与水平成30度 角时齿条EF的速度。
E A
C
F
O B
练习3：图示机构中，曲柄OA＝R＝20厘米，转速 每分钟40转；OB＝30厘米；铰接在曲柄OA上的 滑块A可以在摇杆BC的槽中自由运动，求当OB 与摇杆BC的夹角为30度时，摇杆BC的角速度。
C O A
B
§7-3 牵连平动---点的加速度合成
ai
n
vi
2
i
注意事项
●
严格画出矢量图；
●灵活选择投影轴； ●列投影方程时，方程的左边永远 是绝对运动的投影 ●与绝对运动的投影同向的，在方程的右边取正; ●只适合牵连运动为平动时的加速度合成。
1、分析AB杆的速度、加速度
B
A φ
v
a
一点二系三运动
B va vr ve ae
B aa ar
难点：第二关
正确判断出三种运动
1、分析三种运动
2、分析三种运动
三种运动轨迹
3、分析三种运动
D
B
C ω O
三种运动轨迹
4：为滑块导杆机构选择动点、动系，分析三种运动
5：为顶杆凸轮机构选择动点、动系，分析三种 运动
三种运动
6：分析停歇导杆机构的三种运动
7、分析牛头刨床机构的三种运动
v
a
va ve vr
va cos ve sin
aa ae ar
aa cos ae sin
2、分析AB杆的速度、加速度
B
v A 30 O a
一点二系三运动
B va ve ae
B aa
30
O v a
30
O arn
va ve vr
va cos60 ve cos30
●
严格画出速度矢量图；
●绝对运动永远位于平行四边形的对角线上； ●灵活选择投影轴； ●列投影方程时，方程的左边永远 是绝对运动的投影
●与绝对运动的投影同向的，在方程的右边取正
●符号“=”表示的是一种合成的关系。
例题1：泡沫斜面的倾角为45度，以匀速v向右运动
；推动挺杆MN运动；求挺杆MN的速度。
N
re
y'
动点相对于动系的运动
o x
y
★是点的运动 牵连运动
动系相对定系的运动
★是刚体的运动
●注意●
要善于分析各种运动轨迹
动点、动系选择的一般原则
动点对于动系要有相对运动，并且相对
运动轨迹明确
动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。
动点应选在运动过程中不变的点。
难点：第一关
恰当选择动点、动系是解决问题的关键
动点动系选择原则1
机构运动中有不变的接触点
动点动系选择原则
动点动系选择原则 A
B v
O
C
动点应选在运动过程中不变的点
动点动系选择原则
动点动系选择原则2
机构运动中接触点时刻变化
动点动系选择原则
D
B
C ω O
动点应选在运动过程中不变的点
动点动系选择原则 B
A C O
动点应选在运动过程中不变的点
恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
练习1：图示机构中，曲柄OA＝R，转速每分钟ｎ转
；OB＝L；铰接在曲柄OA上的滑块A可以在摇杆BC 的槽中自由运动，求当OB与摇杆BC的夹角为30度时 ，摇杆BC的角速度。
C
A O
30
B
练习2：正弦机构中曲柄OA＝R，以匀速ω绕轴O转 动，导槽BC与齿条EF固接并相互垂直，齿条EF
一点二系三运动
凸轮中心C为动点
动系取在顶杆上 分析三种运动
B
va
θ
va ve vr
ve
C
vr
O
va cos ve
例8：水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，试 求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。
以小环M为动点
动系:AB杆上。
分析三种运动轨迹
va ve vr
M’
M 1M ' MM 2 lim lim t 0 t 0 t t
ve
M
M1
d ( M M 2 ) vr dt
va ve vr
速度合成定理
va ve vr
va
动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的 相对速度与牵连速度的矢量和。
vr
ve
应用速度合成定理注意事项
8：分析滑块－摇杆机构的三种运动
9：分析飞机螺旋桨上一点的三种运动
10：分析偏心凸轮机构的三种运动
11：分析曲柄摇杆机构的三种运动
12、分析正弦机构的三种运动
O

C A
B
D
正弦机构的三种运动
13、恰当选择动点、动系，并分析三种运动
14、恰当选择动点、动系，并分析三种运动
15：进教室开门的时候，有小虫子在门上爬；