第七章：点的合成运动
第七章 点的合成运动
x 绝对速度: va v, 方向 相对运动: 直线运动,相对速度: vr未知, 方向 OA 牵连运动: 定轴转动, 牵连速度:ve OC 未知, 待求, 方向OC 根据速度合成定理 va ve vr , 做出速度平行四边形 如图示。 3 r v e v a tg v 又ve OC 2r , 3 sin ve 1 3 3v v （转向：顺时针） 2r 2r 3 6r
( aa aen ) sin 30 0 3 0 r 2 ( L r ) ae 0 sin 60 3L
2
BD
3 0 r 2 ( L r ) ae 2 3 L L
2
18
2 t 的规律绕水平轴O逆时针转动；小球 [例]图示矩形板，以 8 2 OO 16 cm 。 M又以 s OM 3 t （cm）的规律相对直槽 O s 运动。
大小：va
12 8 2 6 2
41.64 cm s
6 方向： arctan 26.91 12 8
20
3、 小球M的科氏加速度
ak 2 vr 2
方向如图所示。
2
12 12 37.7 cm s 2
y
C
s
vr
D
M
O
ak
A
1
动点： AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系： 固结在地面上
绝对运动： 直线
凸轮顶杆机构 相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
2
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动： 曲线（圆弧） 相对运动： 曲线 牵连运动： 定轴转动
点的合成运动
方向： 垂直OA 水平向左
vc = ve = 0.173m/s
选择动点、动系的一般原则：
1. 动点和动系不能选在同一个运动物体上。 2. 动点对动系的相对轨迹要简单、清晰。
小结
本节重点：
1. 准确理解点的合成运动的基本概念。
绝对运动 ra、va、aa
动 点
相对运动 rr、vr、ar
动系
固结在相对静系运动的物体上的参考系
强调两点
1.种运动
绝对运动
动点相对静系的运动
相对运动
动点相对动系的运动
牵连运动
动系相对静系的运动
三种运动的关系
绝对运动
分解 合成
相对运动 + 牵连运动
三种运动量
• 绝对运动量
绝对运动中涉及的运动量，包含绝对位移ra、绝对 速度va、绝对加速度aa。
静 系
re、ve、ae
牵连运动
动 系
属于
牵连点
2. 熟练掌握点的速度合成定理。
某 一 瞬 时 ， 空 间 位 置 重 合
本节难点：
1. 2. 正确理解牵连点的概念。 在具体问题中，能恰当地选择动点、动系。
动点—— A点属于曲柄OA 动系—— 滑杆C
Va Ve
Vr
2、分析三种运动
绝对运动：以O为圆心，OA为半径的圆周运动 相对运动：水平直线运动 牵连运动：竖直直线平动
3、分析三种速度
va
大小： 已知
4、求解
vr
？
=
+
ve
？
竖直向上
va = OA = 0.2m/s
ve = vacos =0.173m/s
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
理论力学第七篇_复合运动
例： 刨床急回机构。曲柄长OA r , 两轴间
距杆的oo角1 速 度l 。w求1 。当曲柄在水平位置时摇
wo
w1
o1
步 骤:
运
速
动
度
分
分
析
析
va ve vr
wo
y 解：动点：滑块A；
va B
动系：固连在摇杆O1B上；
vr
ve A
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：转动。
va ve vr
t0 t
t0 t
t0 t
aa
lim
t 0
va ' va t
ar
lim vr
t 0
' vr1 t
ae
lim
t 0
ve1 ve t
lim vr ' vr lim vr ' vr1 vr1 vr
t0 t
t 0
t
ar
lim vr1 vr t0 t
ar w vr
lim ve ' ve lim ve ' ve1 ve1 ve
牵连运动：平动
aa ae ar
arn
vr2 R
vr
ve
sin
v
sin
arn
1 R
v2
sin2
aa ae ar arn
vr
va
ve
aa sin ae cos arn
aa
1
sin
a
cos
v2
R sin2
actg
v2
R sin3
例2 已知曲柄转动的匀角速度为w, OAr,
OO1 =l, 求当OA处于水平时摇杆O1B的 加速度
理论力学第七章
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
点的合成运动知识点总结
一、合成运动的定义和特点合成运动是在运动项目的基础上，通过加工改造或者创造性的组合，形成全新的、有机统一的运动形式。
合成运动具有以下几个特点：1. 多样性：合成运动可以将跨领域的、不同种类的运动元素进行组合，可以是体操、舞蹈、体育健身操等不同领域的运动元素。
2. 创新性：合成运动在运动项目的基础上进行改造和创新，创造出新的运动形式，不断推动着运动项目的发展。
3. 融合性：合成运动融合了不同文化、不同体育运动的元素，突破了传统的运动界限，给人们带来了更加多元化的运动体验。
4. 可变性：合成运动可以随着时代的发展和人们的需求不断进行改变和调整，适应了社会的多样性和多变性。
二、合成运动的发展历程合成运动的发展可以追溯到20世纪20年代的德国，当时德国的一位体操教练将体操和舞蹈进行了结合，创造出了现代的体操操。
20世纪60年代，日本体操运动员中村保子将体操和舞蹈结合，创造出了摩登舞体操。
1980年代，英国的体操运动员梅雅·诺克斯将舞蹈和健身操结合，创造了一种新的健身操形式。
近年来，合成运动得到了越来越多人的关注和认可，一些新的合成运动项目也不断涌现。
三、合成运动的发展趋势合成运动作为一种新兴的体育形式，具有很大的发展潜力。
随着人们对体育运动多样性的需求不断增加，合成运动将会成为未来体育界的一大趋势。
未来合成运动的发展趋势主要包括以下几个方面：1. 多元化：合成运动将会更加多元化，不断融合各种不同的体育项目和运动元素，创造出更加丰富多彩的新体育项目。
2. 国际化：随着人们对体育运动多样性的需求增加，合成运动将会更加国际化，越来越多的国家和地区将会开展合成运动项目。
3. 科技化：合成运动将借助科技的力量，不断进行技术改进和创新，创造出更加高效、安全、有趣的运动形式。
4. 大众化：合成运动将会更加大众化，越来越多的人们将会参与到合成运动中，享受运动带来的快乐和健康。
合成运动具有很大的发展前景，它既符合了现代人们对多样化、个性化运动方式的需求，又能够推动传统体育项目的发展和创新。
理论力学第七章
B
M2
M
B
vr
M
va ve
A
M1
A
由各速度的定义：
MM va lim Dt 0 Dt
MM 1 ve lim Dt 0 Dt
M 1M MM 2 vr lim lim Dt 0 Dt 0 Dt Dt
理论力学
中南大学土木工程学院
28
va ve vr
wOC
C
va ve vr
ve va sin q v sin q
wOC
ve v sin q OA a
ab v sin q a
ve va
O
q
v A B
vr
vC OC wOC
理论力学
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38
[例]水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落。 求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。 A 由图可得：
摆动推杆 凸轮机构
理论力学
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6
§7-1 绝对运动
绝对轨迹 绝对速度 va 绝对加速度 aa t n 或 aa ，aa ，
点的合成运动概念
动 点
点的运动
相对运动
相对轨迹 相对速度 v r 相对加速度 ar 或 art ，arn，
动系相对于定系的运动
定 系
固结于地面上的坐标系
（不需要画出）
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14
绝对加速度：aa
相对加速度：ar
牵连加速度：ae
理论力学
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15
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
理论力学第7章(点的合成运动)
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学.
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
理论力学答案(第七章后)
第七章 点的合成运动一、是非题7.1.1动点的相对运动为直线运动，牵连运动为直线平动时，动点的绝对运动必为直线运动。
（ × ）7.1.2无论牵连运动为何种运动，点的速度合成定理r e a v v v +=都成立。
（ ∨ ）7.1.3某瞬时动点的绝对速度为零，则动点的相对速度和牵连速度也一定为零。
（ × ）7.1.4当牵连运动为平动时，牵连加速度等于牵连速度关于时间的一阶导数。
（ ∨ ）7.1.5动坐标系上任一点的速度和加速度就是动点的牵连速度和牵连加速度。
（ × ）7.1.6不论牵连运动为何种运动，关系式a a +a a r e =都成立。
（ × ）7.1.7只要动点的相对运动轨迹是曲线，就一定存在相对切向加速度。
（ × ）7.1.8在点的合成运动中，判断下述说法是否正确：（1）若r v 为常量，则必有r a =0。
（ × ）（2）若e ω为常量，则必有e a =0. （ × ）（3）若e r ωv //则必有0=C a 。
（ ∨ ）7.1.9在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相7.1.10当牵连运动为定轴转动时一定有科氏加速度。
（ × ）二、 填空题7.2.1 牵连点是某瞬时 动系上与7.2.2 v e 与v r 共线 情况下，动点绝对速度的大小为r e a v v v +=，在 情况下，动点绝对速度的大小为a v =v e 、v r ，应按___ ____ __ 计算v a三、选择题：7.3.1 动点的牵连速度是指某瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是（ A ）。
A 、 定参考系B 、 动参考系C 、 任意参考系7.3.2 在图示机构中，已知t b a s ωsin +=， 且t ωϕ=（其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固结于物块B ，定系固结于地面，则小球的牵连速度v e 的大小为（ B ）。
第7章点的合成运动习题
第7章点的合成运动习题1.是非题（对画√，错画×）7-1.绝对运动是动点相对于定系的运动。
（）7-2.相对运动是动点相对于动系的运动。
（）7-3.牵连运动是动点相对于动系的运动。
（）7-4.动点的绝对运动看成动点的相对运动和牵连运动的合成。
（）7-5.动点相对速度对时间的导数等于动点的相对加速度。
（）7-6.在一般情况下，某瞬时动点的绝对加速度等于动点的相对加速度和牵连加速度矢量和。
（）2.填空题（把正确的答案写在横线上）7-7.在研究点的合成运动中，应确定、、。
7-8.图示机构设A 滑块为动点，BC 为动系，则A 滑块的绝对运动为；A 滑块的相对运动为；A 滑块的牵连运动为；科氏加速度的方向。
7-9.上题中若AD=l ，AD 以ω作匀角速度转动，且三角形ABD 构成等边直角三角形，则A 滑块的绝对速度a v = ；相对速度r v = ；牵连速度e v = ；绝对加速度τaa = 、n r a = ；相对加速度r a = ；牵连速度τe a = 、nea = ；科氏加速度c a = 。
ABCωD3.简答题7-10.定系一定是不动的吗？动系是动的吗？7-11.牵连速度的导数等于牵连加速度吗？相对速度的导数等于相对加速度吗？为什么？7-12.为什么动点和动系不能选择在同一物体上？7-13.如何正确理解牵连点的概念？在不同瞬时牵连运动表示动系上同一点的运动吗？7-14.科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？ 7-15.速度合成定理对牵连运动为平移或转动都成立，但加速度合成定理r e a a a a +=对牵连运动为转动却不成立？为什么？牵连运动为转动却不成立？为什么？7-16.如图所示曲柄滑块机构，若取B 为动点，动系固结于曲柄OA 上，动点B 的牵连速度如何？如何画出速度的平行四边形？速度如何？如何画出速度的平行四边形？OABCω7-17.如图所示的四连杆机构，曲柄OA 与BC 平行AB=BC=r ，问销钉B 相对于曲柄OA 的速度为多少？的速度为多少？4.计算题7-18.如图所示，点M 在平面y x O ¢¢中运动，运动方程为中运动，运动方程为)t cos (x -=¢140 t s i ny 40=¢ t 以s 计，x ¢、y ¢以mm 计，平面y x O ¢¢绕O 轴转动，其转动方程为t =j （rad ），试求点M 的相对运动轨迹和绝对运动轨迹。
点的合成运动
r
45
e 4
a 8 e
e r 式向y方向投影： 由 a
sin r sin 45 a 4 / sin a
x方向：
cos e r cos 45 4 a 45
r a sin
r OA
OO1 sin OO1 sin OA
向 x 轴投影： e a cos
O B
1
e
O1 A
a cos
O1 A
cos 1 sin 2 O1 A
y
OA sin(180 ) sin
大小 ？ √ ？
e r a
？ √ ？
方向 ？ √ √
？ √ √
注意：绝对速度 a及夹角，无论坐标怎样选取，其大
小和方向都不变。 因此
a
r e r e
r cos 45 8 4 4
r
将上式投影到x方向：
A b v
va ve vr
x
M
300
y
B
n τ n aa aa ae ar ar ac
0
求速度和加速度因轨 迹变化复杂，相对速 度和相对法向加速度 无法求解，导致其他 速度和加速度解不出, 因此动点选取时应选 该动点不变的点，如 直角端点为动点。
τ ae
3 ac 21 vr r 4
2
aen=2r/8
3 r 4
2
1
ae
0' M
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'=0cos sin ='+'=t y t x y ωω解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t b t b t x y ωωω 4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v = 船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a 22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v 7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
合成运动--加速度合成
va r0 vevar0
ve r 0 DB l
⑷ 牵连运动为平移，由加速度
合成定理
aa
ae ar
得
aaaenaet ar
大小 √ √ ？ ？ B 方向 √ √ √ √
y'
A
aenDC 0 30
ar
E
60
x'
aet O aa
aa r02
2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝 对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：
解：⑴ 取曲柄OA上的A点为动点，动系在丁字杆上
⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
va
ve
vr
D A
牵连运动：平移
O
⑶
由速度合成定理
va
ve
vr，
B
C
作速度平行四边形
E
va ve vr
va r
大小 √ ？ ？ 方向 √ √ √
vevasinrsin
在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上
⑵ 研究三种运动
x'
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动源自 veva
B
vr
牵连运动：转动
O
A
⑶
由速度合成定理
va
ac
21vr
2r3 2l
(r2 l2 )3
2
天津大学理论力学课件运动学3点的合成运动
再如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小 球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运 动，如图示。将动坐标系固结在OB管上，以 小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在 动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、 t2瞬时分别到达M1、M2位置，
➢若选凸轮上的点（例如与A重合之点）为 动点，而动坐标系与AB杆固结，这样，相对
运动轨迹不仅难以确定，而且其曲率半径未 知。因而相对运动轨迹变得十分复杂，这将 导致求解（特别是求加速度）的复杂性。
第三节 牵连运动为平移时，点的加速度 合成定理
➢动点的绝对加速度、相对加速度和牵连加速度
绝对加速度aa：动点相对于静坐标系运动的加速度 相对加速度ar：动点相对于动坐标系运动的加速度
在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点 以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点 相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于 静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度
下图中，动坐标系OA上各点的速度大小不一 样
M点绝对速度va沿着绝对运动轨迹（半圆弧）在点M 处的切线方向，即va垂直于点M与圆心的连线； M点相对速度vr沿着动点M与动系（摇杆OA）的相对 运动轨迹的切线方向，即沿着OA上的滑槽方向；
EF 相接触，在两者接触处套上一小环 M，当 BC 杆
运动时，小环 M 同时在 BC、EF 杆上滑动。设曲柄 AB=CD=r，连杆 BC=AD=l，若曲柄转至图示角位 置时的角速度为，角加速度为，试求小环 M 的
加速度。
解：
动点：小环M
动系：固连在连杆BC上
静系：固连在地面上
绝对运动是沿 EF 的直线运动。aa 方向已知，沿 EF；
06点的合成运动 一点二系三运动
O2
A1
相对运动： 直线运动 牵连运动： 定轴转动 绝对运动： 圆周运动
PAG 11
4
B
动点：AB杆上的A点
动系：在凸轮上
定系：在地面上；
A
O
曲线运动 相对运动：
定轴转动 牵连运动： 绝对运动： 直线运动
PAG 12
六、两种坐标系下的运动方程 变换
PAG 13
PAG 14
PAG 15
绝对运动与相对运动轨迹分析题目计算步骤 1. 选择动点、动系
PAG 3
第七章 点的合成运动
1
相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
2
点的速度合成定理 加速度合成定理
3
PAG 4
§7-1
相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
一、点的运动轨迹对于不同的参考系是不同的
y'
y
M
O
O'
x' x
圆
旋轮线
PAG 5
二、动点、动系、定系的概念
动点: 车轮上的M点 动系: 在汽车上 定系: 在地面上
PAG 7
四、相对运动、牵连运动、绝对运动的概念 绝对运动:动点相对于定系的运动 相对运动:动点相对于动系的运动 牵连运动:动系相对于定系的运动 — 刚体的运动 点的运动
一个动点;
两个坐标系;
三种运动。
PAG 8
五、举例熟悉
一点、两系、三运动
y'
1
y
M
O
x'
O'
x
动点：车轮上的M点 定系：在地面上； 动系：在汽车上
圆周运动 相对运动： 平移 牵连运动：
PAG 9
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
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难点：第三关
牵连速度
动系对定系的运动速度
牵连速度定义
牵连运动是刚体的运动 除非平动，刚体上各点的速度不同
动系（平面）上与动点重合 的那一点（牵连点）的速度
ve
一般处理方法：
任意瞬时，动系扩展为无限大平面，
该平面固结在动系上随动系一起运动，
动系（平面）上与动点重合的点
(牵连点)
ve
牵连点
牵连点与牵连速度
A
M O r
vr B
va sin ve
ve u va sin sin
u
ve
va
例9 AB杆以速度v沿水平向左运动，带动OC杆运动，求当OC与 水平线成θ角时，OC杆端点C的速度。已知，OA=a, AC＝b。
C v A B
取套筒A为动点 分析三种运动
动系与OC固连 vC
动点动系选择原则1
机构运动中有不变的接触点
动点动系选择原则
动点动系选择原则 A
B v
O
C
动点应选在运动过程中不变的点
动点动系选择原则
动点动系选择原则2
机构运动中接触点时刻变化
动点动系选择原则
D
B
C ω O
动点应选在运动过程中不变的点
动点动系选择原则 B
A C O
动点应选在运动过程中不变的点
v
a
va ve vr
va cos ve sin
aa ae ar
aa cos ae sin
2、分析AB杆的速度、加速度
B
v A 30 O a
一点二系三运动
B va ve ae
B aa
30
O v a
30
O arn
va ve vr
va cos60 ve cos30
M v
一点二系三运动
动点: MN杆上M点: 动系: 三角块 确定三种运动轨迹 vr
N va
M v
ve
va ve v r
vacos45 vecos45
投影法
0 ve vr cos45
[例2] 桥式吊车 已知：
小车水平运行，速度
为v平，物块A相对小车
垂直上升的速度为v。
求物块A的运行速度。
re
y'
动点相对于动系的运动
o x
y
★是点的运动 牵连运动
动系相对定系的运动
★是刚体的运动
●注意●
要善于分析各种运动轨迹
动点、动系选择的一般原则
动点对于动系要有相对运动，并且相对
运动轨迹明确
动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。
动点应选在运动过程中不变的点。
难点：第一关
恰当选择动点、动系是解决问题的关键
一点二系三运动
凸轮中心C为动点
动系取在顶杆上 分析三种运动
B
va
θ
va ve vr
ve
C
vr
O
va cos ve
例8：水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，试 求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。
以小环M为动点
动系:AB杆上。
分析三种运动轨迹
va ve vr
动系扩展为无限大平面
牵连点与牵连速度
牵连点与牵连速度
动系扩展为无限大平面
ve
确定下列各种情况下的牵连速度
问题1
甲板上一人M沿船横向运动
牵连点：？
问题2 杆长l，绕O轴以角速度 转动，圆盘半 径为r，绕 o 轴以角速度 转动。求圆盘边缘 M 1 和 M 2 点的牵连速度
M2
M
v2 v1
ห้องสมุดไป่ตู้
一点二系三运动
动点：雨滴 动系：汽车 vr
M
θ
v1=ve
v2 =va
va ve vr
v2 tg v1
v1
va vr sin
0 ve vr cos
[例4] 曲柄摆杆机构已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
dra va dt drr vr dt
z
z’
rr
O’
M
drO' vO' dt
O
ra
y’
va vO' vr
vO' v M' ve
rO' x’
x
y
va v e v r
va vO' vr
dv a dvO' dv r dt dt dt
z
z’ M ra
rr rO' x’
可以在水平滑道内滑动。求曲柄OA与水平成30度 角时齿条EF的速度。
E A
C
F
O B
练习3：图示机构中，曲柄OA＝R＝20厘米，转速 每分钟40转；OB＝30厘米；铰接在曲柄OA上的 滑块A可以在摇杆BC的槽中自由运动，求当OB 与摇杆BC的夹角为30度时，摇杆BC的角速度。
C O A
B
§7-3 牵连平动---点的加速度合成
M’
M 1M ' MM 2 lim lim t 0 t 0 t t
ve
M
M1
d ( M M 2 ) vr dt
va ve vr
速度合成定理
va ve vr
va
动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的 相对速度与牵连速度的矢量和。
vr
ve
应用速度合成定理注意事项
o
o
M1
动系固接杆上
ve 2
M2
ve1 OM
’ 1
' ve 2 OM2
ve1
M1
o
o
重点要弄清楚 牵连点的概念
3 确定牵连速度
4 确定牵连速度
ve
O
C
A
5 确定牵连速度
B
ve
A
C O
§7-２ 点的速度合成定理
M’ Δra
M2
Δrr
ra re M 1M
一点二系三运动
A：动点
动系：O1B
分析三种运动
va ve vr
va sin ve
ω1
ve 1 ' O1 A
[例5] 圆盘凸轮机构已知：OC＝e ,
R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。
动点：杆上接触点A 动系-凸轮 分析三种运动
一点二系三运动
va ve vr
va cos30 ve cos60 0 ve - vr sin60
例6：车A沿半径为150m的圆弧道路以 v A 45km h
匀速 行驶，车B沿直线道路以 vB 60 km h 匀 速 行驶 ，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的 速度；（2）B车相对A车的速度。
ωAB
O
v a
0 ve sin 30 vr
B 60
n a
a a a ae a r a r
以地面为参考系
以盘为参考系
§7-1相对运动、牵连运动和绝对运动
◇ 一点二系三运动
动点 研究对象，是一个运动中的点；
z
x'
z'
o'
M
定系
固定在地球上的坐标系
o x
y'
y
动系 固定在其他对于地球有运动的刚体上（固接）
三种运动
绝对运动 动点对于定系的运动
z'
z
x'
o'
ra
rr M
★是点的运动
相对运动
va ve vr
ve
OC
C v
va sin ve
OC
ve v sin OA a
va
O
vr
A
B
求解合成运动的速度问题的一般步骤：
选取动点，动系； 三种运动的分析；
三种速度的分析； 根据速度合成定理，作出速度平行四边形； 根据合成原则，求出未知量；
恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
练习1：图示机构中，曲柄OA＝R，转速每分钟ｎ转
；OB＝L；铰接在曲柄OA上的滑块A可以在摇杆BC 的槽中自由运动，求当OB与摇杆BC的夹角为30度时 ，摇杆BC的角速度。
C
A O
30
B
练习2：正弦机构中曲柄OA＝R，以匀速ω绕轴O转 动，导槽BC与齿条EF固接并相互垂直，齿条EF
8：分析滑块－摇杆机构的三种运动
9：分析飞机螺旋桨上一点的三种运动
10：分析偏心凸轮机构的三种运动
11：分析曲柄摇杆机构的三种运动
12、分析正弦机构的三种运动
O
C A
B
D
正弦机构的三种运动
13、恰当选择动点、动系，并分析三种运动
14、恰当选择动点、动系，并分析三种运动
15：进教室开门的时候，有小虫子在门上爬；
一种现象
无风的下雨天
站在屋檐下看雨，雨滴如何下落？
坐在行驶的车箱内看雨，雨滴如何下落？
本章重点：
速度合成 加速度合成
本章难点：
动点动系的选择 三种运动分析（运动轨迹的判定） 牵连速度的定义 科氏加速度的大小与方向
对于不同的参考体来说，物体的运动是不同的
车上的人：
车轮边缘一点在做圆周运动
站在地面上的人： 车轮边缘一点的轨迹为一螺旋线。