可逆矩阵判定典型例题复习课程

典型例题（二）方阵可逆的判定

例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：

（1）若0||≠A , 则T

T A A )()(11--=；

（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则*

**)(A B AB =；

（3）T

T A A )()(**=；

（4）若0||≠A , 则*

11*)()(--=A A ； （5）

*

1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则l

l A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）

*

1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且

E AA =-1

两边同时取转置可得

E E A A AA T T T T ===--)()()(11

故由可逆矩阵的定义可知

T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即

1

1)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有

E AB AB AB ||)()(*=

（2-7）

另一方面

B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==

E AB E B A B B A |||| ||||*===

（2-8）

比较式（2-7）、（2-8）可知

))(()()(***AB A B AB AB =

又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1

)(-AB 可得

***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ2

1

2222111211 于是可得A 的伴随矩阵*

A 为

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n

n n n A A A A A A A A A A Λ

ΛΛΛΛΛΛ2122212

12111

*

注意到A 的转置矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n

n

n n T

a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 可推出T

A 的伴随矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A Λ

ΛΛΛΛΛΛ2

1

2222111211

*

)(

比较*A 与

*)(T A 可知

**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1

-A , 并且由E A A A ||*

=可知

1*||-=A A A 由于0||≠A , 1-A 可逆且

E A A A ||)(1

*11---=可得

A A A ||1)(*1=

-

另一方面, 由

E A A A A A A ==--||1

||)(1

*1*

由矩阵可逆的定义知, *

A 可逆, 并且

*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ21

22221

11211

即

ij

a -的代数余子式为

nn

nj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j j

i a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+Λ

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛ

ΛΛ1

1

1

11

11

11111111111111111)

1(

)

, ,2 ,1,( )

1(1

n j i A ij n Λ=-=-

故

*

11211121

22112111211111*

)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡---------=-Λ

ΛΛΛΛΛΛ

（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且

l

l A A A A A AA A )()()(111111------===ΛΛ （7）对于（3）给出的矩阵A , 有

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA Λ

ΛΛΛ

ΛΛΛ2

122221

11111

类似于（5）可知ij

ka 的代数余子式为

ij

n A k 1-, 故

例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足T

A A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有

E A A A AA ||**==

反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件T

A A =*, 有

O AA AA T ==* （2-6）

设矩阵A 为

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ2

12222111211 由式（2-6）可知

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡=nn n

n n n nn n n n n T

a a a a a a a a a a a a a a a a a a AA Λ

ΛΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛ2122212

12111

2

1

2222111211

O a a a

a a a a a

a a a a a a a n

i ni

n

i i

ni n i i

ni n

i ni i n

i i

n

i i i n

i ni i n

i i

i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑

∑∑∑

∑∑

∑∑

∑=========121

21

1121

2

21121112112

1Λ

ΛΛΛ

ΛΛΛ

比较上式两边矩阵对角线上的元素有

)

, ,2 ,1( 01

2

n j a

n

i ji

Λ==∑=

故

)

, ,2 ,1( 021n j a a a jn

j j ΛΛ=====

l 个

l 个