可逆矩阵判定典型例题复习课程
矩阵的逆的典型例题
ML32006
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（详细过程）
第一种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
或
对上两式分别求逆，即
需要配音或重点提示的文字：无
学生常Байду номын сангаас的错误
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
可逆矩阵264191
1 1 1
例
设A 2 1
0
求 A1
1 1 0
1 1 1 1 0 0
解 A I 2 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
1 1
1 2
1 2
0 1
0 0
0 2 1 1 0 1
r1 r2 r3 2r2
(1)r2
1 0
0 1
1 2
1 2
1 1
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(1) k
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
4
0
4 .
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
1 A
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1
第四次课 矩阵的运算可逆矩阵-推荐精选PPT
2021/6/24
11
复习
矩阵的转置
➢: (AB)TBTAT
方阵取行列式
➢: | kA | k n | A | （ A是n阶方阵） ➢: 设 A, B同为n阶方阵，则有| AB || A || B |。
可逆矩阵
➢: A A 1 A 1 A E
2021/6/24
12
三、方阵可逆的充要条件
1、 Def：设 A aij nn为n阶矩阵，Aij是元素aij的
代数余子式 i, j 1,2, ,n，则称矩阵
A11 A21
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
代数余子式 的转置矩阵
为矩阵 A的伴随矩阵，记为 A*（读作 A的伴随）。
adjoint matrix
2021/6/24
2021/6/24
5
4、反对称矩阵 anti-symmetric matrix
Def：方阵 A，如果 AT A，
即a ji aij , i, j 1, 2, , n，称矩阵 A为反对称矩阵。
元素以主对角线为对称轴互为相反数
：j i a i i a i i a i i 0
例2
当 A为方阵时，证明 A AT 为反对称矩阵.
A 0
0
0
A
0
A
E
0
0
A
同理可得： A* A A E ,从而： AA* A* A A E
2021/6/24
15
3、定理1： n阶矩阵 A可逆的充要条件是 A 0。且 A1
1
A* 。
证明
| A|
必要性 设方阵 A可逆，存在同阶方阵B，满足公式 AB BA E ，得 A B 1 0，故 A 0。 法
线性代数第三章矩阵的逆(习题课)
目录
• 矩阵的逆的定义和性质 • 逆矩阵的运算规则 • 逆矩阵的应用 • 习题解析与解答
01
矩阵的逆的定义和性质
定义与性质
逆矩阵的定义
如果存在一个矩阵A-1，使得A*A-1=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵， A-1为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A-1也 是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。同时， 若B是A的逆矩阵，则AB=BA=I。
03
逆矩阵的应用
解线性方程组
线性方程组
线性方程组是数学中一个常见的 问题，它涉及到多个未知数和方 程。通过矩阵的逆，我们可以找 到线性方程组的解。
求解步骤
首先，将系数矩阵进行转置，然 后计算其行列式值。如果行列式 值不为零，则存在唯一解。最后， 通过矩阵的逆计算出线性方程组 的解。
应用场景
线性方程组广泛应用于各个领域， 如物理、工程、经济等。通过矩 阵的逆，我们可以更高效地解决 这些领域中的问题。
综合题2解析
题目要求求一个给定矩阵的逆矩阵， 并判断其是否可逆。同时，我们需要 解决一个与该矩阵相关的问题。首先 ，我们判断矩阵是否可逆。如果可逆 ，我们再使用公式法或分块法计算逆 矩阵。然后，我们将逆矩阵应用于实 际问题中以获得解决方案。
综合题目3解析
题目要求求多个给定矩阵的乘积的逆 矩阵，并验证其正确性。同时，我们 需要解决一个与这些矩阵相关的问题 。首先，我们计算多个给定矩阵的乘 积。然后，我们使用公式法或分块法 计算其逆矩阵。最后，我们通过乘以 其原矩阵来验证逆矩阵的正确性。同 时，我们将逆矩阵应用于实际问题中 以获得解决方案。
量βi；最后，计算P^(-1)AP=B。
可逆矩阵一PPT课件
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
[自然科学]31可逆矩阵_OK
![[自然科学]31可逆矩阵_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/27ba5db8cf84b9d529ea7a93.png)
0 A2T ...
0
... ... ... ...
0
0
... AsT
若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵
均可逆，则矩阵A也可逆，且
☞ A1
A11 0 ...
0
0 A21 ...
0
... ... ... ...
0
0
... As1
2021/8/28
25
A1 0 ... 0
☞
A
0 ...
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E)
2021/8/28
10
16
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆，
证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A
(E BA1)A(A B)
(A B)(A B)[ A2 B2]
2021/8/28
13
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆，
( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1
解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1
[E B( A1)T ][( A B) A1]1
[E B( AT )1]A( A B)1
| A1 |
1 | A|
1.3-可逆矩阵
1,
a = 0,
0, 0,
b = −1,
c
=
1,
1,
d = 2.
0 1
= 0 1
= 1 0
所以 A−1
− 1 2 2 − 1
0 , 1
= 0 − 1. 1 2
1 0
求可逆矩阵
A
=
a c
b
d
的逆矩阵.
一般地：当 ad − bc 0 时，A可逆
二阶矩阵的逆用此规律求
A−1
=
(3)若A,B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆,且
( AB )−1 = B−1 A −1
( ) ( ) 证明 (AB) B−1A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1= AA−1 = E,
( ) 推广 A1 A2 Am −1 = Am−1. . . A2−1 A1−1
( ) ( ) (4) 若A可逆, AT亦可逆 ,且
说明:
(1)如果 AB = E, 指出矩阵 A是可逆的
当A,B均为 并且逆矩阵为 A−1 = B.
n阶方阵时 (2) 指出求逆矩阵的一种方法
A ( B? )= E
例 已知 An , A2 = E , 求 A−1.
解 A2 = E, 即 A A = E, A−1 = A
例1 设
A = 2 −1
注意：只有分块对角阵才可以
A
=
A1 O
A2
A3
A−1
=
A1−1 O
A2−1
A3−1
A = diag(1,2,n )
1
=
2
n
其中 i 0
A−1 = diag(1−1 , 2−1 , n−1 )
可逆矩阵及应用举例综合材料
应用分析
11
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
应用分析
5
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
Ax = b,
(1.19’)
应用分析
23
其中
x1 b1
x
=
x2
,
b
=
b2
,
xn
bn
分别是未知数向量和常数向量.
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
应用分析
24
这说明 x0 A1b 为方程(1.19)的解.又:如果 x 是
0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 1 5
r33r1 0 1 2 1 0 3 r3r2 0 0 1 1 1 2
1 0 0 1 2 6
r1 r3 r2 r3
0 0
1 0
0 1
1 1
2 1
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则(AB)*=B*A*；（3）(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)*；（5）(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7）(kA)*=kn-1A*.证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1=E两边同时取转置可得(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵.即(A-1)T=(AT)-1（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(AB)*(AB)=|AB|E另一方面(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E比较式（2-7）、（2-8）可知(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得(AB)*=B*A*（3）设n阶方阵A为⎡aa12a⎡111n⎡A=⎡a⎡⎡21a22a2n⎡⎡⎡⎡⎡aa⎡⎡n1n2ann⎡于是可得A的伴随矩阵A*为⎡AA⎡1121An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22An2⎡⎡⎡⎡⎡⎡AA⎡1n2nAnn注意到⎡A的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出A的伴随矩阵为⎡a11⎡⎡a12AT=⎡⎡⎡a⎡1na21a22a2nA12A22An2an1⎡⎡an2⎡⎡⎡ann⎡⎡*比较A与(A)可知T*⎡A11⎡⎡A21(AT)*=⎡⎡⎡A⎡n1*TT*A1n⎡⎡A2n⎡⎡⎡Ann⎡⎡(A)=(A)*-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且1(A-1)*=A|A|另一方面,由A*=|A|A-1A*(A-1)*=|A|A-1*由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且*-1-1*1A=E|A|(A)=(A)（5）对于（3）给出的矩阵A,有-a12⎡-a11⎡-a22⎡-a21-A=⎡⎡⎡-a-an2⎡n1即a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n⎡⎡-a2n⎡⎡⎡-ann⎡⎡-aij的代数余子式为(-1)i+j-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n-ai-1n-ai+1n-ann-ai-11-ai+11-an1故=(-1)n-1Aij(i,j=1,2,,n)⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21(-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22(-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*(-A)*=⎡⎡=(-1)A⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A(-1)A1n2nnn⎡⎡（6）因为|A|≠0,故A可逆,并且l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AAA)=AAA=(A)l个l个（7）对于（3）给出的矩阵A,有ka11ka1n⎡⎡ka11⎡⎡kakaka⎡21222n⎡kA=⎡⎡⎡⎡⎡kakan2kann⎡n1⎡⎡kaijkn-1Aij类似于（5）可知的代数余子式为,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A 是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有*T反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有AA*=AAT=O（2-6）设矩阵A为a12a1n⎡⎡a11⎡⎡aaa⎡21222n⎡A=⎡⎡⎡⎡⎡aan2ann⎡n1⎡⎡由式（2-6）可知a12a1n⎡⎡a11a21an1⎡⎡a11⎡⎡⎡⎡aaaaaa⎡21222n⎡⎡1222n2⎡AAT=⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2ann⎡a2nann⎡n11n⎡⎡⎡⎡nn⎡n2⎡aaaaa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2aaaaa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡⎡n⎡nn⎡2⎡aaaaani1i ni2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡比较上式两边矩阵对角线上的元素有AA*=A*A=|A|E∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ai=1n2ji=0(j=1,2,,n)故aj1=aj2==ajn=0(j=1,2,,n)因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA-1证必要性：因为(AB)=A-1B-1=(BA)-1(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA)因此AB=BA即充分性：因为AB=BA,故(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.T-1|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明(I-A)不可逆.T-1证因为A=A,故因此有AAT=AA-1=E所以故E-A是不可逆矩阵.-1(E-A)求.TT|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|T=|A||(A-E)|=|A-E|=(-1)n|E-A|=-|E-A||E-A|=0k例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并证由于k2k-11-x=(1-x)(1+x+x++x)故对于方阵A的多项式,仍有k注意到A=O,故有E-Ak=(E-A)(E+A+A2++Ak-1)因此(E-A)可逆,并且(E-A)(E+A+A2++Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2++Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明：例6设A是n(n>2)阶方阵,2**n-2(A)=|A|A；（1）**(n-1)（2）|(A)|=|A|.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有*AA*=|A|EA*(A*)*=|A*|EAA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A对AA=|A|E两边取行列式,有*n-1若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|nA(A)=|A|E两边取行列式,有（2）对|(A)|=|A|=(|A|)=|A|**(n-1)2若A不可逆,则|(A)|=0=|A|22例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.2|A*|(A)=A=|A|n-2AA**22A+AB=A(A+B)=-B证因为,由于2n2|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0所以|A|≠0,|A+B|≠0因而有A,A+B可逆.2-1-(B)A(A+B)=E由2-1由-A(A+B)(B)=E-12-1(A+B)=-(B)A可知-12-1可知A=-(A+B)(B).例8设A、B均是n阶方阵,且-1E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且-1(E+BA)=E-B(E+AB)A因此(E+BA)可逆,并且(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A-1-1=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]-1=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A=E+BA-BA=E例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明：-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)AA+B（1）也可逆,且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B（2）(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A证（1）因为-1-1-1-1-1-1-1BA+B=AA(A+B)BB=A(A+B)两边取行列式有-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|-1因为-1-1故A+B是可逆矩阵.-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故|A-1+B-1|≠0|B-1|≠0|A+B|≠0所以有(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B-1-1-1=(E+BA)[B(A+B)]故(A+B)-1-1-1=A(A+B)-1B=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E同理可证（2）因为(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1故同理可证(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.。
高考中的矩阵中的逆矩阵问题讲义版
高考中的矩阵中的逆矩阵问题讲义版什么是矩阵的逆？
两个矩阵相乘得到单位矩阵时，才能称其中一个矩阵是另一个
矩阵的逆矩阵。
也就是说，如果矩阵A和B满足AB=BA=E，则矩
阵B即为矩阵A的逆矩阵。
矩阵的逆如何求？
对于2阶矩阵，可以通过求伴随矩阵再除以行列式得到逆矩阵。
对于高维矩阵，通常使用初等行变换法将矩阵通过一系列行变
换化为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换操作，得到的结
果即为原矩阵的逆矩阵。
矩阵的逆有什么应用？
矩阵的逆常常可以用来解决矩阵方程组，其解可以表示为逆矩
阵与方程组常数项的乘积。
在机器研究、数据分析以及计算机图形学等领域也广泛使用到矩阵的逆。
高考中的矩阵逆问题
在高考中，通常会涉及到矩阵的逆问题，需要注意的是，对于非方阵，其没有逆矩阵。
同时，矩阵的逆矩阵可能存在但不唯一，也可能不存在。
因此，需要在高考中仔细分析题目中矩阵的性质，判断是否存在逆矩阵，并且考虑求逆矩阵的方法和步骤。
小结
矩阵逆是矩阵理论中的重要概念，对于高考数学中的矩阵应用也具有重要意义。
需要了解矩阵逆的定义、求法和应用，并结合实际问题进行练习和掌握。
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
可逆矩阵判定典型例题
典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若, 则；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l 为自然数）； （7）. 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是A T 的逆矩阵. 即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n 阶方阵A 为于是可得A 的伴随矩阵为注意到A 的转置矩阵为0||≠A T T A A )()(11--=***)(A B AB =TT A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A *1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=*1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-11)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1)(-AB ***)(A B AB =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211*A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为, 故A 可逆, A 的逆矩阵为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且（5）对于（3）给出的矩阵A , 有即的代数余子式为故⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n T a a a a a a a a a A 212221212111TA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(*A *)(T A **)()(T T A A =0||≠A 1-A E A A A ||*=1*||-=A A A 0||≠A 1-A E A A A ||)(1*11---=AA A ||1)(*1=-E A A A A A A ==--||1||)(1*1**A *11*)()(--=A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211ij a -nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-（6）因为, 故A 可逆, 并且（7）对于（3）给出的矩阵A , 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6）设矩阵A 为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AA A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=- 0||≠A l l A A A A A AA A )()()(111111------=== ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111111ij ka ijn A k 1-*A TA A =*E A A A AA ||**==0||=A T A A =*O AA AA T ==*⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a a a a a a a a a a a a a a ni nini i ni n i ini ni ni i n i i n i i i ni ni i ni i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121 ), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j =====l 个 l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：的充要条件是证 必要性：因为因此即充分性：因为, 故. 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆.证 因为, 故因此有所以故是不可逆矩阵. 例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于故对于方阵A 的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）.证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A 可逆, , 故, 于是有111)(---=B A AB BA AB =1111)()(----==BA B A AB )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=BA AB =BA AB =1111)()(----==B A BA AB 1,1||-==A A A T )(A I -1-=A A T E AA AA T ==-1|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n--=--=0||=-A E A E -O A k=A E -1)(--A E )1)(1(112-++++-=-k k x x x x x ))((12-++++-=-k k A A A E A E A E O A k=E A A A E A E k =++++--))((12 )(A E -121)(--++++=-k A A A E A E )2(>n n **)(A *A A A A n 2**||)(-=2)1(**|||)(|-=n A A E A AA ||*=E A A A ||)(****=A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===E A AA ||*=n A E A A A AA ||||||||||||**===0||≠A 1*||||-=n A A若A 不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有（2）对两边取行列式, 有若A 可逆, 所以, 从而有, 于是可知 若A 不可逆, 则例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足, 证明A 和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为, 由于所以,因而有 可逆.由可知由可知.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且例9 设n 阶矩阵A 、B 和均可逆, 证明：（1）也可逆, 且（2）证 （1）因为两边取行列式有因为A 、B 、可逆, 故所以有故 是可逆矩阵.AA A A A A n 2***||||)(-==0||=A *A 0)(**=A A A A n 2**||)(-=E A A A ****||)(=n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===0||≠A 0||||1*≠=-n A A 2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 2)1(**||0|)(|-==n A A O B AB A =++22B A +22)(B B A A AB A -=+=+0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 0||≠A 0||≠+B A B A A +,E B A A B =+--)()(12A B B A 121)()(---=+E B B A A =+--12))((121))((--+-=B B A A AB E +BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=)(BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+B A +11--+B A A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A ||||||||1111----+=+B B A A B A B A +0||1≠-A 0||1≠-B 0||≠+B A 0||11≠+--B A 11--+B A B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B E故同理可证 .（2）因为故同理可证.E A B E A B E =++=---111))((B B A A B A 1111)()(----+=+A B A B B A 1111)()(----+=+])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A 11])()[(--+-+=A B B A I B A I AA A B B A ==-+=--11)(1111111)()(-------+-=+A B A A A B A 1111111)()(-------+-=+B B A B B B A欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若0||≠A , 则TT A A )()(11--=；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则***)(A B AB =；（3）TT A A )()(**=；（4）若0||≠A , 则*11*)()(--=A A ； （5）*1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则ll A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）*1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且E AA =-1两边同时取转置可得E E A A AA T T T T ===--)()()(11故由可逆矩阵的定义可知T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即11)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有E AB AB AB ||)()(*=（2-7）另一方面B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***AB A B AB AB =又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1)(-AB 可得***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 于是可得A 的伴随矩阵*A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111*注意到A 的转置矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n Ta a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 可推出TA 的伴随矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211*)(比较*A 与*)(T A 可知**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1-A , 并且由E A A A ||*=可知1*||-=A A A 由于0||≠A , 1-A 可逆且E A A A ||)(1*11---=可得A A A ||1)(*1=-另一方面, 由E A A A A A A ==--||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知, *A 可逆, 并且*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211即ija -的代数余子式为nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n Λ=-=-故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-ΛΛΛΛΛΛΛ（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且ll A A A A A AA A )()()(111111------===ΛΛ （7）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA ΛΛΛΛΛΛΛ212222111111类似于（5）可知ijka 的代数余子式为ijn A k 1-, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足TA A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有E A A A AA ||**==反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件TA A =*, 有O AA AA T ==* （2-6）设矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 由式（2-6）可知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212221212111212222111211O a a aa a a a aa a a a a a a ni nini ini n i ini ni ni i ni ini i i ni ni i ni ii n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121ΛΛΛΛΛΛΛ比较上式两边矩阵对角线上的元素有), ,2 ,1( 012n j ani jiΛ==∑=故), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j ΛΛ=====l 个l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：111)(---=B A AB 的充要条件是BA AB =证 必要性：因为1111)()(----==BA B A AB因此)())(()())((11BA BA AB BA AB AB --= 即BA AB = 充分性：因为BA AB =, 故1111)()(----==B A BA AB .例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且1,1||-==A A A T , 证明)(A I -不可逆.证 因为1-=A A T , 故E AA AA T ==-1因此有|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n --=--= 所以0||=-A E故A E -是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足O A k=, 证明A E -是可逆矩阵, 并求1)(--A E .证 由于)1)(1(112-++++-=-k k x x x x x Λ 故对于方阵A 的多项式, 仍有))((12-++++-=-k k A A A E A E A E Λ注意到O A k=, 故有E A A A E A E k =++++--))((12Λ 因此)(A E -可逆, 并且121)(--++++=-k A A A E A E Λ例6 设A 是)2(>n n 阶方阵, **)(A 是A 的伴随矩阵*A 的伴随矩阵, 证明：（1）A A A n 2**||)(-=； （2）2)1(**|||)(|-=n A A .证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有E A AA ||*= 即 E A A A ||)(****=从而有A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===对E A AA ||*=两边取行列式, 有nA E A A A AA ||||||||||||**=== 若A 可逆, 0||≠A , 故1*||||-=n A A , 于是有AA A A A A n 2***||||)(-==若A 不可逆, 则0||=A , *A 的秩小于或等于1, 故0)(**=A , 仍有A A A n 2**||)(-=（2）对E A A A ****||)(=两边取行列式, 有n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===若A 可逆, 所以0||≠A , 从而有0||||1*≠=-n A A , 于是可知2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 若A 不可逆, 则2)1(**||0|)(|-==n A A例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 和B A +都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 由于0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 所以0||≠A , 0||≠+B A因而有 B A A +,可逆.由E B A A B =+--)()(12 可知A B B A 121)()(---=+ 由 E B B A A =+--12))((可知121))((--+-=B B A A.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且AB E +可逆, 则BA E +也可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+证 考察两个矩阵的乘积A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+= A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+ 例9 设n 阶矩阵A 、B 和B A +均可逆, 证明：（1）11--+B A 也可逆, 且A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+ （2）1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 证 （1）因为1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A两边取行列式有||||||||1111----+=+B B A A B A因为A 、B 、B A +可逆, 故0||1≠-A 0||1≠-B0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A 故 11--+B A 是可逆矩阵.B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B EE A B E A B E =++=---111))((故B B A A B A 1111)()(----+=+同理可证A B A B B A 1111)()(----+=+.（2）因为])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A11])()[(--+-+=A B B A I B AI AA A B B A ==-+=--11)( 故 1111111)()(-------+-=+A B A A A B A同理可证1111111)()(-------+-=+B B A B B B A .。